三种函数增长比较
幂、指、对函数的增长比较(上课)
(4)若 0<lgm<1，即 1<m<10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是减函 数， 所以(lgm)1.7>(lgm)2.1； 若 lgm＝1，即 m＝10 时，(lgm)1.7＝(lgm)2.1； 若 lgm>1，即 m>10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是增函数， 所以(lgm)1.7<(lgm)2.1.
0.848 1.138 1.379 1.585
o
1
2
x
3.结合函数的图像找出其交点坐标.
x 从图像看出 0 1 2 3 4 y=log 5 26 7 8 … x的图像 与另外两函数的图像没有交点， x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y=2 且总在另外两函数图像的下方， 2 2 0 1 4 9 16 x 25 36 y= x 49 64 … y=x 的图像与 y=2 的图像有两个 交点(2，4)和（4，16）. 4.根据图像,分别写出使不等式
[方法总结]
Hale Waihona Puke (1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称
为“指数爆炸”． (2)在计算器或计算机中，1.10×1012 常表示成 1.10E＋12. (3)在区间(0， ＋∞)上， 尽管函数 y＝ax(a>1)， y＝logax(a>1) 和 y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在 同一“档次”上，随着 x 增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 快， 会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度， 而 y＝logax(a>1) 则增长会越来越慢，因此，总会存在一个 x0，当 x>x0 时，就 有 logax<xn<ax.
3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
D．y＝2ex
课前预习
课堂互动
课堂反馈
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20
30
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】
1．在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<ax 不成立？
提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时， logax<xn<ax成立．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．能否举例说明“指数爆炸”增长的含义？ 提示 如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增 长”，其“增长量”是成倍增加的，从图像上看出，存在 x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效 果．
解析 由图像知，此函数的增长速度越来越慢，因此反映 的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度． 答案 幂函数或对数型
课前预习
课堂互动
课堂反馈
知识点三 三种函数的增长对比 对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数 函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定 有___a_x_>_x_n>_l_o_g_a_x____．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是
________． 解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长 差异可判断出y＝3x的增长速度最快． 答案 y＝3x
必修一4.4.3不同函数增长的差异
二、对数函数与一次函数的新增长知差探异 究
以
y
lg
x和
y
1 10
x为例，列新出对知应探值究表，画出图象．
完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．
x
y lg x
y 1 x 10
0
不存在
0
10
Hale Waihona Puke 11201.301
2
30
1.477
3
40
1.602
4
50
1.699
5
60
1.778
4.4.3不同函数增长的 差异
整体感知
一次函数、指数函数、对数函数的增长，存在很大的差异．那么我们该 如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异呢？
由于我们对线性函数已经有了一定的认识，其变化规律非常直观：它在 整个定义域上的变化率恒定，即 y 为定值．所以线性函数可以作为一
x
把尺子，用来“度量”指数函数和对数函数的增长差异．基于以上分析， 我们可以分别比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数．
3
1
2
1.602 0.0125
4
10
2.5
1.699 0.0097
5
3
1.778 0.0079
6
…
…
…
…
…
追问2 对数函数y lgx和一次函数y 1 x, 是否存在一个x0，当x＞x0
时，恒有 lg x 1 x ？
10
10
随着x的增大，y＝ 1 x的增长速度会
10
超过并远远大于y＝lgx的增长速
新知探究
追问 一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝ logbx(b＞1)的增长有何差异？
函数增长速度比较总结
函数增长速度比较总结函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的关系和规律。
而函数的增长速度则是衡量函数增长的快慢以及趋势的指标。
在数学和计算机科学领域，我们常常需要比较不同函数的增长速度，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将总结几种常见的函数增长速度，并进行比较和讨论。
一、常数函数常数函数是指函数的输出在任何输入下都保持不变。
它的增长速度非常稳定，不论输入的大小如何，输出都保持不变。
因此，常数函数的增长速度是最慢的，即O(1)。
二、线性函数线性函数是指函数的输出与输入之间存在着一种简单的一比一的关系。
线性函数的增长速度随着输入的增加而线性增长，所以它的增长速度为O(n)，其中n表示输入的大小。
三、对数函数对数函数是指函数的输入与输出之间存在着一种指数关系，即x = log(base, y)。
对数函数的增长速度比线性函数慢，但比常数函数快。
通常来说，对数函数的增长速度被称为次线性增长，记作O(log n)。
四、指数函数指数函数是指函数的输出与输入之间存在着一种指数级别的关系，即y = base^x，其中base是底数。
指数函数的增长速度非常快，随着输入值的增加，输出呈指数级别的增长。
因此，指数函数的增长速度被称为指数增长，记作O(base^n)。
五、多项式函数多项式函数是指由多个项构成的函数，每个项包含一个系数和一个指数幂。
多项式函数的增长速度是根据指数幂的大小来确定的。
在多项式函数中，我们通常关注最高次项，因为它决定了函数的增长趋势。
多项式函数的增长速度随着最高次项的指数增加而增加，因此它的增长速度被称为多项式增长，记作O(n^k)，其中n表示输入的大小，k表示最高次项的指数。
尽管上述函数增长速度有明显的差异，但在实际应用中，它们往往都被用来分析算法的复杂度或者描述问题的规模。
常数函数和线性函数的增长速度相对较慢，适用于处理规模较小的问题。
对数函数的增长速度次于线性函数，适用于处理规模稍大的问题。
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数、幂函数和对数函数增长的比较教案
教学目标
通过本教案的学习，学生将能够：
理解指数函数、幂函数和对数函数的定义；
理解指数函数、幂函数和对数函数的增长特点；
比较指数函数、幂函数和对数函数在不同增长情况下的差异。
