复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3） i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
例3．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos 2-1)+2i.sin cos =2cos (cos +isin ) (1)∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos <0∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]∴r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)∵<<π∴π<π+<2π，∴argZ=π+.例4．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.解:====cos2θ+isin2θ∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π,∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π例5．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.解:法一，数形结合由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴|Z|=≤=,∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.例6．求-3-4i的平方根．解法一利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi(x，y ∈R)，则有(x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．法二利用复数的三角形式．练习：求1的立方根例7．已知z∈C,|z|=1且z2≠-1,则复数（）A、必为纯虚数B、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数[思路分析]：选择题，从结论的一般性考虑，若z=±1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演解：[法1]设z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0.则===∈R，故，应选C。
[法2]设z=cosθ+isinθ (θ∈R,且θ≠kπ+)，则===∈R。
[法3]∵z·=|z|2, ∴当|z|=1时有z·=1,∴===∈R.[法4]∵当|z|=1时有z·=1，∴==∈R.[法5]∵复数z为实数的充要条件是z=,而()=, 又∵|z|=1时，=，∴==，∴∈R。
例8．设x,y∈R, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i,已知|z1|=|z2|，arg=, (1)求()100=? (2)设z=, 求集合A={x|x=z2k+z-2k, k∈Z}中元素的个数。
(1)解：∵|z1|=|z2|, ∴||=1,又arg=,∴=||(cos+isin)=i, 即z1=z2i,∴2-x+xi=[y-1+(-y)i]i即，解得x=y=+,∴()100=(+i)100=(-+i)50==--i.(2) [思路分析]：由(1)知z=+i，z的特性：z3=-1=3, |z|=1, =；z=cos+isin, z2=w, ……，z2k+z-2k可怎么理解呢？(z2)k+(z2)-k, z2k+2k, ……解[法1]：令w=-+i，则z2k+z-2k=w k+w-k,∵w3=1,而k∈z, ∴k=当k=3m时，z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+=-1,当k=3m+2时，z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1,综上可知，集合A中有2个元素。
[法2]：∵|z|=1, ∴=,∴z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos=由此可判定集合A中有2个元素。
例9．设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w=, 并且|w|=, argw<,求θ。
（93年全国理）解：w====tg2θ(sin4θ+icos4θ)∴|w|=|tg2θ| 由|w|=得tg2θ=±.∵0<θ<π, 故有(i)当tg2θ=时，得θ=或θ=.此时w=(cos+isin)，∴argw=<,适合题意。
(ii)当tg2θ=-时，得θ=π或θ=π，此时，w=(cos π+isinπ).∴argw=π>, 不合题意，舍去，故综合(i), (ii)知，θ=或θ=.例10：三角级数求和解：令那么对任何自然数k ，有于是另一方面2cos cos cos n ααα+++2sin sin sin n ααα+++cos sin z i αα=+cos sin kz k i k αα=+22222(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos cos cos )(sin sin sin )nz z z i i n i n n i n αααααααααααα+++=++++++=+++++++22211112222222222()(cos sin )[(cos sin )](cos sin )(cos sin )(sin sin cos )sinsincosnnz z z z z zi n i n i n n n i i αααααααααααααα-+++=-+-+=-++-=-即 所以222222sin (cos sin )(cos sin )sin (cos sin )n n n i i i ααπαπααααπαπ--++=---222222sin [cos()sin()]sin n n n i ααπαπαπαπααα----=+-++-11222211222222sin (cos sin )sin sin cos sin sin sinsin n n n i n n n n iαααααααααα++=+++=+211222222sin cos sin sin sin sin n n n n n z z z i αααααα+++++=+思考与练习1、利用复数推导三倍角公式2、若复数z 满足z z -=11，当复数z 的辐角为300时，求复数z 的模。
3、已知复数i z 31+=, 求复数zz z -+-242的辐角的主值. 4、设z 满足z z z z -=-=11213,arg π，求z. 12222sin cos cos cos cos sin n n n αααααα++++=12222sin sin sin sin sin sinn n n αααααα++++=。
复数的三角形式
三角形式和指数形式是等价的，可以通过三角恒等式相互转换。
复数三角形式的运算
加法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
复数三角形式的加法运算可以通过直接相加对应部分的方式进行。
对于两个复数 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$ 和 $z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，其和为 $z_1 + z_2 = (r_1 + r_2)(cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))$。
模
模长$r = sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是复数$z$的实部 和虚部。
复数三角形式的性质
幅角和模的性质
幅角
表示复数在复平面上的角度，其取值范围为$[0, 2pi)$。
模
表示复数在复平面上的距离，即该点到原点的长度。
幅角和模的关系
对于任意复数$z = r(costheta + isintheta)$，其 模为$r$，幅角为$theta$。
总结词
复数三角形式的除法运算可以通过将分母转换为 三角形式后再进行相除的方式进行。
