高一向量课件
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《向量概念》课件
混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合 积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无 关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为 向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量 的空间关系。具体来说，当三个向量 构成一个右手坐标系时，它们的混合 积为正；如果构成左手坐标系，则混 合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换 律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺 序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具 有重要的作用。
高中数学--空间向量基本定理--课件
问题1：.如何用 ， ， 表示向量 ？
[答案] .
问题2：.在图中任意找一个向量 ，是否都能用 ， ， 来表示？表示唯一吗？
[答案] 是，表示唯一.
问题3：.若 ， ， ，且 ， ， 两两成 的角，如何求 ？
[答案] ， = .
新知生成
1.空间向量基本定理:如果向量 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ______________.
（3）下结论：利用空间向量的一组基 可以表示出空间所有向量.结果中只能含有 ， ， ，不能含有其他形式的向量.
1.设 ， ， ，且 是空间的一组基.给出下列向量组:① ；② ；③ ；④ .其中可以作为空间的基的向量组有____个.
3
[解析] 如图所示，设 ， ， ，则 ， ， ， .由 ， ， ， 四点不共面可知向量 ， ， 也不共面,同理可知 ， ， 不共面， ， ， 也不共面，可以作为空间的基.因为 ，所以 ， ， 共面，不能作为空间的基.
4.类比平面向量基本定理，猜想三个不共面的向量如何表示空间中的任意一个向量.
[答案] 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的三元有序实数组 ，使得 .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.( )
[解析] 假设 ， ， 共面，则存在实数 ， 使得 ， . ， ， 不共面，∴ 此方程组无解， ， ， 不共面， 可以作为空间的一组基.
方法总结 空间向量有无数组基.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为一组基，关键是要判断它们是否共面，若从正面难以入手，则常用反证法或一些常见的几何图形来帮助我们进行判断.
[答案] .
问题2：.在图中任意找一个向量 ，是否都能用 ， ， 来表示？表示唯一吗？
[答案] 是，表示唯一.
问题3：.若 ， ， ，且 ， ， 两两成 的角，如何求 ？
[答案] ， = .
新知生成
1.空间向量基本定理:如果向量 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ______________.
（3）下结论：利用空间向量的一组基 可以表示出空间所有向量.结果中只能含有 ， ， ，不能含有其他形式的向量.
1.设 ， ， ，且 是空间的一组基.给出下列向量组:① ；② ；③ ；④ .其中可以作为空间的基的向量组有____个.
3
[解析] 如图所示，设 ， ， ，则 ， ， ， .由 ， ， ， 四点不共面可知向量 ， ， 也不共面,同理可知 ， ， 不共面， ， ， 也不共面，可以作为空间的基.因为 ，所以 ， ， 共面，不能作为空间的基.
4.类比平面向量基本定理，猜想三个不共面的向量如何表示空间中的任意一个向量.
[答案] 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的三元有序实数组 ，使得 .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.( )
[解析] 假设 ， ， 共面，则存在实数 ， 使得 ， . ， ， 不共面，∴ 此方程组无解， ， ， 不共面， 可以作为空间的一组基.
方法总结 空间向量有无数组基.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为一组基，关键是要判断它们是否共面，若从正面难以入手，则常用反证法或一些常见的几何图形来帮助我们进行判断.
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
高中数学新教材选择性必修第一册第一章《1.4空间向量的应用》全部课件
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当堂训练
1 2345
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( A )
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
解析 因为―AB→＝(2,4,6)，
所以与―A→B 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量.
解析答案
1 2345
l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向 量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案 由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共 线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
解析答案
(2)设 μ，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量，根据下列条件判断 α，β 的
位置关系：
①μ＝(－1,1，－2)，v＝(3,2，－12)；
②μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)；
解析答案
1 2345
3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法
向量的是( D )
A.(0，－3,1)
当堂训练
1 2345
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( A )
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
解析 因为―AB→＝(2,4,6)，
所以与―A→B 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量.
