5变形能与位移变分方程
(整理)第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理(16K)
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。
自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。
有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。
有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。
变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。
本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。
在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。
第五章差分法和变分法解决平面问题
(f)
第五章
用差分法和变分法解平面问题
边界条件
再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边
界任一点B，得
B Φ Φ ( ) B ( ) A f x ds, A y y (g) B Φ Φ ( ) B ( ) A f y ds. A x x 式( f )、(g)分别是应力边界条件的微分、积 分形式。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 ΦB
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
、 Φ ) (
y
值，然后再求出边
B
界外一行虚结点的 Φ 值。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
Φ Φ 然后计算边界上各结点的Φ 、x 、 y ；
Φ Φ ， ΦA ( ) A ( ) A 0 x y
（2）由边界结点的
Φ Φ 、 值，求出边界 x y
外一行虚结点的 Φ 值；
第五章
用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
y
y
第五章
用差分法和变分法解平面问题
由于 ( T ) 2 T
y
10
T0 所以得 , 2h
这时，边界点2的 T2 是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 T1 0 值，可将式（e）代入。
T1 0 T0
2h( q y ) 2
.
(e)
第五章
用差分法和变分法解平面问题
变分法
他们本身是弹性体各点的函数,U这样的 积分依赖于这些函数取得不同的数值,这样的 积分通常称为泛函.一般的函数只依赖于自变 量的值.
13
§10-2 位移变分方程与极小势能原理
一 变分及其性质
高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的 增量。那么什么是变分呢？变分是函数的增量，通 常用δ表示。变分具有以下的性质：
1
第十章
能量原理与变分法
§10-1 弹性体的变形比能与形变势能 §10-2 位移变分方程与极小势能原理 §10-3 位移变分法
§10-4 应力变分方程与应力变分方法
1
§10-1 弹性体的变形比能与形变势能
一 变形比能 在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力 分量 x , y, z , yz , zx , xy 。根据能量守恒定理，形变 势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于 应力及形变的最终大小。从而有弹性体的形变势能密 度或比能： 1 x x y y z z yz yz zx zx xy xy 2 ij 1 ij d ij ij ij 或 0 2 比能用应力分量表示
U Xu Yv Zwdxdydz X u Yv Zw dS
这个方程就是所谓位移变分方程。其中X,Y,Z为体力分 量，X , Y , Z 为面力分量。
7
虚功方程
在给定体力、面力和约束情况下， 如果找到两种状态:
第一种状态：在给定的体力 fi和面力 X i 已知（找到）可能应力状态ij(k1)，在V内：
则 We=Wi
虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。 虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种 为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。
弹性力学—第五章—变分法
弹性体的形变势能
弹性体的形变势能
由上式可知，弹性体的形变势能大于等于零，试证 明之。
弹性体的外力势能
外力所做的功称为外力功：
体力
面力作用面
面力
由于外力做了功，因此消耗了外力势能，则弹性体的外力 势能为：
位移变分方程
现在我们来考察，由于弹性体发生了虚位移 和 引起的外力功，外力势能和形变势能的改变： ，所
瑞 利 - 里 茨 法 （ J.W. Rayleigh ， 1842-1919 ， 英 国 ; W. Ritz ， 1878-1909，瑞士。)
位移变分法例题（a-1）
设有宽度为 a 高度为 b 的矩形薄板， 在左边受连杆支撑，在右边及上边 分别受有均布压力q1及q2，不计体力， 试求薄板的位移。
位移变分法（2）
Am，Bm为互不依赖的2m个待定系数，用反映位移的变化， 即位移的变分是由Am，Bm的变分来实现：
形变势能的变分：
位移变分法（3）
代入位移变分方程：
按每个系数的变分合并：
位移变分法（4）
由于形变势能U是Am，Bm的二次函数，故上式是各系数的一次方 程。又因为各系数是互不依赖的，因此由上式可确定各系数。不 多的Am，Bm可以求得较精确的位移值，但应力却很不精确。
虚功方程
如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那 么在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的功就等 于应力在虚应变上所做的虚功。
位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）等 价于平衡微分方程和应力边界条件，或者说可以代 替平衡微分方程和应力边界条件。
练习
已知右图中杆件中的纵向位移u 与横向向位移v之间的关系如下： y x l
增量
称为函数
的变分。
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。
本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。
在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。
由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。
（1）力的平衡方程0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1） 式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。
