第15章分式小结与复习
分式方程 小结与复习 教学设计
小结与复习教学设计教学设计思路以小组讨论的形式在教师的指导下通过回顾与反思本章所学内容，领悟新旧知识之间的内在联系，总结出本章的知识结构及主要知识点，侧重对重点知识内容、数学思想和方法、思维策略的总结与反思，再通过练习巩固所学的知识点。
教学目标知识与技能运用分式方程的有关知识解决实际问题；过程与方法通过回顾与反思本章所学内容，领悟新旧知识之间的内在联系。
情感态度价值观通过回顾与反思进一步感受化归与转化的思想方法；进一步体会方程模型的应用价值。
教学重点和难点重点是分式方程的解法以及分式方程的应用；难点是利用分式方程解应用题。
教学方法以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。
课时安排1课时教具学具准备多媒体教学过程设计在解决实际问题时，经常要用到分式方程。
因此，掌握分式方程的解法和应用分式方程解决实际问题，也是我们学习的主要内容之一。
（一）知识结构图以提问的形式引导学生总结出本章所学的知识点，写出本章的知识框图。
（二）总结与反思1.分式方程的意义。
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据，如2x1x=和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程(一元一次方程)。
2.分式方程的解法。
解分式方程的基本思路是；先将分式方程转化为整式方程，再解得到的整式方程，最后把整式方程的根代人分式方程(或公分母)中进行检验，确定出分式方程的根。
解分式方程的主要步骤是：(1)去分母：在方程两边都乘公分母，把它化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)检验：把这个整式方程的根代人公分母，如果结果不为0，这个根就是分式方程的根；如果结果为0，它就是分式方程的增根，必须舍去。
可化为一元一次方程的分式方程的解法同一元一次方程的解法基本一致，但是一定要注意：解分式方程必须验根。
3.列分式方程解决实际问题。
列分式方程解决实际问题和列一元—次方程、列二元一次方程组解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。
分式的小结与复习 教学设计(一)
分式的小结与复习教学设计（一）一、教材分析：分式的主要内容是与分数的有关内容对比着学习的．复习时应加强这种对比．从比较高的层次上认识分数与分式及其有关内容的内在联系和区别，以提高这一部分内容的学习质量．具体说来，1．分式的概念和分式的基本性质是学习本章的基础．这一点，如果在一开始，虽然作了说明，学生还体会不深的话，那么在学完本章各项内容之后，在小结与复习中，再一次提出这一问题，学生应该有较深刻的认识和体会．对于分式概念，主要是搞清楚分式与分数的区别以及分式何时有意义的问题．对于分式的基本性质，则主要是在分式变形和运算中能够正确灵活地运用．2．分式四则运算法则可以对比分数四则运算法则得出，这一点学生应深切体会．要使学生深刻认识到，具体的分式运算往往可以归结为整式的运算，当然还要注意分式基本性质与符号法则的运用．3．公式变形的基本思想，在今后教学及其他各科的学习中占有重要地位，公式变形往往可以归结为解有字母已知数的方程，解含有字母已知数的方程和解只含有数字已知数的方程类似，只是要注意字母允许值的范围，这一点，在现阶段不作要求．以后，随着学习的深入，结合具体问题的讨论，逐步掌握这部分内容是不难的．本章是打个初步基础，不应过高要求．二、教学建议：回顾知识内容，在做题时查漏补缺。
在复习小结时，还是应当结合典型问题的研究，提高学生分析问题、解决问题的能力．三、教学设计思想：这节课的主要任务是将全章的知识点加以复习，复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力。
因此，在选择教学内容时我们注意了下面两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点。
四、重点：熟练掌握分式的四则混合运算．难点：四则混合运算中的去括号及符号问题五、教学目标1、经历总结本章的知识结构及知识内容过程．进一步培养反思的学习习惯。
2、熟记分式的四则运算法则及它们之间的内在联系．熟练地进行分式的四则混合运算。
人教版数学八年级上册15.2.1：分式的乘除法课件
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
(2)12xy8x2y 5a
解：原式
12xy 5a
8
1 x2
y
12xy 5a 8x2 y
3 10 ax
巩固 练习
(3) xy yx ; xy xy
解：原式 x y -(x y) ; xy xy
(x y)(x y) (x y)(x y)
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
一定要注意符号变化呦！
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
3a16b 分 的乘法法则：
解：原 式 分 的乘法法则：
2
4b9a （3）因式分解在分式乘除法中的应用；
思考：类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。
2 分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
4 xy （3）因式分解在分式乘除法中的应用； 当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行 2
3 3 分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
6 x y 分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
分 的乘法法则：
（3）因式分解在分式乘除法中的应用；
4xy 分 的除法法则：
解：原 式 （2）运用法则时注意符号变化；
（3）因式分解在分式乘除法中的应用；
3
3y2x （1）分式的乘除法法则；
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
第15章分式小结与复习课件(共34张PPT)
【例5】 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
(2)异分母分式的加减法则：
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意；(2)设未知数； (3)找相等关系；(4)列出方程；(5)解这个分式方程；(6)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；(7)答.
