文件中国矿业大学周圣武概率论与数理统计5第五章 大数定律与中心极限定理.ppt
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概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
概率论与数理统计 第5章 大数定律和中心极限定理
5.1 大 数 定 律 作为上述定理得特殊情况，可以得到如下重要定 理： 定理 5.3 （伯努利大数定律）设 nA 是 n 重伯努利试 验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中 发生的概率，则对于任意正数，有
nA P nA 即 (5.4) p ( n ) limP p 1 n n n
第五章 大数定律和中心极限定理 【吸烟率调查问题】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将 被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在 要保证有 90% 以上的把握，使得调查对象吸烟者的
频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于
5%，问至少要调查多少对象？
5.1
大 数定 律
对某个随机变量 X进行大量的重复观测，所得到 的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于 这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的 条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时 出现的规律统称为大数定律．
即对于任意正数，有
1 n limP X i 1 n n i 1
1 n P X (n ) 也即 (5.3) i n i 1 n n 1 1 1 证：因为 E ( X i ) E ( X i ) n n n i 1 n i 1 1 n 1 D( X i ) 2 n i 1 n
nA p 实际上几乎是必定要发生的，即对于给 n
用事件发生的频率来近似地代替事件发生的概率．
5.1 大 数 定 律 上 述 契 比 谢 夫 大 数 定 律 中 要 求 随 机 变 量 X1 ， X2 ， … ， Xn ， … 的方差存在，实际上，在高等概率
论中已经证明了在不要求D(Xi)（i = 1，2，…）存在
概率论与数理统计 第二版 第五章 大数定律及中心极限定理
( (2)=0.977, 其中 (x)是标准正态分布函数. )
解 设Xi表示 “装运的第i箱的重量”(单位:千克), n为所n求箱数,则X1, X2,
, X n相互独立同分布, n箱的总重量 T n =X1+X2+ +X n = Xi ,且 E(Xi)=50,
D(Xi)=25, 由林德伯格-列维中心极限定理知
n
i 1
n
P{Tn
5000}=P{
n i 1
Xi
5000
}=P
i
1
Xi 50n
5n
5000
50n
=P
i 1
5n
Xi 5
50n
1000
10n
n
n
( 1000 10n) >
0.977=(2) ,
解得 n < 98.0199 ,
n
所以每辆汽车最多装 98 箱 .
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.2 中心极限定理
μ
|
ε}
1,
1 n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
μ|
ε}
0
.
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律
例1 (P149例1)设随机变量X1 , X2 , , X n , 相互独立同服从参
数为 2的指数分布, 则当n∞时, Yn =
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于
____
.
解 因为随机变量 X1 , X2 , , X n 相互独立同分布, 所以
定理1 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n ,
解 设Xi表示 “装运的第i箱的重量”(单位:千克), n为所n求箱数,则X1, X2,
, X n相互独立同分布, n箱的总重量 T n =X1+X2+ +X n = Xi ,且 E(Xi)=50,
D(Xi)=25, 由林德伯格-列维中心极限定理知
n
i 1
n
P{Tn
5000}=P{
n i 1
Xi
5000
}=P
i
1
Xi 50n
5n
5000
50n
=P
i 1
5n
Xi 5
50n
1000
10n
n
n
( 1000 10n) >
0.977=(2) ,
解得 n < 98.0199 ,
n
所以每辆汽车最多装 98 箱 .
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.2 中心极限定理
μ
|
ε}
1,
1 n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
μ|
ε}
0
.
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律
例1 (P149例1)设随机变量X1 , X2 , , X n , 相互独立同服从参
数为 2的指数分布, 则当n∞时, Yn =
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于
____
.
解 因为随机变量 X1 , X2 , , X n 相互独立同分布, 所以
定理1 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n ,
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计5第五章-大数定律与中心极限定理PPT课件
可知，当 n时，有
1 n
ni1
Xi
P E(X1)a
因此我们可取 n 次测量值 x1,x2, ,xn的算术平均值
5
请注意 :
Xn依概率收敛于a，意味着对任意给定的0，
当n充分大时，事件Xna的概率很大，接近于 1； 并不排除事件Xna的发生，而只是说他发生的
可能性很小 . 依概率收敛比中 高的 等普 数通 学意义下
弱些，它具有定 某性 种 . 不确
6
命题 （切比雪夫Chebyshev不等式）
设随机变量X 的数学期望 E (X )和 方 差 D （ X ） 2
n
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
3
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
4
定义1 设随机变量序列 X1,X2, ,Xn，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
ln i m P{X |na|}1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 Xn Pa.