详细描述
对于非零复数 $z_1$ 和 $z_2$，其商为 $frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos(theta_1 -
theta_2) + i sin(theta_1 - theta_2))$。
解释
复数$z$可以用极坐标表示，其中$r$表 示原点到点$z$的距离，$theta$表示从 正实轴逆时针到点$z$的连线所形成的 角度。
复数的三角形式
复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。
其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。
需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。
复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。
任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。
2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。
下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。
例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。
2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。
复数的三种表示形式
（ 2 cos
2[cos( ) i sin( )] 3 3
2( cos
3
i sin
3
)
1 3 2( i) 2 2
1 3i
例3 复数
数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形
式。 解： 不是复数的三角形式。
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi 叫 做复数的代数形式。
例1 将复数
3 i
表示成三角形式。
解： 因为 a 3 ，b＝1，所以
r ( 3) 1 2，
2
arg
6 )
π 3 i 6
即
3 i 2(cos
6
i sin
例2 数形式。 解：
2π 2π 2 cos i sin ） 将复数 （ 表示成代 3 3
5 5 2 (cos i sin ) 6 6
2e
i
i
5 6
cos
7
i sin
7
e
7
3 (cos150 i sin150 )表示为指数形式 例1 把复数 和极坐标形式。 2
解：
3 3 5π 5π (cos150 i sin150 ) (cos i sin ) 2 2 6 6 3 i 56π e 2 3 5π 2 6
例2 把复数 0.78e 解：
0.78e
i 23π
i 23π
表示为三角形式和极坐标形式。
2π 2π 0.78 cos( ) i sin( ) 3 3 2π 0.78 3
《复数的三角形式》课件
调制与解调
在通信系统中，复数的三角形式 用于信号的调制和解调过程。通 过将基带信号转换为高频载波信 号，可以实现远距离传输和高效
的频谱利用。
在量子力学中的应用
波函数的复数表示
在量子力学中，波函数通常用复 数表示。复数的三角形式为描述 粒子的状态和行为提供了方便的
数学工具。
量子态的演化
利用复数的三角形式，可以方便地 描述量子态随时间的演化过程，有 助于理解和计算量子系统的行为。
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《复数的三角形式》 ppt课件
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目 录
• 复数三角形式的定义 • 复数三角形式的运算 • 复数三角形式的应用 • 复数三角形式的扩展 • 复数三角形式的习题与解答
PART 01
复数三角形式的定义
复数三角形式的定义与表示
复数三角形式的性质
01
02
03
模长的性质
模长是非负实数，表示复 数的绝对值。
幅角的性质
幅角可以是任意实数，表 示复数在复平面上的旋转 角度。
共轭复数的性质
若$z = r(costheta + isintheta)$，则其共轭复 数为$z^* = r(cos(theta) + isin(-theta))$。
习题一：计算复数的三角形式
总结词
理解并掌握复数三角形式的计算方法
详细描述
这道题目主要考察了学生对复数三角形式的理解和计算能力。通过这道题目， 学生需要掌握如何将任意复数表示为三角形式，并能够根据给定的模和幅角计 算出对应的复数。
习题二：利用复数的三角形式进行运算
总结词
掌握复数三角形式的运算规则
复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用
复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用复数的三角式与指数式的相互转换方法及应用复数是数学中的一个重要概念，其中涉及到了复数的三角式和指数式的相互转换。
本文将针对复数的三角式和指数式的相互转换方法进行介绍，并且探讨这些转换方法在实际中的应用。
一、复数的三角式和指数式1. 复数的三角式复数的三角式是指将一般复数 $a + bi$ 表示成 $r(\cos{\theta} +i\sin{\theta})$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。
其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。
2. 复数的指数式复数的指数式是指将复数表示成 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。
其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。
二、复数的三角式和指数式的相互转换方法1. 从复数的三角式到指数式的转换将复数 $a + bi$ 的三角式 $r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ 中的$\cos{\theta}$ 和$\sin{\theta}$ 分别用$e^{i\theta}$ 的实部和虚部表示，即 $\cos{\theta} = \text{Re}(e^{i\theta})$，$\sin{\theta} =\text{Im}(e^{i\theta})$，则有 $a + bi = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) =r\text{e}^{i\theta}$。
复数的三角表示形式
复数的三角表示形式
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示成 a+bi 的形式，其中a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位。
除此之外，复数还可以用三角形式表示，即：
z = r(cosθ + i sinθ)
其中，r 表示复数 z 的模，θ表示 z 的幅角。
模 r 的计算公式为：
r = |z| = √(a + b)
幅角θ的计算公式为：
θ = arg(z) = tan(b/a) + kπ (k∈Z)
在三角形式中，复数可以看作是平面直角坐标系中一个点的极坐标，其中实部和虚部分别对应该点在 x 轴和 y 轴上的投影长度。
使用三角形式表示复数有以下几个优点：
1. 易于计算复数的乘法和除法，只需按照平面向量的乘法和倒数公式进行计算。
2. 易于用欧拉公式表示复数，即 e^(iθ) = cosθ + i sinθ，可以方便地进行复杂的数学推导。
3. 易于理解复数在复平面上的几何意义，可以通过旋转和缩放的方式进行操作。
因此，三角形式是复数的重要表示形式之一，对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。
- 1 -。
复数的三角表示
三. 复数乘除法的几何意义的应用
例5 已知复数z1＝-2+i对应的点为P1，z2＝-3+4i对应的点为P2，
把向量
uuuur P1P2
绕P1点按顺时针方向旋转
2
后，得到向量
uuur P1P
，求向
量
uuur P1P
和点P对应的复数分别是什么？
uuuur
解：由题意知向量 P1P2 对应的复数是
z2-z1＝（-3+4i）-（-2+i）＝-1+3i.
