函数大小比较

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高中数学函数比较大小

函数比较大小1专项突破一指数式、对数式，幂式比较大小1已知a=log2e，b=ln2，c=1e，其中e为自然对数的底数，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】∵log2e>log22=1=lne>ln2>ln2=12>1e，∴a>b>c.故选：A.2设a=325，b=253，c=log325，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a 【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知a=325>30=1，0<b=25 3<25 0=1，c=log325<log31=0，∴a>b>c，故选：A.3已知a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，则()A.a<b,c<dB.a<b,c>dC.a>b,c<dD.a>b,c>d【解析】因为a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，所以a=1,b=log32<1，故a>b，c=122=14,d=13 2=19，所以c>d.故选：D.4若a=50.3，b=0.35，c=ln sin22020，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b 【解析】a=50.3>1，b=0.35∈0,1，0<sin22020<1，所以c=ln sin22020<0，所以a>b>c 故选：A5已知a=1213，b=53 12，c=log2352，则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】a=1213<12 0=1，b=53 12>53 0=1，c=log2352<log231=0，∴b>1>a>0>c.故选：C.6已知a=30.5，b=log32，c=tan 56π，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【解析】∵30.5>30=1=log33>log32>log31=0>-33=tan5π6，∴a>b>c.故选：A.7已知幂函数f x 的图象经过点A3,27与点B t,64，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则() A.c<a1，所以a<b<c，故选：B8已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，a =f log 1312，b =f log 213 ，c =f 512，则()A.a >b >cB.c >a >bC.b >a >cD.c >b >a【解析】因为对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )=f (-x )因为log 1312=log 32，又0=log 31<log 32<log 33=1所以log 1312∈0,1 ，又1=log 22<log 23<log 24=2，512=5>2所以0<log 1312<log 23<512，所以f log 1312 <f log 23 =f -log 23 =f log 213 <f 512 所以c >b >a .故选：D .9已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =x e x ，则下面结论正确的是()A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =x e x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<lne 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .10已知定义在R 上的函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，且函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，a =0.23，b =30.2，c =log 0.20.3，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A.f (a )>f (b )>f (c )B.f (c )>f (a )>f (b )C.f (b )>f (c )>f (a )D.f (c )>f (b )>f (a )【解析】因为函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，所以y =f (x )的图象关于点(0，0)对称,即函数y =f (x )为奇函数，所以a =0.23=0.008，b =30.2>30=1，c =log 0.20.3=log 0.20.09>log 0.20.2=12，故b >c >a >0，又函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (b )>f (c )>f (a )，故选：C .11已知a =ln 12，b =ln lg2 ，c =lg ln2 则a ，b ，c 的大小关系是()A.c >a >bB.c >b >aC.a >b >cD.b >c >a【解析】先比较a ,b ，易知lg2<12,故ln (lg2)<ln 12，即b <a ，又e <10，故x >1时ln x >lg x ，0<x <1时ln x <lg x ，故lg 12>ln 12，而ln2>12，故lg (ln2)>lg 12>ln 12，有c >a ，故选：A ，12已知x ∈1,2 ，则下列说法正确的是()A.ln22x>2ln2x >x 2ln2 B.x 2ln2>ln22x>2ln2xC.2ln2x >x 2ln2>ln22xD.2ln2x >ln22x>x 2ln2【解析】∵x 2ln2=ln2x 2，2ln2x =ln 2x 2，∴比较2x 2，2x 2，22x的大小关系即可．1、当x ∈1,2 时，x 2<2x ，x 2<2x ，故2x 2<22x ，2x 2<2x 2，故x 2ln2<ln22x，x 2ln2<2ln2x ．2、令2x =t ∈2,4 ，则2x 2=t 2，22x=2t ．由2t <t 2，即22x<2x 2，则2ln2x >ln22x．综上，2ln2x >ln22x>x 2ln2.故选：D ．