解析答案
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l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向 量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案 由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共 线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
解析答案
(2)设 μ，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量，根据下列条件判断 α，β 的
位置关系：
①μ＝(－1,1，－2)，v＝(3,2，－12)；
②μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)；
解析答案
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3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法
向量的是( D )
A.(0，－3,1)
2022-2023学年高一数学：空间中点、直线和平面的向量表示课件
B－OQ)，OQ＝－OA＋
2OB.设点
Q 的坐标为(x′，y′，z′)，则上
式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C
M
B
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4, BC=3, CC1 =2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为
(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0), 1=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2⊥ ，n2⊥ 1，
所以
2 ⋅ = −3 + 2 = 0
2
= 3
解得
=
2 ⋅ 1 = −2 + 2 = 0
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
总结
求平面法向量的步骤
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、
面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
知识回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
平行、垂直问题
距离问题
夹角问题
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有
关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对
1 3
C. 1, 2 , 2
2 1
D. - 3 , 3 ,1
2 1
解析: =(2,-1,-3)=-3 - 3 , 3 ,1 ,故选 D.
2OB.设点
Q 的坐标为(x′，y′，z′)，则上
式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C
M
B
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4, BC=3, CC1 =2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为
(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0), 1=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2⊥ ，n2⊥ 1，
所以
2 ⋅ = −3 + 2 = 0
2
= 3
解得
=
2 ⋅ 1 = −2 + 2 = 0
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
总结
求平面法向量的步骤
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、
面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
知识回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
平行、垂直问题
距离问题
夹角问题
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有
关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对
1 3
C. 1, 2 , 2
2 1
D. - 3 , 3 ,1
2 1
解析: =(2,-1,-3)=-3 - 3 , 3 ,1 ,故选 D.
《向量的概念及运算》课件
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详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的 向量积是一个向量C，记作C=A×B， 其长度和方向可以通过外积法则来确 定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直 交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向 量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的 向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配 律、结合律、交换律等。此外，向量的数量 积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为 零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和 结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向 量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示 ，如A、B、C等。同时，向量也可以 用有向线段表示，起点在原点，终点 在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关 系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时， 向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形 时，向量混合积的值为负。
