专题65 算法初步-高考数学复习资料(解析版)
高考数学一轮复习 第十章 算法初步 课时达标65 用样本估计总体
第65讲 用样本估计总体[解密考纲]用样本估计总体在高考中，三种题型均有可能考查，作为解答题时，题目较简单，属于不能失分的题目．一、选择题1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( B )A ．45B ．50C ．55D ．60解析 根据频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50(人)，故选B ．2．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其平均数和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为( D )A ．x ，s 2＋1002B ．x ＋100，s 2＋1002C ．x ，s2 D ．x ＋100，s 2解析 对平均数和方差的意义深入理解可巧解，因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D ．3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的中位数为( C )A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75解析产品的中位数出现在概率是0.5的地方，自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C．4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( D)A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析平均数a＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，中位数b ＝15，众数c＝17，∴c>b>a.5．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A)A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A项错误．6．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( B)A ．6B ．10C ．91D ．92解析 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10，故选B ．二、填空题7．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__10__.解析 设5个班级的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＋x 4－2＋x 5－25＝4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大但与7的差值不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.8．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为__6.8__.⎪⎪⎪018 90 3 5解析 ∵x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝6.8.9．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均属于区间[80,130]，其频率分布直方图如图所示，则在60株树木中底部周长小于100 cm 的株数为__24__.解析 由题意，在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.三、解答题10．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望.解析 (1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75.(2)记“至少有2人是‘好视力’”为事件A ，则事件A 包含的基本事件个数为C 24·C 112＋C 34，总的基本事件个数为C 316，故P (A )＝C 24·C 112＋C 34C 316＝19140. (3)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164， 则X 的分布列为故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.11．随着现代高等级公路的迅速发展，公路绿化苗木消费量剧增．某林场在某城市的零售店分析往年“美人梅”的零售情况，作出相关的统计与分析，按照日零售量[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250]分成4组，并制作了日零售量的频率分布直方图，如图所示(假设每天的零售量相互独立，且日零售量落入各组的频率视为概率)．(1)求图中a 的值；(2)求从明日开始的连续4天中，有2天的日零售量少于150株而另外2天的日零售量不少于200株的概率；(3)用X 表示从明日开始的连续4天里日零售量不少于150株的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解析 (1)第一个小矩形的面积为1－(0.005＋0.006＋0.007)×50＝0.1，则a ＝0.150＝0.002.(2)设日零售量为x ，有2天日零售量少于150株，另外2天日零售量不少于200株为事件A .则P (x <150)＝0.002×50＋0.006×50＝0.4，P (x ≥200)＝0.005×50＝0.25，∴P (A )＝C 24×0.42×0.252＝0.06.(3)由(2)知，日零售量不少于150株的概率P ＝1－0.4＝0.6，则X ～B (4,0.6)， 于是P (X ＝k )＝C k4·0.6k·0.44－k(k ＝0,1,2,3,4)，则关于随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝2.4.12．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100].(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率． 解析 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为P ＝110.。
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之65积化和差与和差化积
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之65积化和差与和差化积一、选择题（共13小题；共65分）1. 定义一种运算，运算原理如框图所示，则式子的值为A. B. C. D.2. 化为和差的结果是A. B.C. D.3. 在中，已知，则的值为A. B. C. D. 无法确定4. 等于A. B. C. D.5. 若，则等于A. B. C. D.6. 已知，且，则A. B. C. D.7. 中，，，，则A. B. C. D.8. 若关于的方程有一个根为，则中一定有A. B. C. D.9. 的值是A. B. C. D.10. 等式成立的充要条件是A. ，中至少有一个为B. ，C. ，，中至少有一个为D.11. 在中，若，则的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定12. 设为半径等于的圆内接三角形的面积，则的最小值是A. B. C. D.13. 设为椭圆上的动点，，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积A. 是定值B. 非定值，但存在最大值C. 非定值，但存在最小值D. 非定值，且不存在最值二、填空题（共27小题；共135分）14. 的值为．15. 在中，为、的等比中项，为、的等差中项，则．16. 的值等于．17. 的值是．18. 化简：．19. 已知，是函数在内的两个零点，则．20. 的最小值为．21. 已知，且，则．22. ．23. 化简：．24. ．25. 若，，则．26. 已知，，且是第二象限的角，那么的值等于．27. 的值为．28. 已知，则的值为．29. 若，且，则的值为．30. 已知，，则．31. 在中，三个内角，，的对边分别为，，，且角为，，则角的度数为．32. 中，，，分别是角，，的对边，设，，则的值为．33. 的三个内角，，的对边分别是，，，如果，那么．34. 化简下列式子：．35. 在中，，则该三角形的形状为．36. 给出下列三个命题：①若，则一定是钝角三角形；②若，则一定是直角三角形；③若，则一定是等边三角形．以上正确命题的代号为．37. ．38. 在中，，，，则此三角形的最大边的长为．39. 已知，则．40. 在中，下列四个不等式中与“ ”等价的序号是．①；②；③；④三、解答题（共31小题；共403分）41. 已知，（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的零点．42. 设是锐角，求的最大值及此时的值．43. 求的值．44. 化简：．45. 已知，，求的值．46. 已知，求的值．47. 阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：由得令，有，，代入得．（1）利用上述结论，试求的值；（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：．48. 计算的值．49. 已知、，且角和满足条件（1）用表示；（2）求的最大值．50. 求证：．51. 已知．（1）将表示成的多项式；（2）求的最小值．52. 观察以下各等式，分析各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式并证明．，，．53. 化简：．54. 已知，．求证：（1）当时，；（2）．55. 把化成积的形式．56. 已知，求的值．57. 已知，求的值．58. 已知，求的值．59. 已知，．（1）若，求的值；（2）若，，且，求的值．60. 已知，，求的值．61. 化简．62. 将一块圆心角为，半径为的扇形铁片截成一块矩形，如图所示有种裁法：让矩形的一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边与弦平行．请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．63. 在中，已知，，求的取值范围．64. 在中，，求证：．65. 在中，求证：．66. 在中，已知角，，的对边分别为，，，且，试判断的形状．67. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的面积．68. 在中，，且．求证：．69. 已知的外接圆半径为，且满足，求面积的最大值．70. 中，，，分别是角，，的对边，设，．求的值．71. 在中，猜想的最大值，并证明之．答案第一部分1. B 【解析】提示：因为，所以，同理可得，所以原式等于．2. B3. B 【解析】提示：，两边同除以可得．其他方法：．原式4. A 【解析】5. B【解析】可解得结果．