清华大学材料力学-第3章
材料力学第三章-PPT
Me3
r / min
Me1 15915 N m
2
3
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
Me1 n Me4
1
4
6366 N·m
+
2)画扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
【课堂练习】若将
Me2
Me4
从动轮3与4对调如
18
Me1 n Me3
图,试作扭矩图、
2
BC段内:
2,max
T2 Wp 2
π
14103 71.3MPa 100 103 3
3)校核强度
16
2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件、
36
§3-5 等直圆杆扭转时得变形·刚度条件
Ⅰ、 扭转时得变形
等直圆杆得扭转变形可用两个横截面得
相对扭转角(相对角位移) j 来度量。
GIP
j Tl 180 GIP
—单位为度 (º)
若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常 数,则相对扭转角:
n
j
T i li
—单位为弧度(rad)
i1 Gi I Pi
n
j
T i li 180 —单位为度 (º)
i1 Gi I Pi
39
【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa、试求横截面C 相对于
Me
Me
FS左=τ左dydz
FS右=τ右dydz
材料力学答案第三章
第三章 扭转第三章答案3.1 作图示各杆的扭矩图。
解：4kN·m6kN·m10kN·m 6kN·m4kN·m4kN·m3.2 T 为圆杆截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的剪应力分布图。
解：3.3 图示钢制圆轴，d 1 = 40mm, d 2 = 70mm, M eA = 1.4kN m ⋅, M eB = 0.6kN m ⋅, M eC = 0.8kN m ⋅,[]θ = 1o /m. []τ = 60MPa, G = 80GPa. 试校核轴的强度与刚度。
解：1）校核强度[]113311161660047.7MPa 4B t T m W d ττππ⨯====<⨯[]223322161680011.9MPa 7C t m T W d ττππ⨯====<⨯满足强度条件。
0.8kN·m2）校核刚度119412118032600180 1.71/m 80104010P T GI θπππ-⨯=⋅=⋅=︒⨯⨯⨯⨯222180328001800.24/m 80107010P T GI θπππ⨯=⋅=⋅=︒⨯⨯⨯⨯[]max 1 1.71/m θθθ==︒>此轴不满足刚度条件。
3.4 图示一传动轴，主动轮I 传递力偶矩m k N 1⋅, 从动轮II 传递力偶矩0.4m k N ⋅, 从动轮III 传递力偶矩0.6m k N ⋅。
已知轴的直径d = 40mm ，各轮间距各轮间距l = 500mm ，材料的剪切弹性模量G = 80GPa 。
（1）合理布置各轮的位置；（2）求出轴在合理位置时的最大剪应力和轮间的最大扭转角 。
0.6kN·m解：max 336161660047.7MPa 410t T m W d τππ-⨯====⨯⨯Ⅰ主动轮Ⅰ放在Ⅱ、Ⅲ轮之间，此时轴的最大扭矩最小。
max 494832326000.50.015rad8010410P Tl mlGI G d φππ-==⨯⨯==⨯⨯⨯⨯3.5 一空心圆轴和实心圆轴用法兰联结。
清华大学版理论力学课后习题答案大全 第3章静力学平衡问题习题解
EDF DDBF Fα(a)αCBF BDBF 'ABF (b)习题3－3图第3章 静力学平衡问题3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。
试求其中1，2，3各杆受力。
解：图（a ）：045cos 23=-︒F FF F 223=（拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=︒-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0F 2 = F （受拉）3－2 图示为一绳索拔桩装置。
绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。
已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。
试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。
解：0=∑y F ，F F ED =αsin αsin FF ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F FF DB 10tan ==α由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。
3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。
桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。
重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。
长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。
试用角ϕ=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。
AF3F 2F 1F(b-1)习题3－1图F3F451F A 13(a-1)3F 2F D'3F(a-2)D3F '3F(b-2)习题3－2图ABF WBCF ϕW x2θyϕ习题3-5图习题3－4图 解：图（a ）：0=∑x F ，0sin 2cos=-ϕϕW F AB ，2sin2ϕW F AB =0=∑y F ，02sin cos =---ϕϕAB BC F W W F即 2sin 2cos 2ϕϕW W W F BC ++=W W W W 2)cos 1(cos =-++=ϕϕ3－4 杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。
材料力学(清华大学)-学习笔记
第一章1.工程上将承受拉伸的杆件统称为拉杆，简称杆rods；受压杆件称为压杆或柱column；承受扭转或主要承受扭转的杆件统称为轴shaft；承受弯曲的杆件统称为梁beam。
