捕鱼业持续发展数学模型
9.生物数学捕鱼模型
• 捕捞效应会使被食鱼增长，所以不正确的 治虫，会使害虫增加，而天敌减少。 • 学习本模型，使学生认识到，生物种群的 发展是有规律的,在没有人为的干扰情况下， 该种群是处于平衡状态的，这是生物种群 千百万年以来所保持的规律性。正确的理 解生态平衡的概念和在捕鱼——被捕鱼系 统中的捕鱼效应。 • 由捕鱼效应还可以得到一个启示，看问题 不能表面化。喷洒农药治虫本来是正确的
•
本内容的难点，在于理解一维系统平衡点 的稳定性概念。 二、Volterra模型：这是一个生态问题，研究 捕鱼与被捕鱼系统的生态变化。上世纪20 年代，意大利生物统计学家D’Ancona，在 统计第一次世界大战期间，亚德利亚海中 被食鱼和鲸鲨鱼（掠肉鱼）比数的奇异变 化。在捕鱼减少的情况下，鲨鱼的比数意 外的上升。（鲨鱼比例为何如此上升？） 他让数学家Volterra把这一生态现象给以科 学的解释。
N N 故最大捕捞量为 m x0 2 2 4
二、Volterra模型 • 2.1问题的提出：1924年，意大利生物统计 学家Dancona在作生物统计工作是发现这 一问题。 • 在阜姆对亚德利亚海中的两种鱼的数量进 行统计。对捕获的鱼的种类及数量进行记 录。 • 他把鱼分成两种：鲨鱼，被食鱼，作为一 个捕食者——被捕食者系统。
•
Volterra通过建立捕鱼与被捕鱼系统模型， 科学的解释D’Ancona提出的问题。 • 1.在一个捕鱼被捕鱼系统中，如果没有外部 因素干与，两个种群的数量都按周期变化， 周期相同。这种现象就是生态平衡。 • 2.如果有人为干扰（即有捕捞时），捕捞可 增加被食鱼，减少鲨鱼，即会使被食鱼的 比数增大。此称为捕捞效应。
模型九、生物数学模型
这部分讲述两个模型： 一、 捕鱼模型 二、 Volterra模型 一、 捕鱼模型：在鱼类增殖的情况下进行捕 捞，研究捕捞系数多大时，鱼类增殖是稳 定的，并研究在稳定增殖情况下的最大捕 捞量。 学习该模型的目的，使人们认识到：为 了保护鱼类资源，实现可持续发展战略。 捕捞应有一定限制（如休渔期的规定）， 以免过渡捕捞破坏渔业资源。
捕鱼模型总结
捕鱼模型总结引言捕鱼模型是一种模拟渔业资源管理和捕鱼活动的工具，它可以帮助渔业管理者和研究人员了解鱼类种群的动态变化，并制定合理的捕捞政策以保护渔业资源。
本文将对捕鱼模型的基本原理、应用场景以及优缺点进行总结和分析。
捕鱼模型的基本原理捕鱼模型是一种基于数学模型的仿真工具，它通常包括以下几个基本要素：1.鱼类种群：捕鱼模型通过建立数学模型来描述鱼类种群的数量、增长率、死亡率等相关特征。
常用的模型包括Logistic模型、Lotka-Volterra模型等。
2.捕捞活动：捕鱼模型考虑了捕捞活动对鱼类种群的影响，包括捕捞强度、捕捞效率等参数。
这些参数可以通过历史数据、实地观测或专家经验进行估计。
3.环境因素：捕鱼模型还考虑了环境因素对鱼类种群的影响，如水温、氧气含量等。
这些因素可以通过气象数据、水质监测等进行获取。
通过将鱼类种群、捕捞活动和环境因素结合起来，捕鱼模型可以模拟和预测鱼类种群的动态变化，从而为渔业管理者提供科学依据和决策支持。
捕鱼模型的应用场景捕鱼模型广泛应用于渔业资源管理和保护的领域，其主要应用场景包括：1.渔业资源评估：捕鱼模型可以通过分析鱼类种群的动态变化，评估渔业资源的可持续利用能力和容量。
这有助于制定合理的渔业管理政策，保护渔业资源的可持续发展。
2.捕捞政策制定：捕鱼模型可以模拟不同捕捞政策对鱼类种群的影响，从而为渔业管理者提供科学决策依据。
渔业管理者可以通过调整捕捞强度、捕捞季节等参数，实现渔业资源的合理管理和保护。
3.捕捞预警系统：捕鱼模型可以通过实时监测鱼类种群的数量和动态变化，提供捕捞预警信息。
当鱼类种群数量下降或过度捕捞时，预警系统可以及时提醒渔业管理者采取相应措施，以避免资源的过度捕捞和破坏。
捕鱼模型的优缺点捕鱼模型作为一种模拟工具，具有以下优点：1.科学决策支持：捕鱼模型可以基于数学模型和实时数据，为渔业管理者提供科学决策支持，帮助其制定合理的捕捞政策和资源管理措施。
数学建模——最优捕鱼模型
最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
6.5捕鱼业的持续收获 数学建模
1、问题陈述
对于一个渔场，若渔民们捕捞过度，可能 会导致鱼类资源枯竭。若捕捞的量过少，可 能经济效益比较少。如何控制捕捞力度，能 使鱼类资源持续发展下去？
6.4微分方程稳定性理论简介 6.4微分方程稳定性理论简介
对于形如 x′(t ) = f ( x) ⋯ (4) 效 益 模 型 ： E R = (1 − 2 PN
C ) ⋯ ⋯ ⋯ (5) 捕捞过度：ES =r (1 − PN
二、捕鱼业的效益模型
1、模型假设 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 为C。 (2)鱼的销售单价为常数P (2)鱼的销售单价为常数P (3)单位时间所获利润为R(E) (3)单位时间所获利润为R(E) (4)独家捕捞 (4)独家捕捞
定义1 衡点。 称 f ( x ) = 0的 根 x0为 上 述 微 分 方 程 的 平
定 义2 解满 足
如果当x(t )充分接近x0时，微分方程的 lim x(t ) = x0
t →∞
则 称平 衡点 是稳定 的， 否则 称是 不稳定 的。
二、捕鱼业的产量模型
logistic模 （1）设鱼量的增加符合logistic模型，设r为固有 增长 率，N 为环境允许 的最大鱼量。 设鱼量的增 长率为r ( x), x(t )为t时刻鱼场的鱼量。
