超静定梁变形计算的有限差分法
有限差分法的原理与计算步骤
有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。
该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。
二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。
通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。
2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。
一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。
3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。
根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。
4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。
求解得到各个离散点的解。
5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。
将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。
三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。
2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。
3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。
然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。
2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。
有限元分析大作业
超静定梁的有限元分析本文分别通过材料力学解法和有限元解法，求出了超静定梁的支反力、最大位移及最大位移出现位置，并对两者进行了比较和误差分析。
一、超静定梁的材料力学解法梁的约束反力数目超过了有效平衡方程数，单纯使用静力平衡不能确定全部未知力的梁称为超静定梁。
超静定梁比静定梁有许多优点，如可用较少材料获得较大的刚度和强度，个别约束破坏后仍可工作等。
因而超静定梁在工程中得到较多的应用。
超静定梁的解法有很多种，本文采用力法的一种——变形比较法求解未知量。
图1图2选取C 点的支座为多余约束，Rc 为多余支座反力，则相应的基本静定梁为一外伸梁，如图2所示，其上受集中载荷P 、均布载荷q 和多余支座反力Rc 的作用。
相应的变形条件为：c cP cq cRc f f f f =++=其中316cP B Pl f l EI θ=⨯= 4724cq ql f EI =-323c cRc R l f EI =则316Pl EI 4724ql EI -+323c R l EI=0 将已知数据带入可求得 6.25c R =- 负号表示c R 的方向与假设的方向相反。
再列出平衡方程：0X =∑AX R =0A M =∑ 232022B C ql Pl R l R l ---=0C M =∑ 232022AY B ql PllR R l +--=带入已知条件求得：AX R = 393.75AY R = 812.5B R =用叠加法求最大位移：最大的向下位移在A 与B 两点中间：334410.7910481632C R l Pl ql f EI EI EI -=-++=-⨯最大的向上位移在B 与C 两点中间：3344213490.22525103248512C R l Pl ql f EI EI -=--=⨯二、超静定梁的有限元解法在ANSYS 平台上，求解超静定梁。
建模、单元划分、加载后结果如图3所示。
图3求解后可以通过图形和列表两种方式查看结果。
结构力学第七章计算超静定梁结构力学讲解
例7-1 用力法计算图7-5(a)所 (a) A
l
示单跨超静定梁的内力。EI为
"原结构"
2
常量。
(b) A
解： (1) n=1。
"基本体系"
(2) 选图7-5(b)为基本结构。 (c) A
(3) 列力法方程。
M1图 l
11 X1 1P 0
(4) 求 11、1P。利用图乘法 求 11 、1P ，为此应分别画出基 本结构在 X 1 =1及荷载P作用下
重点
荷载作用下的超静定结构计算。
§7-1 超静定结构的概述
1．超静定结构的概述
