信道估计算法

LS 信道估计
假设OFDM 系统模型用下式表示：
P P P Y X H W =+ （1）
式中H 为信道响应；P X 为已知的导频发送信号；P Y 为接收到的导频信号；P W 为在导频子信道上叠加的AWGN 矢量。

LS 为最小二乘(Least —Square)信道估计， LS 算法就是对（1）式中的参数H 进行估计，使函数（2）最小。

ˆˆˆˆ()()()()H H P P P P P P P P
J Y Y Y Y Y X H Y X H =--=-- （2） 其中P Y 是接收端导频子载波处的接受信号组成的向量；ˆˆP P
Y X H =是经过信道估计后得到的导频输出信号；ˆH
是信道响应H 的估计值。

ˆˆ{()()}0ˆH P P P P Y X H Y X H H
∂--⇒=∂ 由此可以得到LS 算法的信道估计值为：
11,()H H P LS P P P P P P H X X X Y X Y --==
可见，LS 估计只需要知道发送信号P X ，对于待定的参数H ，观测噪声P W ，以及接收信号P Y 的其它统计特征，都不需要其它的信息，因此LS 信道估计算法的最大优点是结构简单，计算量小，仅通过在各载波上进行一次除法运算即可得到导频位置子载波的信道特征。

但是，LS 估计算法由于在估计时忽略了噪声的影响，所以信道估计值对噪声干扰以及ICI 的影响比较敏感。

在信道噪声较大时，估计的准确性大大降低，从而影响数据子信道的参数估计。

LMMSE 算法的实现流程：
首先我们得到LMMSE 算法的相关公式：
211ˆˆ*((()()))P P P P H LMMSE H H H H W
LS H R R diag X diag X H σ--=+ 其中=()P P H H H P P R E H H 为信道矢量H 的自相关矩阵， ˆLMMSE H 代表采用LMMSE 算法时信道
的阶跃响应。

从公式中可以看出LMMSE 使用子载波间的自相关矩阵以及SNR 等信息进行信道估计。

因为H -1(diag(X)diag(X))可以作为一个常量。

则H -1(diag(X)diag(X))可以替换为其期望值：2H -1E{(diag(x)diag(x))}=I W SNR βσ，其中I 代表单位矩阵。

（具体推导待定） 所以，上式又可变为1ˆˆ*()P P P P LMMSE H H H H LS
H R R I H SNR β-=+。

该公式为LMMSE 算法的常用公式。

其中，星座因子β与采用的调制方式有关：对于16QAM 调制为17／9；对于QPSK 调制为1。

SNR 是每个符号的信噪比；ˆLS
H 表示参考信号处由LS 估计的信道冲激响应值； 因为要进行求逆运算，所以运算的复杂度较高。

如果参考信号的子载波数目较多，则求逆运算会变得很复杂。

下面则将对LMMSE 算法进行改进。

在这里我们采用了矩阵分析中奇异值分解的方法进行简化。

将信道的自相关函数分解为: P P H H H R =U U Λ。

其中U 为酉矩阵。

则原公式可以化为：0ˆˆ0
0n H SVD LMMSE LS H U U H -∆⎛⎫= ⎪⎝⎭ 其中111()diag(,....,)N N I SNR SNR SNR
λλβββλλ-∆=ΛΛ+=++.这样在某种程度上就可以大大减少运算量。

改进后的LMMSE 算法关键在于求出矩阵U 和特征值λ、信噪比SNR 。

插值算法
在估计完导频子载波处的信道传输函数后，数据子载波处的信道响应可以通过在相邻的导频子载波间插值得到。

不同的插值算法具有不同的计算复杂度和性能，下面讨论一些常用的插值算法。

1． 线性插值法
线性插值就是利用前后相邻的2个导频子载波的信道响应，来线性地计算出处于它们之间的数据子载波上的信道响应。

对于第k 个子载波，采用线性插值算法，其信道的频域响应为：
1ˆˆˆˆˆ()()(){[(1)]()}p p P H k H mL l H mL H m L H mL L
=+=++-
(,0)k mL l l L =+<< 式中 (1)mL k m L <<+，L 为导频子载波之间的距离(即f N )，m 为导频的相对位置，下同。

2． 二阶插值法
二阶插值算法的性能要优于线性插值。

这种方法利用了前后相邻3个导频子载波的信息进行二阶插值，得到第k 个子载波的信道频域响应为：
101ˆˆˆˆˆ()()(1)()(1)p p P H k H mL l C H m C H m C H m -=+=-+++ 其中，1(1)
2C αα-=，0(1)(1)C αα=-+-，1(1)
2C αα-+=且1L
α=。

3． 时域插值法
时域插值算法是一种基于补零和 DFT/IDFT 运算的高精度插值算法。

先将已估计出的导
频子载波处的信道频域响应ˆ{(),0,1,...,1}p p
H k k N =-进行IDFT 变换得： 1
2/0ˆ()()(01)p p N j kn N p p p k G n H
k e n N π-==≤≤-∑
然后，按下式将信号p N 点插值到N 点
(),0/2()0,/2/2(),/21P P N P P P
P P G n n N G n N n N N G n N N N N n N ≤≤⎧⎪=≤≤-⎨⎪-+-≤≤-⎩
最后，对()N G n 进行DFT 变换得到所有子载波上的信道的频域响应：
12/0ˆ()()(01)P N j kn N N
n H k G n e k N π--==≤≤-∑
算法运算的复杂度用每个子载波上的信道频域响应所需要执行的乘法次数M N 和加法次数
A N 衡量，各插值算法的计算复杂度见表1所列。

表1 插值算法的计算复杂度
Table 1 Numeration complication of interpolation algorithms
各种插值算法的估计精度从高到低依次为：时域变换插值算法、二阶插值算法、线性插值算法。

在高信噪比环境下，时域变换算法不会像另2种算法那样产生平台效应，不会由于插值算法的平台效应限制系统性能的提升。