【名师点拨】 将复数的三角形式r（cos θ+isin θ）化为代 数形式a+bi（a，b∈R）时，其中a＝rcos θ， b＝rsin θ. 【注意】 复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点 （a，b）是一一对应的.
二. 利用复数的三角形式进行复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3.
5
3.复数代数形式和三角形式的转化
a+bi＝rcos θ+irsin θ＝r（cos θ+isin θ），
a
b
其中 r＝ a2 b2 ， cos θ＝ r , sin θ＝ r .
(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主 值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.
cos
6
isin
6
·
2
cos
4
isin
4
＝
.
【解析】
5
cos
6
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复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(co sθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角想一想：复数的三角形式有哪些特征下列各式是复数的三角形式吗（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3）i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
高中数学复数的三角形式与指数形式转换技巧
高中数学复数的三角形式与指数形式转换技巧复数是高中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题以及数学推理中发挥着重要的作用。
在复数的表示形式中，三角形式和指数形式是最常用的两种形式。
本文将介绍复数的三角形式与指数形式之间的转换技巧，并通过具体的例题来说明其考点和解题方法。
一、复数的三角形式复数的三角形式是指将复数表示为一个模长和一个辐角的形式，即z = |z|·(cosθ + i·sinθ)。
其中，|z|表示复数的模长，θ表示复数的辐角。
考虑一个具体的例子：将复数z = 3 + 4i表示为三角形式。
解：首先，我们可以计算出复数z的模长和辐角。
复数的模长可以通过勾股定理计算，即|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5。
复数的辐角可以通过反三角函数计算，即θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°。
然后，我们可以将复数z表示为三角形式：z = 5·(cos53.13° + i·sin53.13°)。
通过这个例题，我们可以看到，将复数表示为三角形式的关键是计算出复数的模长和辐角。
模长可以通过勾股定理计算，辐角可以通过反三角函数计算。
二、复数的指数形式复数的指数形式是指将复数表示为一个指数和一个虚指数单位的乘积的形式，即z = |z|·e^(iθ)。
其中，|z|表示复数的模长，θ表示复数的辐角。
考虑一个具体的例子：将复数z = -2√3 + 2i表示为指数形式。
解：首先，我们可以计算出复数z的模长和辐角。
复数的模长可以通过勾股定理计算，即|z| = √((-2√3)² + 2²) = √(12 + 4) = √16 = 4。
复数的辐角可以通过反三角函数计算，即θ = arctan(2/(-2√3)) ≈ -30°。
然后，我们可以将复数z表示为指数形式：z = 4·e^(-i30°)。
高中数学复习：复数的三角形式
高中数学复习：复数的三角形式考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x 轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi 的辐角。
(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi 的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。
非零复数与它的模和辐角主值一一对应。
(3)常用的有关辐角主值的结论当a R +时arg a=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。
2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
3.复数的三角形式复数z=a+bi 可以用复数的模r 和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中22b a r +=，ra =θcos ，r b=θsin 。
r(cosθ+isinθ)叫作复数z 的三角形式，而a+bi 叫作复数z 的代数形式。
考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。
则。
这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n 个复数相乘：=。
因此，如果就有[。
这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍。
2.复数的除法设则z ₁除以z ₂的商：)]。
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．以下不满足复数13i 22-的三角形式的是（）．A ．ππcos isin 33⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；B ．5π5πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；C ．cos isin 3π3π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；D ．11π11πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．设54ππθ<<，则复数cos 2isin 2cos isin θθθθ+-的辐角主值为（）A ．23πθ-B ．32θπ-C ．3θD ．3θπ-3．复数22i z =-的三角形式是（）A ．2cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．332cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．772cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．552cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭题型二：复数的辐角4．任意复数i z a b =+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位）都可以写成()cos s i in z r θθ=+的形式，其中()2202r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数31i 22z =+，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．复平面内，向量OP 对应复数的共轭复数为3i --，则OP对应复数的幅角主值为（）A ．76πB ．6π-C ．116πD ．56π6．欧拉公式()i e cos i sin e 2.71828θθθ=+= 是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知πi 613i 22e θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，则θ=（）A ．()π2π3k k +∈Z B ．()π2π6k k +∈Z C ．()ππ3k k +∈Z D ．()ππ6k k +∈Z题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z -=+，则z 的辐角为（）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π48．计算：(1)ππππ3cos isin2cos isin 6666⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(3)13ππi cos isin 2266⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()ππ1i cos isin 66⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭9．