复数的三角形式
例 1、计算：
① 2 (cos +isin ) 3 (cos +isin ) 12 12 6 6
②3(cos75º+isin75º) 3 (cos15º+isin15º) ③(cos3A+isin3A) (cos2A-isin2A)
4 4 5 5 ④4(cos +isin )÷2(cos +isin ) 3 3 6 6
3 arg z 2 , 6、复数 z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|>2 并且 2
求实数 a 的取值范围
则 M∩N 所围成的复平面是上的区域的面积是（ (A) ）
4
(B)
2
(C)
3 4
(D)
3、设 a∈(-1,0),复数 cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为（ ） (A) arcsina (B)2 + arcsina (C) -arcsina (D) + arcsina 4、复数 1+cos200º+isin200º的辐角主值为（ ） (A) 200º (B) -100º (C) 100º (D) 280º
定理的推广：设 zn=rn(cos n+isin n),其中 rn≥0 于是：z1z2z3„zn=r1r2r3„rn[cos( 1+ 2+ 3+„+ n) +isin( 1+ 2+ 3+„+ n)]
复数乘法的几何意义：
⑴两个复数 z1、z2 相乘时，可以先画出分别与 z1、z2 对应的 向量 OZ1 、 OZ 2 ，然后把向量 OZ 2 按逆时针方向旋转 1 再把模变为原来的 r1 倍，所得的向量 OZ 就表示积 z1z2. 特征：旋转+伸缩变换 ⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.
复数的除法运算：
复数的除法运算的定理： z1=r1(cos +isin ),z2=r2(cos +isin )
z1 r1 cos i sin 那么 = z 2 r2
下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？ 1 1 （1） (cos i sin ) ； （2） (cos i sin ) ； 2 4 4 2 3 3 1 3 3 7 7 i sin ) ； i sin （3） (cos （4） cos ； 2 4 4 5 5 7 7 0 0 i cos ) （5） 2(cos90 i sin 30 ) ； （6） 4(sin 2 2
复数的三角形式
1、复数的辐角：我们把以 x 轴的正半轴为始边、向量 OZ 所在的射线为终边的角 ，叫做复数 z a bi 的辐角； 特别规定：复数 0 的辐角是任意的.
2、复数的辐角主值：我们把适合于 0 2 的辐角 的值 叫做辐角的主值，通常记作 arg z ，即 0 arg z 2 。
3、复数的三角形式：设 是复数的辐角，其模为 r ，则：
a rcos ， b r sin
z r ( c o s i s i n ) 叫复数的三角形式
三角形式的具体要求： ① r ≥0 ； ②前余后正 ③“+”号连接 ；④ 不一定是主值
复数的三角形式的乘法运算：
定理：设 z1=r1(cos +isin )，z2=r2(cos +isin )，r1≥0,r2≥0 那么：z1·z2= r1r2 cos i sin
例、(1)设复数 z 满足：|z|=1 且 z +z=1,求复数 z 的值. (2)如果( 3 +i) =(1+i) ,m、n∈N，求自然数 m、n 的最小值
m n
5
5、化复数 z1=1+cos +isin ,z2=1-cos +isin ( ＜ <2 ) 为三角形式，并且求 argz1+argz2.
