用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩
逆矩阵秩和原矩阵的关系
逆矩阵秩和原矩阵的关系
在矩阵运算中，逆矩阵是一个非常重要的概念。
逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵。
逆矩阵在矩阵求解、线性方程组求解等方面都有着广泛的应用。
在逆矩阵的求解过程中，我们会发现逆矩阵的秩和原矩阵的秩之间存在着一定的关系。
我们需要知道一个定理：如果一个矩阵A是可逆的，那么它的秩等于它的行数和列数中的较小值。
这个定理可以通过矩阵的初等变换来证明。
因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，而对于一个可逆矩阵A，它可以通过一系列的初等变换变成一个单位矩阵，而单位矩阵的秩就是它的行数和列数中的较小值。
接下来，我们来看逆矩阵的秩和原矩阵的秩之间的关系。
假设A是一个n阶方阵，它的秩为r，那么我们可以得到一个结论：如果A 是可逆的，那么它的逆矩阵的秩也为r。
这个结论可以通过逆矩阵的定义来证明。
因为A是可逆的，所以它的秩为n，而逆矩阵B也是一个n阶方阵，那么它的秩也为n。
又因为AB=BA=I，所以B的列向量是A的行向量的线性组合，因此B的秩不会超过A的秩，即B 的秩不会超过r。
又因为B也是可逆的，所以它的秩也不会小于r，因此B的秩就等于r。
逆矩阵的秩和原矩阵的秩之间存在着一定的关系。
如果一个矩阵A
是可逆的，那么它的逆矩阵的秩也为它的秩。
这个结论在矩阵求解、线性方程组求解等方面都有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以通过计算矩阵的秩来判断它是否可逆，从而避免无效的计算。
矩阵的初等变换与矩阵的秩
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
矩阵求逆的方法
前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。
关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
逆矩阵公式和矩阵的秩
一、逆矩阵公式 定义22(非奇异矩阵)
对于n阶矩阵A 若行列式|A|=0 则称A是奇异的否则称A为非奇异的
定义23（伴随矩阵）
Aij为A的元素aij的代数余子式，
A11
A
=
A12
A1n
A21
A22
An1
An
2
，则称A为A的伴随
矩阵.
A2n Ann
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1 2 3 1
3 1 2 4
1 2 1 3
1532 1000
3 7 7 7
1 4 4 4
7772 1000
3 7 0 0
1 4 0 0
7002
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有两个非零行 故r(A)=2
下页
例4 设B为n阶非奇异矩阵 A为mn矩阵 试证 A与B之积的秩等于A的秩 即 r(AB)=r(A) （P60/2.18）
又如 B =100
102 r(B)=2
C =100
1 1 0
100
r(C)=3
上述矩阵都是满秩矩阵
下页
定理27 矩阵经初等变换后 其秩不变
例 1
求矩阵
A=
11 13
0 2 1 4
0 0 0 5
11
4 1
的秩
解
A = 1113
0 2 1 4
0 0 0 5
1141 1000
0 2 1 4
0 0 0 5
且A1 = 1 A , 其中A为矩阵A的伴随矩阵. A
证明: ()
因为AA = A E，当 A 0时，有A( A ) = E， A
又因为A A = A E，当 A 0时，有( A ) A = E， A
初等变换的关系及可逆矩阵的分解
初等变换的关系及可逆矩阵的分解初等变换是矩阵变换中最基本的操作之一，它可以通过对矩阵的行或列进行加减乘除等操作来改变矩阵的形态。
初等变换包括三种类型：交换两行或两列、将某一行或列乘以一个非零常数、将某一行或列加上另一行或列的若干倍。
初等变换可以用来求解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
初等变换的关系可以用矩阵的乘法来表示。
设矩阵A经过一次初等变换得到矩阵B，则存在一个可逆矩阵P，使得B=PA。
这个可逆矩阵P 就是对应于这次初等变换的矩阵。
例如，如果A的第i行和第j行交换，则对应的可逆矩阵P为：P =1 0 0 00 0 1 00 1 0 0... ... ... ... ...0 0 0 (1)0 0 0 00 0 0 (1)其中P的第i行和第j行交换了位置，其余行不变。
同样地，如果A的第i行乘以一个非零常数k，则对应的可逆矩阵P为：P =1 0 0 00 1 0 00 0 k 0... ... ... ... ...0 0 0 (1)0 0 0 00 0 0 (1)其中P的第i行乘以k，其余行不变。
如果A的第i行加上第j行的k 倍，则对应的可逆矩阵P为：P =1 0 0 00 1 0 00 0 1 0... ... ... ... ...0 k 0 (1)0 0 0 00 0 0 (1)其中P的第i行加上第j行的k倍，其余行不变。
通过这些可逆矩阵的乘积，可以得到任意一次初等变换对应的可逆矩阵。
可逆矩阵的分解是指将一个可逆矩阵分解成若干个初等矩阵的乘积。
根据初等变换的关系，任意一个可逆矩阵都可以表示成若干个初等矩阵的乘积。
例如，对于一个3阶可逆矩阵A，可以通过一系列初等变换得到单位矩阵I，即A=P1P2P3I，其中P1、P2、P3分别对应于这些初等变换的可逆矩阵。
这个过程称为高斯消元法，是求解线性方程组的常用方法之一。
可逆矩阵的分解在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中有广泛的应用。
用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩
即 ：E G1G2 Gk A (1)
A1 G1G2 Gk E
(2)
(1)式 表 示 对A施 以 若 干 次 初 等 行 变 换化 为E，
(2)式 表 示 对E施 以 同 样 的 初 等 行 变 换化 为A1
线性代数
11
对 于 可 逆 矩 阵A， 我 们 用 一 个 同 阶 单 位阵 将 其 扩 充 为( A | E )， 然 后 对 新 矩 阵( A | E )施 行 初 等 行 变 换 ， 将 左 半 边 的A 化 成 E， 同 时 右 半 边 的E 所 化 成 的 矩 阵 便 是 A1， 即 最 终 化 为( E | A1 ).