（1）计算：4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]；（2）已知复数z ＝r (cos θ＋i sin θ)，r ≠0，求1z的三角形式.【双基达标】一、单选题10．下列结论中正确的是（）．A ．复数z 的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；B ．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C ．实数0不能写成三角形式；D ．复数0的辐角主值是0．11．已知i 为虚数单位，()12cos 60isin 60z =︒+︒，()222sin 30i cos30z =︒-︒，则12z z ⋅等于（）A ．()4cos90isin 90︒+︒B ．()4cos90isin 90︒+︒C ．()4cos30isin 30︒-︒D ．()4cos0isin 0︒+︒12．欧拉公式i e cos isin x x x =+建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①iπe 10+=；②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin i 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．下列说法正确的是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对13．已知复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，则22zz=（）．A ．22i 22--B ．22i 22-+C ．22i 22-D ．114．复数4i z =-化成三角形式，正确的是（）A ．334cos isin 22ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．334cos isin 22ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．334cos isin 22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．334cos isin 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．回答下面两题(1)求证：1cos i sin cos i sin θθθθ=-+；(2)写出下列复数z 的倒数1z的模与辐角：①ππ4cos isin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②ππcos i sin 66z =-；③()21i 2z =-．16．设复数13i 22ω=-+，求证：(1)ω，2ω，1都是1的立方根；(2)210ωω++=．【高分突破】一、单选题17．设12z z z ∈C ､､，则下列命题中的真命题为（）A ．若12z z >，则12z z z z +>+B ．若0z z +=，则z 为纯虚数C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若12z z z =，则12arg arg arg z z z =+18．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，R x ∈）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．πi 2e 的虚部为i B ．3πi 422ei 22=-C ．i ecos sin x x x=+D ．πi 3e 的共轭复数为13i22-19．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos θi sin θθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（）A ．πi 2e i=B ．πi 4e1=C ．313i 12⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D ．πiπi 44πe ecos 42-+=20．复数()()cos 25isin 25cos50isin 50z =++的三角形式是（）A ．()()cos 25isin 25-+-B ．sin 75i cos 75+C ．cos15isin15+D ．cos75isin 75+21．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，3i e 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°二、多选题23．欧拉公式i e cos isin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数2i e 对应的点位于第三象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数i e 3ix +的模等于12D ．i 6e π的共轭复数为13i22-24．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A ．3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B ．i e 10π+=C ．313i 122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭D ．i i e e cos 2-+=θθθ25．以下不是复数13i --的三角形式是（）A ．ππ2cos i sin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7π7π2cos i sin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭26．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数65i e π的值为31i 22--B ．i e π为纯虚数C ．复数i e 1i x +的模长等于22D ．42i i 33e e 10ππ++=27．欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）A ．复数i 2e π为纯虚数B ．复数i2e 对应的点位于第二象限C ．复数i 3e π的共轭复数为31i 22-D ．复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆28．已知i 为虚数单位，若()1111cos i is n z r θθ=+，()2222cos i is n z r θθ=+，…，()cos isin n n n n z r θθ=+，则()()12121212cos isin n n n n Z Z Z r r r θθθθθθ=+++++++⎡⎤⎣⎦ .特别地，如果12(cos i sin )n z z z r θθ====+ ，那么()()cos isin cos isin nn r r n n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误．．的是（）A ．若cosi sin66z ππ=+，则413i22z =-+B ．若cos i sin 55z ππ=+，则51iz =+C ．若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1266i z z ⋅=+D ．若123233cos i sin 1212z ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12636i z z ⋅=-29．cos sin i e i θθθ=+（θ∈R ，i 是虚数单位，e 是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A ．对任意的θ∈R ，i e 1θ=B ．i e 在复平面内对应的点在第一象限C ．iπe 10-=D ．()i i i e e e αβαβ+=30．任何一个复数i z a b =+（其中,a b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：(cos si )i n z r θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：*[(cos isin )](cos isin )()n n n z r r n n n N θθθθ=+=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22||z z =B ．当2r =，6πθ=时，13iz =-C ．当1r =，3πθ=时，31z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数31．