导学案001集合的概念及运算
高三上学期数学第一轮复习《 集合的概念及其运算》导学案(1)
集合的概念及其运算导学案（1）课题：集合的概念及其运算编写：审核：时间：一、教学目的：1、了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．教学重点：1、集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；2、区别元素与集合等概念及其符号表示；3、子集、真子集的概念。
教学难点：1、 元素与子集，属于与包含间的区别；2、 空集是任何非空集合的真子集的理解二、问题导学1、 用适当的符号（),,,,⊃⊂=∉∈填空：{}{}{}.,12___,12;___;____14.3;___*z k k x x Z k k x x N N Q Q ∈-=∈+=π2、 用描述法表示下列集合：（1）由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合； .（2）{}49,36,25,16,9,4,1,0------- .3、 集合A={}c b a ,,的子集个数为_____________,真子集个数为 .4、 若,B B A = 则A____B; 若A B=B,则A______B; A B_____A B.5、 已知集合A={}a ,3,1,B={}1,12+-a a ，且B ⊆A,则a =_________________. 6、 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系是___. 三、问题探究例1．集合中元素的特性：已知集合2{2,2},A a a a =++若3A ∈，求a 的值例2．集合间的特殊关系：已知集合{|026},A x ax =<+≤{|124}B x x =-<≤。
（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）,A B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由【总结】1.解题时要特别关注集合中元素的三个特性，特别是互异性，要进行解题后的检验。
【高考数学导学案】第01讲 集合的概念与运算(解析版)
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B (或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A} 知识梳理考点探究考点1 集合的含义及表示【例1】设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．无数个【解析】依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．【例2】设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.【例3】(多选)已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2【解析】因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.【例4】已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 【解析】由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.【答案】－32【名师点拨】与集合中元素有关问题的求解策略考点2 集合间的基本关系【例】(1)(2021·八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N )＝( ) A ．∅ B ．M C ．ND ．R(2)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.【答案】 (1)B (2)C【名师点拨】题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论． 【变式训练】1．(多选)已知集合M ＝{x |x <2}，N ＝{x |x 2－x <0}，则下列正确的是( )A ．M ∪N ＝RB ．N ⊆MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝N【解析】因为N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，则N ⊆M ，故BD 正确． 2．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16【解析】方法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 【解析】由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.考点3 集合间的基本运算角度一集合的运算【例】(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2，3} B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}(2)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则()A．M∪N＝{x|－3≤x<4}B．M∩N＝{x|－2≤x<4}C．(∁U M)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D．M∩(∁U N)＝(－3，－2)【解析】(1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁U M＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M)∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁U N＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁U N)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.【答案】(1)A(2)BC角度二利用集合的运算求参数【例】(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D【名师点拨】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【变式训练】 1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}【解析】∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C ，则C ＝(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |a －2<x <a }，若A ∩B ＝{x |－1<x <0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1，2)B ．(0，2)C ．(－2，1)D ．(－2，2)【解析】由x 2－x －2<0得－1<x <2，即A ＝{x |－1<x <2}．因为B ＝{x |a －2<x <a }，A ∩B ＝{x |－1<x <0}，所以a ＝0，所以B ＝{x |－2<x <0}，所以A ∪B ＝(－2，2)，故选D.考点4 集合中的新定义问题【例】(1)定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9(2)(多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0，1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. (2)当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知A 正确；当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确；当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确． 【答案】 (1)B (2)AD【变式训练】1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31【解析】因为x ∈A ，且1x ∈A ，所以－1∈A ，2∈A 且12∈A ，所以集合M 的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，共3个．故选B.2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．【解析】由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}， 又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．。