2.材料力学中对材料的基本假定：a)各向同性假定isotropy assumptionb)各向同性材料的均匀连续性假定homogenization and continuity assumption3.弹性体受力与变形特征：a)弹性体由变形引起的内力不能是任意的b)弹性体受力后发生的变形也不是任意的，而必须满足协调compatibility一致的要求c)弹性体受力后发生的变形与物性有关，这表明受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系4.刚体和弹性体都是工程构件在确定条件下的简化力学模型第二章1.绘制轴力图diagram of normal forces的方法与步骤如下：a)确定作用在杆件上的外载荷和约束力b)根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；c)应用截面法，用假象截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负；d)建立F N-x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。
2.强度设计strength design 是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。
对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：，这一表达式称为轴向载荷作用下杆件的强度设计准则criterion for strength design，又称强度条件。
其中称为许用应力allowable stress，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定：，式中为材料的极限应力或危险应力critical stress，n为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。
材料力学高教第二版范钦珊第3章习题答案
习题3-1图(a)习题3-2图 C A (kN)N x (a)习题3-3图第二版_范钦珊材料力学_第3章习题答案 第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。
试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。
解：图（a ）中，54cos =θ （1）截面法受力图（a ） 0=∑D M ，03)515(4=⨯+-⨯CE F （2） F CE = 15 kN 0=∑x F ，40cos =θDE F （3） （1）代入（3），得F DE = 50 kN ∴ 1505.002.010153=⨯⨯==A F CE CE σMPa 50==AF DE DE σMPa3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D 处作用有集中呼F P = 20 kN 。
已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2，l = 4m 。
试求：1．A 、B 、E 截面上的正应力；2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。
解：由已知，用截面法求得 F N A = 40 kN F N B = 20 kN F N E = 30 kN（1）200100.2104043N =⨯⨯==-A F A A σMPa 100N ==AFB B σMPa 150N ==AFE E σMPa（2）200max ==A σσMPa （A 截面）3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。
试： 1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。
试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。
解：1．变形谐调：a a Na c c Nc A E FA E F = （1） P Na Nc F F F =+ （2）P a a c c cc Nc F A E A E A E F +=P aa c c aa Na F A E A E A E F +=∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==-⋅+⋅=+==4)(π4π)(4π4π22a 2c P a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc cd D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542292939c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=σMPa6.55105705.83c a c a =⨯==E E σσMPa 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。
建筑力学3
2 C 2
3 D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。
F1 F1 F1
FN kN
F3
3
F4
解：1、计算各段的轴力。 AB段
FN1 FN2
F F
x
x
0
FN1 F1 10kN
BC段
0 FN 2 F2 F1
10 20 10kN
汽车方向盘
Me
从动轮
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
m A'
g
m B j B'
A
外力偶作用平面和杆件横截面平行
g：剪切角 切应变) g
j：相对扭转角
F2
FN3
10
FN 2 F1 F2
F4
25 CD段
F
x
0
FN 3 F4 25kN
10
x
2、绘制轴力图。
4.3 剪切与扭转的内力
4.3.1 剪切的概念
受力特点：构件受到了一对大小 相等，方向相反，作用线平行且 相距很近的外力。一对力偶臂很 小的力偶作用。
如右图，δ远小于构件的最小尺寸 ，所以通过节点平衡求各杆内力时，把 支架的变形略去不计。计算得到很大的 简化。
A
δ1
B C F δ2
5、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置
的改变。(宏观上看就是物体尺寸和形状的改变） 1）弹性变形 — 随外力解除而消失的变形
建筑力学之材料力学第3章(华南理工)
解: ⑴ 作扭矩图(分三段计算).