已知复数22cos isin 33z ππ=+，则下列关于复数z 的结论中正确的是（）A ．||1z =B ．44cos i sin 33z ππ=+C ．复数z 是方程310x -=的一个根D ．复数z -的辐角主值为23π-三、填空题32．设13i 22ω=-+，则10ω=______．33．已知z 的辐角主值是π4，则它的共轭复数的辐角主值是______．34．计算：5ππ3cos isin55⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．35．已知复数z 满足||5,arg arctan 2z z ==．若z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则b c +=______．36．任意一个复数Z 都可以表示成三角形式即i (cos isin )a b r θθ+=+.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示）()1111z cos i sin r θθ=+，()2222z cos i sin r θθ=+，则：()()12121212z z cos isin r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦，”已知复数13i 22z =+，则17z z +=______.37．计算：553cos i sin 2cosi sin 3366ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．(用代数形式表示)38．将复数z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化为代数形式为________．四、解答题39．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π．(1)观察()2cos i sin cos 2i sin 2θθθθ+=+，()3cos i sin cos 3i sin 3θθθθ+=+，()4cos i sin cos 4i sin 4θθθθ+=+，…猜测：()cos i sin nθθ+（直接写出结果）；(2)若复数3i z =-，利用（1）的结论计算10z ．40．复数ω的辐角主值是34π，且22()i ωωω+-为一实数，求复数ω．41．已知()1f z z =-，且()1244i f z z -=+，若122i z =-．(1)求复数1z 的三角形式与1arg z ；(2)求1212z z z z -+．42．在复平面内，设复数z 对应向量1OZ ，它的共轭复数z 对应向量2OZ．(1)若复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，求出实数k 的取值范围，并用k 表示||z z -；(2)若i 12z =+，且P 点满足122Z P PZ =，求1POZ 的重心G 所对应的复数G z ；(3)若cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，可知θ在变化时会对应到不同的复数z ，若取不同的[0,2π)i θ∈，1,2,3,4i =，使得其所对应的复数i z 满足410i i z ==∑，求证：1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．高中数学复习：复数的三角形式答案1．C【分析】逐一计算每个选项即可得答案.【详解】对于A ：13cos isin πi 2π332⎛⎫⎛⎫-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于B ：5π5π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于C ：13cos isin i 33π22π⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合；对于D ：11π11π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合2．B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：cos 2isin 2cos 2isin 2cos3isin 3cos isin cos()isin()θθθθθθθθθθ++==+--+-，因为54ππθ<<，所以15334θππ<<，所以7324θππ<-π<，所以该复数的辐角主值为32θπ-．3．C【分析】根据复数的三角形公式(cos i sin )z r θθ=+可求解.【详解】解：22222222i22i (2)(2)(2)(2)(2)(2)⎡⎤⎢⎥-=+-⨯-⎢⎥+-+-⎣⎦22772i 2cos i sin 2244ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．A【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数31i cos i sin 2266z ππ=+=+，因此，复数31i 22z =+的辐角主值为6π.5．D【分析】由已知得到向量OP 对应复数，并求出OP的模，再表示成(cos i sin )r θθ+的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在02π～范围的辐角主值．【详解】因为复数3i --的共轭复数为3i -+，即向量OP对应的复数为3i z =-+，2OP z ∴==uu u r ，312i 22z ⎛⎫∴=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 的幅角主值为56π即OP 对应复数的幅角主值为56π【点睛】方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．6．B【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.【详解】i e cos isin θθθ=+ ，i 613ecos isin i6622πθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ1cos 62π2π63π3sin 62k θπθθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪∴⇒+=+⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩()26k k θπ∴=+∈Z π，7．C【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i --===--++，故22551i 2i 2cos πisin π2244z ⎛⎫⎛⎫=--=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π4θ=.8．(1)6(2)2i (3)i (4)3131i 22-+-【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)ππππππππ3cos isin 2cos isin 6cos isin cos +isin 66666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ6cos isin 66666⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππππ2cos isin cos isin 2cos isin 2i336262⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)13ππ2π2πππi cos isin cos isin cos +isin 22663366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcos isin i 22=+=(4)()ππππππ1i cos isin 2cos sin cos isin 664466⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+=-+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ2cos sin 4646⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2321232131312i i 2222222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯-⨯+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.9．（1）13i -+；（2）()1cos sin i rθθ-【分析】（1）由复数三角形式的除法公式直接可求；（2）1可看作11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，结合复数三角形式的除法公式即可求解.