特征线方法在求解偏微分方程中的应用研究
用特征曲线法求解线性偏微分方程
相 应 地 ，（３）式 的 解 记 为 ：
U (t ) = u ( x (t , ξ ,η ), y (t , ξ ,η ), z (t , ξ ,η )) （６）
不相交。 在整个区域 D 内， 所有的特征曲线 “平行” 地布满 D 。 此时方程（１）的未知函数的 v 一阶偏导数线性组合在各特征曲线 γ 上只随 换 t 的变化而变化，从而可转化为对 t 的导数。 句 话 说 ， 将 ( x, y , z , u ) 所 在 区 域 ( D, u ) ⊂ R4 沿 v v 曲面 (γ , u ) （即 (ξ ,η ) 取定）剪开，在曲面 (γ , u ) 内未知函数是参数 t 的一元函数。 方程（１）在此 曲面上就是一常微分方程。
5x − 2 y − 2( x7+ y ) x+ y )e − 1) + C1 ( ，其 7 7 中 C1 为 任 意 的 一 阶 连 续 可 导 函 数 。 再用特征曲线法解方程： v = 7e
− x+ y 7
于 是 ， 原 方 程 变 为 U t + L3U = G (t ) ， 其 中 U = u(x(t,ω), y(t,ω)) ， L3 = l3(x(t,ω), y(t,ω)) ，
学 术 论 坛
２０１０ ＮＯ．０４ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
科技资讯
用特征曲线法求解线性偏微分方程
王建鹏 １ 林毅 ２ 李祯 ３ （ １ ． 河海大学常州校区数理部 江苏常州 ２ １ ３ ０ ２ ２ ； ２ ．常州机电职业技术学院基础部 江苏常州 ２ １ ３ １ ６ ４ ； ３ ． 陕西省杨凌区西北农林科技大学理学院应用数学系 陕西杨凌 ７ １ ２ １ ０ ０ ） 摘 要 ： 特征曲线法是一种求解线性偏微分方程的基本方法． 但由于与几何背景相联系， 不易理解掌握． 本文总结了用特征曲线求解一 阶线性偏微分方程的思想方法，在此基础上，给出特征曲线法在一类二阶常系数线性偏微分方程求解问题上的推广。 关键词：偏微分方程 变量替换 特征曲线 方向导数 曲纹坐标 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号 ：１６７２－３７９１（２０１０）０２（ａ）－０２１７－０２
特征线理论及应用
由
得：
J J v 2 1 c (J J ) 4
J ( x3 , t ) J ( x3 , t ) v1 v2 2 c1 c2 v( x3 , t ) 2 2 1 2
( 1) c1 c2 1 v1 v2 c( x3 , t ) [ J ( x3 , t ) J ( x3 , t )] 4 2 2 2
C 与发自M点的 C 所包
C＋
P
D
围的区域，而这个区域 之外的地方，都不受M点 x 的影响。这个区域称为M 点的影响区。
Q
A
M
B
例：已知初始时刻 v(x,0), c(x,0) , 求D点的v(x,t), c(x,t)
t
CD (x3, t)
C+
A (x1, 0)
M
B (x2, 0)
x
解：在D(x3 , t)点，有
F1 A2
du
A1 u dx y A1
F1 du A2 A1du F1dx A1dy A2 dx
du dy F1dy A2 du u x A1dy A2 dx A1 A2 dx dy
dx dy
上两式表明： 即沿着特征线，
沿着特征线，分母和分子均为零。
例：一阶偏微分方程
u u 2x 3x 2 0 x y
u( x, y ) 的初始条件是
u(0, y ) 5 y 10
用特征线法确定： 1）通过点(2, 4)的特征线 2）沿此特征线的相容方程 3）u (2, 4) 的值
解：（1）对照一般形式的双曲型偏微分方程
u u 2 x 3x 2 0 x y
dx 1 3 ( ) C v c J J dt 4 4 dx 3 1 ( ) C v c J J dt 4 4
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。
如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。
本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。
该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。
具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。
