行列式的性质
§1.2 行列式的性质
§1.2 行列式的性质
1、 n 阶行列式的质
定义1
将行列式 D 的行和列交换后得到的 行列式称为 D 的转置行列式，记为
D T 或 D ，即若
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann , 则D D
T
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
说明
①此定理称为按 k 个行展开，若将行变成 列，则行列式按 k 个列展开。 ②此定理证明的方法与定理1一样，这里证 略。 ③在计算行列式时，常常按一行或一列展开。 若在行列式 D 中某些行或某些列含多个零， 就按这些行或这些列展开，可能更方便。
an1 an 2 ann .
性质1 性质2
将行列式转置，行列式不变，即 DT D . 用数 k 乘行列式 D 的一行（列），等 于以数 k 乘以行列式 D ，即
a11 a1n a11 a1n ain kD ann
D1 kai1 an1
kain k ai1 ann an1
性质3
若行列式 D 的一行（列）每一个元素都
M ij
Aij 1
i j
。而
M ij
称为 aij
的代数余子式.
引理
一个 n 阶行列式 D ，若 i 行元素除 aij 外都为零，则 D 等于 aij 与它的代数余子 式的乘积，即
D aij Aij
（1.12）
定理1
n 阶行列式
D aij
等于其任意一行的 (1.13)
各元素与对应代数全子式乘积之和，即
性质5 若行列式有两行（列）元素成比列，则 行列式为零. 性质6 把行列式一行（列）的倍数加到另一行 （列），行列式不变. 性质7 互换行列式的两行（列），行列式变号.
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
第五节行列式的性质
1 2
0 0 0 1 0
0 0 0 2 6
1 1 2 3 1
r5 + 2r4
0 0
2 0
0 1
4 0
1 2 12
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
例2: 计算 n 阶行列式
a b b b
b a b b
D b b a b .
b b b a
解: 将第2, 3, ···, n 列都加到第一列得:
行列式:
p11
0
D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对D2作列运算 ci+kcj , 把D2化为下三角形行列式:
q11
0
D2
q11 qnn .
qn1 pnk
先对D的前k行作行运算 ri+trj , 然后对D的后n列 作列运算 ci+kcj , 把D化为下三角形行列式:
p11
0
D
35 8
538
推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列 式为零.
证明: 互换相同的两行, 则有D = – D, 所以D = 0. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以
同一数k, 等于用数k乘此行列式.
即 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n
an1 (ani kanj ) anj ann
引入记号: 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在计算行列式时, 我们经常利用性质2,3,6对行列
式进行变换.
利用性质2交换行列式的第 i, j 两行(列), 记作
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
§5 行列式的性质
(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
1 2 3
例如 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1 2
性质5 (拆分) 若行列式的某一列（行）的元素 都是两数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n a 21 a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 例如 2 D a n1 a n 2 (a ni a ) a nn ni
证明
D D1 D2 .
1 2
0
0
3 4 0 0 如D = ? 0 0 -1 3 0 0 5 1
a 0 0 b 0 a b 0 例5 D = 0 c d 0 c 0 0 d
看P15例11
三、小结
行列式的6个性质
同样成立). 计算行列式常用方法 (1) 利用定义;
(行列式中行与列具有同
等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
= a4
看P13例9
例4
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
a11
n
a12 a22
a1n a2 n
a21 an1
an 2 ann
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零；行列式的某一行（列） 元素全为零，则行列式为零．
1 2 3 例如 4 5 6 2 4 6 1 2 3
1 24 1
2 5 2
矩阵论基础1.4行列式的性质
