巧用对称性解二次函数问题
二次函数中像的对称轴性质和性质
二次函数中像的对称轴性质和性质二次函数是高中数学中的一个重要知识点，它是一种含有二次项的多项式函数。
在二次函数中，对称轴性质是一个关键的特性，它可以帮助我们更好地理解函数的图像和性质。
本文将通过详细探讨二次函数中对称轴性质和其他相关性质，来增加我们对二次函数的理解和运用。
一、对称轴的定义和性质对称轴是二次函数的一个重要特性，它可以帮助我们判断函数的图像在坐标平面上的对称性。
对称轴是指二次函数的图像关于某一直线对称。
具体而言，对称轴是通过二次函数的顶点的垂直线。
使用数学符号表示对称轴为x=a，其中a是实数。
二次函数的对称轴的性质如下：1. 对称性：如果一个点(x, y)在函数的图像上，则与该点关于对称轴对称的点(-x, y)也在图像上。
2. 相对位置：对称轴将二次函数图像分成两个完全对称的部分，分别位于对称轴两侧。
3. 对称轴上的点：对称轴上的所有点，其函数值 (y 坐标) 相等，因为它们关于对称轴对称。
4. 对称轴和顶点的关系：二次函数的对称轴必定通过其顶点，也就是对称轴的x坐标等于顶点的x坐标。
二、对称轴的寻找方法1. 根据函数的表达式：对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数，对称轴的x坐标为-x/b。
2. 根据顶点坐标：对于形如y=a(x-h)^2+k的二次函数，对称轴的x坐标为h。
三、对称轴的应用1. 确定顶点坐标：对称轴上的点到顶点的距离相等，因此可以通过对称轴的x坐标求出顶点的x坐标，然后代入函数式中求得顶点的y坐标。
2. 确定图像的对称性：通过对称轴的位置和性质，可以判断函数的图像是否沿着对称轴对称，从而帮助我们快速绘制出二次函数的图像。
3. 解二次方程：对称轴的特性可以帮助我们求解二次方程。
通过找到对称轴和顶点的坐标，我们可以得到二次函数的标准式，从而进一步求解相关问题。
综上所述，二次函数中的对称轴性质是十分重要的，它可以帮助我们更好地理解和运用二次函数。
通过对称轴的定义、性质和应用等方面的学习，我们可以在解题过程中更加灵活地运用这一性质，从而提高解题效率和准确性。
二次函数的对称问题
（b 不变） （ab 变，c 减）
y=-a(x+h)2-k y=-a(x-h)2+k y=-a(x+h-2m)2+2n-k
（全变） （a 变） （全变，减 2m 加 2n)
6 直线 x=m 对称
y=a(x+h-2m)2+k
（h 变,减 2m）
7 直线 y=n 对称
y=-a(x-h)2 +2n-k
（h 不变，加 2n）
一般式
原二次函数表达式
y=ax2+bx+c
1 x 轴对称Байду номын сангаас
y= -ax2-bx-c
规律 （全变）
顶点式
y=a(x-h)2+k y=-a(x-h)2-k
规律 （h 不变)
2 y 轴对称
y=ax2-bx+c
（b 变 ）
y=a(x+h)2+k
（h 变）
3 原点对称 4 顶点对称
5 点 m，n 对称
y=-ax2+bx-c
二次函数的对称问题
二次函数的对称问题主要分两大类 7 种情况进行讨论，分别是轴（线）对称和点对称。其中轴（线）对称包括关于 X 轴对称、关 于 Y 轴对称、关于直线 x=m 对称和关于直线 y=n 对称；点对称包括关于原点对称、关于顶点对称和关于点 P(m,n)对称。每一种情况再 按二次函数表达式的不同，分一般式和顶点式进行讨论。具体见下表。
人教版数学九年级巧用二次函数的对称性解题
人教版数学九年级巧用二次函数的对称性解题一 依托函数的解析式，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点 例1 抛物线 y=2x -4x+2m与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab 2； （2）明确抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-ab2．解：因为抛物线 y=2x -4x+2m 的对称轴是：直线x=-a b 2=-24-=2；设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以212x +=2，解得2x =3， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3,0）．二 依托函数的图像，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点例 2 抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）的图像如图1所示，则抛物线的对称轴是直线_____________，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨： 仔细观察函数的图像，从中找出解题所需要的关键，有价值的信息是解题的核心．解：仔细观察图像，知道函数的对称轴是：直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标 为3，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以232x +=1，解得2x =-1， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．三 依托表格，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点例3 抛物线y=-2x +bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：根据上表信息，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨：仔细看准图表，从表格中落实好如下两个知识点：（1）函数值为0的x值就是抛物线与x轴的一个交点的横坐标；（2）函数值相等的两个点就是抛物线上的一对对称点，其横坐标和的一半就是抛物线的对称轴．解：从表格中知道抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），点（0,6）和（1,6）时抛物线上的一对对称点，所以抛物线的对称轴是直线x=210+=21．设抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2x，0），所以222x+-=21，解得2x=3，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3,0）．四依托图像，根据对称轴探求不等式的解集例4 如图2，是二次函数y=a2x+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式a2x+bx+c＜0的解集是 .