所谓超静定结构从机动分析来讲,不仅几何形状不变而且还有 多余联系,从受力分析来讲,其全部反力及内力单凭静力平衡条件 是无法确定的,还必须考虑结构的变形协调条件。
常见的超静定结构有超静定梁、超静定刚架、超静定桁架、
超静定拱，分别见图7-1(a)、(b)、(c)、(d)及超静定组合结构见图
零，并根据位移互等定理有δij = δji。 Δ ip表示基本结构由荷载引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移，称 为自由项，其值可能为正或负或零。由于式(15-2)在组成上具
有一定的规律，故称它为力法的典型方程。
典型方程中的系数及自由项的计算公式：
对于受弯杆件：
ii
2
M i ds EI
矩图可根据 M M1 X1 M 2 X 2 M n X n M P 叠加而得。
桁架中各杆的轴力可用 FN F N1 X1 F N2 X 2 F Nn X n FNP 而得。
§7-5 力法的计算步骤和示例
1. 力法的计算步骤
(1) 判断超静定次数n。 (2) 去掉原结构的多余联系，代之以多余未知力，得到一个静定 结构——基本结构。 (3) 根据变形协调条件，建立力法典型方程。 (4) 绘 M i、MP图(二力杆应求出 F Ni 、FNP值)，按照静定结构求 位移的方法，计算典型方程中所有系数及自由项。 (5) 解典型方程，求出多余未知力。 (6) 按静定结构分析方法，用叠加法或平衡条件求出原结构各杆 内力。
01-静定梁和超定结构知识点小结
第3章 静定梁和静定刚架（知识点小结）一、杆件内力分析方法1、内力分量轴力N F 是横截面上的应力沿截面法线方向的合力，一般以拉力为正，压力为负。
剪力S F 是横截面上的应力沿截面切线方向的合力，以绕截面处微段隔离体顺时针方向转动为正，反之为负。
弯矩M 是横截面上的应力对截面形心取矩的代数和，一般不规定正负号。
有时按习惯也可规定，在水平杆件中弯矩使杆件截面的下侧纤维受拉时为正，上侧受拉时为负。
2、截面法截面法是计算指定截面内力的基本方法，即沿指定截面假想将结构截开，切开后截面内力暴露为外力，取截面左侧（或右侧）作为隔离体，作隔离体受力图，建立平衡方程，从而可确定指定截面的内力。
由截面法可得截面上三个内力分量的运算规则如下：（1）轴力N F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面法线方向的投影代数和；（2）剪力S F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面切线方向的投影代数和；（3）弯矩M 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）对截面形心取矩的代数和。
3、内力图内力图表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形，包括M 图、S F 图和N F 图。
内力图用平行于杆轴线方向的坐标表示横截面位置（又称基线），用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标）表示相应截面的内力值。
轴力图、剪力图中，竖标正、负值分别画在杆件基线的两侧，要标明正负号；弯矩图画在杆件的受拉侧，不标正负。
内力图要画上竖标，标注某些控制截面处的竖标值，并写明图名和单位。
4、内力图的形状特征直杆段上内力图的形状特征归纳如表3-1所示。
熟练掌握内力图的这些形状特征，对于以后正确、迅速地绘制内力图、校核内力图是非常有帮助的。
5、区段叠加法作M图对承受横向荷载作用的任意结构中直杆段，都可采用区段叠加法作其弯矩图：先采用截面法求出该段两个杆端截面弯矩值并将其连以一虚线，然后以此虚线为基线，叠加相应简支梁在跨间相应荷载作用下的弯矩图，如图3-1所示。
有限差分法的原理与计算步骤
一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图。
超静定问题
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
5 第五章 静电场边值问题的解法之有限差分法
⑵超松弛迭代法
φ i(, kj + 1) = φ i(, kj ) + α
4
+ 1) ( k + 1) (k ) (k ) 2 (k ) [φ i(−k1, j + φ i , j − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh − 4φ i , j ]
式中：
α
——加速收敛因子 (1 < α < 2)
边界条件的离散化处理
其中
K = εa εb
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 3. 差分方程组的求解方法 4