6. C 【解析】由得，因为，所以，所以，所以．7. C 【解析】因为，所以，且．由正弦定理得，则．8. A 【解析】方程有一个根为，则，，即，也即，而，所以，所以．9. A 【解析】，.两式相加得：.10. C【解析】（必要性）：由和差化积公式得，，由二倍角公式得，．原式等价于．所以或．所以或或．即或或．（充分性）：当时，，上式成立；当时，同理可证，上式仍成立；当时，即．则上式成立．11. C【解析】因为，，所以原式可化简为即，即，根据余弦函数单调性可得，所以或，所以是是钝角三角形．12. C 【解析】我们需要先找到的取值范围．设圆内接三角形为，所对的三边分别为．由于圆的半径为，结合正弦定理可得，，，所以易知的最小值趋于，现在我们来寻找的最大值．我们可推得，当内接三角形一边固定时，另外两边相等时面积最大．不妨设，即，则，令，则，．求导可分析得时取最大值，此时．所以．当时，单调递减，所以当时，取最小值．13. A 【解析】设，，，则有，，则则，即，为定值．第二部分14.【解析】原式．15.【解析】提示：利用积化和差，和差化积公式即可．16.【解析】原式17.18.19.【解析】，是函数在内的两个零点，可得，即为，即有，由，可得，可得，由，可得，由，即有．20.【解析】因为所以，所以当，即，，时，．21.22.【解析】23.原式【解析】24.【解析】原式25.【解析】，故．26.【解析】因为，是第二象限的角，所以，，所以．27.28.【解析】，然后用二倍角余弦公式可得到结果．29.【解析】本题主要考查和差化积公式与半角公式．由及，可求出的值，然后由半角公式可求出的值．由上述分析可得如下解答：因为，所以，因为，所以．所以．30.【解析】，，，，或，．，，，不成立．又，而，，．31.【解析】由正弦定理得，所以，所以，即，即．而，所以．因为，所以．又，所以，所以，所以，，所以，所以，所以．32.【解析】，由正弦定理，，得．由和差化积公式得．因为，所以．又，所以．又因为，所以．所以，所以．所以．33.【解析】由正弦定理，得，，，代入中，得因为，，为三角形的三内角，所以，所以．所以只能有，即．34.原式【解析】35. 等腰三角形【解析】方法一：由，由余弦定理得，解得．方法二：由，得．，，．即．．36. ②③【解析】①，，为锐角，，则，．，均为锐角．不是钝角三角形，①错．②由正弦定理，得．一定为直角三角形，②对．③由可得，．③对．37.原式【解析】38.【解析】根据题意，此三角形最大的边是边，由正弦定理，得，解得．39.【解析】本题主要考查积化和差公式与倍角公式．解法1：因为，所以．所以．所以．解法2：因为，所以，所以，所以．即．所以．40. ①②④【解析】对于①：，①正确．对于②：由于在上，为单调减函数．所以．②正确．对于③：，，，但是大于还是小于，无法确定，所以的符号无法确定．③错误．对于④：，易知，，．④正确．第三部分41. （1），故．（2）令，，又．．，故，函数的零点是．42.．当，即时，取得最大值，且．原式43.．原式44.45. 因为，所以因为，所以由题可知，由得．即，所以原式46.47. （1）因为，所以所以．（2）因为得令，有，，代入得：，所以．原式48.49. （1）．（2）解一：令则，即由且，可知的最大值为解二：令则，，．知的最大值为50.左边右边所以等式成立．51. （1）（2）∵，且，∴当时，取得最小值．52. 猜想：．证明：53. 解法一：原式．解法二：原式54. （1）由，得即由，得即由，，得因此，成立．（2）由，得即因此，成立．55.．56.57. 解一：因为，所以，．所以．解二：因为，所以，，，确定在第一象限．由所以，．．58. ，由和差化积公式得，所以，从而．59. （1），，又，．（2），，，，，，，．60. 由已知：．．两式相除，得．61. 法一：原式法二：原式62. 如图甲，要使面积最大，则为其一顶点，且在弧上，设，则矩形的面积是当时，有最大值，且如图乙，设，在中，由正弦定理，得由图形的对称性，可知的平分线为对称轴，因此则矩形的面积为于是，当时，的最大值为．因为所以，用第种方法可截得面积最大的矩形，此时，最大面积为63. 因为，，由正弦定理，得，所以，，于是①当，即时，取得最大值．②因为，所以，所以，所以，所以，所以综合①②可得，的取值范围为．64. 因为，所以，所以，所以．又，所以．所以．65. 因为左边右边所以原命题成立．66. 由正弦定理得：即而即或，即是直角三角形．67. （1）因为，，所以．又由正弦定理，得，，，化简得．（2）因为，所以．所以．（3）因为，所以．所以．因为，，所以．所以的面积．68. 由及正弦定理，得由，得即得由正弦定理，得由，得化简，得．将代入，得，即得．69. 由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，所以．所以．所以当时，面积有最大值．70. 由，及正弦定理，得和差化积，得由，得由，得由二倍角公式，得结合，解得从而所以71. 猜想：的最大值为．当且仅当时等号成立，即所以当且仅当时，的最大值为，所以．。
高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(65)算法初步
课时作业(六十五) [第65讲 算法初步][时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．[2011·安庆模拟] 如图K65－1给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是( ) A ．求三个数中最大的数 B ．求三个数中最小的数 C ．按从小到大排列 D ．按从大到小排列 2．[2010·广州模拟] 下列赋值能使y 的值为4的是( ) A ．y －2＝6 B ．2].4＝y DK65－1K65－23．[2011·粤西联考] 图65－2所示流程图运行后输出的结果为(运行时从键盘依次输入3,2)( )A ．3B ．2C ．9D ．84．下面程序运行的结果是( )A ＝5B ＝8X ＝AA ＝BB ＝X ＋A 输出 A ，BA ．5,8B ．8,5C ．8,13D ．5,13图K65－3能力提升5．图K65－3中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于()A．11C．8D．7图K65－46．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋n，利用如图K65－4所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是()A．n>10B．n≤10C．n<9D．n≤97．根据下列程序，可知输出结果S为()i＝1Doi＝i＋2S＝2]A．17 B．19C．21 D．238．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图K65－5所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A．4,6,1,7 B．7,6,1,4C．6,4,1,7 D．1,6,4,7K65－5K65－69．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图K65－7所示，已知130～140分数段的人数为90,90～100分数段的人数为a，则图K65－6)所示程序框图的运算结果为(注：n！＝1×2×3×…×n，如5！＝1×2×3×4×5)(10．为了使输出结果为2010，则输入的x应该是()输入xIf x<0 Theny＝2]A．－1004 B．1006C．－1004或1006 D．－1004或100511．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．下面给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入下面的哪一个数()A．13 B．13.5C ．14D ．14.512．阅读下边的程序框图(图K65S 的值为52，则判断框内可填写________．－8K65－913．按如图K65－9所示的程序框图运算，若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是________．14．(10分)如图K65－10所示的程序框图中，令a ＝x ，b ＝－x ，c ＝12x ＋1，若给定一个x的值，输出的结果仅仅适合12x ＋1，求这样的x 的取值范围．15．(13分)[2011·皖北联考] 根据如图K65－11所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为x1，x2，…，x n，…，x2008；y1，y2，…，y n，…，y2008.(1)求数列{x n}的通项公式x n；(2)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{y n}的一个通项公式y n，并证明你的结论；(3)求z n＝x1y1＋x2y2＋…＋x n y n(n∈N*，n≤2008)．难点突破16．(12分)当x＝2时，求下边程序段输出的结果．i＝1s＝0Dos＝s*x＋1i＝i＋1Loop While i<＝4输出s课时作业(六十五)【基础热身】1．B [解析] 两个选择框都是挑选较小的值．2．D [解析] 赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量，故选D . 3．D [解析] 先输入x ＝3>－1，∴再输入a ＝2，y ＝23＝8， ∴输出y 的值为8.4．C [解析] 此程序先将A 的值赋给X ，再将B 的值赋给A ，再将X ＋A 的值赋给B ，即将原来的A 与B 的和赋给B ，最后A 的值是原来B 的值8，而B 的值是两数之和13.【能力提升】5．C 【解析】 由题目中所给的数据p ＝8.5，x 1＝6，x 2＝9，则若满足条件|x 3－x 1|s ＜|x 3－x 2|时，不成立，故应不满足条件|x 3－x 1|＜|x 3－x 2|，此时满足x 2＋x 32＝8.5，则x 3＝8，并且代入也符合题意，故选C .6．D [解析] 第一次计算的是a 2，此时n ＝2，…，第九次计算的是a 10，此时n ＝`10要结束循环，故判断框中填写n ≤9？.7．C [解析] i ＝9时，跳出循环，所以S ＝2×9＋3＝21.8．C [解析] 4d ＝28⇒d ＝7,2c ＋3d ＝23⇒c ＝1,2b ＋c ＝9⇒b ＝4，a ＋2b ＝14⇒a ＝6.9．B [解析] 130～140分数段频率为0.05，设样本容量为m ，则90m＝0.05，即m ＝1800，故a ＝1800×0.45＝810，程序的功能是计算1×2×3×…×n ＝n ！，当n ＝810时，还要继续执行，执行后n ＝811，此时结束循环，故输出结果是810！.正确选项B .10．C [解析] 本题算法是输入一个x 的值，求y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )(x<0)，2(x －1)(x ≥0)的值，当x<0时，2(1－x)＝2010，解得x ＝－1004；当x ≥0时，同样可解得x ＝1006.11．A [解析] 当i<13成立时，只能运算1×3×5×7×9×11，故选A .12．i>10 [解析] i ＝3，S ＝3；i ＝4，S ＝7；i ＝5，S ＝12；i ＝6，S ＝18；i ＝7，S ＝25；i ＝8，S ＝33；i ＝9，S ＝42，i ＝10，S ＝52.故填i>10.13．