人教新课标版数学高一B版必修4课件 向量的概念
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且 不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段 表示，也可以用字母符号表示. 用表示向量的有向线段的长度表示.向量A→B的大小，也就是向量A→B 的长度(或称模).记作|A→B|，有向线段A→B箭头表示向量A→B的方向.
记作|a|.两个向量 a 和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 a＝b.
3.向量的平行 (1)通过有向线段A→B的直线，叫做向量A→B的 基线 (如图).如果向量的基线互相平行或 重合，则称这些向量 共线 或 平行 .向量 a
平行于 b，记作 a∥b. (2)长度等于零的向量，叫做零向量 ，记作0.零向量的方向不确定， 在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量 平行 .
第二章 平面向量
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌 握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的 联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量 及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
当堂测·查疑缺
1234
1.下列说法中错误的是( C )
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等
解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念
向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
８．１ 向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机 从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大 小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫 做 向量 （ ｖｅｃｔｏｒ ） ． 准确地说 ， 一个向量由两个要素 定义 ， 一是它的大小 （ 一个非负实数 ）， 一是它的方向
第 8 章 平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、 速度、力等． 数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅 有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有 广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题 来处理．本章只讨论平面上的向量， 选择性必修课程第３章还将把这 一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数 课程的核心内容． 高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角 及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解 根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相 等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度； （２）体积； （３）速度； （４）能量； （５）电阻； （６）加速度； （７）功； （８）力矩．
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杭州市长河高级中学 钱建英
一、教材分析
⒈教材的地位与作用：
本节课的主要内容是平面向量数量积的定义及几 何意义、平面向量数量积的5个重要性质。平面向量 数量积是本章最重要的内容，一是这部分知识本身 就十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、 角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦 值的计算等，特别是在处理几何有关垂直的问题时， 显得更为简捷巧妙，是用数来解决形的问题的最好 实例。
⒊教学过程利用多媒体演示进行。
⒉教学目标： ⑴知识目标：
①理解两个向量夹角的定义； ②掌握平面向量数量积的定义及几何意义； ③掌握平面向量数量积的重要性质； ④了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和
垂直的问题。 ⑵能力目标：
从平面向量数量积的定义出发，通过自主学习 的发展体验，获取平面向量数量积的性质感受，培 养学生实事求是、探索研究的科学精神 。
则向量 a 在向量b 上的投影为
。
②已知△ABC中，AB a ,CA b ，当a b 0时，
ΔABC是什么三角形？
㈤ 小结：
⒈两个非零向量a和 b夹角的定义；
⒉向量的数量积的定义及几何意义； ⒊实数的运算法则对向量数量积都满足吗？
㈥ 布置作业：
⒈设
a
2sin 24
,b
4cos 24
四、板书设计
多媒体画面
一、引入 二、概念 三、性质
课题 例1 例2
练习
五、教学设计说明
⒈突出重点、突破难点是课堂的关键，重点知识的传授要注重 师生间的互动，让学生占有主动地位，从而较为深刻的获取 知识，并掌握科学的思想方法，引导学生自主的得出概括 性结论；
⒉四大部分的时间安排分别为3，24，15，3分钟；
⒉向量的数量积的定义：
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ，我们把数量
a b cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a b
即 a b a b cos
注：①与中的乘号“ ”一定要写，不能用“×”来替 代。
②零向量与任意向量的数量积为零。 ③两个向量的数量积是一个实数。
三、教学过程： ㈠ 引入：
如图为物理中物体在力F下产生位移S。
F θ
S
则可得力F 所做的功W= F S cos
㈡新课： ⒈两个非零向量的夹角的定义：
