初等变换应用与矩阵的秩结论
矩阵的秩与初等变换
对于 n 阶矩阵 A，当 |A|≠0 时 R(A)=n， |A|=0 时 R(A)<n。
当 R(A)=r时，即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0，则A中 所有高于 r+1 阶的子式 = ？
这些子式必0 的子式的最高阶数。
在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D1，且有 D1=D 或 D1 = -D 或 D1 = kD，
因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。
即经过一系列初等行变换后，有
重复以上的作法。如果原来矩阵 A中第一列的元素全为零， 那么就依次考虑它的第二列元素，等等。
如此作下去直到变成行阶梯形为止。 上边的叙述可按归纳法给予严格的证明。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。 证明：先证明若 A 经一次初等行变换变为 B，则 R(A) ≤ R(B); 设 R(A)=r，且 A 的某个 r 阶子式 D≠0。 1) 对交换两行与把某一行乘以非0常数k的初等变换，比如
注意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。
二 初等变换与矩阵秩的求法
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i) 对调两行(对调 i, j 两行，记作
)；
(ii) 以数 k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×k)；
(iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去
(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作
R(A) ≤R(B).
又注意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A，故 R(B) ≤ R(A)，
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
矩阵的初等变换与矩阵的秩
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
矩阵的秩及初等变换
1 2
3
4 1 2
( B1 )
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
四、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R( B ).
4 2 B 1 2 9
2 r2 r31 1 1 1 2 1 r3 22 r1 0 B1 0 3 5 1 r4 32 r1 3 0 9 6 3
1 2 4 1 1 2 2 2 1 5 2 3 7 3 9 4
2
变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.
有关矩阵的秩及其应用
r (AB)≤min {r (A), r (B)}
定理 3 设 A 是 m×n 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则
r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (PAQ) 推论 设 A 是是 m×n 矩阵，则 r (A) = r，当且仅当存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，
r
A− O
C
AB B
− −
CD D
=
r(
A
−
C
)
+
r(B
−
D)
。
定理 6 （Frobenius 不等式）
设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，C 是 s×t 矩阵。则
r (ABC)≥r (AB) + r (BC) – r (B)
证明：由分块矩阵的乘法得
AB B
ABC O
证明：由定理 1 得
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ k
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 + A3 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + r( A3 + A4 + " + Ak ) "" ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + " + r( Ak ) =k 定理 2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩。即：设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，则
a1
A2
=
a2
矩阵的秩和初等变换.
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，
并提出求秩的有效方法．
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程
组的方法．
内容丰富，难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1：初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知，对于一般的矩阵当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等？
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
矩阵秩的计算问题经过初等变换后
注意：
(1) 对于 AT，显然有 r( AT ) r( A).
(2) r( Amn ) min( m, n). (3) 若A有一个k阶子式不为零，则 r( A) k.
(4) 若A的所有k 1阶子式均为零，则r( A) k.
1 6 4 1 4 r34(1) 0 4 3 1 1
0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
(1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知
r( A) 3.
(2) 再求 A的一个最高阶子式 .
取第一,二,三行及一,二,四列得
1 6 1 4 1 0对应矩阵A 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r13 ( 2) r14 ( 3)
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
rA 2.
另解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
得
1 0
3 2 2 1 3 2 2 2 1 3 ~ 0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
rA 2.
问题：
此方法简单！
这种方法到底对不对？若对，有没有理论根据？
二、矩阵秩的计算
定义3 称满足以下两个条件的 m n 矩阵为 行阶梯形矩阵：
(1) 每行的非零元（如果有的话）前的零元 个数比其上一行这种零元个数多；
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数 第三章
5
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
（ 3 ）用初等变换求逆矩阵 对分块矩阵 ( A, E )施 行 一 系 列 初 等 行 变 ， 换即 左 乘 一 可逆矩阵 A1由 结 论 1： ( A, E ) ~ A1 ( A, E ) ( A1 A, A1 E ) ( E , A1 )
对于方程AX B, 有X A1 B.因此 : 用初等行变换表示就是: ( A, b) ~ A1 ( A, b) ( E , A1b) ( E , X )
r
注意另外一类同系数矩 阵方程组 : AX 1 b1 , AX 2 b2 , AX k bk .对应的解为: X 1 A1b1 , X 2 A1b2 , X k A1bk .