矩阵论基础1.4⾏列式的性质第四节⾏列式的性质⾏列式有如下7条性质n阶⾏列式：，若把D的⾏变为列得到新⾏列式如下，⾏列式D T (或D′)称为⾏列式D的转置⾏列式.注意:转置⾏列式也可以看作以主对⾓线为轴,⾏列式翻转180°的结果.性质1 ⾏列式D=D T证明: ,应⽤数学归纳法,当n=2时,结论显然成⽴,即假设n-1时结论成⽴,即n-1阶⾏列式与它的转置⾏列式相等,将n阶⾏列式D按第⼀⾏展开,有将n阶⾏列式D T按第⼀列展开,有所以n阶⾏列式D=D T由⾏列式的性质1可以看出,⾏列式的⾏和列的地位相同,⾏所具有的性质对于列也成⽴,反之亦然.性质2 若⾏列式中有某⼀⾏(或列)为零,则这个⾏列式的值等于零.说明:把⾏列式按此⾏(或列)展开即可.性质3 ⾏列式中任何两⾏(或两列)互换位置, ⾏列式的值变号.证明: ,第⼀⾏与第三⾏互换位置后,⾏列式变为将D按第⼀⾏展开,得将D1按第三⾏展开,得此性质对于n阶⾏列式也成⽴.推论: 如果⾏列式有两⾏(列)完全相同, 则此⾏列式等于零.说明:交换这两⾏(列)⾏列式D化为D1,由性质2知,-D=D1,由于交换的两⾏(列)相同,故D=D1,因此,-D=D,D=0性质4 ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素都乘以同⼀数λ, 等于⽤数λ乘此⾏列式.反之, ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素有公因数,则可以把这个公因数从⾏列式中提出来,即说明:上⾯两个⾏列式若按第i⾏展开,结果是相同的.推论:⾏列式中如果有两⾏(列)元素对应成⽐例, 则此⾏列式等于零.性质5 若⾏列式的某⼀⾏(列)的每个元素都是两个数之和, 例如第i⾏的元素都是两数之和: 即,则D等于下列两个⾏列式之和:.说明:记三个⾏列式为D,D1,D2,则性质6 把⾏列式的某⼀⾏(列)的各元素乘以同⼀数然后加到另⼀⾏(列)对应的元素上去, ⾏列式不变. 即.说明:性质5和性质4可得性质6,这个性质在⾏列式的计算中⾮常重要.性质7 ⾏列式每⼀⾏(或列)的每个元素与另⼀⾏(或列)对应元素的代数余⼦式的乘积的和等于零,即说明: n阶⾏列式按第j⾏展开,于是得下⾯结论 , 或在处理和计算⾏列式时,常⽤上述7条性质,为了表达简洁,引⼊下列记号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例如,例9 计算⾏列式解:利⽤⾏列式的性质,把D化为相等的上(下)三⾓⾏列式,再写出结果,这是计算⾏列式的常⽤⽅法.说明:(1)利⽤性质6,先把a11下⾯的所有元素化为零;(2) 再把a22下⾯的所有元素化为零;(3)重复操作,直到化为三⾓⾏列式为⽌;(4)对于列也可以采⽤同样的处理⽅法,化为其它类型的三⾓⾏列式,再求值.求⾏列式的值时,常⽤的⽅法还有按某⾏(列)展开,达到降阶的⽬的,从⽽化简⾏列式,直到求出结果为⽌.例10 计算⾏列式解:要善于⽤两种⽅法求⾏列式的值:1.化为三⾓⾏列式(四种结果)2.按某⼀⾏(列)展开(选零较多的⾏(列)).例11 计算⾏列式解:因第⼀列与第三列对应元素成⽐例,所以D=0.例12 计算⾏列式解:例13 计算⾏列式解:D1中每⾏提出公因⼦(-1),得所以D1=0D2按第⼀⾏展开,得例14 计算⾏列式解:同理可得例15 计算三阶Vandermonde⾏列式解:同理可得n阶Vandermonde⾏列式例16 计算（m+n）阶零块⾏列式解：记，对|A|作若⼲次r i+λr j操作，化为下三⾓⾏列式，设为对|B|作若⼲次c i+λc j操作，化为下三⾓⾏列式，设为把对|A|的操作全部施于D的前n⾏，再把对|B|的操作全部施于D的后m列，得同理可知以下三个零块⾏列式的值（1）（2）注：（3）说明：1.(2)中⾏列式D可化为下三⾓⾏列式,利⽤前⾯的结论,可推得2. 四种结果要牢记.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行列式的性质
基本性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。
推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备.
设
111212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
， 112111222212n n T n
n
nn
a a a a a a D a a a =
称行列式T
D 为D 的转置行列式．T
D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）．
性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即
111212122212
n n n n nn
a a a a a a a a a 112111222212n n n
n
nn
a a a a a a a a a =
.
证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T
D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T
D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义
1111121211n n D a A a A a A =++
+，
1111212111T T T
T
n n D a A a A a A =+++.