（2）设单位时间的捕鱼量为h( x), 与渔场的数量x(t ) 成正比，E为比例系数，即h( x) = Ex(t ), 称E为捕捞 率。
（3）独家捕捞。
x x′(t ) = rx(1 − ) − Ex N
⋯ ⋯ ⋯ (1)
E x0 = N (1 − ) ⋯ ⋯ ⋯ (2) r
捕鱼业的持续收获模型7
简单分析：在商业性捕捞中，最佳 捕捞量比不计成本的最大量少，少捕 的比例为C^2/(PN)^2。意味着鱼价高 可多捕捞，开支大宜少捕捞。
捕鱼业的持续收获模型
第32组
• 建立背景：渔业资源是一种再生资源，应 当注意适当开发，在保持持续稳定的前提 下追求产量以及经济效益最优。 鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果 捕捞量恰好等于增长量，这个捕捞就是可 持续的
• 1、模型建立 • 假Байду номын сангаас在t时刻渔场鱼量为x(t)，在天然 无捕捞的环境下，渔场鱼量服从Logistic模 型，即： • dx/dt=rx(1-x/n)=g(x) • r为固定增长率，N为环境容许的最大量 • g(x)为单位时间增长量
• 捕捞率：单位时间内捕捞量与总量的比值 （E） • dx/dt=g(x)-Ex
问题1 ：稳定性 令f(x)=g(x)-Ex f(x)=0得X0=N(1-E/r）、X1=0 通过计算可知f’(x0)=E-r、f’(x1)=r-E 讨论E与r的大小 若E<r，则有f’(x0)<0, f’(x1)>0. 即 x0是稳定的，x1是不稳定的 反之亦然
Z=PEx-CE=E(Px-C)
• 由鱼量稳定得 • g(x)=Ex • 得E=r(1-x/N) • 即利润 •
Z=r(1-x/N)(Px-C)
• 求利润最大（求极值） • 由Z’(x)=0 确定最佳效益时的点 • xE=N/2+C/(2P) • 相应 的捕捞量为 • H=ExE=r xE (1- xE/N)=(Nr/4)*(1-C^2/(PN)^2) • =hm(1-C^2/(PN)^2)
• 问题2：在渔场稳定的情况下，如何控制捕 捞强度E使持续产量最大
• 通过画y=g(x)与y=EX的图像可知 • 当E=r/2时，有最大捕捞量hm=Nr/4，此时稳 定平衡点为x0=N/2，最优捕捞率为N/2。
数学模型_捕鱼业的持续收获
F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
《保持捕鱼业可持续发展的数学建模》
。
三、结果分析及总结：
d x x r r 1 x g x k 2 时，可得最 由 Logistic 模型 d t N 分析结果为：
dx N rx ln dt x ,
一、建立 Logistic 模型分析： 在 t 时刻，无捕捞时单位时间鱼的增长量 g(x)与渔场鱼量满足如下 关系：
d x x r 1 x g x d t N
方程 1
有捕捞时，单位时间的捕捞量（即产量）h(x)，则鱼量 x(t)的变化 规律为：
模型假设： 捕捞过程视为连续性过程； 忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。
两种数学模型的介绍： 1、Logistic 模型： 考虑到环境的制约作用，模型假设如下： 种群的增长率随着种群的数量的增加而下降。 可将种群增长率表示为种群数量的函数，即得 Logistic 模型：
d x x r 1 x d t N ，且 x0 x 0
【关键词】
Logistic 模型 Compertz 模型 稳定性 可持续发展
【正文】
符号定义及基本假设，令： x(t)为 t 时刻渔场鱼量；
g(x)为单位时间的增长量； h(x)为单位时间捕捞量； N 为环境容许的最大鱼量； hm 为单位时间渔场的最大持续增长量； r 为固有增长率；E 为捕捞强度；q 为捕捞系数； 单位时间的产量与渔场的鱼量的比例系数 k 为单位时间捕捞率， 且定义 k=qE，为方便分析，令 q=1,则 h(x)=kx=Ex 。
结果分析：
x0 稳定, 可得到稳定产量
生物数学捕鱼模型
• 3.在第一次世界大战期间，人类与战前相比， 减少了捕捞。按上面规律，鲨鱼的比数必 然增加。Volterra科学地完全地回答 D’Ancona的问题。这个模型是用数学研究 生物学的开端。
• 4.根据Volterra的捕鱼效应，对于正确地对 农作物灭虫是有好处的。病虫害发生之后， 根据生物规律，就形成了害虫与天敌两个 种群，这是一个捕食者——被捕食者系统。 喷洒农药是一种“捕捞”的行为，根据
• 捕捞效应会使被食鱼增长，所以不正确的 治虫，会使害虫增加，而天敌减少。
• 学习本模型，使学生认识到，生物种群的 发展是有规律的,在没有人为的干扰情况下， 该种群是处于平衡状态的，这是生物种群 千百万年以来所保持的规律性。正确的理 解生态平衡的概念和在捕鱼——被捕鱼系 统中的捕鱼效应。
• 由捕鱼效应还可以得到一个启示，看问题 不能表面化。喷洒农药治虫本来是正确的
x 1
x N
x
1
在具有什么性质时，解是稳定的？
先求平衡点： x 1
x N
x
0
x 0, x N
x 0无意义，不予考虑
渔业生态系统在捕捞过程中，如何体现稳定性？
x0
N
是稳定的.
根据定理1，当f x0 0时就在x x0是稳定的.
因
f
x
x 1
x N
x
故f
x
1
x N
• Volterra通过建立捕鱼与被捕鱼系统模型， 科学的解释D’Ancona提出的问题。