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
分式方程的应用
步骤
一审二设三找四列五解六检七答，尤其不要忘了验根
分式小结与复习
n
(1)a a a
m n
m n
(m, n是整数)
相 关 小 结
(2)(a ) a (m, n是整数)
m n mn
(3)(ab) a b (n是整数)
n n n
(4)a a a
m n
mn
(a 0, m, n是整数) n n a a (5) n (n是整数, b 0) b b
⑵若分式 有意义，则x应满足的 条件是＿＿＿＿＿＿＿ x≠5、x≠7且x≠-9
x3 x9 x5 x7
B
{且 B≠0 .
的值为0.
⑶当x= -2
x 2 4 时，分式 x 2 5 x14
（2）分式有关的条件问题：
分式
分式
A B
> 0 的条件
A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0
A B
=
A÷M ( B÷M )
(其中M 不为0 的整式).
（2）分式的符号法则:
A B -A -B A ( B )
= ( -A ) =
A
( -B )
=
-A ( -B )
B
=
=
( -A ) B
=
-A ( B )
⑶约分: 把一个分式的分子与分母的 公因式 约去， 叫做分式的约分. ⑷通分: 把几个异分母的分式化成 同分母 的分式， 注意： 分式的分子、分母是多项式的，应先分解因式， 叫做分式的通分.
强化训练：
2x 1.把分式 中的x, y的值都扩 3x 4 y 大3倍，则原分式的值（ A.不变 1 C.缩小为原来的 3
清丰县X中学八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除课件
考点三 : 勾股定理的应用 14．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如下图．将一根长为20 cm的细 木筷斜放在该杯子内 , 木筷露在杯子外面的部分至少有___5__ cm.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
C．在△ABC 中，若 a＝35 c，b＝45 c，则△ABC 为直角三角形 D．在△ABC 中，若 a∶b∶c＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形
8．在△ABC中 , AB＝n2＋1 , AC＝2n , BC＝n2－1(n>1) , 那么这个三角形
是( C)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
15．如下图 , 铁路MN和公路PQ在点O处交汇 , 公路PQ上有一点A距离O点 240 m , 点A到MN的距离是120 m．如果火车行驶时 , 周围200 m以内会受到 噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶时 , A 处受噪音影响的时间是多少 ？
解 : 作AD⊥MN于点D , 并作AB＝AC＝200 m交MN于点B , C.因为AD＝120 m , 所以BD＝160(m) , BC＝160×2＝320(m)＝0.32(km) , t＝0.32÷72×3600 ＝16(s).答 : A处受噪音影响的时间是16 s
解 : 〔2〕 500 500 （a-1）2 a2-1
=
500
a2-1
（a-1）2 500
= a+1 . a -1
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是
“丰收1号”小麦的单位面积产量的
a a
+ -
2022年人教版八年级上第15章《分式》全章教案
第十五章分式15．1分式15．从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v ＝6030－v. (2)学生完成教材第127页“思考〞中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是A B(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式． 稳固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义． 学生自学例1.例1以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y.解：(1)要使分式23x有意义，那么分母3x ≠0，即x ≠0； (2)要使分式x x －1有意义，那么分母x －1≠0，即x ≠1； (3)要使分式15－3b有意义，那么分母5－3b ≠0，即b ≠53； (4)要使分式x ＋y x －y有意义，那么分母x －y ≠0，即x ≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.三、归纳总结1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．分式的根本性质(2课时)第1课时分式的根本性质1．了解分式的根本性质，灵活运用分式的根本性质进行分式的变形．2．会用分式的根本性质求分式变形中的符号法那么．重点理解并掌握分式的根本性质．难点灵活运用分式的根本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后答复：运用了分数的根本性质．2．你能说出分数的根本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．3．尝试用字母表示分数的根本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的根本性质，然后写出分数的根本性质的字母表达式．a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的根本性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回忆分数的根本性质，让学生类比写出分式的根本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．2．想一想以下等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b . 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－〞号：(1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y . 例2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的根底上进行归纳，使学生掌握分式的变号法那么．例3填空：(1)x 3xy ＝〔〕y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y 〔〕； (2)1ab ＝〔〕a 2b ，2a －b a 2＝〔〕a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y. 同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝〔3x 2＋3xy 〕÷〔3x 〕6x 2÷〔3x 〕＝x ＋y 2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即 2a －b a 2＝〔2a －b 〕·b a 2·b＝2ab －b 2a 2b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的根本性质是什么？2．分式的变号法那么是什么？3．如何利用分式的根本性质进行分式的变形？学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．四、布置作业，5题．通过算数中分数的根本性质，用类比的方法给出分式的根本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的根本性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法那么将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分〞的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b，a ＋b ab相等吗？为什么？ 利用分式的根本性质，分式a 2＋ab a 2b约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab. 教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋b ab，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__． 