古典概型
古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
古典概型
5
6 7 8
(5,1)
(6,1) (7,1) (8,1)
(5,2)
(6,2) (7,2) (8,2)
(5,3)
(6,3) (7,3) (8,3)
(5,4)
(6,4) (7,4) (8.4) (6,5) (7,5) (8,5)
(5,6)
(5,7)
(6,7)
(5,8)
(6,8) (7,8)
(7,6) (8,6) (8,7)
共有64个等可能事件
（摸球问题）:一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球，从中摸出一个球，放回后再摸出一球。 ② 求摸出两个球至少有一个是黄球的概率；
1 1 2 3 4 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)
（摸球问题）:一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球， 从中依次摸出两个球。 ② 求摸出两个球至少有一个是红球的概率；
1 1 2 3 4 (2,1) (3,1) (4,1) (3,2) (4,2) (4,3) 2 (1,2) 3 (1,3) (2,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)
古典概型-简单-讲义
古典概型知识讲解一、基本事件的两个特点1.任何两个基本事件是互斥的；2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的概念概念：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．三、古典概型的特征1.有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；2.等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．注：判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．四、古典概型计算公式及步骤1. 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；2. 如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=mn．3. 古典概型的计算步骤：(1) 阅读题目，收集信息，理解题意：(2) 判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件：(3) 计算基本事件的个数n和所求事件中包含的基本事件个数：(4) 计算所求事件的概率mPn．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2015?广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．2．（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．3．（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．4．（2018?宣城二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A．5．（2015?新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．二．填空题（共3小题）6．（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．7．（2016?江苏模拟）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．8．（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．三．解答题（共3小题）9．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机连续摸取3次，每次取1个球，求：（1）不放回抽样时，摸出2个白球，1个黑球的概率．（2）有放回时，摸出2个白球，一个黑球的概率．【解答】解：（1）不放回抽样时，从10个球中摸出3个，基本事件数是==120；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是?=?2=56；∴它的概率为P==；（2）有放回时，从10个球中摸出3个，基本事件数是10×10×10=1000；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是8×8×2=128；∴它的概率为P==．10．将某校高三年级300名学生的毕业会考数学成绩进行整理后，分成五组，第﹣组[75，80），第二组[80，85），第三组[86，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分．（1）请在图中补全频率分布直方图并估算这300名学生数学成绩的中位数；（2）若M大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官B的面试，求第4组中至少有1名学生被考官B面试的概率．【解答】解：（1）根据频率和为1，计算第五组[95，100]的频率为1﹣0.03×5﹣0.05×5﹣0.06×5﹣0.04×5=0.1，又频率组距==0.02，补全频率分布直方图如图所示∵0.03×5+0.05×5=0.40＜0.5，0.40+0.06×5=0.70＞0.5，∴中位数在第三组[85，90）中，设为x，则（x﹣85）×5+0.40=0.50，解得x=87；估算这300名学生数学成绩的中位数87；（2）第3组有学生300×0.06×5=90人，第4组有学生300×0.04×5=60人，第5组有学生300×0.02×5=30人；用分层抽样的方法从中抽取6人，则第3组抽取3人，记为a、b、c，第4组抽取2人，记为D、E，第5组抽取1人，记为f；从这6名学生中随机抽取2人，基本事件为ab、ac、aD、aE、af、bc、bD、bE、bf、cD、cE、cf、DE、Df、Ef共15种，第4组中至少有1人被抽取的基本事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE、Df、Ef共9种，故所求的概率为P==．11．某学校阅览室订有甲，乙两类杂志，据调查，该校学生中有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志．求学生中至少读其中一类杂志的概率？【解答】解：有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志，则学生中至少读其中一类杂志的读甲，乙两类杂志的有70%+45%﹣22%=93%，故学生中至少读其中一类杂志的概率0.93。
古典概型
(3)恰有两位乘客在同一层离开,由于没有规定在哪一层离开,故有 种离开方式,有两人在某一层离开,有 种离开方式,其余4人的离开方式不在同一层离开,这有以下三种方式：4人在同一层离开共有 种离开方式;有3个人在同一层离开,另一个人在其余8层中的任一层离开,共有 种可能;4个人都不在同一层离开,共有 种结果.于是,有利结果数为
[例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.
