北师大版必修5高中数学2.3《解三角形的实际应用举例》word导学案
高中数学北师大版必修5课件：第2章§3《解三角形的实际应用举例》
3．解决实际问题的一般步骤
分析、建模、求解、检验
即：
知新益能
1.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角．目标视线 上方 时叫仰角， 在水平视线_____ 下方 目标视线在水平视线_____ 时叫俯角，如图所示．
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 , 如B点的方位角为α(如图1所示)． 3．方位角的其他表示——方向角 (1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射 线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向
间距离相等，然后求 B、D 的距离(计算结果精 确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449.)
【思路点拨】 根据图中的已知条件求出一
些点与点之间的距离，结合图形和计算出的 距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转 化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之 间的距离．
【解】 在△ACD 中，∠DAC＝30° ，∠ADC＝60° －∠DAC＝30° ， 所以 CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180° －60° －60° ＝ 60° ， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线， 所以 BD＝BA. AB AC 在△ABC 中， ＝ ， sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 2＋ 6 即 AB＝ ＝ ， sin15° 20 3 2＋ 6 因此，BD＝ ≈0.33 (km)． 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.
解：由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里， ∠DBA＝90° －60° ＝30° ，∠DAB＝90° －45° ＝ 45° ， ∴∠ADB＝180° －(45° ＋30° )＝105° . DB 在 △ DAB 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ＝ sin∠DAB AB ， sin∠ADB AB· sin∠DAB 53＋ 3· sin45° ∴DB＝ ＝ sin105° sin∠ADB
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(三)
第八课时§解三角形应用举例（三）一、教课目的1、知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实质问题。
2、过程与方法：本节课是在学习了有关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应经过综合训练加强学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启迪性的 2 道例题，重申知识的教授更重能力的浸透。
讲堂中要充足表现学生的主体地位，重过程，重议论，教师经过导疑、导思让学生有效、踊跃、主动地参加到研究问题的过程中来，逐渐让学生自主发现规律，贯通融会。
3、感情态度与价值观：培育学生提出问题、正确剖析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的研究精神。
二、教课要点：能依据正弦定理、余弦定理的特色找到已知条件和所求角的关系。
教课难点：灵巧运用正弦定理和余弦定理解对于角度的问题。
三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入[ 创建情境 ]发问：前方我们学习了如何丈量距离和高度，这些实质上都可转变已知三角形的一些边和角求其他边的问题。
但是在实质的航海生活中 , 人们又会碰到新的问题，在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向，保持必定的航速和航向呢？今日我们接着商讨这方面的丈量问题。
Ⅱ . 探析新课[ 典范解说 ]例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后抵达海岛B, 然后从 B 出发 , 沿北偏东 32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛 C.假如下次航行直接从 A 出发抵达C, 此船应当沿如何的方向航行, 需要航行多少距离?( 角度精准到0.1, 距离精准到0.01n mile)学生看图思虑并叙述解题思路教师依据学生的回答概括剖析：第一依据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再依据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角 CAB。
解：在ABC中，ABC=180 - 75 + 32 =137，依据余弦定理，AC=AB 2BC 22AB BC cos ABC=67.5254.02267.554.0cos137≈ 113.15依据正弦定理 ,BC=ACsin CAB sin ABCsinCAB = BCsinABC =54 .0 sin 137 ≈0.3255,因此CAB =19.0,75-CAB AC113 .15=56.0答 : 此船应当沿北偏东 56.1的方向航行 , 需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向行进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再持续行进10 3 m至 D点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。
高中数学 2.3.2解三角形应用举例(第二课时) 教案 北师大版必修5
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,
根据正弦定理, = ,
BC ==≈ 7.4524(km) CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
3、 课堂练习: 课本第61页练习第1、2题
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC =
AB = AE + h = AC+ h = + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
学法:画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力。日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程。
答案：20+(m)
- 1 -
用心 爱心 专心
（4）教学设想:
1、 设置情境:提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
北师大版高中必修53解三角形的实际应用举例课程设计
北师大版高中必修5-3解三角形的实际应用举例课程设计背景和目的三角形作为几何图形中最基础的一类，其在各种实际应用中都有着广泛的应用。
在高中数学课程中，解三角形一直是一项重要的内容，也是可以联系到实际应用的数学知识点之一。