（2）应变位移关系式（几何关系）)(21,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系）kl ijkl ij a ε=σ （5-3）kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。
（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即u S S S +=σ （5-4）在力的边界σS 上，i j ij T n =σ （5-5）式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。
弹性力学-05(变分法)
微分提法解法（1）平衡微分方程,=+j i ij X σ（2）几何方程)(21,,i j j i ij u u +=ε（3）物理方程[]ij kk ij ij Eδμσσμε−+=)1(1（4）边界条件ji ij X n =σii u u =定解问题求解方法（1）按位移求解（平衡微分方程（2）按应力求解（（（（（求解联立的微分方程组求解特点：（解析解微小单元平衡变形材料性质§5-4 弹性体的形变势能和外力势能变分提法解法基本思想：所有可能的解求解线性方程组整个弹性系统能量关系变分方程在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题能量法（a ）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。
（b ）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。
（c ）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。
——位移法——力法有限单元法边界元法离散元法数值解法求解方法数值解法基本思想：导数差分求解线性方程组实质：变量离散变分方程区域离散单元可能解求解大型的线性方程组有限单元法边界单元法离散单元法1. 形变势能的一般表达式Px单向拉伸：1形变势能（）U 11l l A P Δ11比能三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ次序无关形变比能y y x x εσεσ111++yz yz zx zx τγτγ++1形变势能：2. 形变势能的应变分量表示)(12x y y E μεεμσ+−=)(12y x x E μεεμσ+−=xy xyE γμτ)1(2+=22212122(1)2xy x y xy E U μεεμεεγμ−⎡⎤=+++⎢⎥−⎣⎦2x y x y εεμεε+++⎢111表明：3. 形变势能的位移分量表示222121()()2()2(1)2E u v u v u v U x y x y x y μμμ⎡⎤∂∂∂∂−∂∂=++++⎢⎥−∂∂∂∂∂∂⎣⎦()()2(μ++++⎢外力的虚功：;,,Z Y X ZY X ,,Xu Yv +Xu Yv +由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的外力势能为：§11-2 位移变分方程1. 泛函与变分的概念（1）泛函的概念xF泛函P1)(xMEIB l x泛函形变势能泛函（2）变分与变分法自变量的增量函数增量微分问题P1)(xMEIBlx)(xy)(xy yδP1)(xMEIB lx ) (xy)(xy yδ自变函数的增量泛函的增量变分问题变分的运算变分与微分运算：)(x f =⎟)(x f =⎟)(x f =⎟⎟变分运算与微分运算互相交换变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换复合函数的变分：y δ+复合函数的变分：y δ+⎢++⎥⎢′+y y y y δδδδ极大值极小值2. 位移变分方程形变势能位移变分qP应力边界S σ满足：平衡方程、几何真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：wv u δδδ,,满足两个条件：（（wv u δδδ,,满足两个条件：（（qP应力边界S σw位移的变分虚位移由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为：X u Y δδ+X u Y δδ+微小的为约束所允许（2）考察弹性体的能量变化从而引起形变势能的变分为：()()()y xy u v u δδεδδγδ==+，，由于位移的变分，引起的应变的变分为：设：位移变分方程Lagrange 变分方程WU δδ=X u Y δδ+它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。
第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理(16K)
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理 对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。
自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。
有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。
有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。
变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。
本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。
在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。
第28讲位移变分方程
§11.4 位移变分方程--最小势能原理学习要点:本节讨论最小势能原理。
首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的结论。
最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题，可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。
本节通过例题对此作了说明。
推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原理中的应用。
进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。
学习思路：1. 总势能；2. 总势能的变分；3. 最小势能原理；4. 最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件；5. 最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。
下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。
设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。