T1 =2kN m T2 =2kN m+2kN m=4kN m T3 =2kN m 2kN m 6kN m = 2kN m
⑵ 用最大扭矩值校核强度: Tmax Tmax max = = 3 Wp d 16
T1
= T
第3章 剪切和扭转
§3-1 剪切及剪切的实用计算 当杆件受一对大小相等、方向相反、作用 线相距很近的横向力作用时, 二力之间的截面 将沿外力方向发生错动, 此种变形称为剪切。 发生错动的截面称为受剪面或剪切面。 工程中的剪切变形构件:
下面以铆钉连接中的铆钉为例, 讨论剪切变形时受剪面上的 内力、应力和剪切强度计算。
T2 =Me 3 Me = 2 Me
3-3截面: 由∑Mx=0, 得: T3=2Me
T1
T3
T2
例3-4 作图示杆的扭矩图。
解: 需分成三段(即AB段、 BC段、CD段), 按照“任一横截 面上的扭矩等于该截面一侧所 有外力偶矩的代数和”, 计算该 三段的扭矩值。 AB段: 由∑Mx=0, 得: T1=−2kN·m
切变模量或剪切模量
G=
E 2(1 )
§3-6 圆杆扭转时的应力 1. 几何方面
矩形lmnp的mn边相对于lp边错 动的距离为:
mm=d
于是剪切角为:
=
d d mm = = 即扭转角沿杆长的变化率, 用: = dx dx dx
2. 物理方面 对于纯剪切, 切应力与剪切角之间的关系为:
铆钉受力图截面内力 Nhomakorabea截面应力
当切应力τ达到一定限度时, 铆钉将被剪坏. a-a截面上切应力 的分布情况非常复杂, 在剪切强度计算时, 工程中采用下述实用计 算方法: 假定a-a截面上的切应力为均匀分布, 以平均切应力:
清华大学材料力学课后习题与解答
2－3 长度 l＝1．2 m、横截面面积为 1．10×l0－3 m2 的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；直
径 d＝15．0 mrn 的钢杆 BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。若在钢杆的
C 端施加轴向拉力 FP，且已知钢和铝的弹性模量分别为 Es＝200 GPa，Ea＝70 GPa；轴向载荷 FP＝60 kN， 试求钢杆 C 端向下移动的距离。
（2） σ max = σ A = 200 MPa（A 截面）
2－5 螺旋压紧装置如图所示。现已知工件所受的压紧力为 F＝4 kN。装置中旋紧螺栓螺纹的内径 d1＝13.8
[ ] mm；固定螺栓内径 d2＝17.3 nun。两根螺栓材料相同，其许用应力 σ ＝53.0 MPa。试校核各螺栓的强度
是否安全。
[FP] = min（57.6 kN，60 kN）＝57.6 kN
*2－9 由铝板和钢板组成的复合柱，通过刚性板承受纵向载荷 FP＝38 kN，其作用线沿着复合柱的轴线方 向。试确定：铝板和钢板横截面上的正应力。
4
习题 2－9 图
解：由于刚性板的存在，又是对称加载，所以铝板和钢板具有相同的压缩变形量。于是，有：
*2－11 图示组合柱由钢和铸铁制成，组合柱横截面为边长为 2b 的正
方形，钢和铸铁各占横截面的一半(b×2b)。载荷 FP，通过刚性板沿铅
垂方向加在组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为 Es＝196 GPa，
Ei＝98．0 GPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求加力点的位置 x＝？
解： ∑ M 0
b = 0.3h ≥ 0.3× 0.118 = 0.0354m = 35.4 mm h = 118mm，b = 35.4mm
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杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
横截面上的内力与应力
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很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩 短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上 的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 F Nx A 其中 FNx— 横截面上的轴力，由截面法求得； A—横截面 面积。
根据平衡方程
F
有
n
0
F
t
0
dA x dAcos cos 0 dA x dAcos sin 0
据此可以得到与前面完全相同的结果。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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＝
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力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分 解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FNx和FQ
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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FN和FQ分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
x
Δl l
x FP / A
FPl Δl x ＝ EA x l l E
拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
Δl x l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆 件各处均匀变形的情形。 对于各处变形不均匀的情形，
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必须考察杆件上沿轴向的微段 dx的变形，并以微段 dx的相对 变形作为杆件局部的变形程度。
拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
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FP l Δ l EA
这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的 胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料 的弹性模量，它与正应力具有相同的单位； EA称为杆件的 拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );式中 “＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短变形。
FNx1＝400kN
FNx 2＝－ 100kN
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FNx3＝200kN
应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 轴力和正应力 AB段： FNx1＝400kN
BC段： CD段：
FNx 2＝－ 100kN
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FNx3＝200kN
拉、压杆的变形分析
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相对变形 正应变
拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
FP l Δ l EA
对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变， 用 x 表示。
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强度设计概述 拉伸和压缩时材料的应力一应变曲线 常温、静载下材料的力学性能 强度失效与失效控制 强度计算过程与算例 结论与讨论
