复变函数与积分变换复习题+答案

复变函数与积分变换复习题汇总
一、填空题
1、31i +的三角函数表示为_____________________； i
i +-12的指数函数表示为______________________； 2、=-)1ln(___________________；
3、i 有两个根，他们分别是_________________和_______________；
4、)3(3)(2323xy x i y x y z f -+-=，则=)(z f ___________________；
5、31z
e z -的孤立奇点为Z=______________，其类型为_________________； 6、=-]01[Re 42，z
e s z
________________； 7、)(2]1[ωπδ=g ，则=]2[cos t g __________________；
8、£
=][0t s e ____________________; 9、n n n n
z ∑∞
+313的收敛半径是_______________； 10、=+-⎰c z z dz 422_____________，其中C ：|z|=1 正向；
11、bi a Z +=，a 与b 是实数，且00><b a ，，则=Z arg ________;
12、z
-11sin 有两个奇点，一个是Z=_______，是_________奇点；另一个是Z=________，是_________奇点；
13、0=Z 是
)(1z f 与)(2z f 的m 级和n 级极点，则0=Z 是)(1z f ·)(2z f 的___________级极点； 14、2)
1(1
)(z z f -=展为Z 的幂级数后的结果为________，其收敛半径为_____________; 15、exp z 的周期是________________；
16、ω2cos 2的Fourier 逆变换为________________；
二、证明题
1、函数ixy x z f +=2
)(在平面上处处不解析
2、对于1|cos |1|sin |,2≤≤=z z i z 和均不成立
三、判断正误（请在括号内划“√”或“×”）
1、i i 2<；（ ）
2、z 是任意复数，则22||z z =；（ ）
3、)('0z f 存在，那么)(z f 在0z 处解析；（ ）
4、u 和v 都是调和函数，v 是u 的共轭调和函数，则-u 是v 的共扼调和函数；
（
）
5、u 、v 都是调和函数，则u+iv 必为解析函数；（ ）
6、iv u z f -=)(解析，则x v
y u
y v
x u
∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，；（ ）
7、)(z f 解析，则下面的导数公式全部正确。

（ ）
x v
i x u
z f ∂∂+∂∂=)('，y u
i y v
z f ∂∂-∂∂=)('，y u
i y v z f ∂∂+∂∂=1)('；
8、设有级数∑∞
0n a ，如果0lim =∞→n n a ，则
∑∞
n a 收敛；（ ）
9、Taylor 级数n n z z c )(00
-∑∞
在其收敛圆周上一点处可能收敛，也可能发散；（
）
10、0=z 是函数z
z f 1sin 1
)(=的本性奇点；（ ）
11、每个幂级数在它的收敛内与收敛圆上都绝对收敛。

（ ）
三、计算题
1、指出i y xy yi x x z f 322333)(--+=的解析区域，并求)('z f ；
2、⎰++C z z dz
322)4)(1(，其中C 为23
||=z ；
3、dz a z z
C
⎰-3)(sin ，C 为简单正向封闭曲线，a 是常数；
4、设ζζζζζd z z f z ⎰=-++=||22)(173)(，求)1('i f +；
5、将1
1)(+-=z z z f 展为Z-1的幂级数； 6、将)1(1)(2-+=z z z z f 在+∞<<||1z 内展为Laurent 级数；
7、求函数t t cos sin 2的Fourier 变换；
8、求函数1
1-=ate 的Laplace 变换；9、||)(ωββπω-=e F ，求)([1ωF g -；
一、填空
1、)3sin 3(cos 2ππi +，i e 42π-
2、i k π)2
12(- 3、i 21
21
+，i 21
21
--
4、)33(622y x i xy -+-
5、0=z ，二级极点
6、3
4-
7、)]2()2([-++ωδωδx 8、0
1s s -，0)Re(0>-s s 9、1
10、0
11、x a b --1
tan 12、1=z ，本性，∞=z
，可去
13、n m +
14、∑∞-01n nz ，1
15、i k π2
16、)]2()2([21
)(-+++t t t δδδ
二、证明题
1、2x u = xy v =
x x y
2=∂∂ 0=∂∂y u y x v
=∂∂ x y v
=∂∂
当0==y x 时，)(z f 才可导，即)(z f 仅在0=z 可导 )(z f ∴处处不解析
2、1|2||2||2sin |2
2)
2()2(>-=-=--e e i e e i i i i i
|2cos |i 同理可证。

三、判断正误
1、×
2、×
3、×
4、√
5、×
6、√
7、√
8、×
9、√ 10、× 11、×
四、计算题
1、由Cauclcy-Rieman 方法易知，)(z f 在复平面上处处解析
且xy i y x z f 6)33()('22+-=或33)()(z iy x z f =+= 23)('z z f =∴
2、左式0])4(1)4(1[21232=++--+=⎰⎰i
z dz
z i z dz
z i C C
或：左式0]),([Re ]),([Re =-=+==i z z f s i z z f s
3、 a 在c 处解析，左式=0
a 在c 处解析，a z =是三级极点 左式a i z i
a z sin ')'(sin !22πππ-===
4、]76[2)'173(2)(2+=++==z i i z f z πζζπζ
i z f π12)('=∴ i i f π12)1('=+∴
5、10)21()1(2
11121)(+∞--=-+-=∑n n z z z z f 6、左式∑∞++=-+=03222121)1(21n z
z z z z 3232)111(112
z z z z z +++=- +∞<<||1z
7、)(21)2(sin )cos sin 2(22jt jt e e F j t F t F --=
=+ )]2()2([--+=ωδωδπj
8、
2)1(1)()1()1(+-=-=---s a S te aL L ate L t t 9、dw e e t f jwt ||21
)(ωββππ
-⎰∞-∞+= ωωββωtd e cos 0
1-⎰∞+= t d e e e t j t j +=+∞+=--⎰21)(021βωβωωβω。