高一数学向量法
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。
一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
例如，力、速度、位移等都是向量。
二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。
2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。
三、向量的模向量的模就是向量的长度。
若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。
例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同。
对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。
八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。
高一数学向量法
思考1
引入 思考2
思考3
课外思考 P
竞赛辅导─向量法
利用向量处理几何问题,最重要的是要先在几何 图形中寻找具有向量因素的特征,如共线、平行、垂 直、线段的倍分等，然后引进向量通过向量的运算， 来达到解(证)几何题的目的.
下面就这一方法在解题中的应用做一些思考.
思考 1:设△ABC 的外心为 O,取点 M,使 OA OB OC OM , 求证:M 是△ABC 的垂心,且此三角形的外心、垂心、重心 共线.
证明:设 OA a ,OB b ,OC c , 则
A D
O M
B
C
这条直线称为欧拉线.
练习1
练习 1:如图,设 A1 A2 A3 A4 为⊙O 的内接四边形, H1 、H2 、H3 、H4
依次为 △A2 A3 A4 、△A3 A4 A1 、△A4 A1 A2 、△A1 A2 A3 的垂心,求
P
MN
DQ
C
A
O
B
练习 4.已知:空间四边形一组对边的平方和等于另一 组对边的平方和,求证:它的两条对角线互相垂直.
向量证法一气呵成,对称、和谐、统一，给人以美 的享受，由证明过程还可以发现其逆命题亦为真，并 且结论什么时候都成立。
课外思考:如图,设 P1, P2 , , Pn 是单位圆 O 上的任意 n
先猜后证
等边三角形
练习
6:(教程
P242
第
7
题)
cos
7
cos 3
7
cos 5
7
____.
练习 7:(教程 P242 第 10 题)正六边形 ABCDEF 中心为 O,则 AO BO CO DO EO FO =_____.
高一数学向量加法
例2平行四边形 ABCD中AB a，AD b 用 a, b 表示向量 AC 、DB 。
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂 直？
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab| ？
.
.
.
.
.
.
.；知识产权律师 知源自产权律师3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b
即a b可以表示为 从向量b的终点指 向向量a的终点的 向量。
注意：1 AB 表示a b。强调：差向量“箭头”
2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
ba
bca
从而，多个向量的加法运算 可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 例1如图，一艘船从A点出发以2km/ h 的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速 为2 3km/ h ，求船的实际航行的速度的大小 与方向(用与流速间的夹角表示).
高一数学向量的加减法
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接 下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进 行了减法运算，得到向量b。 像这样求两个向量的差的运 算叫做向量的减法。 那么向量的减法有什么 规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量 加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向 被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
; / 腾讯云代理 腾讯云代理商 腾讯云服务器代理
svc81svt
一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一 条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准 备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让 开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回 献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到 底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉 言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店 献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经 证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老 板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！ 说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但 很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌 吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬 场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是 他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了 小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就 已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年 幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢 地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小 的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你