化下列复数为三角形式： ① z= 3 +i ②z=1-i ④z=3-4i ③z=-1；
1 ⑤ (cos i sin ) 2 3 3
z 2 3z 6 例 1、(1)复数 z=1+i，求复数 的模和辐角主值 z 1
(2)求复数 z1=1+cos +isin (0≤ <2 )的模和辐角主值。
z 1 1 z 1 例 2、 （1）| |= ，arg = ,求复数 z z 2 z 3 （2）arg(z+1)= ,arg(z-1)= ,求复数 z. 6 3
1、复数 1 ictg( 2) 的三角形式是（
）
1 [cos( ) i sin( )] (A) sin 2 2 1 (sin cos ) (B) sin 1 [cos( ) i sin( )] (C) sin 2 2 1 3 3 [cos( ) i sin( )] (D) sin 2 2 3 2、集合 M={z|1≤|z|≤2,z∈C},N={z| <argz< , z∈C }， 4 4
5 5 1 3 ⑤8(cos +isin )÷( + i) 6 6 2 2
7 7 2 2 ⑥ 3 (cos +isin )÷ 2 (cos -isin ) 4 4 3 3
2 2 例 2、(1)如果 z=cos +isin ,求： 1+z4+z8+z12+z16 之值 5 5
3i 7 (2)化复数 z=1+( ) 为三角式 2
复数的三角形式与指数形式
复数的三角形式与指数形式复数是数学中的一种概念，可以用于表示实数范围之外的数。
复数由实部和虚部组成，其中虚部可以加上单位虚数单位i。
复数的表示有两种常用形式：三角形式和指数形式。
1. 三角形式复数可以用极坐标系表示，其中实部对应坐标轴上的横坐标，虚部对应坐标轴上的纵坐标。
三角形式将复数表示为模长和辐角的形式。
模长表示复数到原点的距离，辐角表示复数与正实轴的夹角。
设复数为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
则复数z在极坐标系下的三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
模长r可以通过勾股定理计算得到，即r=√(a^2+b^2)。
辐角θ可以通过反三角函数计算得到，即θ=arctan(b/a)。
三角形式的优点是直观且易于计算。
可以通过模长和辐角计算复数的加减乘除等运算，也可用于复数的求解和复数函数的分析。
2. 指数形式指数形式是将复数表示为自然指数的形式，也称为欧拉公式形式。
复数的指数形式为z=re^(iθ)，其中r为模长，e为自然对数的底，i为虚数单位，θ为辐角。
指数形式的优点在于运算更加简便。
复数的加法和减法可以直接对实部和虚部进行计算，而无需使用三角函数。
复数的乘法和除法也可以通过指数形式的运算规则来进行计算，简化了复数运算的复杂度。
指数形式还有广泛的应用，例如在复数的幂运算中，指数形式可以简化计算；在解线性差分方程和傅里叶级数等数学问题中，指数形式可以提供更加简洁的解法。
综上所述，复数可以用三角形式和指数形式来表示。
三角形式直观易懂，适用于计算复数的模长和辐角等问题；指数形式简洁高效，适用于复数的加减乘除和复杂运算。
根据具体问题的需求，可以选择不同的表示形式来处理复数运算。
复数三角公式
复数三角公式一、复数的基本概念复数是指具有实部和虚部的数，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
实部a表示复数在实数轴上的位置，而虚部b表示复数在虚数轴上的位置。
复数是复平面上的一点，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
二、复数的三角形式为了方便表示和计算复数，我们可以将复数转化为三角形式。
复数a+bi 在复平面上对应的点与原点连线的长度称为模长，记作|a+bi|。
复数的幅角表示为θ，满足θ∈[0，π]。
复数a+bi的三角形式可以表示为：a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r=|a+bi|，θ为幅角。
三、复数三角公式的推导1.复数的模长公式：|a+bi| = √(a+b)2.复数的共轭复数：conj(a+bi) = a-bi3.复数的乘法公式：((a+bi) × (c+di)) = (ac-bd) + (ad+bc)i4.复数的除法公式：((a+bi) ÷ (c+di)) = (ac+bd) / (c+d) - (ad-bc)i / (c+d)5.复数的三角函数：sinθ = b / r，cosθ = a / r，tanθ = b / a四、复数三角公式的应用1.计算复数的模长、共轭复数、幅角等；2.简化复数的乘除运算；3.求解复数方程组；4.分析复数的收敛性、周期性等性质；5.应用到信号与系统、量子力学等领域。
五、总结与拓展复数三角公式是复数理论中非常重要的内容，掌握这些公式有助于我们更好地理解和处理复数相关问题。
在实际应用中，复数三角公式为我们提供了一种简便的方法来处理复数的各种运算和性质。
复数的三角形式
复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。
其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。
需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。
复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。
任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。
2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。
下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。
例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。
2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。
复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3） i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用
复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用复数的三角式与指数式的相互转换方法及应用复数是数学中的一个重要概念，其中涉及到了复数的三角式和指数式的相互转换。
本文将针对复数的三角式和指数式的相互转换方法进行介绍，并且探讨这些转换方法在实际中的应用。
一、复数的三角式和指数式1. 复数的三角式复数的三角式是指将一般复数 $a + bi$ 表示成 $r(\cos{\theta} +i\sin{\theta})$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。
其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。
2. 复数的指数式复数的指数式是指将复数表示成 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。
其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。
二、复数的三角式和指数式的相互转换方法1. 从复数的三角式到指数式的转换将复数 $a + bi$ 的三角式 $r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ 中的$\cos{\theta}$ 和$\sin{\theta}$ 分别用$e^{i\theta}$ 的实部和虚部表示，即 $\cos{\theta} = \text{Re}(e^{i\theta})$，$\sin{\theta} =\text{Im}(e^{i\theta})$，则有 $a + bi = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) =r\text{e}^{i\theta}$。