将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。
由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。
这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。
2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。
该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。
具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。
进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。
该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。
3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。
由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。
微分方程的基本理论与解法
微分方程的基本理论与解法微分方程是数学中重要的工具和概念之一，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将介绍微分方程的基本理论和解法，帮助读者对微分方程有一个全面的了解。
一、微分方程的定义与分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程中未知函数只是一个变量的函数，而偏微分方程中未知函数是多个变量的函数。
二、微分方程的基本概念1. 阶数：微分方程中导数的最高阶数称为方程的阶数。
2. 解的概念：满足微分方程的函数称为其解。
3. 初值问题与边值问题：在给定一些初值或边值条件下寻找微分方程的解的问题称为初值问题或边值问题。
三、常微分方程的解法1. 可分离变量法：当微分方程可以写成形式 dy/dx = f(x)g(y) 时，可以通过分离变量的方法求解。
2. 齐次方程法：对于可以写成形式 dy/dx = F(y/x) 的方程，可以通过变量替换和分离变量的方法求解。
3. 一阶线性方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的方程，可以通过积分因子法求解。
4. 恰当方程法：对于形如 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 的方程，如果它是一个恰当方程，则可以通过找到势函数求解。
5. Bernoulli方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n 的方程，可以通过将方程进行变量替换后求解。
四、偏微分方程的解法1. 分离变量法：对于可以变为连乘形式的偏微分方程，可以通过分离变量的方法求解。
2. 特征线法：对于一阶偏微分方程，可以通过找到特征线并在特征线上进行求解。
3. 变量替换法：通过适当选择变量替换，将偏微分方程化为常微分方程进而求解。
五、微分方程的应用微分方程广泛应用于各个学科和行业中，如物理学中的运动方程、电路系统的分析、化学反应动力学等。
微分方程的解析解和数值解可以提供有关系统行为、稳定性和变化趋势等重要信息。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
高等数学中的偏微分方程方法
高等数学中的偏微分方程方法偏微分方程是数学中的一类非常重要的方程。
它们广泛应用于物理、工程和其他领域中，如热传导、电路等等。
因此，研究偏微分方程的方法和技巧尤为重要。
在高等数学中，有许多关于偏微分方程的方法，下面我们来介绍其中的几种。
1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程的一种常用方法。
这种方法的基本思想是假设解可以表示为形式为x、y、z等变量的函数之积的形式，然后通过代入相关偏微分方程中去求解出每个变量的解，最终将这些解组合起来得到总体解。
