第一节 一阶线性方程的特征线解法

第一节一阶线性方程的特征线解法),(),(),(),(t x D u t x C u t x B u t x A t x =++1.一阶线性方程的一般形式：的已知函数。

为其中),(),(),,(),,(),,(t x t x D t x C t x B t x A （1）时，即当0),(≡t x D 0),(),(),(=++u t x C u t x B u t x A t x （2）称方程为齐次的，否则为非齐次的。

2.一阶线性方程的Cauchy 问题⎩⎨⎧==++)()0,(),(),(),(),(x x u t x D u t x C u t x B u t x A t x ϕ（3）⎪⎩⎪⎨⎧==cx t x B dt t x A dx )0(),(),(（4）称(4)为(3)的特征方程，其解称为(3)的特征线。

3.一阶线性方程的Cauchy 问题的求解：特征线法思路：利用(4)将(3)转化为常微分方程的初值问题先求特征线上点对应的函数关系，任意化即可。

例1：⎩⎨⎧∈=>∈=+光滑)()()()0,()0,(000x R x x x t R x a x t ρρρρρ解：特征方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==cx adx dt )0(1特征线为：c at c t x +=),(沿着特征线),,(c t x x =()t c t x t U ),,()(ρ=满足以下常微分初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧====∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)()0,()0),0(()0(00c c x U t a x t dt dx x dt dU ρρρρρρρ)()),(()(cttxtUρρ==该式表明在特征线),(),(ct xρρρ==catctx+=),(上的点，使得而对于平面上的任何点),(t x都在某条特征线上，,确定由catxc+=所以原Cauchy问题的解).()(),(atxct x-===ρρρρ启发：找所要求的解在特征线上对应的函数，而平面上的任何点都在某条特征线上，只是常数不同而已，但又由该点本身决定，将常数用点的坐标换掉即可。

例2：⎩⎨⎧∈=≠>∈='++光滑连续可微)()()()0,(0)()0,(0)()(00x R x x x x v t R x x v x v x t ρρρρρρ解：特征方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==cx t x v dx dt )0())((1特征线为：),,(c t x x =沿着特征线),,(c t x x =()t c t x t U ),,()(ρ=满足以下常微分初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==='-=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)()0,()0),0(()0()),(()),((0c c x U Uc t x v t c t x v x t dt dx x dt dU ρρρρρρρ⎰'-=td c x v ec t U 0)),((0)()(ττρ),(c x x τ=cc x c x cx v dx x v x v ec ec t U ),(),(|)(ln 0)()(0)()()(ττρρ==⎰'-)),((c x v d dxττ=)),(()()(0c t x v c v c ρ=),(c t x x =上的点，使得该式表明在特征线,)),(()()()()),,((),(0c t x v c v c t U t c t x t x ρρρρ====而对于平面上的任何点),(t x 都在某条特征线上，,),(确定由c t x x c =所以原Cauchy 问题的解为))),(,(()),(()),(()),(()()(),(00t x t x v t x v t x c t x v c v c t x ϕϕϕρρρρ===解得：),,(t x c ϕ=设特征线法总结：（求解一阶线性微分方程Cauchy 问题）step1:求特征线),,(c t x x =step2:沿着特征线求()t c t x u t U ),,()(=满足的常微分初值问题，并求出().),,()(t c t x u t U =step3:从特征线解出),,(c t c ϕ=则所求解为().)),,(,(),(t t x t x u t x u ϕ=⎩⎨⎧=+='00)()()()(y x y x q y x p x y dses q ey x y d p x x d p sx xx ττττ⎰-⎰⎰+=)()(000)()(3.一阶线性方程的Cauchy 问题的求解：通解法⎩⎨⎧==++)6()()0,()5(),(),(),(),(x x u t x D u t x C u t x B u t x A t x ϕ思路：先求(5)的通解，而后由(6)确定任意函数。

(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应的齐次方程(7)的通解与(6)的特解之和。

)7(0),(),(),(=++u t x C u t x B u t x A t x 所以问题的重点是如何求(7)的通解。

以下介绍几种方法，只是适合一些方程，不一定通用。

第一种方法:特征线法)8(0=+t x bu au 具体解法：step1:求出特征线cbx at =-step2:为任意函数。

的通解为f bx at f u ),()8(-=或者：step1:为任意函数。

设通解为f nx mt f u ),(+=step2:代入(8)式求nm ,例3：tu u t x 243=-解：2-2),(243t t x u t u u t x ==-*的一个特解为ct x dtdx =+⇒-=3443特征线为特征方程为：)34(),(043t x f t x u u u t x +==-的通解为所以22)34(),(243tt x f t x u t u u t x -+==-的通解为故或者：设043=-t x u u 的通解为)(nx mt f u +=代入方程得到：任意f nx mt f m nx mt f n ,0)(4)(3=+'-+')34()43(43043t x F nx nt f u n m m n +=+=⇒=⇒=-⇒下面同上。

()否则不是解,0≠n ()任意F⎩⎨⎧∈=∈=--)()0,(),(2432R x e x u R t x t u u x t x 例4：解：由例3得到方程的通解为22)34(),(t t x f t x u -+=代入条件得到：xx e x f e x f x u 212)()4()0,(--=⇒==所以得到该Cauchy 问题的解为：.2),(2)34(21t e t x u t x -=+-第二种方法：微分算子法)9(0=++cu bu au t x 具体解法：Step1:将方程写成算子的形式如下：()0=++u c bD aD t x Step2:())10(0,=++=u c D bD aD D t x ξξ变方程为令ξηc ef u -=)()10(的通解为：Step3:b t a x bD aD D t x ==⇒+=ξξξ,即可只要任取0,≠⎩⎨⎧ηξηξηηt t x x t x 可得解。

代入，解出ξηηξc e f u -=)(（可逆变换）243=+-u u u t x 例5：解：2),(243==+-*t x u u u u t x 的一个特解为0)143043=+-=+-u D D u u u t x t x 变形为（()其通解为：方程为令,01,43=+-=u D D D D t x ξξξη-=ef u )(4,343-==⇒-=ξξξt x D D D t x 00413,01≠-=⎩⎨⎧==ηξηξηηt t x x t x取⎩⎨⎧-=+=ξηξ43tx ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=x t t 434ηξ44)43()43(tt e x t F e x t f u +=--=2)43(4++=te x t F u 原方程的通解为注意：)34(),(043t xf t x u u u t x +==-的通解为4)43(043tt x e x tF u u u u +==+-的通解为①所以有时也直接设的通解为0=++cu bu au t x 这两个解的形式或,)()(ktkx e nt mx f u e nt mx f u +=+=是任意的。

为函数不同，但实际一样，因f ②可以看出微分算子法适合任何常系数一阶线性微分方程：0=++cu bu au t x。