【详解】由()()11112222cos sin ,cos sin z r i z r i θθθθ=+=+，则()()()()11111121222222cos sin cos sin cos sin r i z r i z r i r θθθθθθθθ+==-+-⎡⎤⎣⎦+进行计算即可：（1）因为()()cos320cos 40,sin 320sin 40︒=-︒︒=-︒所以4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]()()4cos 8040sin 8040132i i =︒+︒+︒+︒=-+⎡⎤⎣⎦；（2）因为()z r cos isin θθ＝＋,令11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，所以()()()1111cos 0sin 0cos sin z i i z z r r θθθθ⎡⎤==-+-=-⎣⎦【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.10．B【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【详解】A ：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2π整数倍，错误；B ：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；C ：0(cos isin )0θθ⨯+=其中R θ∈，故实数0能写成三角形式，错误；D ：复数0的辐角主值不唯一，错误.11．D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【详解】222(sin 30i cos30)22(cos300isin 300)z =︒-︒=︒+︒ ，122(cos 60isin 60)22(cos300isin300)z z ︒︒+︒⋅=+⋅︒∴()()4cos 60300isin 60300=︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()4cos360isin360=︒+︒()4cos 0isin 0=︒+︒.12．A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①iπe 1cosπisinπ111=0+=++=-+②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π2π9ππ2π9π9πi +++i i i i 10101010101029π9π=e e e e e cos isin i 22⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯⨯⨯===+= 则①②均正确13．A 【分析】由已知，可根据题意直接表示出22z z，化简即可得到结果.【详解】由已知，复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，2222222(cos 67.5sin 67.5)cos 67.5sin 67.52cos 67.5isin 67.5z z ︒︒︒︒︒︒+=-+ 1122i cos135isin1352222i 22︒︒===--+-+14．A【分析】求出复数z 的模与辐角主值，从而即可求解.【详解】解：设复数z 的模为r ，则220(4)4r =+-=，3arg 2z π=，所以复数4i z =-的三角形式为334cos isin 22z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．15．【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算；证法2，等价转化为证明两个复数相乘；（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出1z，再化为三角形式.【详解】（1）证法1：左边cos 0isin 0cos(0)isin(0)cos isin cos isin θθθθθθ+==-+-=-=+右边证法2：22(cos isin )(cos isin )cos (isin )θθθθθθ+-=- 22cos sin 1θθ=+=，1cos isin cos isin θθθθ∴=-+∴原等式成立.（2）①ππ4cos i sin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，111ππ123π23πcos isin cos isin ππ41212412124cos isin 1212z ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，1z ∴的模为14，辐角为23π2π,Z 12k k +∈.②ππcos isin 66z =-时，11ππcos isin ππ66cos isin 66z ==+-.1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 6k k +∈.③2(1i)2z =-时，1222ππi cos i sin 1i 2244z ==+=+-，1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 4k k +∈.16．【分析】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明；（2）利用复数的三角运算求出2ω，进而可得21ωω++的值.【详解】（1）132π2πi cos isin 2233ω=-+=+ 332π2π2π2π(cos isin )cos(3)isin(3)cos 2πisin2π13333ω=+=∴⨯+⨯=+=，236322()()11ωωω====，311=，所以ω，2ω，1都是1的立方根；（2）222π2π2π2π4π4π13(cosisin )cos(2)isin(2)cos isin i 33333322ω=+=⨯+⨯=+=-- ，2131311i i 02222ωω∴++=-+--=17．C【分析】根据虚数不能比较大小判断A ，取0z =可判断B ，根据复数模的性质判断C ，取特例可判断D.【详解】当z 为实数时，12z z z z +>+成立，否则不成立，故A 错误；当0z =时，满足0z z +=，但z 不为纯虚数，故B 错误；当120z z =时，2211||0||||z z z z ==，故1||0z =或2||0z =，所以10z =或20z =，故C 正确；当120,i z z ==时，120z z z ==，π002∴≠+，即12arg arg arg z z z ≠+，故D 错误.18．D【分析】对于A ，由πi 2e i =，其虚部为1，可判断A ；对于B ，3πi 422ei 22=-+，判断B ；对于C ，i 22e cos sin 1x x x =+=，判断C ；对于D,求得πi 3e ，结合共轭复数的概念即可判断.【详解】对于A ，πi 2ππe cosisin i 22=+=，其虚部为1，故A 错误；对于B ，3πi 43π3π22e cos isin i 4422=+=-+，故B 错误；对于C ，i e cos i sin x x x =+，则i 22e cos sin 1x x x =+=，故C 错误；对于D,πi 3cos is ππ13e i 33n 2i 2=+=+，故πi 3e 的共轭复数为13i 22-，D 正确，19．C【分析】根据iθe cosθi sin θ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为iθe cosθi sin θ=+所以πi 2ππe cos +isin i 22==，故A 正确πi 4ππ22e cos +isin +i 4422==，22πi 422e +122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确3213i 13i 13i 13i 13i 122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫------==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误πi πi 44ππππcos isin cos isin e eπ4444cos 224-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确20．D 【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.【详解】()()()()cos 25isin 25cos50isin 50cos 2550isin 2550z =++=+++ cos75isin 75=+ .21．