本次课程设计旨在通过实例和案例的分析，加深学生对解三角形的理解，同时也展示出其在实际生活中的应用。
教学内容一、解三角形的基本原理回顾在开始案例介绍前，先对解三角形思路进行回顾，阐明需要进行三角函数运用的前提。
具体内容为： - 角度的概念和计算方法 - 正弦、余弦、正切三角函数 - 三角函数运算基本规则二、设计案例一：测量建筑物高度针对案例一，学生需要分组来完成以下任务： - 通过实地测量手段获得建筑物周围的所有数据 - 计算并确定三角形的三个角度度数 - 运用三角函数算出建筑物的高度注意事项： - 测量数据需要精确，建议学生在实践前进行模拟算法，在老师的指导下完成实地测量 - 小组合作完成测量和计算，要求结果准确无误三、设计案例二：天线高度计算针对案例二，学生需要独立完成以下任务： - 根据问题提供的相关信息，计算天线的高度和检测仪离天线的水平距离 - 给出计算高度和水平距离的步骤和方法，并概括解决此类实际问题的基本思路 - 思考什么因素会影响计算结果以及实际应用中如何避免和解决这些因素的影响注意事项： - 学生需要理解并能独立运用所学三角函数知识，确定三角形的各个角度度数 - 给出详细的计算步骤和公式实施方法一、教学方式采用讲解导入，案例分析和讨论，小组合作演练和个人独立思考结合的教学方式，强调理论和实践相结合的教学方法。
二、评价方法针对不同案例，采用不同的评价方式。
测量建筑物高度的实例，可通过实地测量准确度进行评价；天线高度计算的实例，可通过学生独立完成计算并给出详细计算步骤和方法的准确度进行评价。
同时，需要注重学生的思维能力、创新思维和解决实际问题的能力。
教学反思通过课程设计的实施，学生深入理解了解三角形的基本思路和三角函数运用的基本规则，同时也加深了对解三角形在实际生活中的应用的理解和认识，培养了学生解决实际问题的能力。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 解三角形的实际应用举例》赛课导学案_0
正弦定理和余弦定理及其应用【2017年高考会这样考】考查利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形．【复习指导】1．强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用．2．本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理．3．重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题．•基础梳理1．正弦定理：2．余弦定理：3．面积公式:让学生上黑板来书写公式。
教师讲解公式应注意的问题，并由公式得到一些结论。
一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．随堂练习（由学生上黑板做）1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．5 62．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝1，则A 等于( )．A ．30°B ．135°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3例题讲解考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．这道题让学生先做，注意基本方法，边化角和角化边都能做，比较那种方法更好，在把这道题进行拓展，可以考虑射影定理。
北师大版-必修五-第二章 解三角形-§3 解三角形的实际应用举例【全国一等奖】
《解三角形的实际应用举例》教学设计一、本节教材分析为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.二、三维目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．三、教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．四、教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．五、教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．六、教学建议能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．七、新课导入设计导入一: 探究导入，在解决实际问题中，经常设及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，本节我们继续探究应用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题.导入二：直接导入，上节课我们研究了怎样测量到不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可能到达的建筑物的高度的问题，这些都是距离问题，本节课我们进一步探究综合运用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题的方法步骤.。
高二数学北师大版必修5教学教案2-3解三角形的实际应用举例(2)Word版含解析
《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。
二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。
首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。
理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。
总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。
【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。
【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。
根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。
三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。
【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。
高中数学 第二章 解三角形的实际应用举例教案2 北师大版必修5
§3 解三角形的实际应用举例教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=二、例题讲解引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先看到山顶的俯角为/3018,经过960s （秒）后又看到山顶的俯角为081, 求山顶的海拔高度（精确到1m ）.例1 曲柄连杆机构当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复直线运动。
当曲柄在0CB 时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在0A 处。
设连杆AB 长为lmm ，曲柄CB 长为rmm ，r l >（1）当曲柄自0CB 按顺时针方向旋转θ度时，其中03600<≤θ，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A A 0）。