存在，则对任意 0, 不等式
P{|XE(X)|}D(X 2 )
或 P{|XE(X)|}1D (X 2)成立，
则称此式为切比雪夫不等式。
证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x )
7
则 P {|XE (X)|} f(x)dx |xE (X)|
|xE(X)|[xE 2(X)]2 f(x)dx
又由于各次试验相互独立，所以
X1,X2, ,Xn独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{n| Ap|}1
n n
17
例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论与数理统计第5章-大数定律与中心极限定理
又设函数 g ( x , y ) 在点 (a , b ) 连续,
P 则 g( X n , Yn ) g(a , b ).
证明
因为 g( x , y ) 在 (a , b) 连续,
0, 0,
g( x , y ) g(a , b) ,
g ( x, y) g (a, b) ,
因此0 P{ g( X n , Yn ) g(a, b) }
n 0, P X n a P Yn b 2 2
P 则 g( X n , Yn ) g(a , b).
[证毕]
定理5.1(贝努里大数定律) 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的 次数, p是事件A在一次试验中发生的概率, 则对于任意的 0, 有
P P 注 : 若X n X , Yn Y , 则 P P (1) X n Yn X Y ;(2) X n Yn X Y;
Xn P X (3) X nYn XY ;(4) Yn Y
P
依概率收敛序列的性质
P P 设 Xn a , Yn b, (a , b为常数）
第五章 大数定律与中心极限定理
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机 试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动， 逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。 正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广 泛的应用。 中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机 变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分 布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统 计中具有重要地位。
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
ห้องสมุดไป่ตู้
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
理学大数定律及中心极限定理PPT课件
k 1
其中 X 1 ,, X n 相互独立且都服从于两点分布，且
EX k p，DX k pq
n
X k n
由定理1有结论成立。
lim P{ k1
n
n
x}
1
x t2
e 2 dt
2
第14页/共29页 目 录 前一页 后一页 退 出
第五章 大数定律及中心极限定理
推论：
lim
P{
n
np
n
npq
P{X r} 0.999
目 录 前一页 后一页 退 出 第16页/共29页
第五章 大数定律及中心极限定理
而 P{X r}
P{a n b}
( b np ) ( a np )
npq
npq
( r 200 0.6 ) ( 200 0.6 )
200 0.6 0.4
200 0.6 0.4
设不超过的界限为，则应有：
P
X 6000
-
1 6
0.99
由德莫佛-拉普拉斯定理 目 录 前一页 后一页 退 出 第20页/共29页
第五章 大数定律及中心极限定理
P
X 6000
-
1 6
n 6000, p 1 / 6.
lim
P{
n
np
x}
( x)
n
npq
P
X 6000 1/ 6
6000
EX k , DX k 存在，令：
n
n
Yn ( Xk EXk ) /
k 1
k 1
n
DXk ,
k 1
若对任意 x R1 有
1 x t2
lim
n
P{Yn
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弱些，它具有某种不确定性.
优选
6
命题 （切比雪夫Chebyshev不等式）
设随机变量X 的数学期望 E(X ) 和方差D（X） 2
存在，则对任意 0 , 不等式
P{|
X
E(X
) |
}
D(X )
2
或
P{| X
E(X
)
|
}
1
D( X
2
)
成立，
则称此式为切比雪夫不等式。
证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 f (x)
由切比雪夫不等式
P{ X EX
2100}
1
D( X ) (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。
优选
11
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
字母使用频率
大量的随机现象中平均结果的稳定性
设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， P是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，有
lim P{| nA p | } 1 或
n
n
即 nA P p . n
lim P{| nA p | } 0
n
n
证明 引入随机变量
Xi
1, 0，
第i次试验中A发生，
第i次试验中A不发生，i
1，2，
优选
16
显然 nA X1 X 2 X n 且 E（X）i p ， D（Xk） p（1 p），k 1,2, n
中心极限定理：对于随机变量序列 X1, X 2, , X n
n
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
优选
3
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
优选
4
定义1 设随机变量序列 X1, X 2, , X n ，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
n
E(Xi)
i 1 优选
1 n
n i1
13
D(1 n
n i1
Xi)
1 n2
n
D(Xi )
i1
1 n2
n
2
i1
2
n
由切比雪夫不等式得：
1
P{|
1 n
n k 1
Xk
|
} 1
2 n 2
所以
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
|
} 1
注：当n充分大时，
1 n
n i 1
Xi
差不多不再是随机的了，
9
若
优选
9
例1 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7.