教学步骤
1.引入
引导学生回顾函数的基本概念，并复习函数的图像、定义域和值域的表示方法。
2.指数函数
定义：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
指数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的指数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的指数增长趋势。
3.幂函数
定义：幂函数是形如y=x^a的函数，其中a是常数，x是自变量。
幂函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的幂函数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的幂函数增长趋势。
4.对数函数
定义：对数函数是形如y=log<sub>a</sub>(x)的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。
对数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的对数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的对数增长趋势。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
请问，你会选择哪种投资方案？
函数y=3 与y x 图像的交点为（）
x 3
A.1 C.3
答案：B
B.2 D.4
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
y
y=xn
y=ax
o 1 x
y=logax
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,
答：单调递增
二 、指数函数、幂函数、对 数函数增长比较
探究（一）：特殊指、幂、对 函数模型的差异 对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x其中x>0.
思考1:观察三个函数的自变量与函 数值对应表, 这三个函数增长的快慢情 况如何？
自变量x
函数值
y=2x
·· · 1.149 1.516
1
1.96 3.24 4.84 6.76 9 11.56 16 25 49
0
0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
·· ·
·· ·
·· ·
·· ·
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y y=2x
y=x2
y=log2x
1 o 1 2 4 x
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行 在(0,2)，幂函数比指数函数增长 快。 在(2,4),先幂函数比指数函数增长快， 然后指数函数比幂函数增长快。
指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
指、幂、对函数增长的比较(绝对精品)
总结:要点点拨
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【目标回顾】
1. 2. 3. 通过学习，是否理解并掌握了三种函数增长的差异； 通过学习，是否学会了简单的数据分析； 通过学习，是否掌握了数形结合思想的应用.
作业:巩固提升
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
作业
参见学案，请及时完成.
结语:勇往直前
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
人要学会走路，也得学会摔跤，而 且只有经过摔跤才能学会走路。 ——马克思
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y=2x
y=x2 y=log2 x
2
1 04 41源自89 1.584 9
16 16
16 16 2
32
25
64
36
128
49
256
64 3
…
… …
2.321 9 2.584 9 2.807 3
二：请用图形计算器或计算机软件作图，并观 察图像，体会它们增长的快慢？
探究②:得结论
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
图像观察结果
越来越慢 x轴平行一样
慢于 快于 远快于
反馈:学以致用
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
解析：5个.
数形结合，转化为图像交点问题.
解析：2个.
数形结合，转化为图像交点问题.
小结：通过解答以上两个小题，请同学们理解并掌握 数形结合思想在函数研究中的应用.
y=2x
函数值的变化量 y=x100
y=log2x
3.321 928 1 3.321 928 1 1.584 962 5 0.736 965 6 0.485 426 8 0.362 570 1 0.152 003 1 0.137 503 5 0.125 530 9
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§6 三种函数增长比较
一、教学目标:
1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.
2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.
3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
二、 教学重点、难点：
1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.
三、 学法与教学用具：
1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.
2．教学用具：多媒体.
四、教学设想：
（一）引入实例，创设情景.
教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.
（二）互动交流，探求新知.
1. 观察数据，体会模型.
教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.
2. 作出图象，描述特点.
教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.
（三）实例运用，巩固提高.
1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.
2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.
3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求.
5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数n
y x =（n ＞0）、指数函数n y a =（a ＞1）、对数函数log a y x =（a ＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并
从函数的性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告.教师对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.
6.课堂练习
教材P116练习1、2，并由学生演示，进行讲评。
（四）归纳总结，提升认识.
教师通过计算机作图进行总结，使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义及其差异，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值和内在变化规律.
（五）布置作业
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用，并思考。
有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，在具体应用函数模型时，应该怎样选用合理的函数模型.。