以拉普拉斯方程为例，其定义如下：$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$假设解为$u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$，则可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partialx^2}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partialy^2}+\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=0$由于等式左边是一个只关于x的函数与一个只关于y的函数之和，所以这个等式必须等于常数k。
因此，我们可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=k_1$，$\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}=k_2$，$\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=k_3$然后我们可以对每一个方程分别求解得到：$X(x)=Ae^{\sqrt{k_1}x}+Be^{-\sqrt{k_1}x}$，$Y(y)=Ce^{\sqrt{k_2}y}+De^{-\sqrt{k_2}y}$，$Z(z)=Ee^{\sqrt{k_3}z}+Fe^{-\sqrt{k_3}z}$最终得到的总体解形式为：$u=\sum_{n=1}^{\infty} C_ne^{(-\sqrt{k_1^2+k_2^2+k_3^2})r}sin(n_1x)sin(n_2y)sin(n_3z)$2. 特征线法特征线法是一种常用于解决一阶偏微分方程的方法。
特征值及其在偏微分方程中的应用
第３７卷 第５期２０１８年５月绵阳师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｉａｎｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓ＇ＣｏｌｌｅｇｅＶｏｌ．３７ Ｎｏ．５Ｍａｙ．，２０１８收稿日期：２０１７－１２－０５作者简介：徐循（１９８６－），女，湖北宜城人，讲师，硕士，研究方向：偏微分方程ＤＯＩ：１０．１６２７６／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ５１－１６７０／ｇ．２０１８．０５．００１特征值及其在偏微分方程中的应用徐 循（湖北工业大学工程技术学院公共课部，湖北武汉 ４３００６８）摘 要：本文应用特征值及特征函数解决了一类二阶自共轭椭圆偏微分方程的边值问题 先求出算子Ａ的特征向量｛φｋ｝∞ｋ＝１，然后在空间Ｗ１，２０（Ω）上的规范正交系｛φｋ｝ｍｋ＝１构成的有限维子空间中构造出方程的近似解，并通过能量估计定理将近似解取极限得到弱解，最后证明弱解的存在唯一性，从而得出弱解即是方程的通解关键词：Ｗ１，２０（Ω）；近似解；能量估计；弱解中图分类号：Ｏ１７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２ ６１２Ｘ（２０１８）０５ ０００１ ０３０ 引言偏微分方程边值问题的求解在当今的数学、物理及其在工业、航空等各方面的应用上都具有极其重要的意义，而一般来说它的求解都是复杂又繁琐的，本文要求解问题如下：Ａｕ＝ｆ 在Ω中ｕ＝０ 在Ω{上其中 Ａｕ＝－ ｎｉ，ｊ＝１Ｄｉ［ａｉｊ（ｘ）Ｄｊｕ］＋ｃ（ｘ）ｕ，（１）这里假定 ａｉｊ（ｘ）＝ａｊｉ（ｘ）∈Ｃ１（Ω—）， ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，（２）ｃ（ｘ）∈ｃ（Ω—），ｃ（ｘ） ０， 在Ω中，（３）满足一致椭圆型条件 ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ξｉξｊ ｜ξ｜２， ｘ∈Ω—，ξ∈Ｒｎ，α＞０．（４）１ 算子Ａ的特征值１．１ 空间ＨＡ与Ｗ１，２０（Ω）的相关定义ＨＡ是Ｃ２０（Ω）关于范数‖ｕ‖２Ａ＝［ｕ，ｕ］＝∫Ω［ ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ＤｉｕＤｊｕ＋ｃ（ｘ）ｕ２］ｄｘ的完备化空间，Ｗ１，２０（Ω）是Ｃ２０（Ω）关于范数‖ｕ‖２１，２＝∫Ω｜Ｄｕ｜２ｄｘ的完备化空间．按照变分法的常规思想，可以证明空间ＨＡ与Ｗ１，２０（Ω）的等价性，只需在Ｗ１，２０（Ω）中寻找方程的广义解．１．２ 算子Ａ的特征值，特征函数的求取１．２．