已知两个非零向量 a和 b，作 OA a ， OB b ，则∠AOB=θ
（00≤θ≤1800）叫做向量 与a 的b夹角
注意：a与 b 的起点必须在一起
⑴练习：已知 a 4 , b 3，它们的夹角为1200，求 a b
⑵思考并回答下列问题？ ⒈功有正功、负功之分，取决于什么？
F
θ S
θ F
S
⒉ F cos , S cos 分别表示什么？
3、投影的定义
b cos 叫做向量 b在 a方向上的投影
OC= b cos
4、向量的数量积的几何意义：
向量 a 的模乘以 b 向量在 a方向上的投影，等于
a 与 b 的数量积
5、向量的数量积的性质：
性质⒈定义应用 性质⒉两个非零向量垂直的等价条件是什么？ 性质⒊两个非零向量共线可得出什么？
特别两个非零向量相同时又能得到什么？ 性质⒋数量积公式逆用可得出什么？ 性质⒌向量的数量积是一个实数
㈢例题选讲：
，a与b
的夹角为 ，求 a
12
b
的值。
⒉已知 p 4 , q 3 ，p q 6 2 ，则 p与 q的夹角
θ=
。
⒊在ΔABC中，已知 AB AC ⒋已知 a 8，e为单位向量，当它们的夹角为3 时，
a在 e方向上的投影为
。
⒊重点：平面向量数量积的定义及几何意义
难点：平面向量数量积的定义及几何意义的理 解。两向量的数量积是两向量之间的一种乘法， 是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数 的乘法是有区别的，这就给理解和掌握这一概念 带来了一些困难。
二、教法分析：
本节课遵照以教师为主导，学生为主体的教 学原则，有计划的逐步展示知识产生过程，让 学生的思维层层展开，逐步深化，教师在讲解 过程中始终起着诱导点拨、纠偏示范的作用。 学生通过积极思考和讨论使学生能感受到自己 主动学习的乐趣，培养学生勇于探索、勤于动 脑的能力，发展学生的数学思维能力。
例⒈已知a 4 , b 3 ，当
①a ∥b ；②a ⊥b ；③a 与b 夹角为600时,
分别求a 与b 的数量积。
例⒉已知正△ABC边长为１，
①求AC AB 的值； ②求 CA AB 的值；
③求BC (CA AB)的值； ④求(AB AC) CA的值；
㈣ 练习；
⑴已知 a b 12，a 4 , b 3
一、教材分析
⒈教材的地位与作用：
本节课的主要内容是平面向量数量积的定义及几 何意义、平面向量数量积的5个重要性质。平面向量 数量积是本章最重要的内容，一是这部分知识本身 就十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、 角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦 值的计算等，特别是在处理几何有关垂直的问题时， 显得更为简捷巧妙，是用数来解决形的问题的最好 实例。
⒊教学过程利用多媒体演示进行。
⒉教学目标： ⑴知识目标：
①理解两个向量夹角的定义； ②掌握平面向量数量积的定义及几何意义； ③掌握平面向量数量积的重要性质； ④了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和
垂直的问题。 ⑵能力目标：
从平面向量数量积的定义出发，通过自主学习 的发展体验，获取平面向量数量积的性质感受，培 养学生实事求是、探索研究的科学精神 。
则向量 a 在向量b 上的投影为
。
②已知△ABC中，AB a ,CA b ，当a b 0时，
ΔABC是什么三角形？
㈤ 小结：
⒈两个非零向量a和 b夹角的定义；
⒉向量的数量积的定义及几何意义； ⒊实数的运算法则对向量数量积都满足吗？
㈥ 布置作业：
⒈设
a
2sin 24
,b
4cos 24
四、板书设计
多媒体画面
一、引入 二、概念 三、性质
课题 例1 例2
练习
五、教学设计说明
⒈突出重点、突破难点是课堂的关键，重点知识的传授要注重 师生间的互动，让学生占有主动地位，从而较为深刻的获取 知识，并掌握科学的思想方法，引导学生自主的得出概括 性结论；
⒉四大部分的时间安排分别为3，24，15，3分钟；
⒉向量的数量积的定义：
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ，我们把数量
a b cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a b
即 a b a b cos
注：①与中的乘号“ ”一定要写，不能用“×”来替 代。
②零向量与任意向量的数量积为零。 ③两个向量的数量积是一个实数。
三、教学过程： ㈠ 引入：
如图为物理中物体在力F下产生位移S。
F θ
S
则可得力F 所做的功W= F S cos
㈡新课： ⒈两个非零向量的夹角的定义：
已知两个非零向量 a和 b，作 OA a ， OB b ，则∠AOB=θ
（00≤θ≤1800）叫做向量 与a 的b夹角
注意：a与 b 的起点必须在一起
⑴练习：已知 a 4 , b 3，它们的夹角为1200，求 a b
⑵思考并回答下列问题？ ⒈功有正功、负功之分，取决于什么？
F
θ S
θ F
S
⒉ F cos , S cos 分别表示什么？
3、投影的定义
b cos 叫做向量 b在 a方向上的投影
OC= b cos
4、向量的数量积的几何意义：
向量 a 的模乘以 b 向量在 a方向上的投影，等于
a 与 b 的数量积
5、向量的数量积的性质：
性质⒈定义应用 性质⒉两个非零向量垂直的等价条件是什么？ 性质⒊两个非零向量共线可得出什么？
特别两个非零向量相同时又能得到什么？ 性质⒋数量积公式逆用可得出什么？ 性质⒌向量的数量积是一个实数
㈢例题选讲：
，a与b
的夹角为 ，求 a
12
b
的值。
⒉已知 p 4 , q 3 ，p q 6 2 ，则 p与 q的夹角
θ=
。
⒊在ΔABC中，已知 AB AC ⒋已知 a 8，e为单位向量，当它们的夹角为3 时，
a在 e方向上的投影为
。
⒊重点：平面向量数量积的定义及几何意义
难点：平面向量数量积的定义及几何意义的理 解。两向量的数量积是两向量之间的一种乘法， 是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数 的乘法是有区别的，这就给理解和掌握这一概念 带来了一些困难。
二、教法分析：
本节课遵照以教师为主导，学生为主体的教 学原则，有计划的逐步展示知识产生过程，让 学生的思维层层展开，逐步深化，教师在讲解 过程中始终起着诱导点拨、纠偏示范的作用。 学生通过积极思考和讨论使学生能感受到自己 主动学习的乐趣，培养学生勇于探索、勤于动 脑的能力，发展学生的数学思维能力。
例⒈已知a 4 , b 3 ，当
①a ∥b ；②a ⊥b ；③a 与b 夹角为600时,
分别求a 与b 的数量积。
例⒉已知正△ABC边长为１，
①求AC AB 的值； ②求 CA AB 的值；
③求BC (CA AB)的值； ④求(AB AC) CA的值；
㈣ 练习；
⑴已知 a b 12，a 4 , b 3