导学案001集合的概念及运算
集合的概念及运算考纲要求（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.考情分析1.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题；2.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现；3.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1、2题.教学过程基础梳理1、集合的含义与表示（1）、一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合；（2）、集合中的元素有三个性质：确定性，无序性，互异性；（3）、集合中的元素与集合的关系属于和不属于，分别用和表示；（4）、几个常用的集合表示法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示法2、集合间的基本关系表示 关系 文字语言符号语言相等 集合A 与集合B 中的所有元素相同A= B 子集 A 中任意元素均为B 中元素AB真子集A 中任意元素均为B 中元素，且B 中至少有一个元素不属于A A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集φ3、集合的基本运算 交集 并集 补集 符号表示 图形表示 意义4、 常用结论 （1）、集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有 个； 真子集有 个； （2）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （3）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （4）);()(B A B A ⋃⊆⋂（5）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；（6）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。
1.1集合的概念与运算导学案
导学案：1.1集合的概念与运算一、知识清单1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A含于B(或B包含 A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅含于B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 号4.集合的运算性质并集的性质：A∪φ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩φ＝φ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.例1：（1）已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10（2）设a ，b ∈R ，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，则b －a ＝________. 变式：（1）若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.（2）现有三个实数的集合，既可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可以表示为{}0,,2b a a +，则=+62016201b a ________.（3）已知集合},4,12,3{2---=a a a M 且,3M ∈- 求实数a 的取值集合．题型二 集合的基本运算例2：（1）若集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=<-=0312,312x x x B x x A ，则=B A ( ) A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<<-32211x x x 或 B ．{}32<<x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211x x （2）已知全集为R ，集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=121x x A ，{}0862≤+-=x x x B ，则A ∩(∁R B )=( ) A ．{}0≤x x B ．{}42≤≤x x C ．{}420><≤x x x 或 D ．{}420≥≤<x x x 或 变式：（1）设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝φ，则m 的值是________．（2）高三某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的有________人.例3：(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)定义集合：(){}B y A x y x xy z z B A ∈∈+==*,,，设{}{}4,3,2,1==B A ，则集合B A *所有元素之积为________.(3)已知集合{}72≤≤-=x x A ，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．变式：(1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个(2)已知集合{}2log 2≤=x x A ，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.(3)设集合{}{}R x a x x x B R x x x x A ∈=+-=∈=+-=,04,,02322，若A B A = ，求实数a 的取值范围.高考链接1.(2013广东理) 设集合{}R x x x x M ∈=+=,022,{}R x x x x N ∈=-=,022,则=N M ( )A ．{}0B ．{}2,0C ．{}0,2-D ．{}2,0,2- 2.(2014全国1卷) 设集合{}[]{}2,0,2,21∈==<-=x y y B x x A x ，则=B A ( )A ．[]2,0B ．()3,1C ．[)3,1D ．()4,1三、训练提升1．已知集合},1|{>=x x A ,3log 2=a 则下列关系中正确的是( )A ．A a ⊆B ．A a ∉C ．A a ∈}{D ．A a ⊆}{2．已知全集,Z U = 则正确表示集合},12|{Z k k x x M ∈+==和},2|{Z k k x x N ∈+==关系的韦恩(Venn)图是( )A ．B ．C ．D ．3．已知全集},4,3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{=A },4,2{=B 则=B A U )C (( )A ．}4,2,1{B ．}4,3,2{C ．}4,2,0{D ．}4,3,2,0{4．