13(多选)已知a ,b ,c ∈R ，且ln a =e b =1-c ，则下列关系式中可能成立的是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设ln a =e b =1-c =t ,t >0，则a =e t ,b =ln t ,c =1-t ，在同一直角坐标系中分别画出函数y =e x ,y =ln x ,y =1-x 的图像，当0<t <1时，a >c >b ，当t =1时，a >c =b ，当t >1时，a >b >c ，故AB 正确.14(多选)若b >c >32，13<a <12，则()A.b log c a <c log b aB.bc a <cb aC.b a >c aD.log b a <log c a【解析】对于A 选项，因为b >c >32，13<a <12，则log c a <0，log b a <0，b b >b c >c c >1，b log c a c log b a =b lg a lg c ⋅lg b c lg a =lg b blg c c>1，所以，b log c a <c log b a ，A 对；对于B 选项，bc a cba =bc ⋅b c -a =b c 1-a >b c 0=1，则bc a >cb a ，B 错；对于C 选项，b a >c a ，C 对；对于D 选项，log b a log c a =lg a lg b ⋅lg c lg a =lg clg b<1，所以，log b a >log c a ，D 错.故选：AC .15已知a =2-13，b =log 213，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为.【解析】因为y =2x 在R 上为增函数，且-13<0，所以0<2-13<20=1，即0<a <1，c =log 1213=log 23因为y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数，且0<13<1<2<3，所以log 213<log 21<log 22<log 23，即log 213<0<1<log 23，即b <0<1<c ，所以b <a <c ，16若a =log 23，b =log 48，c =log 58，则a ,b ,c 的从大到小顺序为.【解析】由于b =log 48=12log 28=log 28<log 29=a ，即a >b .由b =log 48=1log 84>1log 85=c ，即b >c .所以a >b >c .17已知a =3525，b =25 35，c =2525，则a ，b ，c 的大小关系为.(用“<” 连接)【解析】由于函数y =25 x 在R 上是减函数，且35>25，∴c =25 25>b =25 35，由于函数y =x 25在0,+∞ 上是增函数，且35>25，∴a =35 25>c =25 25，故a ，b ，c 的大小关系是b <c <a .18 1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8的大小关系是.【解析】因为y =1.1x 单调递增，所以1.10.9>1.10=1；因为y =log 1.1x 在0,+∞ 上单调递增，所以log 1.10.9<log 1.11=0；因为y =log 0.7x 在0,+∞ 上单调递减，所以0=log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7=1；所以1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.19已知a >b >0，且a +b =1，x =1a b ，y =log ab 1a +1b ，z =log b 1a ，则x ，y ，z 从大到小为.【解析】∵a >b >0，a +b =1，∴1>a >12>b >0，∴1<1a <1b，∴x =1ab >1a 0=1，y =log (ab )1a +1b =log (ab )1ab=-1，z =log b 1a >logb 1b =-1.∴x >z >y .20已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则a ，b ，c 的大小关系是.(用“<”连接)【解析】由题意，知a ,b ,c ∈0,1 .因为a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg822=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，所以a 4，可得c >45，综上所述，a ，b ，c 的大小关系是a <b <c .21已知x ,y ,z 分别满足下列关系：18x =19,19y =20,log 1918z =2019，则x ,y ,z 的大小关系(从小写到大).【解析】因为18x=19,19y=20,log 1918z =2019，所以x =log 1819,y =log 1920,z =1918 2019，x -y =log 1819-log 1920=ln19ln18-ln20ln19=ln19 2-ln20⋅ln18ln18⋅ln19ln20⋅ln18<ln20+ln182 2=ln3602 2<ln36122=ln19 2，所以x -y >0即x >y ，z =1918 2019>1918，z x >1918log 1819=1918⋅ln18ln19=ln1818÷ln1919>1所以z >x ，故有y <x <z 22设a ,b ,c 均为正数，且2a =12a log ,12b=12b log ,12c=2c log .则a ,b ,c 的大小关系为．【解析】a ,b ,c 分别是函数y =2x ,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log12x 的交点，函数y =12x,y =log 2x 的交点，做出三函数图像，由图像可知a 13，∴25 0.3>130.3；(2)∵y =x -1在-∞，0 上是减函数，又-23<-35，∴-23 -1>-35 -1；(3)∵y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数，∴由25>0.3，可得250.3>0.30.3，①又y =0.3x 在(-∞,+∞)上为减函数，∴0.30.3>0.325，②由①②知250.3>0.325.24比较下列几组值的大小：(1)(-2.5)23和(-2.5)45；(2)25-12和(0.4)-32；(3)13-12和32-12；(4)0.4-2.5，2-0.2，2.51.6．【解析】(1)由于(-2.5)23=2.523，(-2.5)45=2.545．∵y =2.5x 在R 上为增函数，且45>23，∴2.545>2.523，即(-2.5)45>(-2.5)23；(2)由于(0.4)-32=25 -32．∵y =25 x 在R 上为减函数，且-12>-32，∴25-12<(0.4)-32；(3)∵y =13 x 在R 上为减函数，y =32 x 在R 上为增函数，且-12<0，∴13-12>1，32 -12<1，∴13 -12>32 -12；(4)∵0.4-2.5=2.52.5，y=2.5x在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2∴2.52.5>2.51.6>1>2.5-0.2，∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2．