复数的三角形式

这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加 这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时 针旋转角θ2，就得到z1z2。
复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则 2、复数的除法
r1 (cos 1 i sin 1 ) z1 z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
例3．求复Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更 接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
∵
解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2
<
-1)+2i· sin
cos
=2cos (cos +isin ∵ π<θ<2π ∴
r1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] r2
复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则
2、复数的除法 即
z1 r1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2
这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减
这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点 顺时针旋转角θ2，就得到z1÷z2。 3、复数的乘方。
k r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
), ( k 0,1, 2,
, n 1)
从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差 n
所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心， 以它的模的n次算术根为半径的圆周上。 因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手 段进行： z r (cos i sin ) n 先作出圆心在原点，半径为 r 的圆，然后作出角 的终边 n 以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每 个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的 n次方、幅角的n倍”的本质特征
z a bi r (cos i sin ) re i
从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角 形式的简略化
复数的指数形式
由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的 两个公式： i cos i sin e i cos i sin e e i e i e i e i cos , sin 2 2i 这两个公式被统称为欧拉公式 在复数的指数形式中，令r=1,θ=π，就得到下面的等式
9 9 2 Cos iSin ① 2 Cos iSin 5 5 5 5 7 7 3 3 2 Cos iSin 2 Sin iCos ② 4 4 4 4 1 4 4 iSin Cos 1 Cos iSin 2 3 3 ③ 2 3 3 4 4 2 Cos iSin Cos iSin 5 5 ④ 2 5 5
1 i对应的点在第四 2 而
1 i
1 2 7 2 4 2 7 7 2 Cos iSin 4 4
想一想：代数式化三角式的步骤
（1）先求复数的模 （2）决定辐角所在的象限 （3）根据象限求出辐角 （4）求出复数三角式。
小结：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值这既使 表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值。
)........(1)
< <π, ∴cos
)=-2cos [cos(π+ ∴ π<π+
＜0
)]+isin(π+ )]
)式右端=-2cos (-cos -isin
∴ r=-2cos < <π
<2π， ∴argZ=π+
例 4．设 =z+ai(a∈ R),
| | 2 ，求 的辐角主值的取值范围. 分析与解答：
2
，
1 (a 1) 2 2 ， 解得 0≤a≤2,
又 tg=a-1, ∴ -1≤tg≤1,
7 [ 0 , ] [ , 2 ) . ∴ 的辐角主值 4 4
此题首先要算对了，还要会算模以及辐角.其中，最容 易出问题的是的范围的确定.仅有-1≤tg≤1 是不够的，还 应当注意到 =1+(a-1)i 的实部为 1，虚部 a-1 在[-1，1]内， 所以 所对的辐角只能在第一和第四象限.
复数的三角形式
这样，我们把 r (cos i sin ) 叫做复数a+bi的三角形式
a bi r cos ir sin r (cos i sin )
二、复数三角形式的运算法则 引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘 除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。 所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运 算法则。 1、复数的乘法
例2：将下列复数化为三角形式；
（四）练习：
把下列复数化成三角形式： （1）6 （2）-5 （3）2i （4）-I （5）-2+2i
解 (1)6(cos0+isin 0)
(2)5(cosπ +isinπ )
32 Cos iSin 2 2
3 3 4 Cos iSin 2 2 3 3 52 2 Cos iSin 4 4
（二）复数的三角形式：
Y
当a=rCosθ b=rSinθ
·
r
Z(aபைடு நூலகம்b)
b
∴a+bi=rCosθ+iSinθ = r（Cosθ+iSin θ）
θ
O
a
X
则z=r（Cosθ+Sinθ）为复数的三角形式。
复数的三角形式条件：
Z= r （ Cosθ + i Sin θ）
①r≥0。 ②加号连接。
③Cos在前，Sin在后。
复数的指数形式 再重新观察下面的等式
z1z2 r1r2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
(b1a ) (b2a ) (b1b2 ) a
x y
x y
x y a 首先，显然模r应该占据 中系数y的位置, x y a 其次，幅角θ应该占据 中指数x的位置,
r1 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) r2 (cos 2 i sin 2 )(cos 2 i sin 2 ) r1 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) r2
i (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )]
(1 4i )(1 i ) 2 4i z 3 4i 5 3i 2 4i 3 4i 7i 1 i. 3 4i
(1 4i )(1 i ) 2 4i z 3 4i
且
∵ ∴
=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i 且| |
i
cos i sin
i i 一方面，由于 a a a
如果写成 a 的形式 ( ir ) a 与 的形式差别不是很大，
其次
(a i )n a ni n
在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的n倍而没有虚数单 位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而 应该是相乘关系
z1z2 r1r2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
(b1a ) (b2a ) (b1b2 ) a
x y
x y
复数的指数形式
根据这个特点，复数 z r (cos i sin ) 应该可以表示成 某种指数形式 x y a 即复数应该可以表示成 的形式 这里有三个问题需要解决： （1）反映复数本质特征的三个因素：模r、幅角θ、虚数 单位i应各自摆放在什么位置？ （2）在这些位置上它们应呈现什么形态？ （3）作为指数形式的底应该用什么常数？ 先来研究第一个问题.
r1r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) ir1r2 (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 ) r1r2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
即
z1z2 r1r2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
z n r n (cos n i sin n )
这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针 旋转角nθ，就得到zn。
4、复数的开方
设 z r (cos i sin ) 的一个n次方根为 (cos i sin )

显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同， 但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。 因此，复数z的n个n次方根为
k r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
), ( k 0,1, 2,
, n 1)
复数的三角形式 二、复数三角形式的运算法则 4、复数的开方
④θ前后一致，可任意值。
例1：把下列复数代数式化成三角式：
1
解r
3 i
3 1 2
3 i对应的点在第一象限
cos

2 1 i
cos
3 即 2 6 3 i 2 Co s iSin 6 6
解 r 1 1
设
z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos2 i sin2 )