高一数学知识点总结归纳3篇
高一数学知识点总结归纳【高中数学知识点总结】Part11.平面向量（1）向量的概念向量是有大小和方向的量，用带箭头的小写字母来表示。
（2）向量的表示向量可以用坐标表示，例如：（4，5），也可以用平面直角坐标系中的有向线段来表示。
（3）向量的运算向量加法：向量之间的加法满足“平行四边形法则”和“三角形法则”。
向量的数乘：一个向量与一个实数的积仍是一个向量。
如果k为正数，则向量的长度变为原来的k倍，并且方向不变；如果k为负数，则向量的长度变成原来的|k|倍，并且方向相反。
（4）向量的模长公式若向量u=（x1，y1）,则它的模长为：|u|=√(x1²+y1²) （5）向量的数量积向量u和向量v的数量积的结果是一个实数，用u·v表示。
u·v=|u|·|v|·cosθ（其中θ是u和v之间的夹角）（6）向量的叉积叉积是满足反对称性的二元运算，用u×v表示。
u×v结果是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
（7）共线向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量，否则它们是不共线向量。
2.直线方程与平面方程（1）点斜式直线的一般式方程为：ax + by + c = 0 （其中a, b, c 是实数，且a²+b²≠0）当一条直线的斜率为k，过点（x1，y1）时，该直线方程为：y-y1=k(x-x1)（2）两点式直线的两点式方程为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1) （3）截距式直线的截距式方程为：y=kx+b （其中k, b是实数，且k≠0）（4）平面方程平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0（其中A, B, C, D是实数，且A²+B²+C²≠0）平面的点法式方程为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0（其中（x0，y0，z0）是平面上的一个点，（A, B, C）是平面的法向量）3.函数（1）函数的概念函数是一种映射关系，把一个自变量的值唯一对应到一个因变量的值上。
高一数学向量知识点顺口溜
高一数学向量知识点顺口溜向量概念很重要，
方向和大小要记牢。
平行相等要牢记，
共线、共面别忽略。
零向量无方向，
平行四边形很明显。
共线向量线性相关，
线性无关要理解。
加法满足交换律，
减法通过加法得。
数乘向量变大小，
相同方向别混乱。
单位向量长度为一，
平移不改变方向。
满足平行四边形定理，基底和分解要掌握。
向量的夹角不难求，点乘和夹角相似。
夹角余弦求得快，
夹角垂直齐事宜。
向量积的定义要牢，平行四边形面积易。
点乘积为标量结果，投影长度别忘记。
叉乘积确定方向，
模长为面积结果。
平行、垂直掌握好，
左手定则要注意。
空间解析几何中，
向量表达更方便。
坐标点和向量转换，方向比大小更进步。
高一数学向量知识点，记住顺口溜最要紧。
理解掌握用心良，
数学学习更得力。
高一数学向量复习要点
向量复习要点
1、什么叫向量？
2、用图表示向量a与b的和与差
3、实数与向量a的积 a的长度和方向是
如何规定的？
4、用图表示两个非零向量a与b的夹角
5、用公式表示两个非零向量a和b 的数量积
6、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为
cos = ?
7、非零向量a、b
, a//b ?
ab
?
8平、e面1 基、e本2 是定不理共表线述向为量__，；a能是作平为面平内面任基一底向的量向，
y1) a//b
b =(x2？, y2)
则a±b = (
ab ？
)
13、P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ， 使 P1P=λ PP2 ，可通过长度比求|λ|，如图的
λ符号如何？
P1 P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P2
P1 P2 P
P P1 P2
若P1(x1 ，y1) P2(x2, y2) 则P点坐标为？即定比分 点公式为？中点坐标公式为？ 14、设P （x，y）是图象F上任一点，平移后F′ 上对应点为
P′（x′，y′）平移向量为a=
=P（Ph，k）,平移公式为？
15、写出正弦定理
16、写出余弦定理。
例1、判断下列命题是否正确
1、向量a在向量b方向上的投影是个向量
2、单位向量都相等，
3、(a b)2 a2 b2
ab b2
a b
4、向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
短短一月中，从全国奔赴疫区的医者，已逾三万。加上武汉、湖北自己的从业者，这是多么庞大的一个医者作战军团哪！并且还在集结，还在驰援。灾害面前，我们再一次看得如此真切：大爱是医 者。人间也需要大爱自己的医获曹禺戏剧文学奖，文华编剧奖，茅盾文学奖。创作有《迟开的玫瑰》《大树西迁》《西京故事》等戏剧作品数十部，出版长篇小说《西京故事》《装台》《主角》。 2007~2009年，在《美文》写作《说秦腔》专栏。
尤其是护士这个“提灯天使”职业，听医界的朋友讲，几乎家家医院都有大量缺口。“女孩子们都不愿干这个了！”而这次疫情，有那么多美丽天使，在毅然向前。镜头前，我们看到大量的巾帼， 在慷慨赴难。这是怎样一种泪崩的场面哪！泪崩在一个高度“自恋”的年代，还有这么多青年在舍己“怜他”，仁者爱人。中国最知名的大医林巧稚，一生像天使一样迎接来五万多个新生命，被誉为 “万婴之母”。她最温暖的动作，就是每次进病房前，都要把听诊器在手心捂热，然后才搭在患者的胸口和肚皮上。这个动作已成为千千万万从医者的“下意识”动作，它也应该成为患者——我们所有 人的“下意识”行为：在面对他人时，先捂热自己的手心。博狗体育官网