2专项突破二构造函数比较大小1已知f (x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf (x)+f(x)>0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是()A.f(1)>f(2)2B.f(1)2>f(2) C.f(1)<f(2)2D.f(1)2<f(2)【解析】令F x =xf x ，则F x =xf (x)+f(x)>0，故F x 为R上的增函数，所以F2 >F1 即2f2 >f1 ，故选：D.2若a=ln33，b=e-1，c=5ln2010(e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】令f(x)=ln xx，则f(x)=1-ln xx2，故当x∈(0,e)时，f (x)>0；当x∈(e,+∞)时，f (x)<0；而a=ln33=ln33=f(3)，b=e-1=lnee=f(e)，c=5ln2010=ln2525=f25，而e<3<25，故b>a>c，故选：B3已知a=ln33，b=1e，c=ln55，则以下不等式正确的是()A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a【解析】令f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当0<x<e时,f x >0,f x 单调递增,当x>e时,f x <0,f x 单调递减,因为e<3<5,所以f e >f3 >f5 ,所以b>a>c，故选:C4设a=3e2lne23，b=1e，c=ln22，则a，b，c的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【解析】令f x =ln xxx>0，则f (x)=1-ln xx2，当x>e时，f (x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f (x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得最大值f e =1 e，因为a=3e2lne23=f e23，c=ln22=f2 ，b=1e=f e ，∵2<e23<e，当0<x<e时，函数f x 单调递增，可得f2 <fe23<f e ，即c<a<b．故选：B．5已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为() A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c【解析】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-lne2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D 6已知实数a，b满足a=log23+log86，5a+12a=13b，则下列判断正确的是() A.a>2>b B.b>2>a C.b>a>2 D.a>b>2【解析】a=log23+log86=log23+13log22×3=43log23+13>43log222+13=43×32+13=73>2，所以a>2；由5a+12a=13b且a>2，所以5a+12a>25+144=169，所以b>2，令f x =5x+12x-13x，x>2，令t=x-2>0，则x=t+2，则f x =5x+12x-13x，x>2等价于g t =25×5t+144×12t-169×13t，t>0；又g t =25×5t+144×12t-169×13t<169×12t-169×13t<0，所以当x>2时，f x =5x+12x-13x<0，故5a+12a=13b<13a，所以a>b>2.故选：D.7设a=20202022，b=20212021，c=20222020，则() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a【解析】∵ln aln b=2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln xx+1x≥e2，f x =x+1-x ln xx x+12，令g x =x+1-x ln x，则g x =-ln x<0，∴g x 在e2,+∞上单减，∴g x ≤g e2 =1-e2<0，故f x <0，∴f x 在e2,+∞上单减，∴f2020>f2021>0，∴ln aln b=f2020f2021>1∴ln a>ln b.∴a>b，同理可得ln b>ln c，b>c，故a>b>c，故选：A8设a=23e 1.5，b=23(4-ln2)，c=e33，则a,b,c的大小关系是()A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c【解析】①先比较a,c：a=23e 1.5=e3232，c=e33，设函数f(x)=e xx2，则f (x)=e x(x-2)x3<0，得函数f(x)在(0,2)单调递减，f (x)=e x(x-2)x3>0得函数f(x)在(2,+∞)单调递增所以f(3)<f32即c<a；②再比较b,c：由①知f min(x)=f(2)=e 24<f(3)=c，而b=2232-12ln2=232+ln1212，设h(x)=23(ln x+2)x，h(x)=-23(ln x+1)x2当0<x<1e，h(x)>0，h(x)单调递增，当x>1e，h(x)<0，h(x)单调递减，所以b=h12<h max(x)=h1e =23e，而23e<e4.e=e24<f(3)=c，所以b<c，故选：A9已知a,b,c∈(0,1)，且a2-2ln a+1=e，b2-2ln b+2=e2，c2-2ln c+3=e3，其中e是自然对数的底数，则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a【解析】设f x =x2-2ln x,g x =e x-x，则f a =g1 ,f b =g2 ,f c =g3 ，又g x =e x-1>0x>0，所以g x 在0,+∞上单调递增，所以g3 >g2 >g1 ，即f c >f b >f a ，因为fx =2x -2x =2x 2-1 x<0x ∈0,1 ，所以f x 在0,1 上单调递减，所以a >b >c ，故选：A10设a =e 1.3-27,b =4 1.1-4,c =2ln1.1，则()A.a 33，∴e 1.3<27，∴a <0；b -c =4 1.1-4-2ln1.1=22 1.1-2-ln1.1 ，令f x =2x -2-ln x ，∴f x =1x-1x =x -1x ，∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；∴f (x )min =f 1 =0，∴f 1.1 >0，即2 1.1-2-ln1.1>0，∴c 2ln1=0，∴a <c <b ．故选：B ．