B【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.【详解】解：3i e cos3isin 3=+，又3rad 357.3171.9≈⨯= ，为第二象限角，故cos 30,sin 30<>，故3i e 在复平面内对应的点()cos3,sin3位于第二象限.22．B【分析】根据复数乘法运算的三角表示即可得出结果.【详解】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°)＝cos160°＋isin160°．23．BC【分析】根据欧拉公式写出2i e cos 2isin 2=+、i 2e cos isin 22πππ=+、6e cos isin 66i πππ=+，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.【详解】由题知2i e cos 2isin 2=+，而cos20<，sin 20>，则复数2i e 对应的点位于第二象限，故A 错误；i 2e cos isin i 22πππ=+=，则i 2e π为纯虚数，故B 正确；ie cos isin (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos i 443i 3i(3i)(3i)x x xx x x x x x ++-+-===++++-，则i e 3i x +的模为2222223cos sin 3sin cos 3cos sin 3sin cos 144162x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；631e cos isin i 6622i πππ=+=+，其共轭复数为31i 22-，故D 错误．24．BCD【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】解：对于A ：3i e cos3isin 3=+，因为32ππ<<，所以sin 30>，cos 30<，所以3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A 错误；对于B ：i e 1cos i sin 1110πππ+=++=-+=，故B 正确；对于C ：333i i 313i cos isin e e cos isin 12233ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：由i cos isin e θθθ=+，i n e cos()isi ()cos isin θθθθθ-=-+-=-，所以i i 2co es e θθθ-=+，所以i i e e cos 2-+=θθθ，选项D 正确；25．AD【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 2i 2cos isin 2233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以B 正确，而7π7πsin i cos 661313i 2i 222⎛⎫--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故C 正确.26．CD【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项．【详解】由于5i 65531cos i sin e i 6622πππ=+=-+，所以A 错误；i e cos isin 1πππ=+=-为实数，故B 错误；复数ie 1i x +的模长为|cos isin |12|1i |22x x +==+，故C 正确；42i i 331313e 1i i 102222e ππ⎛⎫++=--+-++= ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确．27．ABD【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A ：因为复数i 2e cos sin 22πππ=+=i i 为纯虚数，故选项A 正确；对B ：复数i2cos 2isin2e =+，因为cos 20,sin2>0<，所以复数i2e 对应的点为()cos 2,sin2位于第二象限，B 正确；对C ：复数i 313e is i cos in 3322πππ++==的共轭复数为13i 22-，故选项C 错误；对D ：复数i )cos i e sin (θθθθ+∈=R 在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ，因为22cos sin 1θθ+=，所以复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确.28．BCD【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.【详解】A.若cosi sin 66z ππ=+，则44413cos isin i 6622z ππ=+=-+，所以该选项正确；B.若cos i sin 55z ππ=+，则5cos i sin 1z ππ=+=-，所以该选项错误；C.若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12336cos isin 6i 22z z ππ⎛⎫⋅=+=- ⎪⎝⎭，所以该选项错误；D.123233cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12131312cos isin 636i 66z z ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以该选项错误.29．ABD【分析】根据已知的欧拉公式，利用复数和三角函数的性质直接带入运算即可.【详解】对于A 选项，i 22e cos cos sin 1isin θθθθθ=+=+=，正确；对于B 选项，i e cos11isin =+，而cos10,sin10>>，故i e 在复平面内对应的点(cos1,sin1)在第一象限，正确；对于C 选项，iπe 1cos ππ12,isin -=+-=-错误；对于D 选项，()()i i e e cos cos isin isin αβααββ=++=2cos cos cos cos i sin sin isin isin αββααβαβ+++=()cos cos sin sin sin cos sin cos iαβαββααβ-++=()()cos isin αβαβ+++()i e αβ+=，正确.30．AC【分析】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.【详解】对于复数i z a b =+有，()2222i 2iz a b a b ab =+=-+222z a b ∴=+，而222z a b =+，所以选项A 正确；根据复数的三角形式，π26r θ==，时，ππ2cos 3i 66z isin ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭此时，3i z =-，选项B 错误；π13r θ==，时，ππ13cos i 3322z isin =+=+根据棣莫弗定理，()331z r cos isin ππ=+=-，所以选项C 正确；π14r θ==，时，ππcos 44n n n z isin =+，n 为偶数时，设2,*n k k Z =∈,ππcos,*22n k k z isin k Z =+∈，所以k 为奇数时，n z 为纯虚数；k 为偶数时n z 为实数，选项D 错误.31．ABC【分析】利用复数的三角运算及得复数的几何意义，即可得到答案；【详解】 13i 22z =-+，∴13||144z =+=，故A 正确； 1344i cos isin 2233z ππ=--=+，故B 正确； 366cos sin 133z i ππ=+=，∴310z -=，故C 正确； 13i 22z -=-，∴复数z -的辐角主值为53π，故D 错误；32．13i 22-+【分析】将复数ω表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简10ω.【详解】因为132π2πi cos isin 2233ω=-+=+，所以，101020π20π2π2π13cos isin cos isin i 32π2πcos isin 3333322ω⎛⎫==+=+=-+ ⎪⎝⎭+.33．7π4【分析】根据复数的三角表示可得22i 22z r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，从而可得其共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得共轭复数的辐角主值.【详解】解：z 的辐角主值是π4，则ππ22cos isin i 4422z r r ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0r >，所以共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则共轭复数的辐角主值是7π4.34．