⑴高斯——赛德尔迭代法
φ i(, kj + 1) =
1 ( k + 1) 1) (k ) (k ) 2 [φ i −1, j + φ i(, kj + − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh ] 4
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = Fh
2
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 4
ϕ0 =
1 (ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 ) 4
当场域中 ρ = 0，得到拉普拉斯方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = 0
差分格式为： 若场域离散为矩形网格，
有限差分 有限元 有限体积
有限差分有限元有限体积有限差分、有限元和有限体积是数值计算方法中常用的三种离散化方法。
它们的核心思想是将微分方程式转化为一系列有限的点上的代数方程式，将连续问题转化为离散问题。
一、有限差分法有限差分法是将微分方程的导数用差商来逼近的方法，用差商来代替微分运算。
用区间的两个端点上的函数值之差来代替区间内函数导数的平均值。
在连续的区间上进行近似，大大减小了计算量。
有限差分法是一种较为简单的数值解法，适用于规则网格的微分方程求解，被广泛应用在流体力学、结构力学、电场问题等领域中。
二、有限元法有限元法是将求解域分成若干个划分元，然后在每个单元内用多项式函数逼近问题的解，最终利用点、线、面元件的连接关系来求解整体问题的一种方法。
该方法可以处理复杂的几何形状和物理变化，适用于非常规的边界条件和材料特性，解决超过几百万自由度的三维大规模问题。
三、有限体积法有限体积法是将求解域分成若干个控制体，对质量、能量、动量等守恒量在各个控制体上进行积分，从而推导出控制体内分布的方程。
该方法以区域的体积分为基础，在各个控制体内求解守恒方程。
该方法适用于复杂的多组分、多相流动的领域以及非稳态或非线性问题。
无论是有限差分、有限元还是有限体积法，其核心思想都是通过把连续的微分方程式离散求解，从而转化为一系列有限的点上的代数方程式，解决了连续问题转化为离散问题的过程，从而通过离散求解代数方程式来得到问题的解。
这三种数值计算方法的应用使科学计算得以更加高效、精确地进行，对现代计算、科学技术的推进起到了巨大的贡献。
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程教育研究， ２０ （） ８￣８ ０ １２： ５ ７
２徐道远，黄孟 生等．材料 力学，南京：河海 大学 出版社， ２ ０ ０４
超静 定梁变形计算 的有 限差分法
叶金 铎 ）
（ 天津理工大 Ｃ Ｅ研究中 学 Ａ 心，天 ３ ０９ ） 津 ０ １１
摘 要 推 导 了 超静 定 梁变 形计 算 的 有 限 差 分方 程 ，研 究 了 边 界 条 件 ，编 制 了计 算 程 序 ， 计 算 了 超静 定 梁 的变 形 ． 文 中 工 作 扩 大 了有 限 差 分 法 的 应 用 范 围． 关 键 词 超 静 定 梁 ， 变 形 ，有 限差 分 法
维普资讯
第 ２ 期
叶 金铎 ： 静 定 梁 变 形 计 算 的 有 限 差 分 法 超
解除 多余约束 代 之 以多余 约束力作用
６ ７
第 ３步， 根据平衡条件求其它支座反力或 内力， 并作 Ｍ ，
图．如根据平衡方程可求得
１
＝ ， ＝ ＝
１８ ， １２： ７￣９ ９９ １（） ７ ，７ ＇
（）由文中 的计算公式可见，静定梁是超静定梁 的特殊 ２
情况．
４ 叶金铎． 梁变形的通用计算方法与程序设计． 天津冶金，１ ９（） ９ １４：
ｌ ５一 】 ８
身独立，通用性强，易于编程 的优 点，当分段数增加时计算 精 度较 高．用于变截面梁的变形计 算时不增加计算量．
参 考 文 献
ｌ 范 钦 珊 ．材 料 力学 计 算 机 分 析 ．北 京： 高 等 教 育 出版 社 ， １ ８ ９８ ２ 杨 大 地 ，涂 光裕 ． 数 值 分 析 ．重 庆 ： 重 庆 大 学 出 版 社 ， ２ ０ ０３ ３ 叶 金 铎 ．求 解 梁 变 形 的 一种 新方 法 一 固定 端 法 ．力 学 与 实 践 ，
选取基本 系的原则： （） １ 选取 的基本系应一般 为静定 的．此处可拓展一下思 维的空间，简单 介绍一下结构 力学 中选取超静定结构作为基 本系的情况．以此来激发学生学习力学 的兴趣．
（）问题式、探 索式教学； （） １ ２ 启发式教学； （） 时 ３适 地展开讨论． （） ４ 运用多媒体教学手段； （） ５ 将力学 系列课