初等行变换
即 ：( A | E ) (E | B)， A1＝B.
线性代数
12
1 2 3
例 题1： 已 知 A 2 2 1， 用 初等 行变 换 求A1。
3 4 3
解：( A
1 E3) 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0
(数 k 乘第 i 行记作：kri )
(3).把 矩 阵 的 某 一 行 乘 以 一个 数 加 到 另 一 行 上
(在第 j 行加上第i 行的 k 倍记作：rj kri )
线性代数
5
如 果 把 定 义 中 的" 行" 换 成"列"， 把 记 号 中 的" r" 换 成" c"，
上 述 定 义 也 就 相 应 的 变成 了 矩阵的初等列变换。
r2 r3 0 1 0 4 0
2 1
0 0 1 6 1 1
A1
矩阵初等变换的应用举例
4 3 5 3
0 0 1 1 6 4
0 0 1 1 6 4
1 4 3
A1 1 5 3
1 6 4
验证： 2 2 3 1 4 3 1 0 0 1 1 0 1 5 3 0 1 0 1 2 1 1 6 4 0 0 1
3 求矩阵的秩
一般格式：将m×n矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵
解：
1 3 7 r2 2r1 1 3 7
1 3 7
2 4 3 r3 3r1 0 10 17 r3 1/ 5r2 0 10 17
3 7 2
0 2 23
0 0 196/10
= 110196/10 =196。
2 求矩阵的逆
一般格式：经过一系列的初等行变换把n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E所组成 n×2n的矩阵（A E）中的A化为单位矩阵，则E化为A-1
目录
引 言 1 行列式的计算 2 求矩阵的逆 3 求矩阵的秩 4 求线性方程组的解 5 求向量组的线性关系 6 确定一向量组能否由另一向量组线性表出 7 求向量组的秩与极大无关组 8 判断两向量组是否等价 9 向量空间内向量在基下的坐标 10 一组向量组生成的子空间的基与维数 11 求两个子空间的和与交的基与维数 12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵 结 论
换和初等列变换统称为初等变换。
量间的线性关系，化二次型为标准型等。
本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。 同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似 之处，但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区 别才能正确使用这些计算格式。
AE 初等行变换 E A1
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
矩阵逆、初等变换矩阵秩
矩阵 A, ? 矩阵 B, 使 AB BA E
1 1 1
定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则 称A为可逆矩阵,并称B为A的逆矩阵. （1）逆阵惟一。 设B,C都是A的逆，则 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C （2）并非每个方阵都可逆。 a b 1 0 例如 A 就不可逆。 B c d , 0 0
是否可逆? 若可逆，求其逆阵. 解：
3
0
8
A 3 1 6 1 0 2 0 5
A
可逆，并且
A11
1 0
6 5
5, A12
3
6
2 5
3,
3 1 0 8 A13 2, A21 0, 2 0 0 5
A22 A31
3 0 8
例5
试证明可逆上三角形矩阵 的逆矩阵仍是上三角形矩阵，并且
的主对角线上的元素是A的主对角线上的 1 元素的倒数 (i 1,2, , n)
A
1
aii
证：对A的阶数n作数学归纳法。
当n=2时， 则
。
a11 A 0
a12 , (a11 a 22 0), a 22
证明A-E可逆，并求（A-E）-1. 证：由
A2 A 4 E 0 有( A E )( A 2 E ) 2 E 0,
( A E )( A 2 E ) 2 E
所以
A ( A E )( E ) E，故A-E可逆，且 ( A E ) 1 A E。 2 2
0 0 1
3 0 0
1 2 2 3 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
求逆矩阵的方法与矩阵的秩(完整版)实用资料
求逆矩阵的方法与矩阵的秩（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ；(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用A →B表示，并称矩阵B 与A 是等价的.（下面我们把）第i 行和第j，”；把第i行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”.例如，矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c a a a b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321kc kc kc b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321332211321c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ⨯2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即( A , I )初等行变换−→−−−( I , A -1 )例1 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232311111③k ①，② ②+①k求逆矩阵A -1 . 解 因为[A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100232010311001111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----102010011220001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1212510002121110001111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1212510010201012127011 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125100102010221211001所以 A -1= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125102221211所求逆矩阵A -1是否正确，可以通过计算乘积矩阵A A -1进行验证.如果A A -1=I 成立，则A -1正确，否则不正确.对给定的n 阶矩阵A ，用上述方法也可以判断A 是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A 是奇异的，即0=A ，可以判定A 不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I ，说明A 是非奇异的，可以判定A 是可逆的，而且这个单位矩阵I 右边的方阵就是A 的逆矩阵A -1，它是由单位矩阵I 经过同样的初等行变换得到的.例2 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----116504612，问A 是否可逆？ 解 因为[ A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100116010504001612→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----10317200121720001612 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1110000121720001612[ A , I ]中的左边的矩阵A 经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A 是奇异的，A 不可逆.