复数三角公式
复数三角公式摘要：一、引言二、复数三角公式定义1.余弦公式2.正弦公式3.辅助公式三、复数三角公式的应用1.解析复数2.计算复数模3.求解复数三角形式四、复数三角公式与其他公式关系1.欧拉公式2.指数和对数公式五、结论正文：复数三角公式是复分析中一种将复数表示为三角形式的重要工具。
通过复数三角公式，我们可以更直观地理解复数，并且方便地进行复数的计算和求解。
一、引言复数三角公式是复分析中的重要公式，可以将复数表示为三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。
二、复数三角公式定义复数三角公式包括余弦公式、正弦公式和辅助公式。
1.余弦公式余弦公式是指复数Z=x+yi（x,y∈R）的三角表示形式为：Z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|Z|，θ=arg(Z)。
2.正弦公式正弦公式是指复数Z=x+yi（x,y∈R）的三角表示形式为：Z=r(cos(θ+π/2)+isin(θ+π/2))，其中r=|Z|，θ=arg(Z)。
3.辅助公式辅助公式是指已知复数Z=x+yi（x,y∈R）的模r 和幅角θ，可以求解出复数Z 的三角表示形式。
三、复数三角公式的应用复数三角公式在解析复数、计算复数模以及求解复数三角形式等方面有着广泛的应用。
1.解析复数通过复数三角公式，可以将复数表示为三角形式，从而更直观地理解复数。
2.计算复数模通过复数三角公式，可以直接计算出复数的模，而不需要进行复杂的计算。
3.求解复数三角形式通过复数三角公式，可以直接求解出复数的三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。
四、复数三角公式与其他公式关系复数三角公式与其他公式，如欧拉公式、指数和对数公式等有着密切的关系。
1.欧拉公式欧拉公式是指复数e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中x∈R。
欧拉公式是复数三角公式的一个特例。
2.指数和对数公式指数和对数公式是指复数的指数和对数可以表示为三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。
五、结论复数三角公式是复分析中一种将复数表示为三角形式的重要工具。
第17讲 复数的三角形式(讲义)解析版
第17讲 复数的三角形式知识梳理1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r ＝|z |根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)， 上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)×r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(n θ)＋isin(n θ)].例题解析1.代数形式化为三角形式例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3-；（2.【答案】（1）11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭（277cos isin 244ππ⎛⎫=⎝+⎪⎭【分析】（1）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是(3,在第四象限，求出()11arg 36π=，最后写成三角形式.（2）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出)7arg4π=，最后写成三角形式.【详解】（1）r ==因为与3-对应的点在第四象限，所以()11arg 36π-=，所以11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 【巩固训练】1．（202012i +化成三角形式，正确的是（ ） A ．cossin33i ππ+B ．cossin66i ππ+C ．22cos sin 33i ππ+ D ．1111cos sin 66i ππ+ 【答案】B【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;【详解】解: 因为cos6π=1sin 62π=1cos sin 266i i ππ+=+ 故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题．2．（2020·全国高一课时练习）复数1-+的三角形式是 A ．222cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．552cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据复数的三角形公式(cos sin )z r i θθ=+求解或利用定义直接求解即可.【详解】解法一：设复数的三角形式为(cos sin )z r i θθ=+,则2r ==,tan θ=,可取2arg 3z πθ==,从而复数1-+的三角形式为222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法二：1⎡⎤-=12222cos sin 2233i ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.3．（2020·全国高一课时练习）复数1z i =-（i 为虚数单位）的三角形式为（ ）A ．45cos 45)z i ︒︒=-B ．45isin 45)z ︒︒=-C ．45)sin(45)]z i ︒︒=---D ．45)+sin(45)]z i ︒︒=--【答案】D【分析】复数的三角形式是()cos sin z r i θθ=+，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合答案选择．【详解】解：依题意得r ==复数1z i =-对应的点在第四象限，且cos θ=，因此，arg 315z ︒=，结合选项知D 正确， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．总结规律：复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．2.三角形式化为代数形式例1．（2020·全国高一课时练习）“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差2π的整数倍即可. 【详解】当复数12,z z 的模与辐角分别相等时，一定有12z z =，充分性成立；但当12z z =时，1z 与2z 的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立.综上，“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.例2．（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中)0r θπ=≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z =，则z 的辐角主值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】2155cos sin42266i z i i ππ-====-+=+，所以辐角主值为56π． 故选：D ．例3．