2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？ 类似的，你能把分式a b ，c d变成同分母的分式吗？ 利用分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y. 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b＝－5ac 23b ； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝〔x ＋3〕〔x －3〕〔x ＋3〕2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6〔x －y 〕23〔x －y 〕＝2(x －y )． 假设分子和分母都是多项式，那么往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a 〔a ＋b 〕3b 〔a ＋b 〕；〔a －x 〕2〔x －a 〕3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy 4的最简公分母是什么？ 提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5. 分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c .32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝〔a －b 〕·2a ab 2c ·2a＝2a 2－2ab 2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)．2x x －5＝2x 〔x ＋5〕〔x －5〕〔x ＋5〕＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x 〔x －5〕〔x ＋5〕〔x －5〕＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习：通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1〔2－x 〕2与x x 2－4.教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式那么应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．三、课堂小结1．什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？四、布置作业，7题．本节课是在学习了分式的根本性质后学的，重点是运用分式的根本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2分式的运算15．分式的乘除(2课时)第1课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法那么．2．运用法那么进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法那么是什么？2．计算：35×1512；35÷152. 由分数的运算法那么知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15. 3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的m n时，水面的高度是多少？ 问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷b n倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法那么是什么？分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c. 三、举例分析例1计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法那么进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x 2； (2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac. 例2计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法那么．解：(1)原式〔a －2〕2〔a －1〕2·a －1〔a ＋2〕〔a －2〕＝a －2〔a －1〕〔a ＋2〕； (2)原式1〔7－m 〕〔7＋m 〕÷1m 〔m －7〕＝1〔7－m 〕〔7＋m 〕·m 〔m －7〕1＝－m m ＋7. 例3“丰收1号〞小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的局部，“丰收2号〞小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？分析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解：(1)略．(2)500〔a －1〕2÷500a 2－1＝500〔a －1〕2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号〞小麦的单位面积产量是“丰收1号〞小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍． 四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x)； (4)－8xy÷2y 5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)． 答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y 14；(4)－20x 2；(5)－〔a ＋1〕〔a －2〕〔a －1〕〔a ＋2〕；(6)3－y y ＋2. 2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法那么；(2)运用法那么时注意符号的变化；(3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如〔a －1〕2a 或a 2－2a ＋1a. 六、布置作业，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法那么的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法那么．有利于学生接受新知识，而且能表达由数到式的开展过程．第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法那么，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算． 重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法那么．分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)．二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3. 解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3(先把除法统一成乘法运算) ＝2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤：(1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；(3)确定分式的符号，然后约分；(4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳．(1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b 2； ↑↑由乘方的意义由分式的乘法法那么(2)同理：(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b 3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个＝a n b n . 2．分式乘方法那么：分式：(a b )n ＝a nb n .(n 为正整数) 文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法那么都有什么？(1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n ；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ；(5)(a b )n ＝a nb n . 