②+①(-1)③+①(-2) ②(1/2)③+② ①+③(-1) ②+③(-1) ①+②（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例3 解矩阵方程AX = B ，其中 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---423532211，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211解 [思路] 如果矩阵A 可逆，则在矩阵方程AX = B 等号的两边同时左乘A -1，可得A -1AX = A -1B ， X = A -1B因此，先用初等行变换法判别A 是否可逆，若可逆，则求出A -1，然后计算A -1B ，求出X .因为 [ A , I ] = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100423010532001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----103210012110001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----11510001211001311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001所以 A 可逆，且 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102X = A -1B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---429623三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式A 判别方阵A 是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A 的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A 的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15 在矩阵A 中，位于任意选定的k 行、k 列交叉点上的2k 个元素，按原来次序组成的k 阶子阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--324423211123取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式22212=称为A 的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16 矩阵A 的非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作r A ()或秩(A ) . 规定：零矩阵O 的秩为零，即r O ()= 0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A 的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 r A ()= 2 .例5 设A 为n 阶非奇异矩阵，求r A ().解 由于A 为非奇异矩阵，即A 对应的行列式0≠A ，所以A 有n 阶非零子式，故 r A ()= n .例5的逆命题亦成立，即对一个n 阶方阵A ，若r A ()= n ，则A 必为非奇异的. 因此n 阶方阵A 为非奇异的等价于r A ()= n . 称r A ()= n 的n 阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10 设A 为n m ⨯矩阵，则r A ()= k 的充分必要条件为：通过初等行变换能将A 化为具有k 个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000001040053162，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200140531因为A 的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A 的秩等于2，B 的秩等于3，即r A ()= 2，r B ()= 3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A 化成阶梯阵，然后算出矩阵A 的秩.例6 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502， B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411 求r A ()，r B ()，r AB ().解 因为 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502②①+−→−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡26402502 所以 r A ()= 2因为 B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411②①③①++−→−−32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21104220317100411 ③②④②+-+-−→−−−()()21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----51600103200317100411④③+-−→−−−()12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000103200317100411所以 r B ()= 3因为 AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048②①+-−→−−−()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5646180242048 所以 r AB ()= 2由例6可知，乘积矩阵AB 的秩不大于两个相乘的矩阵A , B 的秩，即 r AB ()≤ min{(),()}r A r B .例7 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030 求r A ()和)(A r '.解 因为 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030(,)①④−→−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10030024221160301211②①③①+-+-−→−−−()()32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---10030040001403001211−−−→−-+-+)1()1(②④③②⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000040001003001211 所以 r A ()=3 同理可得 )(A r '=3由例7可知，矩阵A 与它的转置矩阵A '的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11 设A 为m ⨯n 矩阵，则 (1) 0≤≤r A m n ()min{,}； (2) r A () = r A T ()第十三讲主要内容:矩阵的最大秩分解,QR分解6.3 矩阵的最大秩分解定理1 设,,则可经过有限次初等行变换把化为行最简形式其中,号的元素可以不为零,的第个列向量为,第i个元素为1,.引理分块矩阵经过一次初等行变换后化为矩阵,则证明,其中是相应的初等矩阵.,而。
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初等行变换
即： ( A | E ) ( E | B)，
线性代数
A1 ＝B.