定义外力势能为注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。
而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作回代可得其中E t称为总势能，它是应变分量的泛函。
由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。
公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。
以下证明:对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。
将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能将上式减去真实应变分量的总势能，可得将按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有回代可得由于总势能的一阶变分为零，因此总势能的二阶变分为由于由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的,因此所以以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。
变分原理-1
= ∫∫ n j ∆σ ij ui d B + ∫∫ n j ∆σ ij ui d B − ∫∫∫ (∆σ ij ), j ui d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B
B1 B2 V B1
(6-6)
= ∫∫ n j ∆σ ij ui d B − ∫∫∫ (∆σ ij ), j ui d V = 0
(6-4)
= Γ(σ ij ) + ∫∫∫ sijklσ kl ∆σ ij d V +
V
1 sijkl ∆σ kl ∆σ ij d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B 2 ∫∫∫ V B1
(6-5)
= Γ(σ ij ) +
1 sijkl ∆σ kl ∆σ ij d V + ∫∫∫ ε ij ∆σ ij d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B 2 ∫∫∫ V V B1
Beltrami-Michell 的协调方程。 【证明】由于静力可能应力要预先满足平衡条件，即式(1-1)和(1-6)，故要构造一 个新的泛函
Γ* (σ ij , λi , βi ) = 1 sijklσ ijσ kl d V − ∫∫ n jσ ij ui d B 2 ∫∫∫ V B1
V B2
+ ∫∫∫ (σ ij , j + f i )λi d V + ∫∫ (n jσ ij − pi ) β i d B
V V B2
(4-1)
其中 U (ui ) 是应变能密度，即单位体积应变能
2
1 U (ui ) = cijkl ε ijε kl 2 最小势能原理：在所有变形可能位移中，精确解使总势能取极小值。
证明如下。首先将 uik 写成如下形式:
分析力学5动力学变分原理
分析力学5动力学变分原理（5）西安电子科技大学郭空明qq:717004648Email：kmguo@4.1泛函与变分原理（1）4.2哈密顿原理（2）4.3连续系统的微振动（1）4.4欧拉-拉格朗日方程（1）力学的变分原理：提供一种准则，将真实的运动（满足动力学方程）从所有可能的运动中甄别出来。
具有更高的概括性和普适性。
4.1泛函和变分原理弹簧的应变能（势能）21U x k x=数值数值()2弹簧的应变能只依赖于一点的位移x ，是自变量为x 的函数。
y =f(x)当自变量x 有一增量：函数y 也有一增量：10Δy =y -y 10Δx =x -x 函数的微分Differential of a function10=f(x )-f(x )Δy =f (x)Δx'dy 与dx ，分别称为自变量x 与函数y 的微分。
dy =f (x)dx'——微分问题泛函的变分variation of functional()U U y x 函数y 有一微小变化：1y y y 泛函U 也有一增量：y1()()U U y x U y x U函数的增量δy 、泛函的增量δU 等称为变分。
研究函数的变化与泛函的增量之间的关系称为变分问题。
变分问题例子：最速下降问题质点受重力作用从A 到B 沿曲线路径自由下滑，不考虑摩擦力，求质点下降最快的路径。
1'201()2x y T y dx gy +=⎰用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。
普通的动力学原理直接研究真实的状态，然后得到状态所应满足的方程。
而变分原理则不然，它不是专注于实际的状态，而是考察约束所容许的一切可能的状态，根据真实状态所满足的变分条件（如：真实位移使势能取极值，势能变分为零），进而得到真实状态所应满足的方程。
{F}真实变形曲线4.2哈密顿原理：a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。
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δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z 0 δU δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z
Ve = W
—— 功能原理
弹性力学
ELASTICITY
应变能密度：单位体积的应变能。 设弹性体只在某一方向，如 x 方向，受均匀的正应力sx，相应的线应 变为 ex，则其单位体积内具有的应变能，即应变能密度为
1 U1 s x de x s xe x 0 2
ex
sx
应变能密度是以应变分量为自变量的泛函。
—— 虚功方程。 即：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那么，在
虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在相应的虚应
变上所做的虚功。
弹性力学
ELASTICITY
3. 最小势能原理
δU f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
E 1 2 2 2 U e e y 2e x e y xy dxdy 2 x 2 2 1
应变能用位移分量表示为
2 2 2 E u v 1 v u u v U d xd yd z 2 2 2(1 ) x y 2 x y x y
U
E 1 2 2 2 2 2 2 2 e e e x y z yz zx xy dxdydz 2 1 1 2 2
弹性力学
ELASTICITY
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U e x e y e z yz zx xy dxdydz 2 1 1 2 2
设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为 u、v、w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件 和用位移表示的应力边界条件。假设位移分量发生了位移边界条件