三、举例分析例2计算：(1)(－2a 2b 3c)2； (2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x)4； (4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝〔－2a 2b 〕2〔3c 〕2＝4a 4b 29c 2； (2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 38cd 6； (3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y 4＝－x 5； (4)原式＝〔a ＋b 〕〔a －b 〕a 2＋b 2·〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2＝〔a ＋b 〕3〔a －b 〕〔a 2＋b 2〕. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3计算：(1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a 2n －1b 3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x 2； (3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a)2. 解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b3n －2＝bc 2a 2； (2)原式＝－x 〔x －y 〕1·xy 〔x －y 〕2·x －y x 2＝－y ； (3)原式＝〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2a 2b 2·a 2〔a －b 〕2＝a 2＋2ab ＋b 2b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结1．分式的乘方法那么．2．运算中的本卷须知．六、布置作业．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法那么．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．分式的加减(2课时)第1课时分式的加减理解并掌握分式的加减法那么，并会运用它们进行分式的加减运算．重点运用分式的加减运算法那么进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习提问1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课)二、探究新知1．出示教材第139页问题3和问题4.教材第140页“思考〞．分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察以下分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝16.你能将它们推广，得出分式的加减法法那么吗？教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法那么．学生讨论：组内交流，教师点拨．2．同分母的分式加减法． 公式：a c ±b c ＝a±b c.文字表达：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bcbd.文字表达：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题例1(教材例6) 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y；(2)12p ＋3q ＋12p －3q ＝2p －3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＋2p ＋3q〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝2p －3q ＋2p ＋3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝4p4p 2－9q 2.小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2计算：m ＋2n n －m ＋n m －n －2mn －m. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2mn －m＝m ＋2n －n －2mn －m＝n －mn －m＝1.四、课堂练习1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－42－a；(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2.五、课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，那么把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式那么应该是最简分式． 六、布置作业 ，5题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表达了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的开展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第2课时分式的混合运算1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．重点熟练地进行分式的混合运算． 难点熟练地进行分式的混合运算． 一、复习引入回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．2．分数的混合运算法那么是( )，类似的，分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．二、探究新知 1．典型例题 例1计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2yx 2－4y 2.分析：(1)此题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y1.例3计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x－x －y)．分析：此题可用分配律简便计算．例4 [1〔a ＋b 〕2－1〔a －b 〕2]÷(1a ＋b －1a －b)．分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a b 2＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a 〔a －b 〕b 2〔a －b 〕 ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2〔a －b 〕＝4ab b 2〔a －b 〕＝4aab －b 2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m＝〔m ＋2〕〔2－m 〕＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2〔m －2〕3－m ＝〔3－m 〕〔3＋m 〕2－m ·－2〔2－m 〕3－m＝－2(m ＋3)；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x＝[x ＋2x 〔x －2〕－x －1〔x －2〕2]·xx －4 ＝〔x ＋2〕〔x －2〕－〔x －1〕x x 〔x －2〕2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x〔x －2〕2〔x －4〕 ＝1〔x －2〕2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：(1)一般按分式的运算顺序法那么进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可防止运算烦琐．(3)注意括号的“添〞或“去〞、“变大〞与“变小〞． (4)结果要化为最简分式．强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．三、稳固练习1．(1)x 2x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1x ＋1；(3)2ab 〔a －b 〕〔a －c 〕＋2bc 〔a －b 〕〔c －a 〕； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2. 