实数及其运算专题复习

考点二
平方根、算术平方根及立方根
中考解题指导 求一个数的平方根、算术平方根及立方根时,若
此数含有根号,应先化简,再求值. 例3 (-2) 的平方根是 ( A.2 B.-2 C.±2
2
2
C )
2 D.
解析 首先求出(-2) 的值,是4,再求出4的平方根,是±2,故选 C.
(2) 2 的算术平方根是 ( 变式3-1
0
D )
A.-3
B.0
C.-1
D.3
解析 原式=2+1=3,故选D.
变式6-1 若()-(-2)=3,则括号内的数是 ( A.-1 B.1 C.5 D.-5
B
)
解析 1-(-2)=3,故选B.
变式6-2
(2) 2 . 解析
1 0 3 2 计算: -|- +2|+( -1.414) -3tan 30° 2
绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|
平方根 (算术平 方根)
若x =a(a≥0),则x叫做a的平方根,记作± 平方根叫做数a的算术平方根
2
a(a≥0),正数a的正的 一个正数有两个平方根,它们互为
⑧ 相反数 ,0的平方根为⑨ ⑩ 负数 0 , 没有平方根和算术平方根
立方根
实数及其运算专题复习
基础知识过关
知识点一 实数及其分类
知识点二
知识点三 知识点四 知识点五
பைடு நூலகம்
实数的相关概念及性质
实数的大小比较 实数的混合运算 科学记数法与近似数
知识点一
1.实数:①
实数及其分类
有理数 和无理数统称为实数,② 整数 和
分数统称为有理数.
2.实数的分类
实数
正整数 整数 0 负整数 有理数 正分数 有限小数或无 分数 负分数 限循环小数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
(
C ) B.3×1013 C.3×1012 D.3×1011
12
A.3×1014
解析 3万亿即3 000 000 000 000,3 000 000 000 000=3×10 , 故选C.
方法技巧
(1)科学记数法的表示形式为a×10 ,其中1≤|a|<10,
8 4 3
n
n为整数,表示时要正确确定a的值以及n的值;(2)对于含有计数单
知识点三
实数的大小比较
1.数轴比较法:将两个实数分别表示在数轴上,右边的点表示的 数总比左边的点表示的数大. 2.性质比较法:正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数 相比较,绝对值大的反而小. 3.作差比较法:设a、b是任意两个实数,若a-b>0,则a>b;若a-b= 0,则a=b;若a –b <0,则a <b.
n n
整数位数减1. (2)若|N |<1,则N=a×10 ,其中1≤|a|<10,n是一个负整数,其绝对 值等于N的第一个不是0的数字前面0的个数. (3)含有数字单位(如亿、万、千)的数用科学记数法表示时,先把 数字单位转换成数字.
泰安考点聚焦
考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 实数的相关概念 平方根、算术平方根及立方根 实数的大小比较 科学记数法 实数的运算
> 0.5.(
填“>”“<”或“=”)
5 1 52 解析 采用作差法求解, 2 -0.5= 2 5 1 因为 5 -2>0,所以 >0.5. 2
.
方法技巧
(1)比较有理数的大小时,可运用正负性进行比较或
借助数轴进行比较;(2)若一组数中含有带根号的无理数,一般可 采用平方法进行比较;(3)若一组数中含有π,一般采用取近似值法 进行比较.
1 1 (4)倒数法:当a>0,b>0,或a<0,b<0时,若 > ,则a<b. a b
知识点四
实数的混合运算
0
1.零次幂、负整数指数幂:若a≠0,则a =
-p
1
;
若a≠0,p为正整数,则a = 2.实数运算中常用的运算律
1 p a
.
加法交换律 : a b b a 加法 加法结合律 : (a b) c a (b c) 运算律 乘法交换律 : ab ba 乘法 乘法结合律 : (ab)c a (bc) 乘法分配律 : a (b c) ab ac
若x =a,则x叫做a的立方根,记作 3
3
a
正数的立方根是正数,负数的立方根是
负数,0的立方根是0
温馨提示 1.绝对值是a(a>0)的数有两个,它们互为相反数,即±a. 2.绝对值相等的两个数相等或互为相反数,即若|a|=|b|,则a=b 或 a + b =0. 3.任意实数的绝对值都是非负数,即|a|≥0. 4.绝对值等于它本身的数是非负数,在数轴上,绝对值越大的数 所对应的点离原点越远. 5.若|a|=a,则a≥0;若|a|= -a,则a≤0. 6.相反数等于它本身的数是0,倒数等于它本身的数是±1,平方等 于它本身的数是1和0.