• 1.在一个捕鱼被捕鱼系统中，如果没有外部 因素干与，两个种群的数量都按周期变化， 周期相同。这种现象就是生态平衡。
• 2.如果有人为干扰（即有捕捞时），捕捞可 增加被食鱼，减少鲨鱼，即会使被食鱼的 比数增大。此称为捕捞效应。
最优捕鱼策略数学模型
最优捕鱼策略数学模型摘要为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源如渔业、林业资源的开发必须适度;本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题,即在可持续捕捞的前提下,追求捕捞量的最大化;问题一采用条件极值列方程组的方法求解,即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2,3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼,2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成;最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、 ,就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼,当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时,总的捕捞量变化不大;问题二给出年初各龄鱼的数量,要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下,使5年的总收获量最大,即在5年内鱼群能够可持续繁殖和生长;本题以5年的总捕获量为目标函数,以5年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件,建立承包期总产量模型;最终得到的捕捞策略如表1-1;只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表1-1中的数量,就可以实现5年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化;关键字一、问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源如渔业、林业资源的开发必须适度;一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益;考虑对某种鱼鲳鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼,……,4龄鱼;各年龄组每条鱼的平均重量分别为,,,克；各年龄组鱼的自然死亡率均为1/年；这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为×105个；3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼,成活率1龄鱼条数与产卵总量n之比为×1011/×1011+n.渔业管理部门规定,每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业;如果每年投入的捕捞能力如渔船数、下网次数等固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比;比例系数不妨称捕捞强度系数;通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为:1;渔业上称这种方式为固定努力量捕捞;1建立数学模型分析如何可持续捕获即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变,并且在此前提下得到最高的年收获量捕捞总重量;2某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏;已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,,,×109条,如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高;二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼,2龄鱼,3龄鱼,4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为克, 克,克,克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为1/年；4、捕捞采用固定努力量捕捞,即只允许每年的1-8月份捕捞,产卵和孵化期为每年的后四个月；5、4龄鱼和3龄鱼产卵,2龄鱼和1龄鱼不产卵;6、卵孵化并成活为1龄鱼,成活率1龄鱼条数与产卵总是n之比为× /× +n,并且孵化出的幼鱼在下一年初成为1龄的鱼；7、产卵期时鱼的自然死亡率发生在产卵之后；8、4龄鱼和3龄鱼每年只产卵一次,并且产卵集中在九月份,到十二月底孵化完毕；9、使用网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为:1,且每年投入的捕捞能力固定不变；10、只考虑该种鱼的繁殖和捕捞,鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出,也不考虑其他方面的影响；11、对于模型一,为简化模型,将每一龄鱼自然死亡数量均摊到每一个月内；12、i龄鱼在第二年分别变为i+1龄鱼,i=1,2,3；4龄鱼仍为4龄鱼；13、该鱼的生长周期为1年；14、自然死亡的鱼也在捕捞范围之内,即计入捕获量,并且能够全部捕捞;三、符号变量及说明x……该年年初时i龄鱼的总数量0,ix……第二年年初时i龄鱼的总数量0,ic……i龄鱼平均每月死亡数量ij