求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?
解 设X 为同时开的灯数。X ~ b(104,0.7)
由二项分布 E(X ) np 7000 D(X ) npq 2100
7200
P{6800 X 7200}
C
k 104
其取值接近于其数学期望的概率接近于1.
优选
14
定理2（辛钦定律）
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
且具有相同的数学期望 E(Xi ) ,i 1,2,
则
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
|
} 1
辛钦
辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。
优选
15
定理3（伯努利大数定律）
0.7
k
0.310k
k 6800
用切比雪夫不等式
P{6800 X 7200}
P{6800 7000 X 7000 7200 7000}
P{
X
7000
200}
1
优选
2100 2002
0.95
200
10
例2 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式
lim
n
P{|
X
n
a
|
}
1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 X n Pa .
优选
5
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n a 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n a 的发生，而只是说他发生的
可能性很小. 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛
D(
X
2
)
.
优选
8
P{|
X
E(X
)
|
} 1
D( X
2
)
可见D(X) 越小，事件 {| X | }的概率越接近1。
X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。
例如：对未知分布X，取 3 , 2 ,
P{|
X
|
2} 1 2
/2 2
3 4
0.75
P{| X | 3} 1 2 / 3 2 8 0.89
可知，当 n 时，有
1
n
n i1
Xi
P E( X1)
a
因此我们可取 n 次测量值 x1, x2, , xn 的算术平均值
作为a
得近似值，即
a
1n n优i选1
xi ,当n充分大时误差很小。
优选
12
几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列，
它们都有相同的数学期望 E(Xi ) 和方差D（X）i 2
则
1
n
n i1
Xi
P
.
即对任意的ε> 0，
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi
|
}
1
证明
E(1 n
n i1
Xi)
1 n
第五章 大数定律与中心极限定理
一、大数定律 二、中心极限定理
优选
1
本章是关于随机变量序列的极限理论。
目的是从理论上对第一章中提出的“频率的 稳定性”给出严格的数学证明。
大数定律：对于随机变量序列 X1, X 2, , X n
描述其平均值
1 n
n i1
Xi
在什么条件下以什么形
式呈现出稳定性。
优选
2
估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 .
解 设每毫升白细胞数为X
依题意，EX =7300,DX =7002 所求为
P{5200 X 9400}
P{5200 7300 X 7300 9400 7300}
P{2100 X EX 2100} P{ X EX 2100}
又由于各次试验相互独立，所以
X1, X2,
, X n 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{| nA p | } 1
n
n
优选
17
例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？
解 在相同的条件下测量n 次，其结果为
X1, X 2, , X n，它们可看成是相互独立、相同分布的
随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律
优选
7
则 P{| X E(X ) | } f (x)dx |xE( X )|
|xE
(
X
)|[Biblioteka xE(2
X
)]2
f (x)dx
[x
E( X )]2
2
1
1
2
[x
E(
X
)]2
f
(x)dx
D(X )
2
注：Chebyshev不等式对随机变量在以 E(X )为中心
的一个ε邻域外取值的概率给出了一个上界
优选
6
命题 （切比雪夫Chebyshev不等式）
设随机变量X 的数学期望 E(X ) 和方差D（X） 2
存在，则对任意 0 , 不等式
P{|
X
E(X
) |
}
D(X )
2
或
P{| X
E(X
)
|
}
1
D( X
2
)
成立，
则称此式为切比雪夫不等式。
证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 f (x)
由切比雪夫不等式
P{ X EX
2100}
1
D( X ) (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。
优选
11
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
字母使用频率
大量的随机现象中平均结果的稳定性
设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， P是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，有
lim P{| nA p | } 1 或
n
n
即 nA P p . n
lim P{| nA p | } 0
n
n
证明 引入随机变量
Xi
1, 0，
第i次试验中A发生，
第i次试验中A不发生，i
1，2，
优选
16
显然 nA X1 X 2 X n 且 E（X）i p ， D（Xk） p（1 p），k 1,2, n
中心极限定理：对于随机变量序列 X1, X 2, , X n
n
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
优选
3
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
优选
4
定义1 设随机变量序列 X1, X 2, , X n ，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
n
E(Xi)
i 1 优选
1 n
n i1
13
D(1 n
n i1
Xi)
1 n2
n
D(Xi )
i1
1 n2
n
2
i1
2
n
由切比雪夫不等式得：
1
P{|
1 n
n k 1
Xk
|
} 1
2 n 2
所以
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
|
} 1
注：当n充分大时，
1 n
n i 1
Xi
差不多不再是随机的了，
9
若
优选
9
例1 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7.