解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型 ,而有利事件 发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以
一、古典概型
一个随机试验,数学上是用样本空间 、事件域 和概率 来描述的.对一个随机事件 ,如何寻求它的概率 是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:
对于一个试验 ,如果具有:
(1)样本空间 的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为 个,并记它们为 ,
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有
.
[例7] 9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，求事件 ：每一组有一名女生，及事件 ：3 名女生在同一组中的概率.
解：(1)9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，共有 种分法.
对于事件 ,先将男生分到组里去,每组2名,这有 种,再将女生分到每一组,每组一名,共有3!种,因此 的有利样本点共有 种.所以
古典概型
练 习 巩 固
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： (1)两枚硬币都出现正面的概率是 0.25 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5
4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案 中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出 其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 0.25
上述试验和例1的共同特点是： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。
我们将具有这两个基本特点的概率模型称为
古典概率模型，简称古典概型。 古典概型具有两大特征：有限性、等可能性。 只具有有限性的不是古典概型，只具有等可 能性的也不是古典概型。 例如，在适宜的条件下，种下一粒种子观察 它是否发芽。 在0.6——2.8中间取实数。
练 习 巩 固
2、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数 都是奇数的概率。
解：试验的样本空间是
Ω={(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)}
∴n=10 用A来表示“两数都是奇数”这一事件， 则 A={(13)，(15)，(3,5)} ∴m=3 ∴P(A)=
练1：连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚
硬币出现正面还是反面。 （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求出基本事件的总数；
在一次试验中，所有
基本事件空间={（正正
可能发生的每一个基 本结果，都称为一个 基本事件，所有基本 事件构成的集合称为 基本事件的空间。
正）（正正反）（正反 正）（正反反）（反正 正）（反正反）（反反 正）（反正正）} 基本事件总数是8。
古典概型
={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 表示" 用B表示"恰有一件次品"这一事件, 表示 恰有一件次品"这一事件, 则 (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } B={ ∴m=4 ∴P(B) = 4
9
练 习 巩 固
从含有两件正品a,b和一件次品 的三件产品中任取2 和一件次品c的三件产品中任取 1 从含有两件正品 和一件次品 的三件产品中任取 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 件,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解:试验的样本空间 ={ab,ac,bc} ∴n = 3 设事件A={取出的两件中恰好有一件次品 ,则 取出的两件中恰好有一件次品}, 设事件 取出的两件中恰好有一件次品 A={ac,bc} ∴m=2 ∴P(A)=
∴n = 1000000
表示" 用A表示"能取到钱"这一事件,它包 表示 能取到钱"这一事件, 含的基本事件的总数只有一个. 含的基本事件的总数只有一个.
∴m=1 ∴P(A) =
1 = 0 .0 0 0 0 0 1 1000000
和一件次品c的三件产品 例5,从含有两件正品 和一件次品 的三件产品 ,从含有两件正品a,b和一件次品 中每次任取1件 每次取出后不放回, 中每次任取 件,每次取出后不放回,连续取两 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 次,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 每次取一个, 解:每次取一个,取后不放回连续取 两次, 两次,其基本事件是
小 结
古典概型
练习： 练习：
1、同时抛掷1角与 元的两枚硬币，计算： 、同时抛掷 角与 元的两枚硬币，计算： 角与1元的两枚硬币 (1)两枚硬币都出现正面的概率是（ ） 两枚硬币都出现正面的概率是（ 两枚硬币都出现正面的概率是 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是（ ） 一枚出现正面， 一枚出现正面 一枚出现反面的概率是（ 2、在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题，不定项选 、在标准化的考试中既有单选题又有不定项选择题， 28 择题是从A， ， ， 四个选项中选出所有正确的答案 四个选项中选出所有正确的答案， 择题是从 ，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们 45 可能有一种感觉，如果不知道答案，不定项选择题很难猜对，这 可能有一种感觉，如果不知道答案，不定项选择题很难猜对， 是为什么？ 是为什么？ 3、在10支铅笔中，有8支正品和 支次品。从中任取 支，恰好 、 支铅笔中， 支正品和2支次品 支铅笔中 支正品和 支次品。从中任取2支 都取到正品的概率是（ 都取到正品的概率是（ ）
（有限性） 有限性）
(2)每个基本事件出现的可能性相等。 (2)每个基本事件出现的可能性相等。
（等可能性） 等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概 率模型， 古典概型。 率模型，简称古典概型。
对于古典概型，任何事件A 对于古典概型，任何事件A的概率为： A包含的基本事件的个数 P（A）=———————————— 基本事件的总数
小结
1．古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型。 2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
A所包含的基本事件的个数 P A）＝ （ 基本事件的总数
古典概型
答：同时掷两颗骰子，共有36种不同的结果；点 数之和是3的倍数的结果共有12种；点数之和是3 的倍数的概率为 1 .