已知集合},02|{2≤--=x x x A },01|{<-=x x B 则=)C (B A R ( )A ．}1|{>x xB ．}1|{≥x xC ．}21|{≤<x xD ．}21|{≤≤x x5．已知集合},5,4,3,2,1{=A },,,),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．106．设,,R b a ∈集合},,,0{},,1{b ab a b a =+则=-2121a b ( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-二、填空题7．设集合},Z 36|{∈-∈=xN x A },,,3|),{(N y N x y x y x B ∈∈=+=则用列举法表 示=A __________, =B __________.8．设全集},50|{≤<∈=x N x U },2{=B A },1{)(=B C A U },5,3{)()(=B C A C U U 则集合=A __________, =B __________.9．已知集合},1|{xy y A ==},|{2x y y B ==则=B A __________. 10.已知集合},012|{2=--∈=x ax R x A },|{x y x B ==且,∅=B A 求实数a 的取值范围．。
《集合》导学案
1.1.1 集合的含义及其表示方法（1）步骤一：自主探究（一）、预习目标：初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法 （二）、预习内容：阅读教材填空：1 、元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。
集合：把一些元素组成的总体叫做集合。
（简称为集）2、集合与元素的表示：集合通常用 来表示，它们的元素通常 用 来表示。
3、元素与集合的关系：如果a 是集合A 的元素，就说 ，记作 ，读作 。
如果a 不是集合A 的元素，就说 ，记作 ，读作 。
4.常用的数集及其记号：（1）自然数集： ，记作 。
（2）正整数集： ，记作 。
（3）整 数 集： ，记作 。
（4）有理数集： ，记作 。
（5）实 数 集： ，记作 。
步骤二:知识整合、能力提升一．考点突破考点一：集合元素的三特性——确定性、互异性、无序性 【问题1】①高一（1）班的所有女生能不能构成一个集合吗？②高一（3）班上身高在1.75米以上的男生能构成一个集合吗？ ③世界上最高的山能不能构成一个集合？ ④世界上的高山能不能构成一个集合？⑤实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑥由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？ ⑦⑧⑨⑩【问题2】下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 变式训练11.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工 考点二：元素与集合的 关系——属于、不属于 【问题1】下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a ∉NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则R a ∈3变式训练2判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×” (1)所有在N 中的元素都在N *中（ ） (2)所有在N 中的元素都在Ｚ中( ) (3)所有不在N *中的数都不在Z 中（ ） (4)所有不在Q 中的实数都在R 中（ ）(5)由既在R 中又在N *中的数组成的集合中一定包含数0（ ） (6)不在N 中的数不能使方程4x ＝8成立（ ）二、当堂检测1、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。
1.1集合的概念(导学案)——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1.1集合的概念导学案[学习目标]1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．[学习重点]集合的含义[学习难点] 元素与集合的关系[学习过程]情境引入：2020年全国两会即中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第三次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第三次会议(简称2020年全国两会)于2020年5月21日至5月28日在北京召开．问题：2020年全国两会的参会代表能否构成一个集合?_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________新知梳理：1．元素与集合的概念《集合中元素的三个特性是解决集合问题的关键》（1）一般地，我们把研究对象统称为___________，把一些元素组成的总体叫做_____________（简称为集）．（2）集合中元素的特性：____________、___________、______________．（3）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是____________的．2．元素与集合的关系《在a∈A与a A这两种情况中有且只有一种成立》（1）列举法《列举法对有限集情有独钟，但自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集》把集合的所有元素___________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．（2）描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有__________的元素x所组成的集合表示为___________，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P（x）}或{x∈A；P（x）}．知识达标测：判断1．漂亮的花可以组成集合．（）2．由方程x2－4=0和x－2=0的根组成的集合中有3个元素．（）3．元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的．（）填空1．用符号“∈”或“”填空．（1）若A={x|x2=x}，则－1___________A；（2）若C={x∈N|1≤x≤10}，则8_________C，9.1___________C．解答2．试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）由方程x（x2－2x－3）=0的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________思考1．设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系?如何用数学语言表示?_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合?集合元素确定性的含义是什么?_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________题型剖析题型一集合概念的理解【例1】考察下列每组对象能否构成一个集合：《集合中的元素具有确定性》（1）不超过20的非负数；（2）方程x2－9=0在实数范围内的解；（3）某校2019年在校的所有矮个子同学；（4_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．【跟踪训练1】（1）下列给出的对象中能构成集合的是（）A．著名物理家B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数（2）下列各组对象可以构成集合的是（）A．