（2）当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，求A A 0的长（结果精确到mm 1）分析：不难得到，活塞移动的距离为AC C A A A -=00易知r l BC AB C A +=+=0所以，只要求出AC 的长即可，在ABC ∆中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC 的长解：（1）设x AC =，若00=θ，则00=A A ，若0180=θ，则rmm A A 20=若001800<<θ，在ABC ∆中，由余弦定理得： C BC AC BC AC AB cos 2222⨯-+= 即：0)()cos (2222=---r l x r x θ解得：mm r l r r l r r x )sin cos ()cos (cos 2222221θθθθ-+=-++=0)cos (cos 2222<-+-=r l r r x θθ（不合题意，舍去）AC BC AB AC C A A A -+=-=00)(sin cos (222mm r l r r l θθ---+若00360180<<θ则根据对称性，将上式中的θ改为θ-0360即可有：)(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=总之，当003600<≤θ时，)(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=（2）当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，利用计算器得：800B 0A 0CB A)(8180sin 8534080cos 8585340022200mm A A ≈---+=答：此时活塞移动的距离约为mm 81例2：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点C B ,分别在A 的正东方km 20和km 54处，某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，s 8后监测点A ，s 20后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是s km /5.1（1）设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示C B ,到P 的距离，并求x 的值（2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到km 01.0） 分析：（1）PC PB PA ,,长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来（2）作a PD ⊥，垂足为D ，要求PD 的长，只需要求出PA 的长和APD ∠cos ，即PAB ∠cos 的值，由题意，PB PC PB PA --,都是定值，因此，只需要分别在PAB ∆和PAC ∆中，求出PAB ∠cos ，APC ∠cos 的表达式，建立方程即可解：（1）依题意，km PB PA 1285.1=⨯=-，km PB PC 30205.1=⨯=-因此：km x PB )12(-=，km x PC )18(+=，在PAB ∆中，km AB 20=xx x x x AB PA PB AB PA PAB 5323202)12(202cos 222222+=⨯--+=⨯-+=∠同理：xxPAC 372cos -=∠ 由于：PAC PAB ∠=∠cos cos 即：xxx x 3725323-=+ 解得：km x 7132= （2）作a PD ⊥，垂足为D ，在PDA Rt ∆中， PAB PA APD PA PD ∠=∠=cos cos)(71.17532713235323km xx x ≈+⨯=+⨯= 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为km 71.17练习：1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。
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2016北师大版必修5高中数学2.3《解三角
形的实际应用举例》
w o r d导学案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学 2.3解三角形的实际应用举
例导学案北师大版必修5
个性笔记【学习目标】
1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确
定解三角形的方法；
2．搞清利用正余弦定理可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关
系.
【学习重点】
灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决实际生活中与解三
角形
有关的问题。
【使用说明】
1.规范完成导学案内容，用红笔做好疑难标记，要求在40分钟
独立完成
2.该学案分A,B,C三个层次，其中A,B层次必须每一位同学都
完成，C层次供学有余力的同学完成。
【学习过程】
（一）基础学习
【A】预备知识：1．有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内
角和定理、三角形面积公式等）；
2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问
题、航海问题、物理问题等；
3. 实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线
和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；
在水平视线下方的角
叫俯角
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．
【B】课前热身1. 某人朝正东方走x km后，向左转1500，然后朝新
方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于
（）
A 3 B3
2 D 3
2 C 3或3
60，从甲楼
2. 甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为0
30，则甲、乙两楼的高分别是
顶望乙楼顶的俯角为0
（）
A 403
203,3
m m B 103,203m m C 10(32),203m m D 153203
,23m m
（二） 学习探究
探究一
[A] 我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。
温馨提示：由三角形内角和定理结合正弦定理，
可求出BC ，相信自可以的。
探究二
（三） 当堂检测
[ A ] 1.在同一平面内，在A 处测得的B 点的仰角是50，且到A 的
750
600
C B
A
距离为2，C点的俯角为70，且到A的距离为3，则B,C间的距离为 ()
A. 4
B. 17
C.32
D. 19
[ B ] 2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B,C两点间的距离是（）
A. 102海里
B. 103海里
C. 202海里
D. 203海里
[ B ] 3.甲，乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角是0
30，则甲，乙两楼的高分别是60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为0
【C】如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东0
60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西0
60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
教与学的反思。