3
P(A)11 1m nn n n
m个
P (A )事 件 基 A 包 本 含 事 的 件 基 的 本 总 事 数 件 数 m n
古典概型
【典型例题】
一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只黑球， (1)从中一次摸出一个球，求摸得黑球的概率. (2)从中一次摸出两只球， （i）共有多少个基本事件？ （ii）摸出的两只球都是白球的概率是多少？
解：（1） 2 . 5
古典概型
【典型例题】
（2）（i）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号， 从中摸出2只球，有如下基本事件： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， （2，3），（2，4），（2，5）， （3，4），（3，5），（4，5）， 因此，共有10个基本事件． （ii）上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3 个基本事件是摸到两只白球（记为事件A），即 （1，2），（1，3），（2，3）， 故P（A）＝ 3 ．
古典概型
【变式训练】 （2）第1颗骰子抛掷，向上的点数为1，2，3，4，5， 6这6个数中的某一个，第2颗骰子抛掷时都可以有两种 结果，使两次向上的点数和为3的倍数（例如，第1次 向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两 次的点数之和都为3的倍数），于是共有6×2＝12．
（3）因为同时掷两颗骰子得到的36种结果是等 可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数” 为事件Ａ，则事件Ａ 的结果有12种，故所求的概 率为 P(A) 12 1 .
10
古典概型
【变式训练】
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， 问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数 之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之 和是3的倍数的概率是多少？
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Classical Probability Model
引例1【抽样概率】
某公司有员工1000人,各年龄段的人数见下表
员工的年龄段 频数 频率
20-24 25-34 35-44
45-54 55-64 65以上
54 366 233
180 125 42
0.054 0.366 0.233
0.18 0.125 0.042
i 1
n
3. 事件的交（或积）:A与B同时发生，记作 AB或AB
n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件：事件A发生而B不发生称为事件A与B的差， 记为A－B
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互不相容（互斥）事件：或事件A、B不能同时发生，
即AB＝ ，则称A、B互斥
引例2【产品检验】
100只外型一样的同型号三极管中,按电流放大系数分类,
有60只属于一类,40只属于二类,求下列两种抽样方式下
事件“从100只抽取2只全是二类”发生的概率
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再随机地抽取下一只; (2). 每次抽取一只,测试后不放回,然后再在余下的三极管 中随机地抽取下一只 解：设A=第一次取到的三极管； B＝第二次取到的三极管
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
引例2【产品检验】
100只外型一样的同型号三极管中,按电流放大系数分类,
有6抽取2只全是二类”发生的概率
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再随机地抽取下一只; (2). 每次抽取一只,测试后不放回,然后再在余下的三极管 中随机地抽取下一只 解：设A=第一次取到的三极管是二类的； B＝第二次取到的三极管是二类的
在（1）中，因为第二次取三极管时，还有100只，所以
1 1 C40 C40 所以 P(AB) 1 1 C100 C100 16 100 0.16
在（2）中，因为第二次取三极管时，只有99只，所以
1 1 C40 C39 所以 P(AB) 1 1 C100 C99
40 39 2 13 0.1576 100 99 5 33
6. 互逆事件（或对立事件） AB＝ , 且AB＝
记作B A ，称为 A的对立事件 ; 易见A B AB
A
事件的运算律
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA
2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律（反演律）：
(3)一次拿1件，取后不放回拿3次,取出的3件中恰好有 1件次品
P(C ) 2 98 97 3 0.0588 100 99 98
例、一批产品共有20个，其中16个正品，4个次品，从 这批产品中任取3个，求其中至少有一件次品的概率。 解： 设A＝”取出的3件产品中至少有1件次品”， Ai＝ “取出的3件产品中恰好有i件次品” （i=1,2,3） 则有A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3，互不相容 其 1 2 2 1 C4 C16 C4 C16 P( A1 ) 0.4211 P( A2 ) 0.0842 它 3 3 C20 C20 3 方 C4 P( A3 ) 3 0.0035 法 C20 ？ P( A) P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A )
1 2 3 1 2 3
0.4211 0.0842 0.0035 0.5088
小结
1、概率的概念； 2、概率事件的运算法则；
3、概率的性质；
4、古典概率模型
1、在箱中装有100个产品，其中有3个次品，从这 箱产品中任意抽取5个产品，求下列事件的概率： （1）、A＝ “至少有1件次品”； （2）、B＝ “至少有2件次品” 2 、某市有甲 , 乙 , 丙三种报纸 , 订每种报纸的人数 分别占全体市民人数的 30%, 其中有 10% 的人同 时订甲 , 乙两种报纸 . 没有人同时订甲丙或乙丙报 纸，也没有人同时订甲乙丙三种报纸.求从该市任 选一人,他至少订有一种报纸的概率.
引例2【产品检验】
100只外型一样的同型号三极管中,按电流放大系数分类,
有60只属于一类,40只属于二类,求下列两种抽样方式下
事件“从100只抽取2只全是二类”发生的概率
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再随机地抽取下一只; (2). 每次抽取一只,测试后不放回,然后再在余下的三极管 中随机地抽取下一只 解：设A=第一次取到二类三极管； B＝第二次取到二类三极管
现从公司任选一人,问此人年龄在35-44岁的概率
概率研究什么？
——随机现象
如果某种现象,它发生的结果有多种可能,但试验 结束前,不能确定究竟发生哪一种结果.那么这种现象
叫随机现象
随机现象：不确定性与统计规律性 对随机现象进行观察的过程称为随机试验,简称 试验.
随机实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件 两个特殊事件: 必然事件 ；不可能事件.
如何用A、B表示问题(1)和(2)? 事件的关系与运算 1.包含关系“ A发生必导致B发生”记为AB 事件相等 A＝B AB且BA.
2. 事件的并（或和）：事件A与B至少有一个发生， 记作AB或 A B
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 Ai
i 1
n
也就是 Ai A1 A2 An
k 事件A在n次重复试验中出现k次 ，则比值 称为事件 n
A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即
k fn(A)＝ n
一般地，在试验次数n相当大时，事件A发生的频率
近似于事件A的概率P(A),即
P(A)＝ fn( A) 引例1的解 设A＝抽到的这个人的年龄在35-44岁
k n
233 P(A)＝ fn( A) 1000
引例2的(1)和(2)能不能表示为：
P（AB）
(1)和(2)的计算公式是否相同？
概率的基本公式
(1)加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；
(2) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互不相容的事 件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (3) 单调不减性：若事件AB， 则P(A)≥P(B) (4)事件差A、B是两个事件， 则P(A-B)=P(A)-P(AB) (5)互补性：P( A )＝1－ P(A);
C＝一次拿1件，取后不放回拿3次,取出的3件中 恰好有1件次品；
(1)一次拿3件，取出的3件中恰好有1件次品
2 1 C98 C2 P( A) 0.0588 3 C100
(2)一次拿1件，取后放回拿3次,取出的3件中恰好有1件
次品
2 982 P( B) 3 3 100
0.0576
案例【产品检验】 设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意 抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿 3次; 每次拿1件,取后不放回拿3次),试求取出的3件中恰 好有1件次品的概率 解：设A=一次拿3件，取出的3件中恰好有1件次品； B＝一次拿1件，取后放回拿3次,取出的3件中恰 好有1件次品；