（2020·全国高一课时练习）已知复数z 1cos sin1212i ππ⎫+⎪⎭，z 2cossin66i ππ⎫+⎪⎭，则z 1z 2的代数形式是（ ）A cossin44i ππ⎫+⎪⎭B cossin1212i ππ⎫+⎪⎭C D 【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭[cos()s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题. 例4．（2020·全国高一课时练习）复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为 A ．518π B ．169πC ．29π D ．79π 【答案】D【分析】化简55sincos 1818z i ππ=-+利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.例5．（2020·全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4(cos sin )66i ππ+； （2）2(cossin )33i ππ- 【分析】（1）复数4(cossin )66i ππ+为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；（2）先把复数2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，转化为三角形式552cossin 33i ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式； 【详解】（1）复数4(cossin )66i ππ+模r ＝4，辐角的主值为θ＝6π.4(cossin )66i ππ+4cos 4sin 66i ππ=+1442i =+⨯2i =. （2）2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2cos 2sin 233i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552cos sin 33i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，复数的模为2，辐角的主值为θ＝53π，2cos sin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭552cos 2sin 33i ππ=+12222i ⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭1=. 【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）442cos sin 55i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （2）33sincos 55i ππ+. 【答案】（1）不是，992cossin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）不是，cos sin 1010i ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可. 【详解】（1）不是.44442cos sin2cos sin 5555i i ππππ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭44992cos sin 2cos sin 5555i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （2）不是.3333sincos cos sin cos sin 5525251010i i i ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式.总结规律：复数的三角形式z ＝rcos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.3.复数三角形式的乘、除运算例1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）771333cos sin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3232i ；（2）32i【分析】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得； 【详解】解：（1）771333cossin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2232i ⎫⎛⎫=÷-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 226323222i i ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭113222i ⎛⎫=÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭1422ii⎛⎫-⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题.【巩固训练】2．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32；(2)2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ3.[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32＝(2)2⎝⎛⎭⎪⎫cos23π＋isin23π＝2⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝－1＋3i.(2)12－12i＝22⎝⎛⎭⎪⎫22－22i＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π，所以2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos512π＋isin512π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π＝2×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＋isin⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＝cos2612π＋isin2612π＝cosπ6＋isinπ6＝32＋12i.(3)因为－12＋32i＝cos23π＋isin23π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π＋isin 23π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i. 总结规律：1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．4.复数三角形式乘、除运算的几何意义例1．（2020·全国高三二模（文））在复平面内，O 为坐标原点，复数z 对应的点为()1,0Z ，将向量OZ 按逆时针方向旋转30得到OZ '，则OZ '对应的复数z '为（ ）A ．122i + B ．122i + C ．122i - D ．122- 【答案】A【分析】设z a bi '=+，根据三角函数的定义可求得a 、b 的值，进而可得出复数z '的值.【详解】设z a bi '=+，由题意知，3cos302a ==1sin 302b ==，所以12z i '=+，故选：A ．【点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.例2．（2020·全国高一课时练习）将复数1对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是A i -B iC ．iD ．