科学记数法与近似数
a×10
n
1.科学记数法:将一个数N表示成 ≤|a|<10
(其中
1
,n是整数)的形式叫做科学记数法.
2.近似数:接近但不是实际的数或在计算中按要求所取得的与某个 准确数接近的数,叫做近似数.一个近似数四舍五入到哪一位,就说
这个近似数精确到哪一位.
3.精确度:近似数的精确度是指这个数精确到数字的实际位数. 温馨提示 (1)若|N|≥10,则N=a×10 ,其中1≤|a|<10,n等于N的
a a 4.特殊比较法:(1)作商法:当a>0,b>0时,若 >1,则a>b;若 =1,则a= b b a a a a b;若 <1,则a<b;当a<0,b<0时,若 >1,则a <b;若 =1,则a =b.若 <1, b b b b
则a>b. (2)估算法. (3)平方法:当a>0,b>0时,若a2>b2,则a>b;当a<0,b<0时,若a2>b2,则a<b.
2
3 3 )+1-3× -2=4-2+ 3 +1- 3 -2=1. 原式=4-(2- 3
考向2
非负数性质的应用
2 2
例7 已知|x-y+2|+ x y 2=0,则x -y 的值为 解析
x y 2 0, 根据非负数的性质可得 x y 2 0,
2 2
解析 ∵-3<-1<0<1, ∴最小的数是-3.
故选A.
变式4-1 (2017泰安)下列四个数:-3,- 3 ,-π,-1,其中最大的数是 ( C ) A.-π C.-1 B.-3
3 D.-
解析 -π<-3<- 3 <-1,故选C.
变式4-2
5 1 5 1 (2017甘肃)估计 与0.5的大小关系是 2 2
解析 ∵n+q=0,∴n和q互为相反数,原点在线段NQ的中点处, ∴绝对值最大的是点P表示的数p,故选A.
变式2-1 (2018枣庄)如图,实数a,b,c,d在数轴上对应的点分别为 A、B、C、D,则下列关系式不正确的是 (
B )
A.|a|>|b| C.b<d
B.|ac|=ac D.c+d>0
温馨提示
3 1.常见的无理数类型:①根号型,如 7 等开不尽 2 、
方的实数;②含π型,如 、π+5等化至最简后含π的数;③三角函
2 数型,如sin 60°、tan 60°等;④省略型,如1.010 010 001……
(每相邻两个1之间0的个数依次增加1)等无限不循环小数. 2.在无理数常见的类型中,三角函数表示的数不一定都是无理数, 如sin 30°等.
考点四
科学记数法
涉及科学记数法的题有两类:一是将一个数用科
中考解题指导
学记数法表示;二是将用科学记数法表示的数还原. 例5 (2018泰安)一个铁原子的质量是0.000 000 000 000 000
-26
000 000 000 093 kg,将这个数用科学记数法表示为 9.3×10 .
变式5-1 (2017泰安)“2014年至2016年,中国同‘一带一路’沿 线国家贸易总额超过3万亿美元”.将3万亿用科学记数法表示为
位的数,需要先利用1亿=1×10 ,1万=1×10 ,1千=1×10 等将计数 单位转换,然后用科学记数法表示.
考点五
实数的运算
中考解题指导 实数的混合运算要综合运用绝对值、算术平方
根、立方根、三角函数、零指数幂和负整数指数幂等知识,同时 要注意运算顺序.
考向1 实数的混合运算
例6 (2018泰安)计算-(-2)+(-2) 的结果是 (
方法技巧
在进行实数的混合运算时,一是要注意运算顺序;二
是要注意符号的变化,要特别注意的是负数的整数次幂以及有绝 对值时的符号的确定.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非 负数都等于0.
随堂巩固训练
一、选择题 1.(2018德州)3的相反数是 ( C )
1 B. 3
A.3
C.-3
1 D.- 3
-4 . 所以x –y
= -2,x+y=2,所以x -y =(x-y)(x+y)=-4,故答案为-4. 变式7-1 若 a b 5 +|2a-b+1|=0,则(b-a)
2 015
的值为 -1 .