思路点拨：要想确定不等式a2x+bx+c＜0的解集，同学们需要根据图像所揭示的信息，把握好如下几点：（1）根据抛物线的开口方向，确定符合条件的不等式的解集的大致范围；（2）根据图像揭示的信息，确定出抛物线与x轴的交点的坐标；（3）利用交点坐标的横坐标来描述不等式的解集．解：因为抛物线的开口向上，所以满足a2x+bx+c＜0的大致范围应该是在抛物线与x轴的交点横坐标之间．因为抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴一交点为A（3，0），设抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2x，0），所以232x+=1，解得2x=-1，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．所以不等式a2x+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．x …-2 -1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …五 依托图像，根据对称轴探求点的坐标例5如图3，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab2； （2）明确抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-ab2．解：因为抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，所以点A 与点B 是一对对称点，因为点A 的坐标为（0，3），所以点B 的 纵坐标与点A 的纵坐标相同，横坐标关于对称轴对称，设点B 坐标为（1x ，3）， 所以所以201x +=2，解得1x =4，所以点B 的坐标为（4,3）．因此我们应该选D ． 六 依托函数的表达式，根据函数的对称性，比较纵坐标的大小例6 已知抛物线y=a 2x +bx+c （a ＜0）过A （-2，0）、O （0，0）、 B （-3，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＞2yB ．1y =2yC ．1y ＜2yD ．不能确定思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）准确定位抛物线的开口方向； （2）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab 2； （3）选准所要用的性质：当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．（4）当所要比较大小的两个点，不在对称轴的同侧时，要充分利用构造对称点的方法，将异侧点转化成同侧点，后用性质完成问题的解答．解：因为抛物线y=a 2x +bx+c 的二次项系数a ＜0，所以抛物线的开口向下；因为抛物线经过A （-2，0）、O （0，0），所以抛物线的对称轴为2)2(0-+=-1；所以B （-3，1y ）、C （3，2y ）在对称轴的异侧．设点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1x ，1y ），则2)3(1-+x =-1，解得1x =1，所以点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1，1y ）．这样点M 与点C 就都在对称轴的右侧，且1＜3，根据当a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，得到：1y ＞2y ，因此我们应该选A ．七 依托函数的图像，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值例7 .如图4所示，设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=a 2x +bx+2a -5a-6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）A. 6或－1B. －6或1C. 6D. －1 思路点拨：正确看懂函数的图像是解题的关键．仔细观察第一个和第二个函数的图像，知道图像是关于y 轴对称的，因此b=0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第一个和第二个；在第三个图像中展示出来的信息主要是：抛物线的开口向上，所以a ＞0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-ab2＞0，所以b ＜0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第三个．综上所述，知道函数的图像一定是第四个，而第四个函数图像所展示的信息是：抛物线的开口向下，所以a ＜0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-ab2＞0，所以b ＞0；图像经过原点，所以2a -5a-6=0，解得a=6或a=-1，又a ＜0，所以a=-1． 解：选D ．八 依托函数的图像和平行四边形，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值例8 如图5所示，二次函数y=a 2x 上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5,0），D(3,0)构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0,6），则实数a= ．思路点拨：在解答时，基本思路是：（1）根据点的坐标确定出平行四边形的边长 因为A （-5,0），D(3,0)，所以DA=3-(-5)=8. (2)根据平行四边形的性质确定出BC 的长因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC=AD=8． （3）根据函数的对称性确定出点B ，点C 的横坐标因为二次函数y=a 2x 的图像关于y 轴对称，点B ，C 在二次函数y=a 2x 上， 所以点B ，点C 关于y 轴对称，所以点B 的横坐标为-4，点C 的横坐标为4. (4)根据平行线的性质确定点B ，点C 的纵坐标 因为BC ∥AB ，且点E （0,6），所以点B ，点C 的纵坐标都是6． （5）确定点的坐标，代入解析式定字母的值 所以点C 的坐标是（4，6），所以16a=6，所以a=83． 解：应该填83．。
巧用二次函数对称性解决问题
巧用二次函数对称性解决问题作者：***来源：《初中生世界·九年级》2020年第12期抛物线的轴对称性，是二次函数的一个重要特征，往往也是解题的关键。
我们如果能够熟练并巧妙地运用，可使解题变得轻松。
一、利用对称性求点坐标例1 已知二次函数y=kx2-4kx+3k图像上有一点（3，2），则该点关于图像对称轴的对称点的坐标为（）。
A.（2，3）B.（l，2）C.（2，2）D.（l，3）【分析】我們要求对称点，就要先求出抛物线的对称轴，然后利用对称性求出另一点的坐标。