11已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =x e x ，则下面结论正确的是()A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =x e x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<lne 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .12设a =10099，b =e 0.01，c = 1.02，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b【解析】令f x =e x -x +1 ，则f x =e x -1，所以当x <0时f x <0，当x >0时f x >0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减，所以f x ≥f 0 =0，即e x -x +1 ≥0恒成立，即e x ≥x +1(当x =0时取等号)，所以e 0.02>1+0.02⇒e 0.01> 1.02，∴b >c ，又e -x ≥1-x (当x =0时取等号)，所以当x <1且x ≠0时，有1e x >1-x ⇒e x <11-x ，∴e 0.01<11-0.01=10099，∴a >b ．故选：A 13已知a =e 0.1-1，b =sin0.1，c =ln1.1，则()A.a 0时，e x >1，∴e x -cos x >0，∴f x >0，f x 单调递增，∴f 0.1 >f 0 ，即e 0.1-1-sin0.1>0，∴e 0.1-1>sin0.1，即a >b ，令g x =ln x +1 -sin x ，∴g x =1x +1-cos x =1-x +1 cos x x +1=1-x cos x -cos xx +1，令h x =1-x cos x -cos x ，∴h x =x +1 sin x -cos x令φx =x +1 sin x -cos x ，∴φ x =2sin x +x +1 cos x ，当0<x <π6时，φ x >0，∴h x 单调递增，∴h x <h π6 =π6+1 sin π6-cos π6=π+61-312<0∴h x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴h x <h 0 =0，∴g x <0，∴g x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴g 0.1 <g 0 =0，即ln1.1-sin0.1<0，∴c 0时，xf x -f x <0，记a =f 20.2 20.2，b =f 0.22 0.22，c =f log 25 log 25，则错误的有()A.a 0时，xf x -f x <0，得g x <0，g x 在0,+∞ 上单调递减，又log 25>log 24=2，1<20.2<2，0<0.22=0.04<1，可得log 25>20.2>0.22，故g log 25 <g 20.2 <g 0.22 ，故c <a bB.a ≤bC.a <2bD.a ≥2b【解析】设f x =13x+log 13x ，则f x 在0,+∞ 为减函数，因为13a+log 13a =19b +2log 19b =19 b+log 13b ,所以f a -f b =13a+log 13a -13b +log 13b =19 b +log 13b -13 b+log 13b =19b-13b=132b-13b，因为2b >b >0,所以132b<13b，所以132b-13b<0，即f a <f b ，从而a >b ,所以A 正确，B错误；而f a -f 2b =13a +log 13a -13 2b +log 132b =13 2b +log 13b -13 2b +log 132b =log 13b -log 132b >0,所以f a >f 2b ,所以a <2b ，所以C 正确，D 错误.故选：AC .16(多选)已知定义在0,π2上的函数f (x )的导函数为f (x )，且f (0)=0，f (x )⋅cos x +f (x )sin x <0，则下列选项中正确的是()A.f π6<62f π4 B.f π3 >0 C.f π6 >3f π3 D.f π4 >2f π3 【解析】令g (x )=f (x )cos x ，x ∈0,π2 ，则g (x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x.因为f (x )cos x +f (x )sin x <0，所以g (x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x<0在0,π2 上恒成立，所以函数g (x )=f (x )cos x在0,π2 上单调递减，所以g π6 >g π4 ，即f π6 cos π6>f π4 cos π4，f π6 >62f π4，故A 错误；又f (0)=0，所以g (0)=f (0)cos0=0，所以g (x )=f (x )cos x≤0在0,π2 上恒成立，因为π3∈0,π2 ，所以f π3 ≤0，故B 错误；又g π6 >g π3 ，所以f π6cos π6>f π3 cos π3，即f π6 >3f π3，故C 正确；又g π4 >g π3 ，所以f π4 cos π4>f π3 cos π3，即f π4 >2f π3 ，故D 正确.故选：CD .17若a =2ln (ln1.01),b =ln ln3π2,c =23ln2，则a ，b ，c 的大小关系为．【解析】因为b =ln ln 3π2=2ln ln 3π =2ln ln π3 ，c =23ln2=2ln213，所以构造函数f x =2ln x ，由对数函数的性质知，f x 在0,+∞ 上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln π3，213的大小，由于1.01×3=3.03<π，故π3>1.01,所以ln1.01<ln π3<1<213,所以a =2ln (ln1.01)<b =2ln ln π3<2ln213=23ln2=c ,故答案为：a <b <c18已知f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1 -x 1f x 2x 1-x 2<0，记a =f 4.10.2 4.10.2，b =f 0.42.1 0.42.1，c =f log 0.24.1log 0.24.1，则a ，b ，c 的大小关系．【解析】设0<x 1<x 2，因为x 2f x 1 -x 1f x 2 x 1-x 2<0，则x 2f x 1 -x 1f x 2 >0，即f x 1 x 1>f x 2x 2，所以函数g x =f xx 在0,+∞ 上单调递减．因为f x 是定义在R 上的奇函数，所以g -x =f -x -x =-f x -x =f xx =g x ，所以g x 是定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的偶函数，因此a =f 4.10.24.10.2=g 4.10.2 <g 1 ，b =f 0.42.10.42.1=g 0.42.1 >g 0.42>g 0.5 ，c =f log 0.24.1 log 0.24.1=g log 0.24.1 =g log 54.1 ∈g 1 ,g 12 ，即a <c <b ．。