１ 寻找算子Ａ最小特征值ｕ∈Ｗ１，２０（Ω），由条件（２）～（４）及Ｆｉｅｄｒｉｃｈｓ不等式，得出Ｑ（ｕ）＝Ａ（ｕ，ｕ）＝∫Ω［ ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ＤｉｕＤｊｕ＋ｃ（ｘ）ｕ２］ｄｘ α∫Ω｜Ｄｕ｜２ｄｘ＝α‖ｕ‖２１，２ｃ‖ｕ‖２２，ｃ＞０．（６）由此可知Ｊ（ｕ）＝Ｑ（ｕ）‖ｕ‖２２ｃ＞０， ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）．（７）此式说明，泛函Ｊ（ｕ）有正的下界．因此，如果定义λ１＝ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）Ｊ（ｕ）ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）Ｑ（ｕ）‖ｕ‖２２＝ｉｎｆｕ∈Ｗ１，２０（Ω）‖ｕ‖２＝１Ｑ（ｕ），（８）则λ ｃ＞０，且λ１是算子Ａ的最小特征值．１．２．２ 求出算子Ａ的所有特征值假设已经得到算子Ａ的ｍ－１个特征值λ１，…λｍ－１（ｍ ２），且λ１ λ２ … λｍ－１，对应于λ１，λ２…λｍ－１的特征函数为ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ－１，且‖ｕｋ‖２＝１，ｋ＝１，２，…ｍ－１．该函数组的线性组合成Ｌ２（Ω）的一个线性子空间，记为Ｖｍ－１＝ｓｐａｎ｛ｕ１，…ｕｍ－１｝，以Ｖ⊥ｍ－１表示Ｖｍ－１在Ｌ２（Ω）中的正交补空间．根据泛函Ｊ（ｕ）的有界性（７），可以求出算子Ａ的第ｍ个特征值λｍ＝ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）∩Ｖ⊥ｍ－１Ｊ（ｕ）ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）∩Ｖ⊥ｍ－１‖ｕ‖２＝１Ｑ（ｕ）由于Ｗ１，２０（Ω）是无限维空间，按照（８）得出算子Ａ的特征值的无限序列０＜λ１ λ２ … λｍ …，及其相应的特征函数序列ｕ１，ｕ２，…ｕｍ，…．２ 应用特征函数解决开篇提出的椭圆方程的边值问题以下是在有限维空间中构造近似解，并通过能量估计定理的保证将近似解取极限得到弱解，最后证明了弱解的存在唯一性的思路来源于Ｌａｗｒｅｎｃｅ．Ｃ．Ｅｖａｎｓ编著的ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ（第３４９～３５８页）［１］．设｛φｋ｝∞ｋ＝１是Ｗ１，２０（Ω）中的规范正交系，（φｉ，φｊ）＝０，ｉ≠ｊ现在就是想办法构造近似解ｕｍ，使其在｛φｋ｝ｍｋ＝１构成的有限维子空间上是方程的解令ｕｍ＝ ｍｋ＝１ａｋφｋ， （ ）并希望［ｕｍ，φｉ］＝Ａ（ｕｍ，φｉ）＝（ｆ，φｉ）． （ ）定理２．１ （近似解的建立） ｍ，存在具有形式（ ）的ｕｍ，满足（ ）．证明：假设存在ｕｍ，使［ｕｍ，φｉ］＝（ｆ，φｉ）．则 ｍｋ＝１ａｋ［φｉ，φｋ］＝（ｆ，φｉ） ｉ＝１，２，…，ｍ．由于系数行列式是非零的，故线性方程组有唯一一组解ａ１，ａ２，…ａｍ，并且 ｍｋ＝１ａｋ［φｉ，φｋ］＝ａ１［φｉ，φ１］＋…＋ａｉ［φｉ，φｉ］＋…＋ａｍ［φｉ，φｍ］＝ａｉ［φｉ，φｉ］＝ａｉ，所以ａｉ＝（ｆ，φｉ），近似解 ｕｍ＝ ｍｋ＝１ａｋφｋ＝ ｍｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ．参照Ｌａｗｒｅｎｃｅ．Ｃ．Ｅｖａｎｓ编著的ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ（第３４９～３５８页），现在需要证明相应的能量估绵阳师范学院学报（自然科学版） 计，从而才能将定理２．１求出的近似解ｕｍ＝ ｍｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ取极限ｍ∞，得出方程的弱解 定理２．２ （能量估计）存在系数Ｃ，使得‖ｕｍ‖２１，２ Ｃ‖ｆ‖２２证明：由Ｆｉｅｄｒｉｃｈｓ不等式［２］｜（ｆ，ｕｍ）｜ ‖ｆ‖２·‖ｕｍ‖２ε２‖ｕｍ‖２２＋１２ε‖ｆ‖２２ ε＞０ εＣ１‖ｕｍ‖２１，２＋１２ε‖ｆ‖２２ Ｃ１＞０另一方面， ‖ｕｍ‖２Ａ＝［ｕｍ，ｕｍ］ Ｃ２‖ｕｍ‖２１，２， Ｃ２＞０．综合可得， （Ｃ２－εＣ１）‖ｕｍ‖２１，２ １２ε‖ｆ‖２２，只要取适当的ε，使Ｃ２－εＣ１＞０即可满足‖ｕｍ‖２１，２１２ε（Ｃ２－εＣ１）‖ｆ‖２２， 令Ｃ＝１２ε（Ｃ２－εＣ１）即可．现在需要证明弱解的存在唯一性，才能说明弱解即是通解引理２．