(28,57] [解析] 第一次运行x ＝2x ＋1，k ＝1，第二次运行x ＝2(2x ＋1)＋1，k ＝2，此时要输出，x 的值要同时满足2x ＋1≤115，且2(2x ＋1)＋1>115，解得28<x ≤57.14．[解答] 这是一个输出最大数的程序框图，考虑函数f(x)＝max {a ，b ，c}＝⎩⎨⎧－x ⎝⎛⎭⎫x ≤－23，12x ＋1⎝⎛⎭⎫－23<x<2，x (x ≥2)，又输出结果仅仅适合12x ＋1，故x ∈⎝⎛⎭⎫－23，2. 15．[解答] (1)由框图知数列{x n }中，x 1＝1，x n ＋1＝x n ＋2， ∴x n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *，n ≤2008)． (2)y 1＝2，y 2＝8，y 3＝26，y 4＝80.由此，猜想y n ＝3n －1(n ∈N *，n ≤2008)．证明：由框图，知数列{y n }中，y n ＋1＝3y n ＋2，y 1＝2， ∴y n ＋1＋1＝3(y n ＋1)， ∴y n ＋1＋1y n ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．∴y n ＋1＝3·3n －1＝3n ，∴y n ＝3n －1(n ∈N *，n ≤2008)． (3)z n ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2n －1)(3n －1) ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n －[1＋3＋…＋(2n －1)]， 记S n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，①则3S n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②，得－2S n ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3n －(2n －1)·3n ＋1＝2(3＋32＋…＋3n )－3－(2n －1)·3n ＋1＝2×3(1－3n )1－3－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6－(2n －1)·3n ＋1.∴S n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.又1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，∴z n ＝(n －1)·3n ＋1＋3－n 2(n ∈N *，n ≤2008)． 【难点突破】16． [解答] 当i ＝4时，s ＝7×2＋1＝15.。
课时作业65 高考数学试题解析 高考数学复习
课时作业(六十五)1．已知F 1、F 2是双曲线x 22－y 2＝1的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )A ．8B ．2 2C ．4 2D ．随α的大小而变化答案 C解析 由双曲线定义知： |PF 1|＋|QF 1|－|PQ |＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|) ＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|) ＝4a ＝4 2.2．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线且经过点A (－3，32)的双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离是( )A. 2B.34 2 C ．1 D ．4答案 B解析 设此双曲线方程为x 29m －y 216m ＝1， 代入点A (－3,32)得m ＝－18.∴方程为y 22－x 298＝1.∵焦点到渐近线的距离为b ，∴d ＝b ＝98＝324.3．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是( ) A ．[42－4,4] B ．[42－4,2] C ．(42－4,2) D ．[42－4,2)答案 D解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 其中a 2＋b 2＝c 2.∵2a ＋2b ＋2c ＝8，∴a ＋b ＋c ＝4. ∵(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，∴(4－c )2≤2c 2⇒c 2＋8c －16≥0⇒c ≥42－4或c ≤－42－4(负根舍去)． 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a ＋b >c .而a ＋b ＋c ＝4，∴c <2，即42－4≤c <2.4．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率( )A.32B ．2C.52 D ．3答案 B解析 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 由△PF 1F 2为正三角形得2c ＝c 2＋4b 2.∴3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)． ∴c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2.5．△ABC 的顶点为A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4)答案 C解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D (3,0)．由于AC 、BC 都为圆的切线．故有|CA |－|CB |＝|AD |－|BD |＝8－2＝6.再由双曲线第一定义知所求轨迹为x 29－y 216＝1(x >3)． 故选C.6．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以线段F 1F 2为一边的等边三角形PF 1F 2与双曲线的两交点M 、N 恰为等边三角形PF 1F 2两边的中点，则该双曲线的离心率e ＝( )A.3＋1B.3＋2C. 3D.2＋1答案 A解析 设点M 、N 分别是△PF 1F 2的边PF 1、PF 2的中点，连接MF 2.因为|F 1F 2|＝2c ，△PF 1F 2为等边三角形，所以|MF 1|＝c ，所以|MF 2|＝2a ＋c .又易知|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，所以c 2＋(2a ＋c )2＝4c 2，化简得e 2－2e －2＝0，得e ＝1±3，因为e >1，故取e ＝3＋1.故选A.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点F 是其左焦点，点E 是其右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若AE →·BE →＝0，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A 解析根据题意画出如图所示的简图．由AE →·BE →＝0，可知∠AEB 为直角．由双曲线的几何性质可知∠AEF ＝45°.又AF ＝b 2a ，EF ＝a ＋c ，三角形AEF 为等腰直角三角形，所以b 2a ＝a ＋c ，整理得c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．8.8. (2012·浙江)如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62 C. 2 D. 3答案 B解析 不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±ba x . 因此有交点P (－a a ＋1，ba ＋1)，Q (a 1－a ，b1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b1－a2)． 因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)．因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2.所以a 2＝23，所以e ＝62.9．已知圆C 过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．答案 163解析 由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，±473，易求它到中心的距离为163.10．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为_______；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为_______．答案 x ±y ＝0 ±3解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，消去x 得(m 2－1)y 2＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P 、Q 两点的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵P A →＝2AQ →，∴y P ＝－2y Q .又⎩⎨⎧y P ＋y Q ＝2m1－m2，y P y Q＝1m 2－1，解得m ＝±13，直线l 的斜率为1m ，即为3或－3.11．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为833的双曲线的方程．解析 渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24m －y 2m ＝1，则⎩⎨⎧x 24m －y 2m ＝1，x －y －3＝0.可得3x 2－24x ＋36＋4m ＝0， ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m3. 由弦长公式|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，得|AB |＝2·48－16m3. 又∵|AB |＝833，∴m ＝1. ∴双曲线方程为x 24－y 2＝1.12．(2011·江西)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解析 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， 有x 20a 2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.因为C 为双曲线上一点，所以x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.13．