函数中大小的比较

一、通过设置障碍培养学生信息技术自学能力小学生对新鲜事物充满好奇、不认输，这一点是可以被我们小学信息技术教师好好利用的。

我们知道，信息技术课是以理论课程为前提，实践操作为根本的学科。

可是现实教学中我们发现小学生们对于实践操作课兴趣十足，对于理论课程却是兴味索然。

这就造成了理论基础薄弱，实践操作起来无从下手的局面。

为了从根本上解决这种不良的现状，特别是促进同学们对理论课程的学习，我故意在每堂实践操作课之前对学生电脑动了“手脚”。

这样，上课之后，同学们就会发现他们的电脑出现了这样那样的故障。

这些故障是五花八门的，诸如：“桌面快捷方式无法打开”、“电脑桌面一片空白”、“电脑音量图标不见了”、“电脑屏幕颠倒”、“网络连接总是自动断开”等。

然后我就要求同学们自己摸索着把这些故障解决掉，看看哪些同学把这些故障解决得又快又好。

通过这样的教学小“手段”，我发现同学们总是乐于去解决老师设置的一个又一个“故障”。

在这个过程中，他们认识到了自己原本不重视理论知识的错误，也锻炼提高了自己的信息技术自学能力。

二、利用帮助系统培养学生信息技术自学能力小学阶段学习的应用程序主要有Word、Excel、Power-point这几种。

这几个应用程序都是有帮助系统的。

对于初学者的小学生们来说，这些帮助系统是图文并茂、易于接受的。

在帮助系统里，开发商系统全面地介绍了本应用程序的入门信息和常见问题的答案，可以帮助小学生们更好、更有效地使用应用程序。

所以，小学信息技术教师要好好引导学生利用每一个应用程序的帮助系统。

在上每一堂信息技术实践操作课之前，老师应该先交代本堂课具体的操作任务。

学生领受任务后开始自己动手操作的过程中往往会遇到一些这样那样的问题，碰到难题时有部分缺乏独立钻研精神的学生会想到询问老师。

这时，如果从更好地培养学生信息技术自学能力出发来考虑，老师是应该“狠”下心来不把正确的操作过程直接告诉学生的。

这是因为任何一种电脑的应用程序的操作其实都是很简单的，学生们通过老师的讲述而非自己的主动探究得来的答案是很容易遗忘的。

对数函数比较大小

对数函数是数学中一种重要的函数，其定义为任意实数x的以e为底的对数。

它的形式为y=logax，其中a>0，且a≠1。

数函数的定义域是实数集，其值域是实数集。

在对数函数比较大小的时候，我们需要考虑两个因素：a和x。

当a和x相同时，对数函数的大小是相同的，因此，我们可以比较a和x的大小来比较对数函数的大小。

1、当a相同时，对数函数的大小与x的大小成正比，即当x越大，对数函数的值越大。

例如，当a=2时，y1=log2x1，y2=log2x2，若x1>x2，则y1>y2，即对数函数y1的值大于y2的值。

2、当x相同时，对数函数的大小与a的大小成反比，即当a越大，对数函数的值越小。

例如，当x=2时，y1=loga1x，y2=loga2x，若a1>a2，则y1<y2，即对数函数y1的值小于y2的值。

总之，对数函数比较大小时，可以根据a和x的大小来比较，当a和x相同时，对数函数的大小也是相同的；当a相同时，对数函数的大小与x的大小成正比；当x相同时，对数函数的大小与a的大小成反比。