i +【答案】A【分析】先将复数1+写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数1的三角形式是2cossin33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.例3．（2020·全国高一课时练习）将复数1i +对应的向量OM 绕原点按逆时针方向旋转4π，得到的向量为1OM ，那么1OM 对应的复数是 A ．2i BC．22+ D【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可. 【详解】复数1i +cossin44i ππ⎫+⎪⎭,向量1OM 对应的复数cos sin cos sin 4444i ππππ⎫⎛⎫+⨯+⎪ ⎪⎭⎝⎭cos sin 22i ππ⎫=+=⎪⎭故选：B【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数22i -+对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可. 【详解】与所得向量对应的复数为()()22cos75sin75i i -+⨯︒+︒)()cos135sin135cos75sin 75i i =︒+︒⨯︒+︒()()cos 13575sin 13575i =︒+︒+︒+︒⎤⎦)cos210sin 210i =︒+︒=12i ⎫-⎪⎪⎭=.【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题.例5．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设O 为坐标原点，点,A B 所对应的复数分别为12,z z ，且12,z z 的辐角主值分别为,αβ，模长均为1.若AOB 的重心G 对应的复数为11315i +，求()tan αβ+. 【答案】512【分析】根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.【详解】由题意，可知12cos sin ,cos sin z i z i ααββ=+=+.∵AOB 的重心G 对应的复数为11315i +， ∴12113315z z i +=+，即cos cos 11sin sin 5αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴2cos cos 12212sin cos 225αβαβαβαβ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， ∴1tan 25αβ+=， ∴()22tan 52tan 121tan 2αβαβαβ++==+-. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中还涉及和差化积公式.例6．（2020·全国高一课时练习）设复数12sin cos 42z i ππθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在复平面上对应向量1OZ ，将向量1OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转34π后得到向量2OZ ，2OZ 对应复数()2cos isin z r ϕϕ=+，则tan ϕ=（ ）A ．2tan 12tan 1θθ+-B ．2tan 12tan 1θθ-+C ．12tan 1θ+D ．12tan 1θ- 【答案】A【分析】先把复数1z 化为三角形式，再根据题中的条件求出复数2z ，利用复数相等的条件得到sin ϕ和cos ϕ的值，求出tan ϕ.【详解】因为1z ==所以1z ⎫=，设cos β=sin β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则cos tan 2sin θβθ=，23355cos sin cos +sin +4444z i i ππππββββ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎦即r =5cos cos 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin sin 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故5sin 54tan tan tan 544cos 4πβππϕββπβ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭ cos 11tan 2tan 12sin cos 1tan 2tan 112sin θβθθθβθθ+++===---. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将1z 、2z 化为三角形式然后再计算.【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数4+对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转15︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】+【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()4cos15sin15i +÷︒+︒()()8cos60sin60cos15sin15i i =︒+︒÷︒+︒()()8cos 6015sin 6015i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦()8cos45sin 45i =︒+︒22822i ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 4242i =+.【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.2．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，求复数z （用代数形式表示）. 【答案】22i 22z =- 【分析】把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°得到()()cos45isin 45i =︒+︒⨯-z ，再把三角形式转化为代数形式运算，整理为a bi + 的形式.【详解】由题意得()()()22cos 45isin 45i i i 22z⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭22i 22=-. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.总结规律：两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量，表示的复数就是积z 1z 2.5.三角形式下复数的乘方与开方【巩固训练】1．（2020·全国）复数()()452213i i +-=（ ）A ．13iB ．13i -+C ．13iD ．13i --【答案】B【分析】由复数的三角形式得22cos sin 44i i ππ+=+），1=2(cos sin )33i ππ-，代入运算可得选项.【详解】22cos sin 44i i ππ+=+），故46(22)2(cos sin )i i ππ+=+=62-，1=2(cos sin )33i ππ-，故5555(1)2cos sin 33i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，46512222552(cos sin )33i ππ⎛⎫-- ⎪-===-⎝⎭⎝⎭12()12=--=-+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.2．