243-【分析】由复数三角表示的运算公式计算即可.【详解】解：()55ππππ3cos isin 3cos 5isin 5243cos πisinπ2435555⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦35．9【分析】根据题意求出12z i =+，然后根据z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根即可求解.【详解】设i(R,R)z x y x y =+∈∈，因为arg arctan 2z =，所以2y x=，且复数z 在第一象限，又复数z 满足|z |5=，所以12z i =+，因为z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则有23(12i)(12i)0b c ++++=，也即(122)i -90b b c +++=，所以122090b b c +=⎧⎨+-=⎩，则9b c +=，36．1【分析】将z 化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简17z z +，即可得结果.【详解】由13cos sin 2233ππz i i =+=+，所以1716ππ16π16π(1)(cosisin )(cos isin 1)3333z z z z +=+=+++，而16π16π4π4π135π5πcos isin 1cos isin 1i cos isin 33332233++++==+=-，所以17ππ5π5πcos i sin cos i sin cos 2πi sin 2π13333z z ⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.37．3i 2-【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可.【详解】553553cos isin 2cos isin cos isin 336623636ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+÷+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos isin i 2222ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦38．1－i【分析】计算出三角函数值后化简即可.【详解】z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ222(cos isin )2(i)1i 4422=-=-=-．39．(1)cos isin n n θθ+(2)5125123i+【分析】（1）观察规律即可得；（2）由特殊角三角函数得11π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.【详解】（1）由观察得()cos i sin cos i sin nn n θθθθ+=+；（2）3111π11π3i 2i 2cos i sin 2266z ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）得10101011π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1011π11π2cos10i sin1066⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭1055π55π2cos isin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10ππ2cos 18πisin 18π33⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦10ππ2cos i sin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10132i 22⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭5125123i+=40．1iω=-+【分析】根据辐角主值的定义，写出ω的表达式，并带入化简22()i ωωω+-，结合22()i ωωω+-为一实数求出参数2r =，进而得到ω的值.【详解】∵复数ω的辐角主值是34π，且3π23π2sin ,cos 4242==-，22i 22r r ω∴=-+，22i 22r r ω∴=--，22222i i 22r r r ω⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，2222i+2(i i)2()2222i 22r r r i r r ωωω--+-+-∴=--()()2222222222+2i 22r r r r r r r r r ⎡⎤+-++-+-⎢⎥⎣⎦=，22()i ωωω+- 为实数，()2222+202r r r r ∴-+-=，整理得：()220r -=，2r ∴=，1iω∴=-+41．(1)17π7π22cos i sin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，17πarg 4z =(2)41【分析】（1）求出复数1z 的模和辐角主值后，可得复数1z 的三角形式；（2）根据()1f z z =-，()1244i f z z -=+以及122i z =-求出2z ，将1z 和2z 代入1212z z z z -+可求出结果.【详解】（1）因为122i z =-，所以其模222(2)22r =+-=，设其辐角为θ，则22cos 222θ==，22sin 222θ-==-，因为复数122i z =-对应的点(2,2)-在第四象限，所以1arg z 7π4=，所以复数1z 的三角形式为17π7π22cos isin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()1f z z =-，所以()12121f z z z z -=--121z z =--44i =+，因为122i z =-，所以22i +2144i z --=+,所以232i z =--，所以232z i =-+，所以1212z z z z -+22i 32i 22i 32i -+-=--+54i 1-=-241641=+=.42．【分析】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案；（2）设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 求得21,3x y ==-，由三角形重心坐标公式求得1POZ 的重心G 坐标，由此可得复数G z ；21（3）求得||1z =，说明1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 在单位圆上，再410i i z ==∑取值，说明,AC BD 为单位圆的两直径，即可证明结论.【详解】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，R k ∈，则1680,2k k =-<> ，即实数k 的取值范围(2,)+∞；解方程2240x x k ++=得4816i 224i 42k k x -±--±-==，不妨令复数224i 2z k -+-=，另一根为224i 2z k ---=，故||24,(2)z z k k -=->.（2）由i 12z =+可知12i z =-，故21(1,2),(1,2)OZ OZ ==- ，设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 得(1,2)2(1,2)x y x y --=---，即12(1)22(2)x x y y -=-⎧⎨-=--⎩，解得21,3x y ==-，故2(1,)3P -，故1POZ 的重心G 为202101243,,3339⎛⎫-++ ⎪++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，故24i 39G z =+.（3）由于cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，则22||cos sin 1z θθ=+=，则1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 都在单位圆上，又410i i z ==∑，则1234cos cos cos cos 0θθθθ+++=且1234sin sin sin sin 0θθθθ+++=，不妨取3142π+,π+θθθθ==，[0,π),1,2i i θ∈=，则,AC BD 为单位圆的两直径，则四边形ABCD 的对角线互相平分且对角线相等，则四边形ABCD 为矩形，即1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．。