2．教材第142页第1，2题．四、课堂小结1．分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业 1．．2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2－2x ＋1x ＋1，其中x ＝2－1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法那么并提高运算能力．15．整数指数幂1．知道负整数指数幂a －n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．重点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点负整数指数幂的性质的理解和应用． 一、复习引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a nb n (n 是正整数)．2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知(一)≠0时，a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－5＝a －2.于是得到a －2＝1a 2(a ≠0)．总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．2．练习稳固：填空：(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________，(4)20＝________，(5)2－3＝________，(5)(－2)－3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算： (1)a－2÷a 5；(2)(b 3a 2)－2； (3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3. 解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7；(2)(b 3a 2)－2＝b －6a －4＝a 4b －6＝a 4b 6；(3)(a －1b 2)3＝a －3b 6＝b 6a 3； (4)a－2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a 8. [分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y)3；(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y)3.5．例2判断以下等式是否正确？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．(二)因为0.1＝110＝10－1；0.01＝________＝________；0．001＝________＝________……××10－5.我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示以下各数： 0．0004，，00045，009.4．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3. 三、课堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．四、布置作业 ，8，9题．本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时) 第1课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的根本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．重点解分式方程的根本思路和解法． 难点理解解分式方程时可能无解的原因． 一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝6030－v.① 方程①有何特点？[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断以下各式哪个是分式方程．(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1x ＋2x ＝5.根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知1．思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并答复以下问题：(1)回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有方法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下：方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.所以江水的流度为6千米/时．[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例1解方程：1x －5＝10x 2－25.②解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．3．那么，可能产生“增根〞的原因在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x －3＝3x. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程x x －1－1＝3〔x －1〕〔x ＋2〕. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．四、课堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：。
思南县第八中学八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第2课时分式方程的应用教案新版新人教版8
第2课时 分式方程的应用1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．重点在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题． 难点在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．一、复习引入 1．解下列方程：(1)3－x x ＋1＝4＋x x ＋1－2；(2)2x ＋3＋32＝72x ＋6. 2．列方程解应用题的一般步骤：(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．[概括] 这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．二、探究新知例 1 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？[分析] (1)如何设元？(2)题目中有几个相等关系？(3)怎样列方程？ 本题有两个相等关系： (1)甲速＝2乙速 (2)甲时＋120＝乙时其中(1)用来设，(2)用来列方程．[概括] 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； (4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)写出答案(要有单位)．例2 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．练习：(1)甲乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( )A .30x －30x －3＝23B .30x －30x ＋3＝23C .30x ＋3－30x ＝23 D .30x －3－30x ＝23(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度．例3(教材例3) 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效． 等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量．列方程：13＋16＋12x＝1.例4(教材例4) 某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h .本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ，v 当作已知数．等量关系：提速前行驶50 km 所用的时间＝提速后行驶(s ＋50) km 所用的时间．