(2013·上海徐汇高三模拟)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且∠MF 1F 2＝30°，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2；(1)求双曲线C 的方程；(2)过圆O 上任意一点Q (x 0，y 0)作切线l 交双曲线C 于A ，B 两个不同点，AB 中点为N ，求证：|AB |＝2|ON |；(3)过双曲线C 上一点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别是P 1和P 2，求PP 1→·PP 2→的值．解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b 2＝1，即y 0＝b 2. 所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2. 由双曲线的定义可知|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)证明①当切线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线l的方程为y＝kx＋n(k≠±2)，代入双曲线C中，化简得(2－k2)x2－2knx－(n2＋2)＝0.所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·8n2－8k2＋16(2－k2)2.因为直线l与圆O相切，所以|n|1＋k2＝2，代入上式，得|AB|＝221＋k2|2－k2|·k2＋4.设点N的坐标为(x N，y N)，则x N＝x1＋x22＝kn2－k2，y n＝kx N＋n＝2n2－k2.所以ON＝(kn2－k2)2＋(2n2－k2)2＝2·1＋k2|2－k2|·k2＋4，即|AB|＝2|ON|成立．②当切线l的斜率不存在时，A(2，－2)，B(2，2)或A(－2，－2)，B(－2，2)，此时|AB|＝22，|ON|＝2，即|AB|＝2|ON|成立．(3)由条件可知：两条渐近线分别为l1：2x－y＝0；l2：2x＋y＝0.设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1→|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2→|＝|2x 0＋y 0|3. 所以|PP 1→|·|PP 2→|＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3＝|2x 20－y 20|3. 因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2. 故|PP 1→|·|PP 2→|＝|2x 20－y 20|3＝23.设PF 1→和PF 2→的夹角为θ，则cos θ＝|2·2＋1·(－1)|3·3＝13. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos θ＝23·13＝29.1．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2(1－x )2－a 2＝0，(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a 21－a 2. ∵与双曲线交于两点A 、B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. ∴e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)．(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2a 21－a2，x 1x 2＝－2a 21－a 2.∵P A →＝512PB →，∴x 1＝512x 2. 则1712x 2＝－2a 21－a 2，① 512x 22＝－2a 21－a 2.②①2②得，a 2＝289169. 结合a >0，则a ＝1713.2．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0， 解得k 的取值范围为－2<k <－ 2. (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由F A⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③把②式及c＝62代入③式化简得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．。
2019版高考数学复习算法初步复数推理与证明高考达标检测五十五推理3方法__类比归纳演绎理
高考达标检测（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④解析：选A 根据题意，依次分析4个推理：对于①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于③，不是合情推理，对于④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是①②④.2．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形．由①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确解析：选C 由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………A．731 B．809C．852 D．891解析：选B 由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.4．某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是( ) A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋解析：选A 小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2 018出现在( )A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)＝( )A．3n2－3n＋1 B．3n2－3n＋2C．3n2－3n D．3n2－3n－1解析：选A 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝3×12－3×1＋1＝1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2 015 2 016 2 017 2 0183 5 7 9 …………4 031 4 033 4 0358 12 16 ……………… 8 0648 06820 28 …………………… 16 132………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A．2 019×22 015B．2 019×22 016C．2 018×22 017D．2 018×22 016解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2 018个数时，最后一行仅一个数，为2 019×22 016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23 B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析：选A 如图，作OD ⊥ BC 于点D ，连接AD ， 由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23. 二、填空题9．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， 又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.答案：33210．(2018·湛江一模)如图，已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体A BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则有____________．解析：猜想：若O 为四面体A BCD 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO ，并延长分别交平面BCD ，ACD ，ABD ，ABC 于点A 1，B 1，C 1，D 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用等体积法证明如下：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O BCD V A BCD ＋V O CAD V B CAD ＋V O ABD V C ABD ＋V O ABCV D ABC＝1. 答案：OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 11．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (ⅰ)男学生人数多于女学生人数； (ⅱ)女学生人数多于教师人数； (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________．解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ， 则z ＜y ＜x ＜2z .①若教师人数为4，则4＜y ＜x ＜8， 当x ＝7时，y 取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z ＜y ＜x ＜2，不满足条件； 当z ＝2时，2＝z ＜y ＜x ＜4，不满足条件；当z ＝3时，3＝z ＜y ＜x ＜6，y ＝4，x ＝5，满足条件． 所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12. 答案：6 12 12．已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________； (2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos2π7cos 3π7，…， 前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)．(2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n－12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.答案：(1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)(2)10 三、解答题13．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (6)的值；(2)求f (n )的表达式； (3)求证：当n ≥2时，1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1f n －1＜32. 