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第3章 最简单材料力学问题
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杆件在轴向载荷作用下 的内力与应力
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杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相 邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面 上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应 力和切应力分别为
＝
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
进而，求得各段横截面上的 正应力分别为： AB段： BC段： CD段：
x1
x2
x3
FNx1 400 10 3 6 ＝ 160 10 Pa 160MPa 6 A1 2500 10
FNx 2 －100 10 3 ＝ －40 10 6 Pa －40MPa 6 A2 2500 10
A cos
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
A ＝
其中，x为杆横截面上的正应力;Aθ 为斜截面面积
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的 微元而求得。
拉、压杆的变形分析
绝对变形 弹性模量
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设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向 载荷后，其长度变为l十l，其中l为杆的伸长量。 实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l 与杆所承 受的轴向载荷成正比。 写成关系式为
Δ l
FP l EA
拉、压杆的变形分析
相对变形 正应变
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这时
x
Δdx ＝ dx FP dx EA x dx
x
E
可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的 关系都是相同的。
拉、压杆的变形分析
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横向变形与泊松比
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿 斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为 。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总 内力
杆件在轴向载荷作用下பைடு நூலகம்内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单 元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力 x 。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力 和切应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。
＝ x sin 2
x1 160MPa AB段杆横截面上的正应力为 ：
与杆轴线夹 45°角 ( 逆时针方向 ) 斜截面， ＝ 45°，其上之正 应力和切应力分别为 ：
45 ＝ x1 cos 2＝160 cos 2 45 MPa＝80MPa
45 ＝ x1sin 2 ＝ 160 sin 2 45 MPa＝80MPa
第3章 最简单材料力学问题
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第3章 最简单材料力学问题
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斜拉桥承受拉力的钢缆
第3章 最简单材料力学问题
斜拉桥承受拉力的钢缆
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第3章 最简单材料力学问题
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力 拉、压杆的变形分析 应力与变形算例
FNx 3 200 10 3 6 ＝ 200 10 Pa 200MPa 6 A3 1000 10
应力与变形算例
例 题 1
解：2．计算AB段杆斜截面上的正应 力和切应力 应用拉伸和压缩时杆件斜截面上的 应力公式 ：
＝ x cos 2
1 2
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量纲量。
第3章 最简单材料力学问题
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应力与变形算例
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应力与变形算例
例 题 1
已知 : 阶梯形直杆受力如图 示。材料的弹性模量E＝200GPa； 杆各段的横截面面积分别为 A1 ＝ A2 ＝ 2500mm2 ， A3 ＝ 1000mm2 ； 杆各段的长度标在图中。 试求： 1．杆AB、BC、CD段横截面 上的正 应力； 2 ． 杆 AB 段 上 与 杆 轴 线 夹 45°角 (逆时针方向)斜截面上 的正应力和切应力；杆的总伸 长量。
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ
＝
FQ Aθ
＝
FPsin 1 xsin 2 Aθ 2
上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横 截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有 切应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的 正应力和切应力各不相同。
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
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应力与变形算例
例 题 1
解：1．计算各段杆横截面上的 正应力 因为杆各段的轴力不等，而且 横截面面积也不完全相同，因而， 首先必须分段计算各段杆横截面 上的轴力。分别对 AB、BC、CD 段杆应用截面法，由平衡条件求 得各段的轴力分别为： AB段： BC段： CD段：
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
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拉、压杆件斜截面上的应力
杆件在轴向载荷作用下的内力与应力
拉、压杆件斜截面上的应力
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考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和 一斜置小方格
受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置 小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在 拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面 方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的 切应力有关。
拉、压杆件斜截面上的应力
FN FP cos ＝ x cos 2 Aθ Aθ