１［３］自反的Ｂａｎａｃｈ空间的有界序列有弱收敛子列．定理２．３（弱解的存在性）方程存在一个弱解．证明：｛ｕｍ｝∞ｍ＝１在Ｗ１，２０（Ω）中有界，则存在子序列｛ｕｍｌ｝ ｛ｕｍ｝，使ｕｍｌ→ 弱ｕ在Ｗ１，２０（Ω）中，固定Ｎ，令ｖ＝ Ｎｋ＝１ａｋφｋ，则［ｕｍ，ｖ］＝（ｆ，ｖ），取ｍ＝ｍｌ，有［ｕｍｌ，ｖ］＝（ｆ，ｖ），取弱极限，得到 ［ｕ，ｖ］＝（ｆ，ｖ）．故 ｖ∈Ｗ１，２０（Ω），有［ｕ，ｖ］＝（ｆ，ｖ）（ ）．定理３．４ 弱解的唯一性．证明：只须证当ｆ≡０时，ｕ≡０即可．在（ ）式中，令ｖ＝ｕ，得到［ｕ，ｕ］＝［ｆ，ｕ］＝［０，ｕ］＝０，则ｕ≡０在Ω中，又ｕ＝０在 Ω上，故证得ｕ≡０，弱解的唯一性得证．３ 结论本文求解了偏微分方程边值问题Ａｕ＝ｆ 在Ω中ｕ＝０ 在Ω{中在空间Ｗ１，２０（Ω）上的通解即ｕ＝ ∞ｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ，其中｛φｋ｝∞ｋ＝１是算子Ａ的特征向量，也是Ｗ１，２０（Ω）的规范正交系 参考文献：［１］ ＬａｗｒｅｎｃｅＣ．Ｅｖａｎｓ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＧｒａｄｕａｔｅＳｔｕｄｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，ＲＩ，１９９８：３４９－３５８．［２］ 陈恕行．偏微分方程概论［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１：１７．［３］ 陆文端．微分方程中的变分方法［Ｍ］．四川：四川大学出版社，１９９６：６５．（下转第２７页） 徐 循：特征值及其在偏微分方程中的应用ＴｈｅｓｔｕｄｙｏｆｔｈｅｔａｒｇｅｔｓｙｓｔｅｍｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｙｏｆｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｐｈｙｓｉｃｓｓｐｅｃｉａｌｔｙｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌＬＩＵＧｕｏｙｕｅ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＭｉａｎｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒ＇ｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｍｉａｎｙａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ ６２１０００）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｔｈｅｇｕｉｄａｎｃｅｏｆｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｆｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙａｎｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｔｒｅｎｄａｎｄｔｅａｃｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｐｈｙｓｉｃｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏａｓｅｒｉｅｓｏｆｑｕｅｓｔｉｏｎｎａｉｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｂａｓｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｅｒｓ＇ｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｉｅｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌａｎｄｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄａｓｅｔｏｆｉｎｄｅｘｓｙｓｔｅｍｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｉｅｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ．Ｉｔｃｏｎｔａｉｎｓｉｎｄｅｘｏｆｆｉｖｅｃａｔｅｇｏｒｉｅｓａｎｄｔｗｅｎｔｙ－ｅｉｇｈｔｓｅｃｏｎｄａ ｒｙｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｗｈｉｃｈａｒｅｒｅｆｅｒｓｔｏｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｃｏｇｎｉｔｉｖｅａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｄｅｓｉｇｎａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔｉｎｇａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｐｏｒｔａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｐｏｒｔａｂｉｌｉｔｙ．Ａｌｌｏｆｔｈｅｍａｒｅｄｉｒｅｃｔｌｙｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｔｏｄｅｖｅｌｏｐｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌｐｈｙｓｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｙｉｎｎｏｒｍａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂａｃｈｅｌｏｒｄｅｇｒｅｅｏｆｎｏｒｍａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｓｐｅｃｉａｌｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｏｆｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，ｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉ ｔｙ，ｔｒａｉｎｉｎｇｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓ（责任编辑：陈桂芳）（上接第３页）ＥｉｇｅｎｖａｌｕｅａｎｄｉｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎＸＵＸｕｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＧｅｎｅｒａｌＣｏｕｒｓｅ，ＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ ４３００６８）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｉｌｌａｐｐｌｙｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓａｎｄｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｃｌａｓｓｏｆｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｓｅｌｆ－ｃｏｎｊｕｇａｔｅｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｉｒｓｔ，ｉｔｗｉｌｌｆｉｇｕｒｅｏｕｔｔｈｅｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ｛φｋ｝∞ｋ＝１ｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒＡ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｉｎｔｈｅｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｕｂｓｐａｃｅｆｏｒｍｅｄｂｙｔｈｅｃａｎｏｎｉｃａｌｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ｛φｋ｝∞ｋ＝１ｏｆｔｈｅｓｐａｃｅｏｆＷ１，２０（Ω）．