根据归纳假设1111T
A A =，于是
()
1232212
133********
131n n T n
n nn
a a a a a a D a A a a a a +=+-+
()
122242213
132343331
1241n n n
n n nn a a a a a a a a a a a a a +-++
()
12221211323131
1211n n
n n n
n
n n
a a a a a a a a a a -+---.
由归纳假设，可以把上面1n -个1n -阶行列式都按第1列展开，并将含12a 的项合并在一起，其值恰好等于1212a A ，事实上
()
()
333
23
433
12
13
2112
3112
32411n n n
nn
n
n
nn
a a a a a a a a a a a a a a ++-+-++
()
23
13
1112
311n n
n n
n n
a a a a a a -+--
()21311123332343323131232421000000000100
0n n n n n
nn
n
n
nn
n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--⎧⎫⎪⎪⎪⎪=-+
++
⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎩
⎭
()
21
31112
2333312
231n n n
n
nn
a a a a a a a a a a +=-.
()
()
12
12
12121212121211T a M a M a A ++=-=-=，
其中余子式12T
M 是12M 的行、列互换后的行列式，他们都是1n -阶行列式，根据归纳假设
12T M 12M =.
类似地，把含13a 的项合并后其值等于1313,a A ，把含1n a 的项合并后其值等于11n n a A ，
因此T D D =.
由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有．因而，下面关于行列式的性质将仅对行叙述．
性质1.2 对行列式(1.3)中的任一行按下式展开，其值相等，即等于行列式的值.
111212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
1122i i i i in in a A a A a A =+++， （1,2,
,i n =） (1.4)
其中(1)i j ij ij A M +=-，ij M 为D 中划掉第i 行和第j 列的全部元素后，按原顺序排成的1n -阶行列式
1111111111111111111111
1
1
j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n nj nj nn
a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=
，
并称ij M 为元素ij a 的余子式，ij A 为元素ij a 的代数余子式. 证明 对行列式的阶数用数学归纳法.
当2n =时，可以直接计算出结论成立.
假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义
1111121211n n D a A a A a A =++
+
()
22
2322123212
323333133311
12
2
3
13
1n n n n n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+-+
()
212224213
313234313
1
2
4
1n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a +-++
()
212221131
32
31112
1
1n n
n n
n n nn a a a a a a a a a a -+---.
根据归纳假设1j A 可以按照第1i -行展开，于是由归纳假设，把上面n 个1n -阶行列式都按第1i -行展开，并将含1i a 的项合并在一起，其值恰好等于11i i a A ，事实上（不妨取
2i =）
()
()
33
332
34312
13
1221
1321
3
2
4
11n
n
n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a ++-+-++
()
32
31
1121
2
1
1n n
n n nn a a a a a a -+--
()1213112333323433231213
2
4
2
1
000000000100
0n n n n n nn
n n nn
n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--⎧⎫⎪⎪⎪⎪=-+
++
⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎩
⎭
()
12
13112
3233321
2
3
1n n n n nn
a a a a a a a a a a +=-.
()
21
212121211a M a A +=-==，
类似地，把含22a 的项合并后其值等于2222,
a A ，把含2n a 的项合并后其值等于
22n n a A ,
因此，1111121211n n D a A a A a A =++
+2121222222n n a A a A a A =+++.
性质1. 5 行列式两行相同值为零，即
111211
212ln 1
2
0(1)
n k k kn
l l n n nn
a a a a a a D k l n a a a a a a =
=≤<≤
(1.7)
其中ki li a a =（1,2,
,i n =）
． 证明 利用数学归纳法，对于二阶行列式，（1. 7）式显然成立.
假设（1. 7）式对于1n -阶行列式成立，即如果1n -阶行列式两行相同，则值为零. 在n 阶的情况下，对行列式D 按第j 行展开（,j k l ≠），
11
1212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
1122j j j j jn jn a A a A a A =+++.
由于(1)
i j
ji ji A M +=- (1,2,i n =)，且ji M 为1n -阶行列式且两行相同，因此0ji A =.
所以，0D =． 例．计算
解：由于该行列式的所有列加到一起得同一个数a +(n -1)x ，我们就根据这一特点，用行列式的性质6，将D n 的第2列，第3列，…，第n 列的1倍同时加到第1列上去，再由性质3的推论，将公因子a +(n -1)x 提出来，得。