i x ,……i 龄鱼在j 月初的活鱼总数量i m ……i 龄鱼每条鱼的平均重量n ……9月底该种鱼总共产卵数量n ……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量i k ……对i 龄鱼活鱼的捕捞强度系数四、 问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下,实现每一年捕鱼的最大量重量,文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2,3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的,并且规定只在每年的前八个月出船捕捞;那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型,即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态,在满足文中的可持续捕捞的约束条件下,先确定这前八个月中,每个月的捕捞量,最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型,把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的,将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量就可得到该龄鱼的捕捞数量,然后可得到这八个月内总的捕捞量,当然这也要满足可持续捕捞的约束条件; 针对问题二：本文将此题转化为在已知条件下,求最大捕获量的问题;我们从文中可知,该渔业公司五年的捕捞作业后,鱼群的生产能力不能受到太大破坏,这和前一道题的可持续捕捞条件有点区别,就是该题的约束条件已变为五年捕捞后各龄鱼的数量比承包前的要少,只要程度控制在一定的范围内就不会对鱼群的生产能力造成太大破坏;此时我们要引入破坏系数)10(<≤p p ,p 就是五年后各龄鱼与五年前各龄鱼数量的比值,p 值越大,破坏程度越小,反之,破坏程度越大;我们可以把对鱼群的破坏看成是每一年的累积效应,即每一年都可能有破坏,这样我们就可以在问题一所建立的模型的基础上,修改一下约束条件,就可以求出这五年内该渔业公司的最大捕获量;五、 模型的建立与求解模型一、动态整型规划模型在没有人工捕捞的情况下,由文中的所有龄鱼的自然死亡率1/年可知i 龄鱼在一年内死亡的总数量为：08.0i x ,其中0i x 为i 龄鱼年初的数量,为了简化数学模型,我们考虑把i 龄鱼的死亡总数量平均分配到每一个月,这样i 龄鱼在每一个月的死亡数量均为128.00i i x c = J 月初的i 龄鱼的活鱼总数量：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--=---129,81,1,1,1,,j c x j x k c x x i j i j i i i j i ji ,这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位,鱼的数量随时间的变化是离散的,当每个月月初各龄鱼的数量固定时,该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了;由于在后四个月内某些3,4龄鱼在产卵后才会死去,况且从卵孵化成幼鱼要经过一段时间,为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼,进入1龄鱼的阶段,我们使它们在9月底产卵完毕,则在9月底总共产卵数目为: 9,49,321ax ax n +=其中 1.109=a ×105由卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量为：nb nb nq n +==*,其中=b ×1011 则j 月i 龄鱼的捕捞重量为：则在这八个月内各龄鱼总捕捞重量为：第二年年初各龄鱼的总数量记为*0,i x ,则*0,1x =n b nb nq n +==* 112,10,--*-=i i i c x x ,3,2=i则得如下动态整型规划优化模型：目标函数：考虑到鱼的数量相当的大,为计算方便可将上述模型简化非整形规划得：目标函数：模型二、微分方程模型我们把鱼群数量的变化看成是随时间连续变化的,r 为自然死亡率,则在t ,t +Δt 内,根据自然死亡率的定义,由于不捕捞1、2龄鱼,所以变形则得解得2,1,)(0,==-i e x t x rt i i对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行,因此,前8个月内,即1280≤≤t 时捕捞与死亡均影响鱼的变化,因而微分方程变形为由上式解得 当1128≤≤t 时, 因而,3、4龄鱼在第二年初的数为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼,进入1龄鱼的阶段,我们假设它们在9月底产卵完毕,则在9月底总共产卵数目为: 9,49,321ax ax n +=其中 1.109=a ×105 由卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量为：n b nb nq n +==*,其中=b ×1011,n 为卵的成活率 则 1、2龄鱼在第二年初的数量为7此外,我们还求得每年对3、4龄鱼的总捕捞重量为由以上分析,同时考虑到鱼的数量相当的大,为计算方便可可得如下模型：目标函数： Z max六、 模型的检验与误差分析七、 模型的评价与改进方向。