列方程：sx＝错误!.练习：教材第154页练习第1，2题． 三、课堂小结1．列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意；(2)设：设未知数(要有单位)；(3)列：根据题目中的数量关系找出相等关系，列出方程； (4)解：解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)答：写出答案(要有单位)． 2．几种基本题型： (1)行程问题； (2)数字问题； (3)工程问题； (4)顺水逆水问题； (5)利润问题． 四、布置作业教材第154～155页习题15.3第3，4，5题．本节课结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开，选择有现实意义的，对学生具有一定挑战性的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，让学生能够自觉的用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．第2课时 线段的垂直平分线的有关作图1．作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图．(重点)2．依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．(重点)一、情境导入有时我们感觉两个平面图形成轴对称，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、合作探究探究点一：作线段的垂直平分线【类型一】 作某条线段的垂直平分线如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析：本题其实就是作线段AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可． 解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合如图，已知点A 、点B 以及直线l .(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA ＝PB .(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM ＝PN ，BN ＝PM ，求证：∠MAP ＝∠NPB .解析：(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．解：(1)如图所示：(2)在△AMP 和△BNP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝PN ，PM ＝BN ，AP ＝BP ，∴△AMP ≌△PNB (SSS)，∴∠MAP ＝∠NPB .方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．【类型三】 垂直平分线作法的应用如图，某地由于居民增多，要在公路l 边增加一个公共汽车站，A ，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?解析：作线段AB 的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A ，B 的距离相等．解：连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于O ，交AB 于E .∵EO 是线段AB 的垂直平分线，∴点O 到A ，B 的距离相等，∴这个公共汽车站C 应建在O 点处，才能使到两个小区的路程一样长．方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M ，N 表示大学，OA ，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)解析：到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．解：如图，点P为所求．方法总结：通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．探究点二：对称轴的画法【类型一】画出已知图形的对称轴画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．解析：利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可．解：如图所示：方法总结：画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．【类型二】补全图形，并画出对称轴如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．解析：根据轴对称的性质画出图形即可．解：如图所示：方法总结：解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．三、板书设计线段的垂直平分线的有关作图1．线段垂直平分线的作法．2．作轴对称图形的对称轴的方法．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．[菱形]说课稿一、教材分析1、在教材中的作用与地位[菱形]紧接[矩形]一节之后。
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4、列方程解应用题： 一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后 第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来 速度的1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目 的地，求前一小时的行驶速度．
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问题2 请同学们整理一下刚才回顾的主要知识， 根据它们之间的联系画本章的知识结构图.
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列式
实 际 问 题
分式
类比分数 性质 分式的基本 性质 去分母
类比分数 运算
分式的运算
列方程
分式方程
整式方程 解整 式方 程
新的数学方法和概念，常常比解
决数学问题本身更重要。
—— 华罗庚
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1.请写出下列等式中未知的分子或分母：
(1) 2 ( 2xy ) = xy x 2y2
(2)
3x x+y
15x(x+y) = [ 5(x+y)2 ]
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2、计算：
2m 3n 2 mn （ 1） （ ） 2 ； 3n p p
义务教育教科书（RJ）八年级数学上册
第十五章
小结与复习
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问题1 请同学们回答下列问题： （1）本章都学习了哪些知识？ （2）什么是分式？分式与分数有什么区别与联系？你 能举例说明吗？ （3）如何用式子的形式表示分式的基本性质？分式与 分数的基本性质相同吗？你能举例说明吗？
-2 （2）a 2b3 （ab 2）；
a -b 2ab-b 2 a -b a 2 -b 2 （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） （a ）；（4） 1 2 ． 2 a a a+ 2b a + 4ab+ 4b
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3、解下列分式方程：
5 x+ 2 3 2x 2 （） 1 2 = ；（2） =1． 2 x -5 2 x 5 x +x x+1
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（4）怎样进行分式的约分和通分？依据是什么？请举 例说明分式的约分、通分与分数的约分、通分有 什么相同和不同之处. （5）如何用式子的形式表示分式的运算法则？在分式 四则运算中要注意什么？ （6）你能举例说明解分式方程的基本步骤吗？解分式 方程需要注意什么？为什么解分式方程要检验？
目标
目标
实际问 题的解
检验
分式方程的解 整式方程的解
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问题3 结合本章知识结构图，再思考以下问题： （1）本章研究的重点内容是什么，它们之间有什么联 系？在分式的运算和解分式方程的过程中需要注意 什么？解分式方程为什么要检验？ （2）如何列分式方程解决实际问题？