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒； （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【答案】（1）1-；（2）13232i -+ 【分析】根据复数的乘方及乘法法则计算可得；【详解】解：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒()5111cos180sin180cos36sin 36i i ===-︒+︒︒+︒ （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 412cos isin 33ππ=⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 14 16cos isin 334ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎝⎭12⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭132=-+ 【点睛】本题考查复数代数形式的乘方运算及除法运算，属于中档题.3．（2020.【答案】8-+【分析】根据复数三角形式的乘方运算及代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解51322i ⎫⎪=532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=5532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=13222i ⎛⎫-+ ⎪=)132228i i ⎛⎫-+ ⎪==-+ 【点睛】本题考查复数三角形式的乘方运算及代数形式的除法运算，属于基础题.反思总结：知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．方法：两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z1·z2…z n＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…r n(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…r n[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．(2)当z1＝z2＝…＝z n＝z时，即r1＝r2＝…＝r n＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有z n＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．。
复数的三角形式和欧拉公式
复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示实数以外的数。
复数有两种常见的表示方法，一种是常规的代数形式，即a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位；另一种是三角形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
复数的三角形式是由欧拉公式推导而来的。
欧拉公式是数学中非常重要而优美的公式之一，它将自然对数的底e、虚数单位i和余弦函数、正弦函数之间建立了一种神奇的关系：e^(iθ)=cosθ+isinθ。
通过欧拉公式，我们可以将复数用指数形式表示为r×e^(iθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
这样的表示形式更加简洁而且直观，方便于进行复数的运算。
复数的三角形式有许多重要的性质。
首先，复数的三角形式可以用于求解复数的乘法和除法。
当两个复数相乘时，只需要将它们的模相乘，幅角相加即可；而当两个复数相除时，只需要将被除数的模除以除数的模，被除数的幅角减去除数的幅角即可。
这使得复数的乘除运算变得简单而直观。
此外，复数的三角形式还可以用于求解复数的幂运算。
由于指数运算具有幂相乘的性质，我们可以将复数的幂表示为(r×e^(iθ))^n=r^n×e^(inθ)，其中n是正整数。
这样，我们可以通过对模进行乘方，对幅角进行n倍来求解复数的幂，从而进一步简化了运算过程。
最后，复数的三角形式还可以用于求解复数的根。
通过将复数表示为r×e^(iθ)，我们可以利用欧拉公式求解复数的n次根。
具体的方法是通过将模开n次根号，幅角除以n来求解。
这样，我们可以方便地找到复数的根，并且我们可以得到全部n个根。
综上所述，复数的三角形式是一种非常有用的表示方法，它简化了复数的运算和求解过程。
欧拉公式的推导和应用，使得我们在处理复数时更加方便、直观，并且可以通过几何的方法来理解复数的运算和性质。
因此，对于学习和应用复数的人来说，掌握复数的三角形式和欧拉公式是十分重要而有价值的。
复数的三角表示形式
复数的三角表示形式
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示成 a+bi 的形式，其中a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位。
除此之外，复数还可以用三角形式表示，即：
z = r(cosθ + i sinθ)
其中，r 表示复数 z 的模，θ表示 z 的幅角。
模 r 的计算公式为：
r = |z| = √(a + b)
幅角θ的计算公式为：
θ = arg(z) = tan(b/a) + kπ (k∈Z)
在三角形式中，复数可以看作是平面直角坐标系中一个点的极坐标，其中实部和虚部分别对应该点在 x 轴和 y 轴上的投影长度。
使用三角形式表示复数有以下几个优点：
1. 易于计算复数的乘法和除法，只需按照平面向量的乘法和倒数公式进行计算。
2. 易于用欧拉公式表示复数，即 e^(iθ) = cosθ + i sinθ，可以方便地进行复杂的数学推导。
3. 易于理解复数在复平面上的几何意义，可以通过旋转和缩放的方式进行操作。
因此，三角形式是复数的重要表示形式之一，对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。
- 1 -。
复数的三角表示
三. 复数乘除法的几何意义的应用
例5 已知复数z1＝-2+i对应的点为P1，z2＝-3+4i对应的点为P2，
把向量
uuuur P1P2
绕P1点按顺时针方向旋转
2
后，得到向量
uuur P1P
，求向
量
uuur P1P
和点P对应的复数分别是什么？
uuuur
解：由题意知向量 P1P2 对应的复数是
z2-z1＝（-3+4i）-（-2+i）＝-1+3i.
【名师点拨】 将复数的三角形式r（cos θ+isin θ）化为代 数形式a+bi（a，b∈R）时，其中a＝rcos θ， b＝rsin θ. 【注意】 复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点 （a，b）是一一对应的.
二. 利用复数的三角形式进行复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3.
5
3.复数代数形式和三角形式的转化
a+bi＝rcos θ+irsin θ＝r（cos θ+isin θ），
a
b
其中 r＝ a2 b2 ， cos θ＝ r , sin θ＝ r .
(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主 值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.
cos
6
isin
6
·
2
cos
4
isin
4
＝
.
【解析】
5
cos
6
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