解：(1)f (1)＝1，f (2)＝1＋4＝5， f (3)＝1＋4＋8＝13， f (4)＝1＋4＋8＋12＝25， f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41， f (6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)，f (n －1)－f (n －2)＝4×(n －2)， f (n －2)－f (n －3)＝4×(n －3)，……f (2)－f (1)＝4×1，∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ， ∴f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)证明：当n ≥2时，1fn －1＝12n 2－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴1f ＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n.由于g (n )＝32－12n 为递增数列，即有g (n )≥g (1)＝1，且g (n )＜32，故1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1＜32.1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”； (2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级； (4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级； (5)乙同学不在高三年级． 则甲同学所在的社团是( ) A ．楹联社 B ．书法社C ．汉服社D ．条件不足无法判断解析：选C 假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾， 结合(5)知，乙在高二年级．根据(3)，可得乙加入“书法社”． 根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”， 可得甲同学所在的社团是汉服社.2．已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C ∵13＋23＝32＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2， ……∴13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝n 2n ＋24.∵13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025， ∴n 2n ＋24＝3 025，∴n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，∴n (n ＋1)＝110，解得n ＝10.。
近年高考数学一轮复习第十章算法初步第65讲用样本估计总体学案(2021年整理)
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第65讲用样本估计总体考纲要求考情分析命题趋势1。
了解分布的意义和作用,会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用并会计算．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本数字特征估计总体的数字特征，理解用样本估计总体的思想.2016·山东卷,32016·四川卷，162015·全国卷Ⅱ，182015·重庆卷，32015·安徽卷，6根据样本数据求基本的数字特征，利用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.分值:5~12分1．频率分布直方图和茎叶图（1)作频率分布直方图的步骤①求极差（即一组数据中__最大值__与__最小值__的差）;②决定__组距__与__组数__；③将数据__分组__；④列__频率分布表__；⑤画__频率分布直方图__．（2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的__中点__，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时__所分的组数__增加，__组距__减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．（3)茎叶图的优点茎叶图的优点是可以__保留__原始数据，而且可以__随时__记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．2．样本的数字特征(1）众数、中位数、平均数均数错误!＝__错误!__样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝__错误!__.②方差:标准差的平方s2＝__错误![(x－错误!)2＋（x2－错误!)2＋…＋(x n－错误!）2]__，1其中x i（i＝1，2，3，…，n）是__样本数据__,n是__样本容量__，错误!是__样本平均数__．(3）平均数、方差公式的推广若数据x1，x2,…,x n的平均数为错误!,方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…,mx n＋a的平均数为m x＋a，方差为m2s2.1．思维辨析（在括号内打“√”或打“×")．（1）在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．（×）(2)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(×）(3)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．（√)（4)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(×）（5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．( √）解析（1）在频率分布直方图中，小矩形的高为频率/组距．(2）茎叶图中，相同的数据要重复记，故错误．(3）由众数概念知结论正确．（4)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形面积和相等，故错误．(5）由方差定义和结论知正确．2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是（A)A．91。
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题65数学归纳法(押题专练)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．用数学归纳法证明“3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N )”时，第一步证明中的初始值为( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 解析：由题意知n 0＝3. 答案：C2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1－1＋2k ＋1C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝2k－1＋2k答案：D3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74.则可归纳出1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＋1n ＋2小于( )A.2n ＋1n ＋1 B ．2nn ＋1C ．2n ＋1n ＋2D ．2n ＋1n ＋3解析：观察32，53，74与项数的关系可得结论为2n ＋1n ＋1.答案：A4．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．根据(1)和(2)可知对任何n ∈N *，n 2＋n ＜n ＋1都成立．则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：在证明n ＝k ＋1时，没有用到归纳假设，所以选D. 答案：D5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B ．12n n＋ C.1n －n ＋D ．1n ＋n＋答案：C6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )． A ．7B ．8C ．9D ．10解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案 B7．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是 ( )．A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立解析 A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 答案 D8．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )． A.12k ＋2B ．－12k ＋2C.12k ＋1－12k ＋2D.12k ＋1＋12k ＋2答案 C9．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )．A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，故推理错误． 答案 D10．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )．A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.k ＋4＋k ＋22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D11．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为 ( )．A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c答案 A12．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是 ( )． A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立【解析】A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 【答案】D13．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k的基础上加上( )．A.12k ＋2B ．－12k ＋2C.12k ＋1－12k ＋2D.12k ＋1＋12k ＋2【解析】∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.【答案】C14．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )．A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确【解析】在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，故推理错误． 【答案】D15．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k)【答案】D16．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )．A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c【解析】∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝a －b ＋c ，1＋2×3＝32a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝33a －b ＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.【答案】A17．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．【解析】不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.【答案】1k ＋k ＋18.用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .【答案】k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)19．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．【解析】本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对． 设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴n －n2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 【答案】(5,7)20．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．【答案】a n ＝1n －n ＋21．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n 2(n ≥2，n ∈N *)．【解析】证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立；(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2，则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k2k ＋2k ＝1＋k2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n ≥2，n ∈N *.不等式S 2n >1＋n2都成立．22．已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n . (1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)． 【解析】(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.23．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2，n ＝1,2,3，… (1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n成立的最小正整数n ，并给出证明． 【解析】(1)a 2＝5，a 3＝7，a 4＝9，猜想a n ＝2n ＋1. (2)S n ＝n＋2n ＋2＝n 2＋2n ，使得S n <2n成立的最小正整数n ＝6.下证：n ≥6(n ∈N *)时都有2n>n 2＋2n . ①n ＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n ＝k (k ≥6，k ∈N *)时，2k >k 2＋2k 成立，那么2k ＋1＝2·2k >2(k 2＋2k )＝k 2＋2k ＋k 2＋2k >k 2＋2k ＋3＋2k ＝(k＋1)2＋2(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n ≥6(n ∈N *) 都有2n >n 2＋2n 成立．24．数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)．(1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列． 【解析】(1)证明 先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列； 再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1可得c <0.根据指数函数y ＝(1－c )n的性质，得 2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.②若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立． 下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(i)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(ii)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即x n <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 25．(12分)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2，n ＝1,2,3，… (1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n成立的最小正整数n ，并给出证明．26．数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．(1)证明 先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列； 再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1可得c <0. (2)解 ①假设{x n }是递增数列． 由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1.由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，① 注意到 c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c .由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③ 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1， x n <1－c 和 c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n的性质，得 2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.②若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立． 下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(i)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(ii)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即x n <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.27．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n 2(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立；28．已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n . (1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)．(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.(2)证明 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .①当n ＝1时，T 12＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋a 9－a 11＝－4，故等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即T 12k ＝－4k ，那么当n ＝k ＋1时，T 12(k ＋1)＝T 12k ＋a 12k ＋1－a 12k ＋3＋a 12k ＋5－a 12k ＋7＋a 12k ＋9－a 12k ＋11＝－4k ＋(8k ＋1)－(8k ＋r )＋(8k ＋4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－(8k ＋8)＝－4k －4＝－4(k ＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .29．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋λa 2n ＋μ－1a n(n ∈N *)．(1)若λ＝μ＝1，证明数列{lg(a n ＋1) }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若λ＝0，是否存在实数μ，使得a n ≥2对一切n ∈N *恒成立？若存在，求出μ的取值范围，若不存在，说明理由．(2)方法一：由a 2＝2a 1＋μ－1a 1＝4＋μ－12≥2，得μ≥－3，猜想μ≥－3时，对一切n ∈N *，a n ≥2恒成立． ①当n ＝1时，a 1＝2，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，a k ≥2，则由a n ＋1＝2a 2n ＋μ－1a n得a k ＋1－2＝2a 2k －2a k ＋μ－1a k＝2⎝⎛⎭⎪⎫a k －122＋μ－32a k≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋μ－32a k＝μ＋3a k≥0，∴n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2，猜想成立．由①②知，当μ≥－3时，对一切n ∈N *，恒有a n ≥2.。
2019-2020年高考数学一轮复习第十章算法初步课时达标65用样本估计总体