所容许的微小改变（虚位移）u 、v、w，则外力在虚位移上作虚
功和应变能泛函的增加相等，即
δU f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
弹性力学
ELASTICITY
5.2 位移变分方程
1. 变分及其性质
微分是变量的增量，变分是函数的增量，通常用 表示。变分具有
以下的性质：
δ(u w) δu δw u δ δu x x δ udS δu d S
弹性力学
ELASTICITY
2. 位移变分方程
弹性力学
ELASTICITY
实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足位移 表示的平衡方程和应力边界条件。
能量原理与变分法中，实际存在的位移，除了满足位移边界条件
外，还满足位移变分方程。而且，可以从位移变分方程导出用位移表 示的平衡微分方程和应力边界条件。 位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。
U1 U1 U1 δ yz δ zx δ xy yz zx xy
dxdydz
s x δe x s y δe y s z δe z
t yz δ yz t zx δ zx t xy δ xy
dxdydz
弹性力学
ELASTICITY
应变能密度是以应变分量为自变量的泛函，利用物理方程，弹性体
的应变能密度表示为
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U1 e x e y e z yz zx xy 2 1 1 2 2
体应变：
ex e y ez
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U1 e x e y e z yz zx xy 2 1 1 2 2
弹性体的应变能等于应变能密度在整个弹性体的体积内的积分
U U1dxdydz
1 U s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy dxdydz 2
弹性体受外力作用后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。卸载后， 这种能量又随变形的消失而全部转换为其他形式的能量。这种随弹性变形 的增减而改变的能量称为应变能。 弹性体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体， 外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。
δU f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
δU s x δe x s y δe y s z δe z t yz δ yz t zx δ zx t xy δ xy dxdydz
弹性力学
ELASTICITY
0 δU δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z
0 δ U f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z
—— 位移变分方程或拉格朗日变分方程。 利用变分的性质
δU e δ U1dxdydz δU1dxdydz
弹性力学
ELASTICITY
应变能密度视为应变分量的函数
δU δU1dxdydz
U1 U1 U1 δe x δe y δe z e x e y e z
由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中，外力的大小和方向 可以视为保持不变，只是作用点有了改变。利用变分的性质，位移变分 方程可改写为：
δU δ f xu δ f y v δ f z w dxdydz dS δ f u δ f v δ f w x y z
f δu f δv f δw dxdydz f δu f δv f δwdS s δe s δe s δe t δ t δ t δ dxdydz
x y z x y z x x y y z z yz yz zx zx xy xy
将几何方程代入，应变能用位移分量表示为
u v w u v w E U 2(1 ) 1 2 x y z x y z 1 w v 1 u w 1 v u 2 y z 2 z x 2 x y
2 2 2
2
2
2
2
d xd yd z
弹性力学
ELASTICITY
平面问题 sz = 0（平面应力）或 ez = 0（平面应变）， zx = yz = 0
1 U1 s xe x s ye y t xy xy 2 U 1 s xe x s ye y t xy xy dxdy 2
sx ex
U1
dex
ex
弹性力学
ELASTICITY
在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量 sx 、sy 、sz 、
tyz 、tzx、txy。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序
无关，而完全确定于应力及变形的最终大小。弹性体的应变能密度
1 U1 s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
弹性力学
ELASTICITY
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U1 e x e y e z yz zx xy 2 1 1 2 2 E 对应变分量求导，得 拉梅常数： 1 1 2 U1 E e x 2Ge x s x e x 1 1 2
取 u = v = w = 0 时的自然状态下的势能为零，外力的势能为
V f xu f y v f z w dxdydz f xu f y v f z w dS
δ U V 0
即：应变能 U 与外力势能 V 的总和的变分为零。 意义：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际 存在的一组位移应使总势能为最小，即最小势能原理。
U1 sy e y
U1 t zx zx U1 sz e z
U1 G yz t yz yz
U1 t xy xy
弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率就等于相应的应力分量。
弹性力学
ELASTICITY
1 U1 s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
弹性力学
ELASTICITY
5.1 弹性体的应变能
变分法：
研究泛函及其极值的求解方法。 泛函：以函数为自变量的一类函数，即函数的函数。
称 y ( x ) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。
弹性力学
ELASTICITY
弹性力学变分法的本质就是把弹性力学基本方程的定解问题，变为 求泛函的极值问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又变成函 数的极值问题，因此，最后把问题归结为求解线性代数方程组。 弹性力学变分法中研究的泛函就是弹性体的能量（应变能、外力势 能等）。 弹性力学中的变分法又称能量法。能量法是有限单元法的重要基础。