高一数学必修4同步练习：1-2-2同角三角函数的基本关系

1-2-2同角三角函数的基本关系
一、选择题
1．已知cos α＝2
3，则sin 2α等于( )
A.59 B ．±59 C.53 D ．±53 [答案] A
[解析] sin 2
α＝1－cos 2
α＝59
.
2．已知α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α＝( )
A.15 B ．－15
C.513 D ．－513
[答案] D
[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝5
12，构造直角三
角形如图，则|sin α|＝sin α′＝5
13
，
∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－5
13
.
[点评] 已知角α的某三角函数值，求α的其它三角函数值时，可先判定其符号，然后构造直角三角形求其绝对值．
如cos α＝－1
3，α为第三象限角，求sin α的值时，由于sin α<0，
构造直角三角形，如图可知|sin α|＝22
3
，
∴sin α＝－22
3
.
3．已知tan α>0，且sin α＋cos α<0，则( ) A ．cos α>0 B ．cos α<0
C ．cos α＝0
D ．cos α符号不确定
[答案] B
[解析] ∵tan α＝sin αcos α>0，∴sin α
cos α>0，即sin α与cos α符号相
同．又sin α＋cos α<0，则cos α<0.
4．若非零实数m ，n 满足tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，则cos α等于( )
A.n －m
m ＋n B.m －n
2
C.m ＋n 2
D.m －n n ＋m
[答案] A
[解析] 已知两等式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
tan α－sin α＝m ，
tan α＋sin α＝n ，
解得tan α＝
m ＋n 2，sin α＝n －m 2，则cos α＝sin αtan α＝n －m
n ＋m
. 5．化简(1sin α＋1tan α)(1－cos α)的结果是( )
A ．sin α
B ．cos α
C ．1＋sin α
D ．1＋cos α
[答案] A
6.1＋2sin αcos α的值是( ) A ．sin α＋cos α B ．sin α－cos α C ．cos α－sin α D ．|sin α＋cos α| [答案] D
7．如果tan θ＝2，那么sin 2θ＋cos 2θ
sin θcos θ( )
A.73
B.75
C.52
D.54
[答案] C
8．(2011～2012·琼海高一检测)若sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝
( )
A ．－
310
B.310 C ．±310
D.34
[答案] B
9．已知sin αcos α＝18，且π4<α<π
2，则cos α－sin α的值为( )
A.3
2
B ．－3
2
C.34 D ．－34
[答案] B
[解析] ∵π4<α<π
2，∴sin α>cos α，
∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2 ＝－1－2sin αcos α＝－
3
2
. 10．(08·浙江理)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－1
2
D ．－2
[答案] B
[解析] 解法一：将已知等式两边平方得 cos 2α＋4sin 2α＋4sin αcos α＝5(cos 2α＋sin 2α)， 化简得sin 2α－4sin αcos α＋4cos 2α＝0， 即(sin α－2cos α)2＝0，故tan α＝2.
解法二：设tan α＝k ，则sin α＝k cos α代入cos α＋2sin α＝－5中得cos α＝－5
2k ＋1
，
∴sin α＝5k
2k ＋1代入sin 2α＋cos 2α＝1中得，
5k 2(2k ＋1)2＋5
(2k ＋1)2＝1，∴k ＝2.
二、填空题
11．已知α是第三象限角，sin α＝－12
13
，则cos α＝________.
[答案] －5
13
[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝±1－sin 2
α＝±5
13
.
又α是第三象限角，∴cos α<0，∴cos α＝－5
13.
12．已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α＝________. [答案] 2
5
[解析] 原式＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2αcos 2α－sin αcos α
cos 2αsin 2αcos 2α＋
cos 2αcos 2α＝
tan 2α－tan α
tan 2α＋1
＝25
. 13．已知sin θ－cos θ＝1
2，则sin 3θ－cos 3θ＝________.
[答案] 11
16
[解析] ∵sin θ－cos θ＝12，∴sin θ·cos θ＝3
8
，
∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1＋38＝1116
. 14．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________. [答案] －1＋5
2
[解析] 由于tan α＝sin α
cos α
＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1
－sin 2
α，解得sin α＝－1±5
2
.
又sin α＝cos 2
α≥0，所以sin α＝－1＋5
2
.
三、解答题
15．已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α
1－sin α的值．
[解析] ∵cos α＝－3
5，且tan α>0，
∴α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2
α＝－4
5
，
tan αcos 3α1－sin α＝sin αcos α
cos 3
α1－sin α＝sin (1－sin 2α)
1－sin α
＝sin α(1＋sin α)＝－45×(1－45)
＝－4
25
.
16．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1
cos α
.
[证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2α
cos α＋cos α
＋cos 2α
sin α
＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α
＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．
17．已知－π2<x <π2，sin x ＋cos x ＝1
5
，求tan x 的值．
[解析]
解法一：建立方程组⎩⎨
⎧
sin x ＋cos x ＝15，①
sin 2x ＋cos 2x ＝1，②
由①得sin x ＝1
5－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12
＝0，
解得cos x ＝－35，或cos x ＝4
5.
又∵－π2<x <π2，∴cos x ＝45，sin x ＝－3
5.
∴tan x ＝－34
.
解法二：由sin x ＋cos x ＝1
5，
平方得2sin x ·cos x ＝－24
25，
∴(sin x －cos x )2
＝49
25
.
∵sin x ·cos x <0，∴－π2<x <0，∴cos x －sin x ＝7
5.
又∵sin x ＋cos x ＝15，∴cos x ＝45，sin x ＝－3
5.
∴tan x ＝－3
4
.
18．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，求(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α
. [解
析
]
(1)2cos 2α
＋
3cos αsin α
－
3sin 2α
＝
2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α
sin α＋cos α
＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2
α， 则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α＝1，
即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－1
4
或tan α＝1.
(2)原式＝2sin αcos α－
3cos α
cos α4sin αcos α－
9cos αcos α＝2tan α－3
4tan α－9
，
当tan α＝－14时，原式＝7
20；
当tan α＝1时，原式＝1
5
.。