等腰三角形重难点教学设计

等腰三角形
本周重点、难点分析：
一、等腰三角形的分类讨论
等腰三角形是一种特殊而又重要的三角形。

它的边、角的特殊性在处理许多几何问题中起着关键作用，因为等腰三角形的特殊性。

我们在处理问题时很多时候需要分类讨论。

（1）由于题目条件的不确定性导致结果的不唯一
1．已知等腰三角形的一个角为75度，则其顶角为_____________。

分析：等腰三角形的一个角是750这个角可能是顶角，也可能是底角。

因此需要分类讨论
当等腰三角形的底角是750时，则顶角为300
当等腰三角形的顶角是750 时，也符合题意。

评点对于等腰三角形，若条件中没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,再用三角形内角和定理求解。

2．已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_____________。

分析：等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，没有指明哪个是腰长，哪个是底边的长，
因此要分类讨论
当5是等腰三角形的腰长时那么底边长就是6 则它的周长等于16
当6是等腰三角形的腰长时那么底边长就是5 则它的周长等于17
这个等腰三角形的周长等于16 或17.
评点对于底和腰不等的等腰三角形若条件中没有明确底和腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论
3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

分析：如图，由于中线分周长为两部分并没有指明哪一部分是9cm
哪一部分是12cm 因此应有两种情形
设这个等腰三角形的腰长为x cm底边长为y cm
当腰长是6cm时底边长是9cm
当腰长是8cm时底边长是5cm
评点求出来的长不一定能构成三角形三条边应满足三角形三边关系定理
（2）由于题目条件的画出图形的不确定性导致结果的不唯一
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45o,求顶角?
分析：依题意可画出如图所示的两种情形. 显然,易求得左图中顶角为45o和右图中的顶角为135o
评点：三角形的高是由三角形的形状所决定。

对于等腰三角形：当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内部。

当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外部。

5．在△ABC 中,AB=AC,AB 的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50O,则底角为___________。

分析：按照题意我们可以画出示意图。

可以求得底角是70度或者20度。

评点右图，最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出可能的所有图形，才能正确解题。

（二）等腰三角形是几何的一块基石,同学们掌握有关等腰三角形证明中添加辅助线的常用方法.是重要的也是必要的
1、作底边上的高(或底边中线或顶角平分线) .
等腰三角形的性质和判定定理就是通过作这样的辅助线得证的.
1．如图1,在△ABC中, AB = AC, BD⊥AC于D,求证: ∠BAC = 2∠DBC.
分析：要证∠BAC = 2∠DBC. 可把∠BAC的一半作出来,故可作∠BAC的平分线,或作底边BC的高,
中线都可. 给出其中一种证明过程.
证明：作AE ⊥BC,则∠2 +∠C = 90°,
∵AB = AC,
∴∠1 = ∠2 =.
∵BD ⊥AC,
∴∠DBC + ∠C = 90°.
∴∠DBC = ∠2,
∴∠BAC = 2∠DBC.
结论:等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.记住这个结论,对于解答填空题、选择题或判断题非常有帮助.
2、作底边上的中线
2．如图2, △ABC是等腰直角三角形,AB = AC, D是斜边BC的中点, E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若 B E = 12, CF= 5,求EF的长.
分析：B E = 12, CF = 5,想到AE、AF应该好求,它们刚好又与EF构成直角三角形于是由图的启发进一步探索AE与CF的关系连结AD,不难证得AE = CF.
证明：连结AD.
∵AB = AC, ∠A = 90°, D是斜边BC的中点.
∴∠1 = ∠C = 45°, AD = CD, AD ⊥CD
∴∠2 + ∠4 = 90°.
∵DE ⊥DF,
∴∠2 + ∠3 = 90°.
∴∠3 = ∠4.
∴△DEA ≌△DFC.
∴AE = CF = 5,
∴AF = B E = 12. ∠A = 90°
∴EF = 13.
3、平移一腰
3．如图3,在△ABC中, AB = AC,点F在AB上,点E在AC延长线上, B F = CE,连接EF交BC于D,求证:D为EF中点.
分析：要证D为EF中点,可证DF =DE,那么,考虑把DF、DE放在可能全等的两个三角形中,
故过F点作FG∥AC交BC于G,或过E作AB的平行线交BC的延长
线于一点都可.现给出其中一种证明.
证明：作FG ∥AC,则
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠E, ∠4 = ∠5.
∵AB = AC, ∴∠B = ∠2.
∴∠B = ∠1, ∴B F = GF.
∵B F = CE, ∴GF = CE.
∴△GFD ≌△CED.
∴FD = ED,即D为EF中点.
4、一般三角形中有二倍角时,构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的外角或平分二倍角
4．如图4,已知在△ABC中, ∠B =2∠C, AD是∠A的平分线,求证:AB + BD =AC.
分析:有二倍角,可延长AB到E,使B E= BD,连结DE,只需证AE = AC即可.
证明：延长AB到E使 B E = BD. 连结
DE,则∠E = ∠3.
∴∠4 = 2∠E.
∵∠4 = 2∠C, ∴∠E = ∠C.
∵AD是∠A的平分线,
∴∠1 = ∠2,又AD = AD,
∴△AED ≌△ACD,
∴AE = AC.
∴AB + BD = AB +B E = AC.
5、将等腰三角形转化成等边三角形
5．如图5, △DBE是等边三角形,点A在B E
延长线上,点C在BD延长线上,且AD =AC,求证:DE +DC = AE.
分析：要证AE = DE +DC,由于DE =BD故要证AE = BC.题中现有条件无法证明这个结论,若延长BC至F,使CF = B E,连接AF,则出现△ACF ≌△ADB.
故AF = AB,又∠B = 60°,从而△AB F为等边三角形,
故AB = B F,又AB = AE + B E,
B F = B
C +CF, B E = CF,故AE = BC,命题得证.
证明：延长BC至F,使CF = B E.
连接AF.
∵AC = AD,
∴∠ACD = ∠ADC,
∴∠ADB = ∠ACF.
∵△BDE为等边三角形,
∴∠B = 60°, BD = B E = DE = CF.
又∵AD = AC,
∴△ABD≌△AFC, ∴AF = AB.
又∵∠B = 60°,
∴△AB F为等边三角形,
∴AB = B F.
由等量代替得:
AE = AB - B E = B F - CF
= BD +DC = DE +DC。