指数函数幂函数对数函数比较大小

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

比较两函数大小的方法

比较两函数大小的方法比较两个函数的大小是一种常见的问题，可以用于优化算法、性能分析和设计评估中。

在计算机科学中，通常用时间复杂度和空间复杂度来比较两个函数的大小。

下面将介绍一些常用的方法来比较两个函数的大小。

1.时间复杂度比较：时间复杂度是衡量一个算法执行时间的函数，通常用大O表示法表示。

在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的时间复杂度的增长率。

1.1渐进符号比较：渐进符号比较包括大O、Ω和Θ符号，它们表示函数的上界、下界和紧确界。

大O符号表示上界，表示一个函数的渐进行为不会超过另一个函数的一些常数倍，即f(n)=O(g(n))。

我们可以比较两个函数的大O符号来判断函数的增长率。

Ω符号表示下界，表示一个函数的渐进行为不会少于另一个函数的一些常数倍，即f(n)=Ω(g(n))。

我们可以比较两个函数的Ω符号来判断函数的增长率。

Θ符号表示紧确界，表示一个函数的上界和下界相同，即f(n)=Θ(g(n))。

我们可以比较两个函数的Θ符号来判断函数的增长率。

1.2比较增长率：在没有给出具体的时间复杂度函数的情况下，我们可以通过比较两个函数的增长率来判断它们的相对大小。

常见的函数的增长率从小到大依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、指数阶O(2^n)。

如果一个函数的增长率大于另一个函数的增长率，那么它的时间复杂度较高，即较慢。

2.空间复杂度比较：空间复杂度是衡量一个算法所需内存空间的函数，通常用大O表示法表示。

在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的空间复杂度大小。

空间复杂度包括原地算法（In-place algorithm）和非原地算法（Out-of-place algorithm）两种。

原地算法是指算法在执行过程中额外使用的空间是常数级别的，即O(1)。

如果一个函数是原地算法，那么它通常比非原地算法更节省内存空间。

函数大小比较问题

一、两幂值比大小的方法：（1）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可直接比较大小；（2）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。

例2 ：比较下列各组中各数的大小．（1）0.40.3与0.40.2；（2）-0.75-0.1与-0.750.1(3)（）1/5与()3/4；（4） ()-2/3与 ()-3/2解：（1）考察指数函数y=0.4x,∵0<0.4<1,此函数为减函数，而0.3>0.2,∴0.40.3<0.40.2（2）∵0<0.75<1,-0.1<0.1,∴0.75-0.1>0.750.1,故-0.75-0.1<-0.750.1.另解：分别画出函数y=（）x和y=()x的图象，图象中A点的纵坐标为（）1/5，B点的纵坐标为()3/4，C点的纵坐标为()1/5由于A点高于C点，C点又高于B点，所以（）1/5>()3/4(4)∵()-2/3>()0=1, ()-3/2<()0=1,∴ ()-2/3>()-3/2二、两对数值比大小的方法：（1）同底数的两对数值比大小时，利用对数函数的单调性可直接比较大小；（2）同真数的两对数值比大小时，可换底后比较大小，也可利用同类函数图象的高低比大小；（3）底与真数都不同的两对数值比大小时，可以借用中间值间接比较大小，也可利用函数图象的位置关系来比较大小。

例3：比较下列各组中两个对数值的大小.(1)log0.20.5, log0.20.3; (2) log23, log1.53(3) log59, log68 ; (4) log1/50.3, log20.8 .解：（下面的解答由师生共同完成）（2）考察指数函数y=log0.2x,∵0<0.2<1, 此函数为减函数,而0.5>0.3，∴log0.20.5< log0.20.3（3）log23=, log1.53=,∵lg3>0,lg2>lg1.5>0,∴ log23< log1.53另解：分别画出函数y=log1.5x,y=log2x的图象，x>1以后y=log1.5x的图象在y=log2x的图象的上方。