数学必修第一册课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数题型二集合中元素的性质及应用《元素与集合的关系用“∈”或“”表示》【例2】（1）给出下列关系：①1R2∈；②|－3|N；③|3|Q∈；④0N．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）已知集合A是由a－2，2a2+5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点（1）策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验．（2）注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．【跟踪训练2】（1）设集合M是由不小于a=确的是（）A．a∈M B．a M C．a=M D．a≠M（2）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________题型三集合的表示方法【例3】用适当的方法表示下列集合：（1）方程x（x2+2x+1）=0的解集；（2）在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；（3）不等式x－2>6的解的集合；（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；（5）方程组3,5x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集．_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________规律方法（1）一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．（2）方程（或方程组）的解的个数较少，因此方程（或方程组）的解集一般用列举法表示；不等式（或不等式组）的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．【跟踪训练3】（1）下列集合中，不同于另外三个集合的是（）A．{x|x－1} B．{y|（y－1）2=0} C．{x－1} D．{1}（2）有下面六种表示方法①{x=－1，y=2}；②1,(,)2xx yy⎧⎫=-⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭；③{－1，2}；④（－1，2）；⑤{（－1，2）}；⑥{x，y|x=－1或y=2}．其中，能正确表示方程组20,30x yx y+=⎧⎨-+=⎩的解集的是______________．（填序号）。
集合的概念导学案1 高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
《1.1集合的概念》导学案姓名小组第组【学习目标】1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系。
2.了解集合中元素的确定性、互异性和无序性。
3.能用列举法和描述法表示对应的集合，并能做到表述方法的转换。
4.知道常用数集及其专用记号。
【自主学习】导问引领，新知生成：阅读课本，回答下列问题：在小学和初中，我们已经接触过一些集合，如：（我们称这样的集合为数集），（我们称它为点集），其实随着我们研究对象的广泛，还会有很多对象构成的集合。
看下面的例子：（1）1~10之间的所有偶数；（2）高一（2）班的所有同学；（3）所有三角形；（4）到A(1,0),B(-1,0)距离和等于4的所有点；（5）中国古代的四大发明；（6）方程x2−3x−2=0的所有实数根。
问题1：上述几个例子中的对象是否能构成集合，元素分别是什么？（1）集合的含义一般地，我们把统称为元素（element），把一些元素组成的叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的 .思议探究，新知升华：问题2 我们把上述（2）改成“高一（2）班头发长的同学”还能构成一个集合？由此说明什么？问题3 高一（2）班的全体同学组成的集合A，与调整座位后组成的集合B有没有变化？由此说明什么？问题4 :方程(x−1)(x2−3x+2)=0 的解构成的集合有1,2,1这三个元素，这种说法正确吗？由此说明什么？总结：集合中元素的特性：，，。
问题5：问题3中集合A、B的关系如何？（3）集合相等：两个集合中，元素，则称两集合相等。
问题6 ：用A表示高一(2)班全体学生组成的集合，用a表示高一(2)班的某一位同学，b表示高一(1)班的某一位同学，那么a，b与集合A分别有什么关系?（4）元素与集合的关系如果a是集合A中的元素，就说a 集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 .（5）常用数集及其记法：非负整数（自然数集）、正整数集、整数集、有理数集、实数集 .前面，我们都是用自然语言描述一个集合，除此之外，我们还可以用什么方法表示集合呢？（6）集合的表示方法思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？思考2:方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？1.列举法把集合的元素所有元素，并用“”括起来表示集合的方法叫做列举法。
高中必修第一册《1.1 集合的概念》名师优质课导学案
第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.掌握集合的三种表示方法，常用数集及其专用符号,集合的三个基本特征.1.集合的含义与表示方法，元素与集合的关系；2.选择恰当的方法表示一些简单的集合一、集合的基本概念1．元素与集合的概念(1)把统称为，通常用 ________表示．(2)把叫做 (简称为集)，通常用 ______ 表示．2．集合中元素三个特征：、____________、___________3、集合相等_____________________________________________________4．元素与集合的关系：(1)如果a.是集合A的元素，就说a A(2)如果a不是集合A的元素，就说a A5．常用的数集及其符号表示：非负整数集（自然数集）____________________________记作__________正整数集__________________________________________记作__________整数集____________________________________________记作__________有理数集__________________________________________记作_________实数集____________________________________________记作__________二、集合的表示方法1、列举法：将集合的元素出来，并置于花括号“{__}”内．元素之间要用分隔，列举时与无关．2．描述法：将集合的所有元素表示出来，写成{x|φ(x)}的形式探究一、集合的含义1.考察下列问题：（1）（1）1～20以内的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；（4）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点;（5）方程0232=+-x x 的所有实数根；（6）地球上的四大洋。
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集合的概念及运算考纲要求（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（V enn）图表达集合的关系及运算.考情分析1.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题；2.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现；3.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1、2题.教学过程基础梳理1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa∈；若b不是集合A的元素，记作Ab∉；（2）集合中的元素必须满足、、。