ｌ
原超静 定粱 二 ＝＝＝
厂 荷载作用
静 定粱
ｌ
变 形协调条件
Ｉ
Ｌ 多余约束力作用
基 本 系
至此 ，用 变形 比较法求 解简单 超静 定梁 的步骤 已介绍 完， 但一个完整的教学 过程并未结束， 还应注意讨论、 总结， 留给学 生一 定的思维 空间与创新思路．
Ｊ ，
建 立 补 充 方 程
图 ４
３ 讨论 、总结 与创 新提 高
比较图 １ ） 图 １ｂ， ｌｄ 三种基本体系，选择图 （， ａ （） 图 （） １ａ， ｌｂ 基本系， （）图 （） 求解简单方便、 选择图 ｌｄ 基本系求 （）
解不方 便，当然若进 入结构力学 的学 习过程 中，其变形求解
１ － ａｌ ｊｎ ｕ ｙ ￣ｔｕ ． ｕｃ 、Ｅ ｍ ｉ ｉｄ ｏ ｅ ｊ ｔ ｄ ．ｎ ： ｅ
固定端截 面和支座处的边界条件为式 （） 式 （） 考 ４和 ５． 虑到 两点公式转 角为零 的条件过 于严格，式 （） ４ 中采用 了三
维普资讯
力 点公式 的零转角条件 ［ ， ２ 即 １
围．
∑ Ｍ ） ∑（ 一 （ ＝ ｚ ｚ ）
对于静定 梁式 （）中的第 ２项等于零． ２
（ ３ ）
１ 梁 的有 限差 分方程 和边 界条 件
按照数值计算 Ｓ－ 点公 式 ［ 和小变形 的弯矩 ．曲率关 ｊ ２ １
２ ０ ＿ 一 ４收到第 １稿， ２ ０ － ２ ２ ０ ６旬４ ｌ ０ ７ ０ － ２收到修改稿
表 １ 悬 臂 超 静 定梁 的计 算结 果
设梁 的超 静定次数 为 ｍ ，分段数 为 ｎ，未知数 的个数 包括 ｎ＋ １个位移和 ｍ ＋ ２个约束反力，未知数的总数 为
礼＋ ｍ ＋３个 ．需 要 补 充 方 程 的总 数 为 ｍ ＋ ４个 ，补 充 方程 与 梁 的形 式 有 关 ， 以连 续 梁 为 例 ， 边 界 条 件 为
是 没 有 问题 的． 而 选 择 图 ２作 为 基 本 系 则 是 错 误 的 ．
最后，留给学生一个课后思考题如下： 若解除跨 中截面 限制转动的约束，建立如图 ３所示的基
本系，其变 形协调条件如何寻找，补充方程 怎样建立． （ 跨
中截面 的弯矩也在第 ３步中给 出） 在本次教学活动中，主要体现 以下几个特 点：
Ａｘ ＝ Ｂ
（） ９
图 ２ 支 座 高 度 不 同 的 连 续 粱
求解式 （） 以求 出截面位移 和未知的约束反力．由式 （） ９可 ６
解：将梁 分成 ８段 ，结果见表 ２ ．由计算结果可见计算
误 差 已经 小 于 ５ ％．
表 ２ 连续 梁 的 计 算 结 果
３ 结 论
（） １ 有限差分法能够用于超静定梁 的变 形计 算，具有 自
程 相 关 内容 融 会 贯 通 ．
（） ２ 要求变形协调条件 易寻找， 补充方程易建立且简单．
即基本系在荷载及未知力作用 下，其变形可 以通过材料力学 教材中给 出的简单荷载作用下 梁的挠度和转角表查 出． 回顾讲授 内容，对变形 比较法解题思路如 图 ４所示．
参
考
文 献
１陈建康，刘成 云等．力学课程贯通式教学的探 索与实践．高等工
Ｙ ， Ｊ＝ ０ １ … ， ， ＋ １ Ｊ＝ ，， ｍ ｍ
（） ２ 设连续梁如 图 ２所示，试求梁 的支座反力和梁 的变
∑ ∑ ０ ㈣ ＋ ＝ Ｊ ）
ＭｏＦ） （ ＭｏＰ） （ ：。
。
形， 与 精 确 解 比较 ．
（． ＝ ；
式 中∑ ＲＥ ， Ｍ（ 和∑ Ｍ（ 分 是 动 ， Ｐ ∑ ｏ） ｊ Ｆ ｏ） 别 主 Ｐ
系 ，建 立 差 分 方 程 为
ｌ ｙ ＋Ｙ＋ ＝ ｈ 面 －２ ｉ ｉ ｌ ２ Ｍｉ
，
１２．－ｎ－１ ，，．， －
（） １
式中， Ｙ（ ＝ ｉ ，，＋１ 是待求的截面位移 ， ｎ是分段 ＪＪ 一１ｉ ｉ ）
数， ｈ是段长， ＥＩ是梁 的抗弯 刚度， 是截面弯矩 ，对 于超静定梁
（ ２ ）
定梁 的变 形．本文推 导了超静 定梁的有 限差分方程，研究 了
边 界 条 件 ，编 制 了在 ＶＢ 环 境 下 运 行 的计 算 程 序 ，将 有 限差
式 中第 １项为主动力对 ｉ 截面 的力矩，第 ２项为截面右侧未
分法用 于超静定梁 的变 形计算，扩大 了有 限差分法 的应用范
学
与
实
践
２ ０ 年 第 ２ 卷 ０７ ９
２ 算例
（） １ 设超静定梁 如图 １ 示， 所 求梁 中点 的位移和 Ｂ 处的
约束反力．
４ ｙｌ
一） Ｊ ＝
Ｙ２ ： ０
（） ５ 将式 （） ３ 代入式 （） ２ ，再一并代入式 （） １ 得
式中
是 ｉ 面右侧未知的支座反力．
用 有 限差 分 法 求 解 梁 的变 形 ，因 为要 预 先求 出梁 截 计 算，范钦珊 Ｌ ｌ 用有 限差 分
法 求 解 了简 支 梁 和 外 伸 梁 的变 形 ，用 矩 阵 位 移 法 求 解 了超 静
尬＝ 尬（） ∑ 尬（ ） ∑ ＋
知 支 座 反 力 对 ｉ 面 的力 矩 截