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1 2 3 例题1：已知 A 2 2 1 ，用初等行变换求 A1。 3 4 3
1 2 3 1 0 0 解：( A E 3 ) 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
r3 r2 r1 r2
线性代数
12
0 1 3 2 1 0 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
r2 5 r3 r1 2 r3
3 2 1 0 0 1 3 5 0 1 0 2 3 2 0 0 1 1 1 1
1 1 D 0 0
第 r行
Or ( n r ) Er O O ( m r ) r ( m r ) ( n r )
第 r列
矩阵D称为矩阵A的等价标准形。
线性代数
定理 :
设Amn (aij )mn，则有：
(1). 对A施行一次初等行变换所得的矩阵， 等于用相应的 m 阶初等矩阵左乘 A . ( 2). 对A施行一次初等列变换所 得的矩阵， 等于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A .
线性代数
7
定理 :
任意矩阵Amn (aij )mn 经过若干次初等变换， 可以化为下面形式的等 价矩阵D：
线性代数
14
1 0 0 11 2 2 0 0 1 6 1 1 0 1 0 4 0 1
2 1 0 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 4 0 1
r2 2 r1 r3 4 r1
1 0 0 1 0 2 r2 r3 0 0 1 6 1 1 0 1 0 4 0 1
r3 ( 1 ) r2 ( 1 ) 2
1 3 1 A 2 1
2 5 3 2 1 1 3
线性代数
13
1 0 2 练习：求矩阵 A 2 1 3 的逆矩阵。 4 1 8
1 0 2 1 0 0 解： ( A E3 ) 2 1 3 0 1 0 4 1 8 0 0 1
8
推论1 : 对任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1 , P2 ,
, Ps和n阶初等矩阵Q1 , Q2 ,, Qt , 使得：
E r O A可逆，则左边所有矩阵 都可逆，因此D可逆， Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt O O 故det（D）不等于0. 由于初等矩阵都可逆， 上式又可写为 E r O 1 Qt Q2 1Q1 1 A P1 P2 Ps O O 于是得
线性代数
3
初等变换
矩阵的以下三种变换， 称为矩阵的初等行变换
(1).交换矩阵的两行
(互换 i , j 两行记作：ri rj )
(2).以一个非零的数乘矩阵 的某一行
(数 k 乘第 i 行记作：kri )
(3).把矩阵的某一行乘以一 个数加到另一行上
(在第 j 行加上第 i 行的 k 倍记作：rj kri )
线性代数
4
如果把定义中的 " 行" 换成"列"， 把记号中的 " r " 换成" c"， 上述定义也就相应的变 成了 矩阵的初等列变换。
矩阵的初等行变换和初 等列变换 统称为矩阵的初等变换 。
线性代数
5
矩阵等价
如果矩阵 A经过有限次初等变换后 变成 B， 就称矩阵 A与矩阵 B等价，记为: A B .
本讲内容：
1、用初等行变换求逆矩 阵
2、矩阵的秩的概念
3、用初等行变换求矩阵 的秩
线性代数
1
本讲要求：
1、掌握初等行变换求逆 矩阵的方法 2、会用初等行变换求矩 阵的秩
重点难点： 初等行变换
线性代数
2
重 点 回 顾
求逆公式
矩阵A可逆的充要条件是 A 0， 并 且当A可逆时，有
A
1
1 A A
1 1 1
推论2 :
n 阶方阵可逆的充分必要 条件是A的等价 标准形为En .
线性代数
9
定理 : n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它
可以表示为一些初等矩 阵的乘积。
由定理可得，如果A可逆，那么A1也可逆， 并且存在初等矩阵G1 , G2 ,Gk ,使得
A1 G1G2 Gk
于是：A1 A G1G2 Gk A
3 1 0 0 1 2 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1
r2 2 r1 r3 3 r1
1 0 2 1 1 0 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1
2 3 9 1 1 2 3 9 例如： 3 8 12 38 与 0 1 3 8 等价。 2 5 0 0 1 3 10 3
线性代数
6
初等矩阵
n阶单位阵E经过一次初等变换所得 到的矩阵， 称为n阶初等矩阵。
即：E G1G2 Gk A
(1) ( 2)
A1 G1G2 Gk E
(1)式表示对A施以若干次初等行变换 化为E， (2)式表示对E施以同样的初等行变换 化为A1
线性代数
10
对于可逆矩阵 A，我们用一个同阶单位 阵将其扩 充为( A | E )，然后对新矩阵( A | E )施行初等行变换， 将左半边的 A 化成 E，同时右半边的 E 所化成的 矩阵便是 A 1，即最终化为 ( E | A 1 ).