比较函数式大小常用的几种思路

解题宝典有关抛物线的证明题比较常见.这类问题常与直线、三角形、圆等相结合，侧重于考查抛物线的定义、方程、几何性质，直线的方程、斜率公式，直线与抛物线的位置关系，以及平面几何图形的性质.下面就一道抛物线证明题，来探究一下解答此类问题的思路.题目：已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，若ΔABC的三个顶点都在抛物线上，且满足 FA + FB +FC =0 ，则称该三角形为“核心三角形”.（1）设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率是2，求直线AB 的方程；（2）已知ΔABC 是“核心三角形”，设ΔABC 的三个顶点分别为A ()x A ，y A ，B ()x B ，y B ，C ()x C ，y C .证明：ΔABC 的三个顶点的横坐标x A ,x B ,x C 都小于2.对于第一个问题，我们需根据已知条件和向量的运算法则明确A 、B 、C 三点坐标之间的关系，并结合韦达定理、直线的斜截式方程来求解，得出直线AB 的方程为y =2x -1.这里主要讨论一下第二个问题的解法.方法一：参数法参数法是解答圆锥曲线问题的常用方法.参数法是指先引入参数，建立有关参数的关系式，然后通过消参来求得问题的答案.在求解有关抛物线的证明题时，往往可以根据题意引入参数，并将参数设为直线的斜率、截距，抛物线的方程，动点的坐标等.然后将其代入题设中，建立关系式，再通过等量变换消去参数，从而获得问题的答案.本题中，三角形三边所在的直线方程未知，不妨引入参数，设出BC 边所在直线的方程，再代入求解.证明：设直线BC 的方程为x =my +n ，将其代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2-4my -4n =0，由Δ=16(m 2+n )>0得n >-m 2，且y B +y C =4m ，y B y C =-4n ，因为x B =my B +n ,x C =my C +n ，所以x B +x C =m (y B +y C )+2n =4m 2+2n ，又因为x A +x B +x C =3，所以x A =3-m 2-2n ，y A +y B +y C =0，所以y A =-4m .因为点A 在抛物线上，所以16m 2=4(3-m 2-2n )，可得n =32-4m 2，又因为n >-m 2，所以32-4m 2>-m 2，解得m 2<12，所以点A 的横坐标x A =4m 2<2，同理可证得x B <2,x C <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.先设出直线BC 的方程，并将其与抛物线的方程联立，即可构造出一元二次方程，利用韦达定理建立三角形顶点坐标之间的关系式，根据判别式建立不等关系式，最后通过等量代换、消元，求得问题的答案.方法二：反证法对于从正面难以入手的问题，可以重点研究问题的反面情形，利用反证法来解题.先假设命题的结论不成立，即假设问题的反面情形成立；然后将这个假设的结论作为条件进行推理论证，得出与题设条件、公式、定理等相矛盾的结论，由此断定假设的结论不正确，即可说明原结论是正确的.证明：假设x C ≥2，则y C 2=4x C ≥8.因为x A +x B +x C =3，所以y A 2+y B 2+y C 2=12，因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≤4，由y A +y B +y C =0可得y A +y B =-y C ，将其两边平方可得y C 2=y A 2+y B 2+2y A y B ≤2(y A 2+y B 2)，又因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≥4，当且仅当y A =y B 时等号成立，此时x A =x B ，即点A ,B 重合，这不符合题意，所以假设x C ≥2不成立，由此可知x C <2，同理可证x A <2,x B <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.我们首先假设问题的反面情况成立，即x C ≥2；然后将其当作已知条件，结合题目中的条件和基本不等式进行推理，得出y C 2≥8，y A 2+y B 2≥4，而这两式取等号时A 、B 两点重合，这与题目条件不相符，从而说明假设的情形不成立.解答有关抛物线的证明题，可从抛物线的方程、几何性质出发，利用参数法进行求解，也可以从解答证明题的方法入手，利用反证法进行证明.同学们在解答综合性问题时，要学会将所学的知识关联起来，从不同角度寻找解题的思路.（作者单位：管文娟，江苏省淮安市楚州中学；赵正威，江苏省淮安市淮安外国语学校）管文娟赵正威42比较函数式的大小问题常以选择题的形式出现，这类问题侧重于考查基本初等函数的单调性、基本不等式以及不等式的性质.本文中，笔者对比较函数式大小常用的几种思路进行了总结、归纳，以期对同学们解答此类问题有所帮助.一、利用函数的单调性若要比较的函数式可化为同一种类型的函数，如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，即可将要比较的两个函数式看作自变量不同、类型相同的函数式，直接根据函数的单调性进行比较.一般地，已知定义域内x 1<x 2，若函数单调递增，则f (x 1)<f (x 2)；若函数单调递减，则f (x 1)>f (x 2).例1.已知a =(34)13,b =(25)23,c =(23)-12，则a ,b ,c 的大小关系是（）.A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a解：由题意可知b =(25)23=(425)13，且1>34>425，因为幂函数y =x 13在(0,+∞)上单调递增，所以113>(34)13>(425)13，即1>a >b .因为指数函数y =(23)x 在R 上单调递减,且-12<0，所以(23)-12>(23)0=1，所以c >1.综上可知，c >a >b .故选C.我们先将b 化为指数是13的式子，将1化为指数是13、23的式子，即可将a 、b 化为同指数的函数式，将c 、1化为同底数的函数式；然后根据基本初等函数y =x 13和y =(23)x 的单调性进行比较，即可判断出a 、b 、1、c 的大小关系.例2.已知a =3ln 2π,b =2ln 3π,c =3ln π2，则下列选项正确的是（）.A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a解：由题意得a =3ln 2π=3πln 2,b =2ln 3π=2πln 3,c =3ln π2=6ln π，所以a 6π=ln 22=ln 44,b 6π=ln 33，c 6π=ln ππ，设f (x )=ln x x ()x >0，对其求导可得f ′(x )=1-ln x x 2，由f ′(x )>0，得0<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e ，所以函数f (x )在(0,e ]上单调递增，在[e ,+∞)上单调递减.又4>π>3>e ，可得f (4)<f (π)<f (3)，即ln 44<ln ππ<ln 33，可知a 6π<c 6πc >a .故选D.解答本题，需先将三个函数式变形，得a 6π=ln 44、b 6π=ln 33、c 6π=ln ππ；然后根据这三个式子的特征构造函数f (x )=ln xx，即可根据函数f (x )的单调性，迅速比较出三个函数式的大小.对于非基本初等函数，往往要利用函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性来比较函数式的大小.例3.设x ,y ,z 为正实数，且log 2x =log 3y =log 5z >0，则x 2,y3,z 5的大小关系不可能是（）.A.x 2<y 3<z 5 B.y 3<x 2<z 5C.x 2=y 3=z 5D.z 5<y 3<x 2解：设log 2x =log 3y =log 5z =k ，则x =2k ,y =3k ,z =5k，可得x 2=2k -1,y3=3k -1,z 5=5k -1.王丽丽43。