2019-2020年高考数学一轮复习第十章算法初步课时达标65用样本估计总体[解密考纲]用样本估计总体在高考中，三种题型均有可能考查，作为解答题时，题目较简单，属于不能失分的题目．一、选择题1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( B )A ．45B ．50C ．55D ．60解析 根据频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50(人)，故选B ．2．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其平均数和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为( D )A ．x ，s 2＋1002B ．x ＋100，s 2＋1002C ．x ，s2 D ．x ＋100，s 2解析 对平均数和方差的意义深入理解可巧解，因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D ．3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的中位数为( C )A ．20B ．25C．22.5 D．22.75解析产品的中位数出现在概率是0.5的地方，自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C．4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( D)A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析平均数a＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，中位数b ＝15，众数c＝17，∴c>b>a.5．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A)A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A项错误．6．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( B)A ．6B ．10C ．91D ．92解析 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10，故选B ．二、填空题7．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__10__.解析 设5个班级的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＋x 4－2＋x 5－25＝4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大但与7的差值不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.8．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为__6.8__.⎪⎪⎪018 90 3 5解析 ∵x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝6.8.9．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均属于区间[80,130]，其频率分布直方图如图所示，则在60株树木中底部周长小于100 cm 的株数为__24__.解析 由题意，在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.三、解答题10．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望.解析 (1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75.(2)记“至少有2人是‘好视力’”为事件A ，则事件A 包含的基本事件个数为C 24·C 112＋C 34，总的基本事件个数为C 316，故P (A )＝C 24·C 112＋C 34C 316＝19140. (3)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164， 则X 的分布列为故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.11．随着现代高等级公路的迅速发展，公路绿化苗木消费量剧增．某林场在某城市的零售店分析往年“美人梅”的零售情况，作出相关的统计与分析，按照日零售量[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250]分成4组，并制作了日零售量的频率分布直方图，如图所示(假设每天的零售量相互独立，且日零售量落入各组的频率视为概率)．(1)求图中a 的值；(2)求从明日开始的连续4天中，有2天的日零售量少于150株而另外2天的日零售量不少于200株的概率；(3)用X 表示从明日开始的连续4天里日零售量不少于150株的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解析 (1)第一个小矩形的面积为1－(0.005＋0.006＋0.007)×50＝0.1，则a ＝0.150＝0.002.(2)设日零售量为x ，有2天日零售量少于150株，另外2天日零售量不少于200株为事件A .则P (x <150)＝0.002×50＋0.006×50＝0.4，P (x ≥200)＝0.005×50＝0.25，∴P (A )＝C 24×0.42×0.252＝0.06.(3)由(2)知，日零售量不少于150株的概率P ＝1－0.4＝0.6，则X ～B (4,0.6)， 于是P (X ＝k )＝C k4·0.6k·0.44－k(k ＝0,1,2,3,4)，则关于随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝2.4.12．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100].(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率． 解析 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为P ＝110.。
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2021高考领跑一轮复习资料·数学篇专题65算法初步一、【知识精讲】1.算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.2.程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.3.三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个按先后顺序执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图4.基本算法语句(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式的值赋给变量(2)条件语句的格式①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式①WHILE语句②UNTIL语句【注意点】1.赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.2.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”，两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.二、【典例精练】考点一顺序结构与条件结构【例1】(1)阅读如图所示程序框图.若输入x值为9，则输出的y的值为()A.8B.3C.2D.1（2）(2017·山东卷)执行下面的程序框图，当输入的x值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为()A.x>3?B.x>4?C.x≤4?D.x≤5?【答案】(1)B(2)B8＝3.【解析】(1)a＝92－1＝80，b＝80÷10＝8，y＝log24＝2，符合题意，(2)输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log2结合选项可知应填x>4.【解法小结】应用顺序结构与条件结构的注意点1．顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．2．条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．考点二循环结构角度1由程序框图求输出结果【例2－1】(2018·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】运行程序，N i 是整数，T ＝1，i ＝3；N i ＝203不是整数，i ＝4；Ni＝5是整数，T ＝2，i ＝5，退出循环．输出T 的值为2.故选B.角度2完善程序框图【例2－2】(2017·全国Ⅰ卷)如图所示程序框图是为了求出满足3n －2n>1000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入()A.A >1000？和n ＝n ＋1B.A >1000？和n ＝n ＋2C.A ≤1000？和n ＝n ＋1D.A ≤1000？和n ＝n ＋2【答案】D【解析】程序框图中A ＝3n －2n ，故判断框中应填入A ≤1000，由于初始值n ＝0，要求满足A ＝3n －2n>1000的最小偶数，故执行框中应填入n ＝n ＋2，选D.角度3辨析程序框图的功能【例2－3】(2018·大连月考)如果执行如图的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则()A.A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数【答案】C【解析】不妨令N ＝3，a 1<a 2<a 3，则有k ＝1，x ＝a 1，A ＝a 1，B ＝a 1；k ＝2，x ＝a 2，A ＝a 2；k ＝3，x ＝a 3，A ＝a 3，故输出A ＝a 3，B ＝a 1，故选C.【解法小结】与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．考点三基本算法语句【例3】如下是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x n ∈N *)中的项，则所得y 值的最小值为()A.4B.9C.16D.20【答案】C【解析】由条件语句知，y 2，x <5，x ，x ≥5.又n 2＋4n ＝n ＋4n≥4(当且仅当n ＝2时等号成立)，所以当x ＝4时，y 有最小值42＝16.【解法小结】1.本题主要考查条件语句、输入与输出语句，要注意赋值语句一般格式中的“＝”不同于等式中的“＝”，其实质是计算“＝”右边表达式的值，并将该值赋给“＝”左边的变量．2．