解：对称轴为x=-b/2a=--4k/2k=2。
设所求点的横坐标为m，根据中点坐标公式可得m+3/2=2，解得m=l。
由对称性可知纵坐标不变，所以所求点的坐标为（1，2）。
故选B。
【点评】灵活利用配方法或公式求出对称轴是解题的关键。
本题还可以利用十字相乘法，将表达式转化为交点式y=k（x-1）（x-3），求出对称点的坐标。
二、利用对称性比较数值大小例2 若点A（2，y，）、B（-3，Y2）、C（3，y3）三点在二次函数y=x2-4x-m的图像上，则Y1、Y2、y3的大小关系是（）。
A.Y1>Y2 >y3B.Y2>Y1>Y3C.Y2>y3 >Y1D.y3>Y1>Y2【分析】找出图像对称轴，利用增减性求解。
解：配方得y= （x-2）2-4-m，所以对称轴为x=2。
因为a>0，A点横坐标为2，所以A为图像顶点，即Y1最小。
根据对称性，可得点C关于对称轴的对称点C'的坐标为（1，y3），在对称轴左侧，y随x增大而减小，所以Y2>Y3，即Y2>Y3>Y1。
故选C。
【点评】借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点变换到同一侧，这样便于利用二次函数的增减性来进行比较。
当然，本题也可直接代入求解。
三、数形结合解不等式例3 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图1所示，若y>0，则x的取值范围是（）。
九年级数学上册 第1章 二次函数 专题训练 巧用抛物线对称性解题 (新版)浙教版
巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)， 将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)． 将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ， 整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272； 当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
二次函数图象对称性在解题中的应用
二次函数图象对称性在解题中的应用作者：朱华飞来源：《新高考·升学考试》2018年第01期二次函数图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，能考查我们对数形结合思想的掌握情况和应用图象信息的能力.二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点，所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，需要熟练掌握二次函数的基本知识.比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标及对称轴方程，各字母的意义以及一些公式.另外二次函数图象的对称性，也是我们需要重点关注的.对于有关二次函数的一些题目，利用其图象的对称性来解答，也许会有事半功倍的效果.（一）基础知识点回顾二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）：①此函数的对称轴为直线x=-b2a；②若函数图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），则对称轴可表示为直线x=x1+x22；③若点（x1， n），（x2，n）在函数图象上，则其对称轴可表示为直线x=x1+x22.（二）温故知新、探究总结例1. 抛物线的顶点坐标为（0，4），与x轴的一个交点坐标为M（-2，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为N（ 2，0 ）.若抛物线上有一点A的坐标为（-1，3），在抛物线上与A关于对称轴对称的点B的坐标是（1 ，3）.如果有一点C的横坐标为x，则C（x，-x2+4）.在抛物线上与C点关于对称轴对称的点D的坐标为（-x，-x2+4）.总结：在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征：纵坐标相等.练习1：如图1，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象与x轴的一个交点坐标为M（1，0），请写出抛物线与x轴的另一个交点坐标N（）；若抛物线上有一点A的横坐标为2，则A点坐标为（）；在抛物线上与点A关于对称轴对称的点B的坐标是（）；如果有一点C在抛物线上，横坐标为x（x>3），则C点坐标为（）；在抛物线上，点D与点C关于对称轴对称，点D的坐标是（）.（三）巧用“对称性”化繁为简例2. 下表表示是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的对应值.x…-5-3-20356…y…2770-8-5716…找出抛物线上关于对称轴对称的两点（-3，7）、（5，7）；写出抛物线的对称轴直线x=1；抛物线与x轴的交点坐标是（-2，0）、（4，0）；抛物线上一点（m，n）关于对称轴对称的点为：（2-m， n）.例3. 抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图象如图2所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（B）A. （0.5，0）B. （1，0）C. （2，0）D. （3，0）练习2：已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1，x2（x1 ≠x2）时，函数值相等，则当x取x1 +x2时，函数值为（）A. a+cB. a-cC.-cD. c例4. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-1，-3.2），其部分图象如图3，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=1.3，x2=-3.3.练习3：已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴為直线x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为；函数解析式为.例5. 小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点（-1，y1），（0.5，y2 ），（-3.5，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（D）.A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y1>y2D. y3>y2>y1练习4：设A（-2， y1）、B（1， y2）、C（2， y3）是抛物线y= -（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）.A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2例6. 