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，与顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或韦恩图法；列举法：把集合中的元素出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作。
2．集合的包含关系：（1）集合A的，则称A是B的子集，记作A⊆B；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
若，则称A等于B，记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）A⊆A；2）Φ⊆A；3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，A⊆S，则，C= 称S中子集A的补集；S（3）简单性质：1）C(S C A)=；2）S C S=Φ，ΦS C=S。
S4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A 与B的交集。
交集}BA∈∈x⋂且。
=|{BxxA（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
}∈A∈=B⋃或并集。
x|{BAxx注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”。
5．集合的简单性质：（1）;,,ABBAAAAA⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂（2）;,ABBAAA⋃=⋃=Φ⋃（3）);()(BABA⋃⊆⋂（4）BBABAABABA=⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；（5）SC（A∩B）=（S C A）∪（S C B），S C（A∪B）=（S C A）∩（S C B）。
双基自测1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )．A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3}C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}2、已知不等式组210360xx->⎧⎨-≤⎩的解集为,A U R=,则ð______A=3、(2011·浙江)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )．A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P4、已知集合[1,4),(,)A B a==-∞，若A B A=,则实数a的取值范围是________ 5、对于集合M、N定义{(,)|,},{1,2},{3,4,5}M N a b a A b B M N⨯=∈∈==若，则{____________________________________}.M N⨯=典例分析考点一、元素与集合[例1](2010·江苏高考)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．[例2](2010·福建高考)对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎨⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b ，时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i变式1。
1．(2012·北京东城区模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．7D ．6：解决元素与集合的关系问题，首先要正确理解集合的有关概念，元素属不属于集合，关键就看这个元素是否符合集合中代表元素的特性. 考点二、集合间的基本关系[例3] (2011·浙江高考)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则 （ ）A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P[例4]已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．变式2(2011·江苏)设集合A ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ m2≤x －22＋y 2≤m 2，⎭⎬⎫x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R}．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．：1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．考点三、集合的基本运算[例5] (2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于 ( )A．M∪N B．M∩NC．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)变式3.将例5中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M的个数．[例6](2011·湖北高考)已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝{y|y＝1x，x＞2}，则∁U P＝()A．[12，＋∞) B．(0，12)C．(0，＋∞) D．(－∞，0]∪[12，＋∞)变式4.(2012·鞍山模拟)集合A＝{1,3，x}，集合B＝{x2,1}且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x值的个数是 ( )A．1 B．2C．3 D．4：集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合，然后用数轴图示法求解．考题范例(2011·广东高考)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[巧妙运用]圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝22<1，因此，直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交，有两个交点，因此，A∩B的元素个数为2.一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．本节检测1、设A 、B 两个集合，下列四个命题：①,A B x R x B ⊆⇔∀∈∉有；②A B A B ⊆⇔=∅ ； ③;A B A B ⊆⇔⊇ ④,A B x A x B ⇔∈∉存在使得Ø. 其中真命题的序号是（把符合要求的命题序号都填上）.2、满足{}{}1,31,3,5A ⋃=的集合A 有_________个3、定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ ，设集合{0,1},{A B ==，集合A B 的所有元素之和为 .4、若{}{}1,2,3,4,5,0,2,3P Q ==，且定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且则()()__________P Q Q P -⋃-=5. (2011·浙江)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )． A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P6. (2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)自我反思：。