求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?
解 设X 为同时开的灯数。X ~ b(104,0.7)
由二项分布 E(X ) np 7000 D(X ) npq 2100
7200
P{6800 X 7200}
C
k 104
其取值接近于其数学期望的概率接近于1.
优选
14
定理2（辛钦定律）
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
且具有相同的数学期望 E(Xi ) ,i 1,2,
则
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
|
} 1
辛钦
辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。
优选
15
定理3（伯努利大数定律）
0.7
k
0.310k
k 6800
用切比雪夫不等式
P{6800 X 7200}
P{6800 7000 X 7000 7200 7000}
P{
X
7000
200}
1
优选
2100 2002
0.95
200
10
例2 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式
lim
n
P{|
X
n
a
|
}
1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 X n Pa .
优选
5
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n a 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n a 的发生，而只是说他发生的
可能性很小. 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛
D(
X
2
)
.
优选
8
P{|
X
E(X
)
|
} 1
D( X
2
)
可见D(X) 越小，事件 {| X | }的概率越接近1。
X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。
例如：对未知分布X，取 3 , 2 ,
P{|
X
|
2} 1 2
/2 2
3 4
0.75
P{| X | 3} 1 2 / 3 2 8 0.89
可知，当 n 时，有
1
n
n i1
Xi
P E( X1)
a
因此我们可取 n 次测量值 x1, x2, , xn 的算术平均值
作为a
得近似值，即
a
1n n优i选1
xi ,当n充分大时误差很小。
优选
12
几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列，
它们都有相同的数学期望 E(Xi ) 和方差D（X）i 2
则
1
n
n i1
Xi
P
.
即对任意的ε> 0，
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi
|
}
1
证明
E(1 n
n i1
Xi)
1 n
第五章 大数定律与中心极限定理
一、大数定律 二、中心极限定理
优选
1
本章是关于随机变量序列的极限理论。
目的是从理论上对第一章中提出的“频率的 稳定性”给出严格的数学证明。
大数定律：对于随机变量序列 X1, X 2, , X n
描述其平均值
1 n
n i1
Xi
在什么条件下以什么形
式呈现出稳定性。
优选
2
估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 .
解 设每毫升白细胞数为X
依题意，EX =7300,DX =7002 所求为
P{5200 X 9400}
P{5200 7300 X 7300 9400 7300}
P{2100 X EX 2100} P{ X EX 2100}
又由于各次试验相互独立，所以
X1, X2,
, X n 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{| nA p | } 1
n
n
优选
17
例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？
解 在相同的条件下测量n 次，其结果为
X1, X 2, , X n，它们可看成是相互独立、相同分布的
随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律
优选
7
则 P{| X E(X ) | } f (x)dx |xE( X )|
|xE
(
X
)|[Biblioteka xE(2
X
)]2
f (x)dx
[x
E( X )]2
2
1
1
2
[x
E(
X
)]2
f
(x)dx
D(X )
2
注：Chebyshev不等式对随机变量在以 E(X )为中心
的一个ε邻域外取值的概率给出了一个上界