如图4，函数y=x2-x+m（m为常数）的图象，如果x= a时，yA. yB. 0C. y>mD. y=m（四）巧用“对称性”化线为点例7. 求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线方程.方法一：将一般形式化为顶点式y=a（x-h）2+k：即：y=2（x-1）2-7；开口向上变为开口向下；顶点（1，-7）变为（1，7）.∴抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线的解析式为：y=-2（x-1）2+7.方法二：在抛物线y=ax2+bx+c上任取一点（x，y），点（x，y）关于x轴的对称点为（x，-y）.∴抛物线 y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为：-y=ax2+bx+c，∴ y=-ax2-bx-c.∴抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线解析式为：y=-2x2+4x+5.练习5：（1）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线方程；（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线方程.（五）巧用“对称性”求距离和差最值例8. 如图5，抛物线y=0.5x2+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，且A（-1，0）.（1）若点 M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.（2）若点N（n，0）是对称轴上的一个动点，当NA+NC的值最小时，求n的值.（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ周长最小？（4）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点距离之差最大？著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离.”我们用好二次函数图象的对称性，必然会事半功倍.九年。
二次函数的对称性与像形态
二次函数的对称性与像形态二次函数是一个非常重要的数学概念，用于描述曲线的形状和性质。
其中，对称性和像形态是二次函数的两个重要方面。
本文将介绍二次函数的对称性和像形态，并分析它们对函数图像的影响。
一、二次函数的对称性对称性是指函数图像相对于某个特定的线、点或面的性质。
在二次函数中，存在三种常见的对称性，分别是关于x轴的对称、关于y轴的对称和关于原点的对称。
1. 关于x轴的对称二次函数y = ax^2 + bx + c 关于x轴对称，意味着如果点(x, y)位于函数图像上，那么点(x, -y)也位于函数图像上。
这种对称性可以用来确定函数图像的部分特征，如顶点、切线和对称轴。
2. 关于y轴的对称二次函数y = ax^2 + bx + c 关于y轴对称，意味着如果点(x, y)位于函数图像上，那么点(-x, y)也位于函数图像上。
这种对称性可以帮助我们判断函数图像的左右部分的性质和特征。
3. 关于原点的对称二次函数y = ax^2 + bx + c 关于原点对称，意味着如果点(x, y)位于函数图像上，那么点(-x, -y)也位于函数图像上。
这种对称性可以用来确定函数图像的整体形状和关键点的位置。
二、二次函数的像形态像形态是指函数图像的整体形状。
在二次函数中，像形态由二次项的系数a的正负和大小决定。
1. a > 0 的情况当二次项的系数a大于0时，函数图像开口向上，并且函数的最小值（顶点）在图像的最下方。
这种形状通常被称为"U型"形。
2. a < 0 的情况当二次项的系数a小于0时，函数图像开口向下，并且函数的最大值（顶点）在图像的最上方。
这种形状通常被称为"倒U型"形。
3. a = 0 的情况当二次项的系数a等于0时，函数图像为一条水平直线。
这种情况下，二次函数退化为一次函数。
三、对称性与像形态的影响对称性和像形态之间存在一定的关联。
具体来说，关于x轴的对称性和关于y轴的对称性会影响函数图像的对称轴、顶点和切线的位置；而a的正负和大小则决定了函数图像的开口方向和最值的位置。
二次函数的对称性与像特征
二次函数的对称性与像特征二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像形态与一次函数有很大的不同。
在学习二次函数时，我们需要理解其对称性与像特征，这对于解题和分析二次函数的性质非常重要。
1. 顶点对称性二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是凸起或凹陷的最高或最低点。
顶点对称性是指二次函数图像关于顶点对称。
具体而言，如果顶点的坐标为（h，k），则二次函数图像上任意一点P的坐标（x，y）满足关系式：y = k + a(x - h)^2其中，a是二次函数的参数，决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上，称为凸抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为凹抛物线。
2. y轴对称性二次函数的图像也具有y轴对称性，即图像关于y轴对称。
这意味着当图像中的一点P的坐标为（x，y）时，点P'的坐标为（-x，y）。
具体而言，对于二次函数图像的任意点（x，y），都有关系式：f(x) = f(-x)3. x轴对称性二次函数的图像也具有x轴对称性，即图像关于x轴对称。
这意味着当图像中的一点P的坐标为（x，y）时，点P'的坐标为（x，-y）。
具体而言，对于二次函数图像的任意点（x，y），都有关系式：f(x) = -f(-x)4. 零点与判别式二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式计算零点。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，b^2 - 4ac被称为判别式，通过判别式的正负可以判断二次函数的零点情况：- 当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实数根；- 当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实数根；- 当判别式小于0时，二次函数没有实数根。
5. 极值与开口方向对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其顶点坐标可以通过计算公式 h =-b / (2a) 和 k = f(h) 获得。