数 学 建 模-捕鱼业问题
数学建模问题： 关于捕鱼业，当捕捞量最大时，利润不是最大的原因。
模型 记时刻t 渔场中鱼量为()t x , r 是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，()x f 表示单位时间的增长量，比例常数E 表示单位时间捕捞率（捕捞强度），则单位时间的捕捞量为 ()Ex x h = ， 而此时渔场鱼量满足方程()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，令()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1= 0得到两个平衡点 x 0= N(( 1 –rE ), x 1= 0不难算出()r E x x -=0, x (x 1) =E r - ，由平衡点稳定性准则知 E < r （若捕捞过度即E>r 时 , 渔场鱼量将趋向x 1=0 ，则持续产量为0，不符合捕捞要求）,因E 是捕捞率，r 是最大增长率，要使渔场鱼量持续产量最大， 则x x 0=, ()Ex x h = ，设鱼的销售量单价为常数p ,单位捕捞率（如每条出海渔船）的费用为常数c, 那么单位时间的收入T 和支出S 分别为()p E x x ph T ==,cEs = ，单位时间的利润为cE pEx S T R -=-=，在稳定条件x x 0= 下，()()()cE r E pNE E S E T E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=-=1 ，根据 ()()⎪⎭⎫⎝⎛-==N x rx t f t x 1 , ()Ex x h = ，作抛物线()x f y =和直线()Ex x h y == , 得 最大持续产量的坐标图如下所示：由图知 ，当x = 2N 时， h （x ）= h m时 ,捕捞量达到最大。
由 f ( x ) = rx ( 1 -Nx ) ,()Ex x h = ，x = 2N 联立方程组可得 h m=4rN ， E = 2r此时利润⎪⎭⎫⎝⎛-=-=c pN r cr rpN E R 2224)( ，由 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1令 R ′( E ) = 0, 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=pN c r E R 12，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c h rN R 22214 <h m将上式代入 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，得()pNr c pN r E R c 4222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= >⎪⎭⎫⎝⎛-c pN r 22 ,以上分析表明 ，当捕捞量 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c rN x h 22214 时 ，利润 R ( E )达到最大值 ，而此时的捕捞量小于捕捞量最大值h m ， 显然 ，当利润达到最大时，捕捞量不是最大；同样，当捕捞量达到最大时，利润不是最大 。
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捕捞情况下渔场鱼量满足
X(t)=F(x)=rx(1-x/N)-Ex 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)稳(t) ~ 渔场鱼量
假设:无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic 规律
(t ) f ( x) rx(1 x
x ) N
r~固有增长率, N~最大鱼量
单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记 F ( x) f ( x) h( x)
实验目的
分析捕鱼业持续发展模型的稳定性，得出再生资源可持续发展的一般结论
一：实验内容
再生资源的可持续发展是一项基本国策，考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律 增长，如果捕捞量恰好等于增长量，则鱼量保持不变，捕捞可以可持续发展。 问题 1：建立在捕捞情况下渔场鱼量遵循的方程 问题 2：设 r 0.2, N 1000; E 0.1 ，画出渔场鱼量的变化曲线，得出稳定性的结论 问题 3：设 r 0.2, N 1000; E [0,0.4] ，画出稳定点与 E 的变化曲线；画出最大捕鱼量与 E 的变化曲线；画出稳定点与最大捕鱼量的变化曲线 问题 4：何时捕捞量最大？