结构力学——静定多跨梁讲解

2. 在直线弯矩图的基础上，叠加内部荷载作用引 起的简支梁弯矩图，最终叠加结果就是所求弯 矩图，也就是原杆段的弯矩图。
以均布荷载为例：
MAB MAB
A
B
FQAB
FQBA
=
A RAY=FQAB
B R =F BY QBA
MBA MBA
=
MAB
A
弯
RAY1
矩
+
图
A
RAY2
B RBY1
MBA
B RBY2
（受力复杂，空间大）
刚架： 结构中的结点全部或部分是刚结点 ， 杆件 内力有轴力弯矩、剪力。
刚结点：汇交于刚结点的各杆不能发生相对转动(各 杆夹角保持不变)，可承受和传递弯矩。
• 内力符号规定：轴力FN，拉为正，压为负；剪 力FQ使截开部分产生顺时针旋转者为正，反之 为负；刚架中弯矩不规定正负号，弯矩图画在 杆件受拉纤维一侧。剪力图和轴力图可画在杆 件任意一侧，但必须标明正负号。
力的投影、分解和合成
理力、材力相关内容复习
FP
,
i



FP
,
j



FP
,
k



空间的情况
FPx FP cos FPy FP cos

FPz

FP
cos


FPx FPxi
FPy FPy j
z FPz
A
B
FP F Px
FPz
B
的支座反力。
M
q
B
Fx FAx 0
MB 0
A FAx
FAy ql / 2 M / l
FAy
FBy l
MA 0
FBy ql / 2 M / l
理力、材力相关内容复习
外伸梁AB受图示荷载作用，试求A、B
的支座反力。
q
M
Fx FAx 0
A FAx
C
B l
平面的情况
FP
,
i



FP
,
j



2


y
FPx FP cos
B
FPy
FPy
FP
A A FPx
A FPx
B FPy FP sin
FPx FPxi FPy FPy j
B x
FP

FPx

FPy

FPxi FPy j
FPy


FPz

FPz
k
FP

FPx

FPy

FPz

x
FPxi FPy j FPzk
y
FPx
B
A FPy
力的投影、分解和合成
已知：FP=100 kN，AB的倾角为30o。 试求图示力在坐标轴上的投影。如果 倾角为210o，投影又为多少？
y
BB FPx 100 kN cos 30o
刚体上一个力系的等效平移
理力、材力相关内容复习
y 坐标单位 m
FP1



FP1 10 2 kN (FP1, i ) 450
2(6,6) FP2


FP3 FP2 12 kN (FP2, i ) 00
1(0,4) O1(6,4)
O
3(12,0)


x FP3 24 kN (FP3, i ) 900
R
力系的平衡条件为
A
如果 MA 0
M
主矢 R 在OA线上
BO 三矩式
如果B不在OA线上
MB 0 则主矢R 0 主矩 M MO 0
平面任意力系对O简化的结果得主矢和主矩
刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习
简支梁AB受图示荷载作用，试求A、B
的支座反力。
• 求内力的方法 — 截面法：用假想截面将杆截开， 以截开后受力简单部分为平衡对象，由平衡条 件求得内力。
l
B
Fy 0 FAy ql FAy
MA 0
M A ql2 / 2 M
理力、材力相关内容复习
定向支座梁AB受图示荷载作用，试求A、
B的支座反力。
M
MA
q
A
Fx FAx 0 FAx
M A ql2 / 2 M
l
M A ql 2 / 2 M FByl M A 0
FAy ql / 2 M / l FAy
FBy
MB ql2 / 2 M FAyl 0 FBy ql / 2 M / l M A ql2 / 2 M FByl 0
理力、材力相关内容复习
悬臂梁AB受图示荷载作用，试求A的支
座反力。
MA
q
M
Fx FAx 0 FAx A
B
FP1
FP FP1 FP2

FP1x
i

FP1 y
j
FP2 xi
FP2 y
j
x

( FP1x

FP2 x
)i
(FP1y FP2 y ) j
2. 力对点的矩，合力矩定理
理力、材力相关内容复习

平面的情况 FP FPiAB iAB AB / AB
静定平面刚架(frame)
悬臂刚架
静
定
A
D
刚
简支刚架
架
B
C
三铰刚架
D
E
刚架--具有刚结点的由 直杆组成的结构。
有基、附关系的刚架
超静定刚架
一个多余约束
三个多余约束
刚结点处的 变形特点
保持角度不变
平面刚架受力分析
结构特点：
PB
C
PB
C
A
D
B、C—铰结点
（受力简单，空间小 ）
A
D
B、C —刚结点
q
M B FRl / 2 FAyl
B
l
FAy
FBy
利用合力矩定理
3. 刚体上一个力的等效平移
理力、材力相关内容复习
平面的情况

y
CFP B
A
FP FPiAB iAB AB / AB
力偶臂为 AC 力偶矩 M 为
M A
FP AC
B
FP
力偶对任意一点 O 的矩
Ox
组 成 例 子
F2 F1
F2
F1
分析顺序：先附属部分，后基本部分。 荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属 部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本 部分也受力。
例
18
叠层关系图
先附属，后基本，区段叠加
10
10 5
12
例
例：图示多跨静定梁全长受均布荷载 q，各跨长度均为 l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确 定铰 B、E 的位置。
dM dx

FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用
情况
(q向下)
集中力作用
处(FP向下)
偶M作 用处
铰处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突
变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 弯矩图 为斜 线( 极
直线 下凸) 值
结构力学
傅向荣
第三章 静定结构的 受力分析
3-1 梁的内力计算 的回顾
主要内容
1. 力的投影、分解和合成 2. 力对点的矩，合力矩定理 3. 刚体上一个力的等效平移 4. 刚体上一个力系的平衡条件 5. 截面法 6. 平衡微分关系 7. 分段叠加法作内力图
1. 力的投影、分解和合成
理力、材力相关内容复习
M
q
Fx FAx 0 FAx A
B
l
FAy ql / 2 M / l FAy
FBy
MB ql2 / 2 M FAyl 0 FBy ql / 2 M / l M A ql2 / 2 M FByl 0
理力、材力相关内容复习
简支梁AB受图示荷载作用，试求A、B
y

FPy
CFP
A
E
B FPx
D O
x
力臂为OC FP对O点的矩为
FP OC
FPx OD FPy OE
合力矩定理
力对点的矩，合力矩定理
理力、材力相关内容复习
简支梁AB受满跨均布荷载q，以AB为隔
离体，求全部外力对A、B的矩。
A FAx
l 2
FR ql M A FR l / 2 FByl
关键在正确区分基本部分和 附属部分
熟练掌握截面法求控制截面 弯矩
熟练掌握区段叠加法作单跨 梁内力图
多跨静定基梁本实部分例--不依赖其它
附属部分--依赖基本 部分而能独立地维持其 部分的存在才维持几 几何不变性的部分。 何不变的部分。
多跨静定梁简图
基、附关系层叠图
组成 多跨 静定 梁的 部件
请画出叠层关系图
主矢R的投影为：(22,34) kN
主矩M为：(10×6+12×2-24×6) kN·m,顺时针
已知力系如图所示，试求对O1简化的结果
4. 刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习
R
力系的平衡条件为

主矢 R 0
M
O
也即 Fx 0
Fy 0
一矩式
主矩 M 0
平面任意力系对O简化的结果得主矢和主矩
MAB
A RAY1
B RBY1
MBA
由 MB 0 得 RAY1 (M BA M AB ) / lAB
由 M A 0 得 RBY1 (M BA M AB ) / lAB
注意：1. 为什么两端支座反力（剪力）计算公式一致？ 2. 杆端弯矩如规定正负号，怎样更合理？
A
B
FP
M
O
作用效果O等价
O
要平移的力 平移到的点
FP
等值反向平行 力构成力偶M
O处加等值反向一对力
刚体上一个力的等效平移
理力、材力相关内容复习

FP 结果得到什么？
FP
最终得到什么？
M
作用效果等价
O
O
一汇交力系
要平移的力 平移到的点
和力偶系 等值反向平行 主矢和主矩 力构成力偶M
力系中每一个力都对O做等效平移
RAY2
RBY2
由 MB 0 得
1 RAY2 2 ql
由 M A 0
得
1 RBY 2 2 ql
注意：1. 为什么两端支座反力（剪力）计算公式反号？
2. 如果为悬臂梁，须特殊讨论吗？
第三章 静定结构的 受力分析
3-2 静定多跨梁
多跨静定梁
(multi-span statically determinate beam)
FBy ql FBy
MC 0 MC
截面法求指定C截面内力
6. 平衡微分关系
理力、材力相关内容复习
M A ql 2 / 2
MA
A
FAx
x
FAx pl
切、取、代
q
M(x) M dM
B qdx
pdx
Cp l
FN ( x) FQ ( x)
FN dFN FQ dFQ
多跨 简支梁
例：作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。
1m
4m
4m
4m
1m
作图示多跨静定梁的内力图。
作业 2-9
如何 求支座 B反力?
作业：3-1(a),(d),(f),(h) 3-2 (a),(b),(c),(d) 3-5 (a),(b)
第三章 静定结构的 受力分析
3-3 静定平面刚架
刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习
R
力系的平衡条件为
A
x
M
如果 Fx 0 主矢 R 垂直 x-x 轴
O
x
二矩式
如果 OA 不垂直x轴
M A 0 则主矢R 0 主矩 M MO 0
平面任意力系对O简化的结果得主矢和主矩
刚体上一个力系的平衡条件
理力、材力相关内容复习
FBy ql FBy
dx
平：
Fx

0
dFN dx

p(x)
Fy

0

dFQ dx

q( x)
MC

0
dM dx

FQ
平衡微分关系
FP
直杆微分关系
dM dx

FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
有尖 角(向 下）
有 有突变 极 （突变 为零 值 值=M）
7. 分段叠加法作内力图
弯矩的分段叠加法
条件：1. 两端弯矩已知 2. 段内荷载已知 3. 两端剪力未知
求解：1. 叠加法做弯矩图 2. 由弯矩图和段内荷载求两端剪力 3. 做剪力图
叠加法的步骤为：
1. 首先确定杆端弯矩和控制截面弯矩，根据两端 截面上的弯矩做弯矩轮廓图，此时，弯矩图为 直线。
AA
FFPP
50 3 kN
FPy 100 kNsin 30o
x 50 kN



已知：FP FP1 FP2 , FP1 FP1xi FP1y j
FP2 FP2xi FP2 y j
试求图示合力在坐标轴上的投影。

y A
C
FP2
FP
B
FBy
FBy ql
Fy ql FBy 0
5. 截面法
理力、材力相关内容复习
M A ql 2 / 2 M M
MA
q
A
FAx
FAx 0
xC l
M
B
C
切、取
B
M
FBy ql FBy
FBy ql FBy
MC
FNC
C
FQC
代
平： Fx 0 FNC
B
Fy 0 FQC
都是 FP AC
力偶与力偶矩
理力、材力相关内容复习
简支梁AB受图示荷载作用，以AB为隔
离体，求全部外力对A、B的矩。
M
q
A
B
FAx l
FAy
FBy
M A ql 2 / 2 M FByl
MB ql 2 / 2 M FAyl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
理力、材力相关内容复习
FP

FP

FP