(文章)利用抛物线的对称轴解题
利用抛物线的对称轴解题抛物线的对称轴是二次函数的一个重要特性，巧用这个对称性，能使求解变得简洁，下面举例说明；1. 用对称比大小例1、已知二次函数234y x x =--，若x x 2132320->->，试比较1y 与2y 的大小；解析：因为抛物线的对称轴为x =32，且3201->x ，x 2320->，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，因为x 1到对称轴x =32的距离为||x x 113232-=-，x 2到对称轴x =32的距离为||x x 223232-=-，由题意知：x x 2132320->->，即x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以21y y >2. 用对称求解析式例2. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解析：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 113=--，x 213=-+， 则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的解析式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的解析式为顶点式：y a x =++()142，把（2，0）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为y x =-++49142()；解法(2)：设抛物线的解析式为两点式：(4)y a x =+（x-2），把（－1，4）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为：4(4)9y x =-+（x-2）；3. 用对称性解答方程问题例3. 关于x 的方程x px 210++=（p >0）的两根之差为1，则p 等于（ ） A. 2 B. 4 C.3 D.5解析：设方程x px 210++=的两根为x 1、x 2，则抛物线y x px =++21与x 轴两交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0）因为抛物线的对称轴为x p =-2，所以x p 1212=--，x p 2212=-+， 因为x x 121⋅=，所以()()---+=p p 2122121，得：p 25=，因为p >0，所以p =5 故选D。
二次函数图象对称性的题型归类
-3.3
2、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a≠0)与x 轴 交于A(x1,0)、B(3,0) 两点，则线段AB的长度 为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
D
(三)求代数式的值(函数值)
1、抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是 直线 x=1 ，且经过点 P（3，0），则a－b+c 的值为 ( ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是 A(x1,0)，且其对称轴是x=m，则另一个交点B的坐 标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处 在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）
x2=2m-x1
x2=2m-x1
5、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点，0与x1+x2关于 对称
几个重要结论：
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线：
3、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， 若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：
2、若抛物线与轴的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)， 则抛物线的对称轴是：
离对称轴越近 函数值越大
A
离对称轴越近 函数值越小
1、如图函数 y=x2－x+m(m为常数)的图象 如图，如果x= a 时，y＜0；那么x= a－1时， 函数值（ ） A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m
1
∴a-1<0
A
B
B(x1+x2,0)
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巧用对称性解二次函数问题
1、若点A （95- ，y 1）、B （73-，y 2）、C （3，y 3）在2552147y x x =+-的图象上，比较y 1、y
2、y 3的大小关系（用“＜”号连接）__________.
2、已知二次函数y=-x 2+3x -2图象上两点(x 1，y 1)与(x 2，y 2)且满足 232-x ＞12
3x -＞0，则y 1____ y 2(填“＞、=、＜”) . 3二次函数y =ax 2+bx +c 的部分对应值如下表：
则二次函数y=ax 2+bx+c 图象上的对称轴为直线x=_____；当x=2时对应的函数值y=____.
4、已知二次函数y =2x 2+9x -34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则自变量x 取x 1+x 2时的函数值与（ ）
（A ）x =1时函数值相等； （B ）x =0时函数值相等；
（C ）41=x 时函数值相等； （D ）4
9-=x 时函数值相等.
5、二次函数图象过点A （-1，0）， B （13,0）且顶点P 到x 轴的距离为3，求该二次函数的解析式.
6、如图,在直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0），连结OA，线段OA 绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB，（1）求经过A、O、B三点的抛物线解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求点C坐标；若不存在，请说出理由.
7、二次函数y=ax²+bx+1(a≠0)图像的顶点在第一象限，且过点（-1,0）。
设t=a+b+1,则t值的变化范围是
8、y=x²+(1-a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是。
x。