Ａｎｄｔｈｅｎｉｔｗｉｌｌｏｂｔａｉｎｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｂｙｔｈｅｅｎｅｒｇｙｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎａｒｅｐｒｏｖｅｄ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｉｔｗｉｌｌｇｅｔｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｓｐａｃｅｏｆＷ１，２０（Ω），ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｅｎｅｒｇｙｅｓｔｉｍａｔｅ，ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ（责任编辑：陈 英） 刘国跃：高师本科物理专业中学物理教学能力培养目标体系的研究。
用特征曲线法求解线性偏微分方程
嗍
） ：
ｌ
， ，
一
圳故变为 ， 换 逆
。
ａｓ
ｆ
ｖ
，
给 ｌ 两 边 乘 以 （ 得 ： 式 ｆ ）
与 参数 ｔ 间 的 函数 关 系 。 之
特 征 曲线 （ 取 定 ） Ｃ ， 为 任 意 的 一 阶 连 ，．
涉 及到 多 元 函数 的 偏导 数 及 一元 函数导 数 。
若 （， ） ） ｆ Ｙ（， （ 已知 ， Ｙｔ＝厂 ， ， ： ） ｆｚ ｆ 记 （ ＿ （）则 ） （ ）
设 曲线 ｙ ｔ ＝ ｘ ｔ ， （ ｃ ） 取定 ） （ ） （ （ ） ｔ ｏ （ ， ， ｙ ，）
函数 ， 中 ， ） Ｉ ， 其 ， Ｃ 函数 ） ∽
ｅ Ｄ， （１
用 表 Ｄ为 Ｒ 中 一 区 域 ， （ ｃＤ； 复 合 函 数 做 正 则 曲 线 ｒ， Ｓ 示 曲 线 的 弧 长 变 量 ， 且 ， ） 则 １ ｒ的 参 数 方 程 为 ： ｌ（ ｆ 对 ｔ求 导 有 ： 厂 （） ） 尹＝ ） （ ） ｚ （ Ｏ） （） （ ＾ ＝ ， （ ） ｆ， ， ， ） ）
求 其逆 变 换（） 入（） 即得 原 方程 （） ４代 ６式 １
的解。
２ 一阶线性 偏微 分方程的求解及例
２ １常系 数方 程 ．
１ ２几 何意 义 （ Ｒ 中 问题为 例 ） ． 以
设 ｆ： （，， ∈ ） Ｄ ∈Ｒ 。 Ｄ 内 ｆｘ ｚ Ｃ（ ， Ｙ ） Ｄ ’在
‘ 『 １ ＝ （ｙ ， ＋２ ３ ｇｘ ）系数 『 ＋ ｕ ， ，不全为零。 ，
摘 要： 特征 曲线法 是一 种求 解线性 偏微 分方程 的基 本方 法 ． 由于 与几何 背景 相联 系 ， 易理 解掌握 ． 但 不 本文 总结 了用特征 曲线求解一 阶线性偏微 分 方程的 思想 方法 ， 在此基 础上 ， 出特 征 曲线法在 一类 二阶 常 系数 线性偏微 分 方程求 解 问题 上的推 广 。 给 关键 词 ： 偏微 分方程 变量替换 特 征 曲线 方向导数 曲纹坐标 中 图分 类 号 ： １ Ｏ ２ ７ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ６ ３ ９ （ ０ ｏ （ ） ０ １ －０ １ － ７ １ ２ １ ） ２ ａ一 ２ ７ ２ ７ ２ ｏ
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一 ±∞． 在 上半 平 面 Ｒ ×Ｊ Ｒ的子 集用 这些 特 征 线 进行 覆盖 ， 可 以将 之称 为直线 ｔ＝０的影 响 区域 ，
记 之 为 Ｄ（ 如图 １ 所示 ） ．
１ 特 征 线 方 法分 析
单 个一 阶线性 双 曲型偏 微 分 方 程 中 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ
＋（ ＋ ）
∈Ｒ， ｔ＞０ ，
（ ￡ ）＝ （ ） ｑ （ ｏ ）＋Ｊ ， ０ ０ ＋ ） Ｑ （ ） ｄ ￡ ，
其中Ｑ （ ）＝ｅ ｘ ｐ ｛ 一Ｉ ｂ （ ｓ ， Ｏ ， ０ ｓ ＋ ） ｄ ｓ ｝ ．
利用 式 （ ５ ）和（ ６ ） ， 得 到
＋Ⅱ ＝ ，
线形双曲型方程 ， 这种方程可以对 自然界 中存在 的波 动现 象 以及工 程技 术进 行 描述 ， 所 以对 线形 双 曲型方 程进 行研 究具 有 非常 重 要 的意 义． 从目
前来看 ， 国 内外研 究线 形 双 曲型方 程 的方 法 主 要 包 括 两种 ： 能量积分方法和特征线方法． 特 征 线 方法 是一 种基 本 而常 用 的方法 ， 多用 来 处理 双 曲 型偏 微 分方 程 ， 特别是 ， 对 一 个 空 间 变 量 或 者 时 间变量 的阶线 性 双 曲型 方 程 进 行 处 理 的效 果 非