线性代数 第三章
3
第六讲：初等变换与初等矩阵
2)必要性：设A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等 矩阵，设其标准形矩阵为 F,则 F 经有限次初等变换可以变成 A ,由定理1，即存在有限个初等矩阵
P1 P2 Pl , 使得： A P1 P2 Ps FPs1 Pl
因A可逆，初等矩阵可逆， P1 P2 Pl 可逆，所以 F可逆
线性代数 第三章
8
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
令 : X ( X 1 , X 2 ,, X k ), B (b1 , b2 ,, bk ), 则得k个方程组的组合方程组: AX B, 其解为 : X ( X 1 , X 2 ,, X k ) A1 B A1 (b1 , b2 ,, bk ) ( A1b1 , A1b2 ,, A1bk ).用初等行变换表示即:
1 0 0 1 3 0 1 0 2 0 0 1 1
7
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
1 3 2 3 5 1 所以 A 3 . 2 2 1 1 1 （5）用初等变换求解方程组 我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方 程组AX=b,这里，假定A是方阵且可逆
Er 0 设F 0 0 , 其 中r n; 若r n, 则 F 0, 与F可 逆 矛 盾 ； 若 r n, 则F E， 即 ：A P1 P2 Pl
线性代数 第三章
4
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
2.逆矩阵表示初等变换的结论与应用
（ 1 ）结论 1：A ~ B的 充 要 条 件 是 存 在 可 矩 逆 阵P , 使 得
1 2 3 1 0 0 r 2r 1 2 3 1 2 1 A | E 2 2 1 0 1 0 0 2 5 2 r 3 r 1 3 4 3 0 0 1 3 0 2 6 3
1 0 2 1 1 r3 r2 0 2 5 2 1 r1 r2 0 0 1 1 1
内容概括
转置变换乘逆阵恒等加上部分整体、合 并最小的不等式组成了秩的性质。从方 程组的最简型开始，定义同解方程组的 自由变量的值即得解的矩阵向量形式
1
线性代数 第三章
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩 本次课讲第三章第二节的应用，并讲授 第三章第三节第四节， 下次上课讲第三章第四节和第四章第一 节。 下次上课前完成作业19页到21页，交作 业19页到20页
0 r 2r 0 1 3 1 r 5r
2
3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
2 5 3 2 1 1 3
1 0 0 1 3 2 r2 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1 r3 1 线性代数 第三章
r
同样讨论列的情况：可得到如下结论：
A E
初等列变换
E A 1
线性代数 第三章
6
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
例1 设
解
1 A 2 3 2 2 4 3 1 , 求 A 1 . 3
0 0 1 0 0 1
r B PA， 或 可 叙 述 成 A ~ PA c 同理： A ~ B的 充 分 必 要 条 件 是 存 可 在逆 的 Q， r
使 得AQ B， ( A ~ AQ )
c
（ 2 ）结论 2： 由 结 论 1及 其 推 论 ， 易 得 如 下 论 结： m n矩 阵A ~ B的 充 分 必 要 条 件 是 ， 在 存m阶 可 逆 矩 阵P及n阶 可 逆 矩 阵 Q, 使 得 PAQ B
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
班级： 时间： 年 月 日 ；星期
教学目的
理解秩的性质，掌握、记住并会应用秩 的等式与不等式，掌握方程组秩的解法 定理。 秩的不等式及其应用 1 页 T6－10，其 中交 P19－20
重点 难点 媒体
讲授内容主 转置、变换均恒等，还有不等式，方程 线 组秩的判定定理，定理的证明、过程及 其解法
证: 1)充分性： 若存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使得：A P1 P2 Pl .
因初等矩阵皆可逆，则 ： Pl 1 P21 P11 A Pl 1 P21 P11 P1 P2 Pl E
由逆矩阵定义，即得 A1 Pl 1 P21 P11
线性代数 第三章
2
第六讲：初等变换与初等矩阵
一、初等变换应用
推论：对Amn 施行k次初等行（列）变换， 相当于在A的 左（右）边乘上相当于 k个初等矩阵之积P P1 P2 Pk
1.任一可逆矩阵均是k个初等矩阵之积 定理：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵
P1 P2 Pl
使得：A P1 P2 Pl .