解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系．【强调几点】1.循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体，循环结构和条件结构都含有顺序结构．2．利用循环结构表示算法，要明确是利用当型循环结构，还是直到型循环结构．要注意：(1)选择好累计变量；(2)弄清在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．三、【名校新题】1．(2019·武昌调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2,2,5时，输出的S 为17，那么在判断框中可以填入()A．k >n B．k <n C．k ≥n D．k ≤n【答案】A【解析】第一次输入a ＝2，此时S ＝0×2＋2＝2，k ＝0＋1＝1，不满足k ＝1>n ＝2；第二次输入a ＝2，此时S ＝2×2＋2＝6，k ＝1＋1＝2，不满足k ＝2>n ＝2；第三次输入a ＝5，此时S ＝6×2＋5＝17，k ＝2＋1＝3，满足k ＝3>n ＝2，循环终止，输出的S ＝17.故选A.2．(2019·湖南模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为12时，k 是()A．5B．3C．4D．2【答案】A【解析】模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5，大于4，可得S ＝sin 5π6＝12，输出S 的值为12.故选A.3．(2019·锦州二检)若如图所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的“条件”应该是()A．n ≥3B．n ≥4C．n ≥5D．n ≥6【答案】B【解析】第一次循环，n ＝1，S ＝2；第二次循环，n ＝2，S ＝6；第三次循环，n ＝3，S ＝14；第四次循环，n ＝4，S ＝30，故选B.4.(2019·烟台模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n 值为()A．6B．7C．8D．12【答案】C【解析】由程序框图可知，第一次循环：S ＝13，n ＝2；第二次循环：S ＝13＋132，n ＝3；第三次循环：S ＝13＋132＋133，n ＝4；……第六次循环：S ＝13＋…＋＝1－17292<10082017，n ＝7；第七次循环：S ＝13＋…＋＝1－121872>10082017，n ＝8.故终止循环，输出n ＝8.故选C.5.(2019·菏泽模拟)给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】当x ≤2时，y ＝x 2＝x ，解得x 1＝0，x 2＝1；当2<x ≤5时，y ＝2x －3＝x ，解得x 3＝3；当x >5时，y ＝1x＝x ，解得x ＝±1(舍去)，故x 可为0，1，3.故选C.6.(2019·郑州模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于()A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]【答案】A【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.7.(2019·吉安一中、九江一中等重点中学联考)程序框图输出a ，b ，c 的含义是()A.输出的a 是原来的c ，输出的b 是原来的a ，输出的c 是原来的bB.输出的a 是原来的c ，输出的b 是原来的b ，输出的c 是原来的bC.输出的a ，b ，c 均等于aD.输出的a ，b ，c 均等于x 【答案】A【解析】根据程序框图一步步进行可知选A.8.(2019·广州模拟)如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋196的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A.i >48?B.i >24?C.i <48?D.i <24?【答案】A 【解析】程序运行过程中，各变量值如下：第1次循环：S ＝0＋12＝12，n ＝4，i ＝2，第2次循环：S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，第3次循环：S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4，依次类推，第48次循环：S ＝12＋14＋16＋18＋…＋196，n ＝98，i ＝49，退出循环体．所以判断框内应填入的条件是i>48？.故选A.9.(2019·呼和浩特调研)下面程序框图的算法思路源于《几何原本》中的“碾转相除法”，若输入m＝210，n＝125，则输出的n为()A.2B.3C.5D.7【答案】C【解析】由程序框图可知，程序运行过程如下：m＝210，n＝125，r＝85；m＝125，n＝85，r＝40；m＝85，n＝40，r＝5；m＝40，n＝5，r＝0，此时退出循环，输出n＝5.故选C.10．(2019·青岛模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则判断框中可以填()A．n≤5B．n>5C．n≤4D．n>4【答案】B【解析】n＝1，S＝3，a＝5；n＝2，S＝8，a＝7；n＝3，S＝15，a＝9；n＝4，S＝24，a＝11；n＝5，S ＝35，a＝13，不满足判断框中的条件；n＝6，S＝48，a＝15，满足判断框中的条件，退出循环，输出的S＝48，所以判断框中可以填n >5.11.(2019·石家庄一模)当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为()A.9B.15C.31D.63【答案】C 【解析】由程序框图可知，n ＝4，k ＝1，S ＝1，满足条件k ≤4；执行循环体，S ＝3，k ＝2，满足条件k ≤4；执行循环体，S ＝7，k ＝3，满足条件k ≤4；执行循环体，S ＝15，k ＝4，满足条件k ≤4；执行循环体，S ＝31，k ＝5，不满足条件k ≤4；退出循环，输出S 的值为31.故选C.12．(2019·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内的(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()A．i >100，n ＝n ＋1B．i <34，n ＝n ＋3C．i >34，n ＝n ＋3D．i ≥34，n ＝n ＋3【答案】C【解析】算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中的(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内的(1)处应为i >34，故选C.13.(2019·东北三省三校模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()A.i >100，n ＝n ＋1B.i <34，n ＝n ＋3C.i >34，n ＝n ＋3D.i ≥34，n ＝n ＋3【答案】C 【解析】算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1，4，7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内(1)处应为i >34，故选C.14.(2019·福建质检)下列程序语句的算法功能是()INPUT a，b，cIF a<b THENa＝bEND IFIF a<c THENa＝cEND IFPRINT aENDA．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C．将a ，b ，c 从小到大排列D．将a ，b ，c 从大到小排列【答案】A【解析】由程序语句可知，当比较a ，b 的大小后，选择较大的数赋给a ；当比较a ，c 的大小后，选择较大的数赋给a ，最后输出a ，所以此程序的作用是输出a ，b ，c 中最大的数．故选A.15．(2019·昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》，其中定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3.执行该程序框图，则输出的a ＝()A．9B．16C．23D．30【答案】C 【解析】执行程序框图，k ＝1，a ＝9,9－3·93＝0≠2；k ＝2，a ＝16,16－3·163＝1≠2；k ＝3，a ＝23,23－3·233＝2,23－5·235＝3，满足条件，退出循环．则输出的a ＝23.故选C.16.(2019·九江联考)图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位：吨)的茎叶图，月均用水量依次记为A 1，A 2，…，A 15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，则输出的n 的值为________．【答案】7【解析】由程序框图知，算法的功能是计算15户居民中月均用水量大于2.1的户数，由茎叶图得，在这15户居民中，月均用水量大于2.1的户数为7，∴输出的n的值为7.17．(2019·江西六校联考)如图是某算法的程序框图，当输出的结果T>70时，正整数n的最小值是________．【答案】4【解析】由程序框图知，每次循环中K，T的值依次为1,1；2,4；3,16；4,72.又T＝72>70，故正整数n的最小值为4.18．(2019·陕西模拟)执行如图的程序框图，如果输入的x，y∈R，则输出的S的最大值________．【答案】2【解析】由程序框图可知，若输入的x，y ≥0，≥0，＋y≤1，则输出目标函数S＝2x＋y的值，否则，输出S＝1.如图，作出满足条件的可行域．当x＝1，y＝0时，目标函数S＝2x＋y取得最大值2,2>1，故输出的S的最大值为2.19.(2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.【答案】7【解析】S＝1，I＝1；1<8，S＝3，I＝4；4<8，S＝5，I＝7；7<8，S＝7，I＝10；10>8，终止循环，输出S＝7.20．(2018·北京昌平质量抽测)执行如图所示的程序框图，当①是i<6时，输出的S值为________；当①是i<2018时，输出的S值为________．【答案】5；2017【解析】当①是i <6时，当i ＝1时，a 1＝cos π2＋1＝1，S ＝1；当i ＝2时，a 2＝cos 2π2＋1＝0，S ＝1；当i ＝3时，a 3＝cos 3π2＋1＝1，S ＝1＋1＝2；当i ＝4时，a 4＝cos 4π2＋1＝2，S ＝2＋2＝4；当i ＝5时，a 5＝cos 5π2＋1＝1，S ＝4＋1＝5；当i ＝6时，a 6＝cos 6π2＋1＝0，S ＝5＋0＝5.此时不满足条件，输出S ＝5.当①是i <2018时，因为a i ＝cos i π2＋1的周期为4，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4，所以S ＝a 1＋a 2＋…＋a 2018＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2017＋a 2018＝504×4＋a 1＋a 2＝2017.。