指对数函数比较大小

指对数函数比较大小一、前言对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

在比较大小时，我们经常需要比较对数函数的大小。

本文将介绍如何比较对数函数的大小。

二、对数函数的定义对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数。

设a为正实数且a≠1，则以a为底的对数函数f(x)定义为：f(x) = logax其中，x为正实数。

三、对数函数的性质1. 对于任意正实数x和y，有以下性质：（1）loga(xy) = logax +logay（2）loga(x/y) = logax -logay（3）logaxn = nlogax2. 对于任意正整数n，有以下性质：（1）lognax = (logn-1alogn-2a...log0ax) （2）当n=2时，有log(logx)<leqslant logx-1四、比较两个对数函数大小的方法在比较两个对数函数大小时，我们可以使用以下方法：1. 换底公式设f(x) = logax，g(x) = logbx，则有：f(x) = logax = ln(x)/ln(a)g(x) = logbx = ln(x)/ln(b)因此，我们可以将两个对数函数都转化为以e为底的对数函数，然后比较它们的大小。

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㈠与幂函数αx y =有关的大小比较
⑴ 两个幂函数的指数相同(底数为负数时须先化为正数)，利用幂函数的单调性判定大小；
⑵ 两个幂函数的指数不同，能化为同指数的，利用幂函数的单调性判定大小，不能化为同指数的，利用中间数0来比较大小；
幂函数αx y =的性质：
⑴ 在),0(∞上，0>α时是增函数，0<α时是减函数：
⑵ 1>x 时，指数大的图象在上方，10<<x 时，指数大的图象在下方；
⑶ 0>α时，图象过（0，0），（1，1），0<α时，图象过（1，1）。

㈡与指数函数x a y =有关的大小比较
⑴ 两个指数函数的底数相同指数不同时，利用指数函数的单调性判定大小；
⑵ 两个指数函数的底数不同指数相同时，可根据图象与底数的关系进行比较；
⑶ 两个指数函数的底数和指数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比较，通过常数传递比较大小。

指数函数的性质：
⑴ 1>a 时，x a y =是增函数，10<<a 时，x a y =为减函数；
⑵ 1>a 时，a 越大图象上升越快，10<<a 时，a 越小图象下降越快；
⑶ x a y =的图象过（0，1）点，R x y ∈∞∈),,0(。

㈢与对数函数x y a log =有关的大小比较
⑴ 两个对数函数的底数相同真数不同时，利用对数函数的单调性判定大小；
⑵ 两个指数函数的底数不同真数相同时，可按图象与底数的关系进行比较，或用换底变成同底函数进行比较； ⑶ 两个对数函数的底数和真数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比较，通过常数传递比较大小。

⑷ 解与对数有关的不等式，通常借助对数函数的单调性，由外向里逐步化简，最终变形为整式不等等式求解。

对数函数的性质：
⑴ 1>a 时，x y a log =是增函数，10<<a 时，x y a log =为减函数；
⑵ 1>a 时，010,01<⇒<<>⇒>y x y x ，10<<a 时，010,01>⇒<<<⇒>y x y x ； ⑶ x y a log =的图象过（1，0）点，),0(,∞∈∈x R y 。

对数的性质：N a
a N a a a ===log ,1log ,01log ，零和负数没有对数。

对数运算公式：
⑴ N M MN a a a log log )(log +=
⑵ N M N
M a a a log log )(log -= ⑶ M n M a n a log log =
⑷ 换底公式：)1,0,1,0(,log log log ≠>≠>=c c a a a
N N a a a ⑸ a b b a log 1log =
⑹ )1,0,1,0(,log log ≠>≠>=b b a a b n m M a m a n。