』 警一“ ，
【 （ ０ ） ＝ ｃ ．
的解 为
（ ｆ ）＝ ｅ （ １＋ｃ ）一（ １＋ ） ．
征 方程 （ ３ ）确定 一 条 积分 曲线 ， 称 之 为方 程 （ １ ） 的特征 线． 在 某 种情 况 下 ， 每一 条 经 过 Ｏ ｔ 点 的直 线 都可 以有 一条 特征 线． 而常 微分 方 程理 论 研究
结 果变 ， 这 些 特 征 线 也 可 以延 续 到 ｔ 一 。 。或
＋
一
（ ２ ） 沿 着特征 线将 原方 程化 为关 于Ｐ ＝Ｐ （ ｔ ，
，
（ ｔ ， ｃ ） ）的常微 分方 程 ， 其中 ｃ 代 表参 数 ， 并求 出
Ｐ＝Ｍ （ ｔ ， Ｃ ） ．
＋ ， （ ｔ ， ） ．
即 ｄ Ｕ＋６ （
，
￡ ＋ ） （ ）＝厂（ ￡ ， 口 。 ｔ ＋ ） ．
＝
图 １
为简 单起 见 ， 假定 ａ （ ｔ ，
线， 即
＝ａ ０ ｔ ＋Ｏ ｔ ，
＝ａ 。 为 常数 ， 于
是 由式 （ ３ ）和 （ ４ ）知 ， 过点（ ０， ）的特 征线 为 直
（ ５ ）
ｄ ｘ
＿
：ｎ （ ｆ ， （ ｆ ） ） （ Ｉ ｔ
（ ３ ）
即
Ｕ（ ｔ ） ＝Ｍ （ ｔ ， ａ ｏ ｔ ＋Ｏ １ ） ，
（ ６ ）
沿着 该 特征线 ， 方程（ １ ）化 为一 个 常微分 方程
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ １—１ １
哈尔滨师范大学 自然科学学报 ａｇ ｖ
＿
２ ０ １ ５年 第 ３ １卷
出
。
：
Ｄ ， Ｕ Ｌ ＋ 譬． 面‘ 一 ｄ ｘ ｔ ＋ 口 （ Ｌ ｔ ， ） — ａ Ｘ ： 一 ６ （ ， ） ’ ’ （ ）
（ １ ０ ）
ｕ （ ｔ ， ）： （ 一ａ ｏ ￡ ） ０ （ ｏ ）＋ｌ 下 ， ０ 丁＋
—
“ （ ０ ， ）： ．
（ １ １ ）
第 一步 ： 求特 征线 ， 特征方 程 （ 初 值 问题 ）
ａ ｏ ｔ ） Ｑ（ 丁 ） ｄ ｒ ，
（ ７ ）
其 中
第３ １ 卷
第 ６期
哈尔滨 师范大学 自然科学学报
ＮＡ ＴＵ ＲＡＬ Ｓ ＣＩ ＥＮＣ ＥＳ Ｊ ０Ｕ ＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｉ Ｎ ＮＯＲＭＡ Ｌ ＵＮ Ｉ ＶＥＲ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ １ ， Ｎ ｏ ． ６ ２ ０ １ ５
特 征 线 方 法 在 求 解 偏 微 分 方 程 中 的 应 用 研 究
张 正林
（ 宿州学 院）
【 摘 要 】对求解一阶偏微 分方程的特征线方法及其应用进行 了讨论． 【 关键词 】特征线； 一阶偏微分方程 ； 求解应用
中图分 类号 ： Ｏ １ ７ ５ ． ２ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０— ５ ６ １ ７（ ２ ０ １ ５ ） ０ ６－ ０ ・
（ ４ ）
０ 引 言
在 发展 方 程 中 ， 有 一 种 非 常重 要 的方 程 ， 即
通过常微分方程的理论分析结果表 明， 其初 值问题只有唯一的一个解 ， 就是 ＝ （ ｔ ； ￡ 。 ， 。 ） ， 即曲线 ＝元 ； 。 ， 为方程 （ １ ） 过点（ ｔ 。 ， ） 的特 征线 ， 方程（ １ ）的特 征方程 就 是方程 （ ３ ） ． 根 据特
的情 况
＋ａ （ ｔ ， ） ｕ ＋ｂ （ ｔ ， ） ＝ｆ（ ｔ ， ）
Ｕ Ｉ ： ０＝ （ ）
（ １ ）
（ ２ ）
（ ０ 舳 ）
式中： ａ ， ｂ ， ａ ， ｂ 是 关 于 自变量 （ ｔ ， ）∈ ［ ０ ，
＋∞）×Ｒ的连续函数 ， 使用特征线方法对上述 问题 进行 求解 时 ， 结果表明 ： 过上半平面 Ｒ Ｘ Ｒ ｛ （ ｔ ， ） ｌ ｔ ≥０ ， ∈Ｒ｝ 上的任一点（ ｔ ｏ ， ） ， 设 置一 条 经过 这个 点 的 曲线 ， 并 且 使用 下 面 这个 常 微 分方 程初 值 问题 对其 进行 计算 ．
（ ３ ）从特 征线 方程解 出 ｃ＝ （ ｔ ， ） ， 则所 求
的解 为 Ｐ ＝ （ ｔ ， （ ｔ ， ） ） ．
积分 上 式 ， 并 注 意 到 （ Ｏ ） ＝ｕ （ ｏ， ） ＝ （ ａ ） ， 有
２ 应用案例
例１ 求 下列 Ｃ ａ ｕ ｅ ｈ ｙ问题 的解