苏教版数学高一《函数概念及表示》精品教学设计
例1．（1）设函数
（2）（2001上海理，1）设函数f（x）＝ ，则满足f（x）= 的x值为。
变式题：（2006山东文2）设 （）
A．0B．1C．2 D．3
例2．（2006安徽文理15）
（1）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________；
（2）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________。
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
例10．（2006湖南理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为： 为 ，要求清洗完后的清洁度为 。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 。设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ，用 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 ，其中 是该物体初次清洗后的清洁度。
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。
思维ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结:
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；
当a<0时，值域为{ }。
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）= ，g（x）= ；
（2）f（x）= ，g（x）=
（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
例4．求下述函数的定义域：
（1） ；
（2）
例5．已知函数 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) ；(2) 。
例6．求下列函数的值域：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；（9） 。
例7．（1）已知 ，求 ；
（2）已知 ，求 ；
（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
（4）已知 满足 ，求 。
例8．（2006重庆理21）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。
第二讲函数概念与表示
一、知识要点
1..函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙, 当 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
例11．（1）设 ，其中a、b、c、d是常数。
如果 求 ；
（2）若不等式 对满足 的所有m都成立，求x的取值范围。
（3）已知 的定义域求 的定义域或已知 的定义域求 的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知 的定义域 ，其复合函数 的定义域应由 解出。
3．求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0。求函数f(x)的解析表达式。
例9．（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
高一数学《函数概念与性质》教学设计-优质教案
教师活动
学生活动
环节一：（根据课堂教与学的程序安排）
教师活动1
（教学环节中呈现的学习情境、提出驱动性问题、学习任务类型；对应学生活动，示范指导学科思想方法，关注课堂生成，纠正思维错漏，恰当运用评价方式与评价工具持续评价促进学习。下同）
学生活动1
（学生在真实问题情境中开展学习活动；围绕完成学习任务开展系列活动与教的环节对应，学生分析任务-设计方案-解决问题-分享交流中学习并有实际收获。下同）
基本信息
学科
数学
电子邮箱
年级
高一
教科书版本及章节
苏教版2020
单元（或主题）教学设计
单元名称
函数概念与性质
1.单元（或主题）教学设计说明
本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
10.教学反思与改进（单节课教与学的经验性总结，基于学习者分析和目标达成度进行对比反思，教学自我评估与教学改进设想。课后及时撰写，突出单元整体实施的改进策略，后续课时教学如何运用本课学习成果，如何持续促进学生发展）
1.教学内容分析
2.学习者分析
（学生与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学科能力水平、学生兴趣与需求分析，学生发展需求、发展路径分析，学习本课时可能碰到的困难）
3.学、学科核心素养的发展进阶，描述学生经历学习过程后应达成的目标和学生应能够做到的事情。可分条表述）
活动意图说明：（简要说明教学环节、学习情境、学习活动等的组织与实施意图，预设学生可能出现的障碍，说明环节或活动对目标达成的意义和学生发展的意义。说出教与学活动的关联，如何在活动中达成目标，关注课堂互动的层次与深度）
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.1.1 函数的概念和图象》0
函数套问题1
在函数表达式中套入新函数，形成或之类，以此构造产生的问题称为函数套问题，解决此类问题的过程中讨论法受宠度急剧下降，通常采用由外及内一层层研究的方法进行替代，研究过程中通常结合函数的图像及根本性质．
⑥考点回眸
1．函数，那么．
2．函数〔且〕，假设，那么．
⑥典例精讲
例1．函数，那么函数的零点有个．
解析解法一：由题意，所以或，此题转化为上述方程有几解，
当时，或；当时，或．
所以共有四个解，因此零点个数为．
解法二：可以通过图像法逐层尝试，
图-01
由，得或，
再次作图右图所示，因此零点个数为．
变式1．函数，那么函数的零点有个．
例2．函数，设关于的方程有个不同的实数解，那么实数的取值范围是．
解析设，那么，令，那么，
所以函数在上单调递增，同理在上单调递减，当时函数取得最大值．
因此可得到函数的图像如下列图所示〔作图先趋势后逼值，很多图像都有渐近线问题〕，
图-02
方程化简为，解得或，
因有两个根与之对应，从而必有三个根对应，故得．
评注这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后能求实根的，得到和，然后再根据函数的图像与直线，的交点个数得到参数的取值范围．
假设无法因式分解的，可从根的分配的角度进行分类讨论〔即根的分布问题〕．
变式1．函数，关于的方程有个不同的实数解，那么实数的取值范围是．
稳固强化
1．假设函数，那么方程的根的个数为．
2．〔选做题〕设函数，假设方程恰有两个不相等的实根，那么的最大值为．。
高中数学必修一《函数的概念及其表示》优质教案
高中数学必修一《函数的概念及其表示》优质教案教材分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．教学目标与素养课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
重难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
高中数学教案《函数的概念及其表示》
教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。
o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。
●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
苏教版高中数学必修一函数的概念和图象教案四
2.1.2 函数的表示方法（1）教学目标：1．进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；3．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示． 教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、问题情境 1． 情境．下表的对应关系能否表示一个函数：2．问题．如何表示一个函数呢？ 二、学生活动1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习 三、数学建构 1．函数的表示方法：2．三种不同方法的优缺点： 列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法 解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法 图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．四、数学运用 （一）例题例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1， 2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．（1）列表：（2）图象： （3）解析式：将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个 的商品按10元一个销售，每天可卖出110个”例2 如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象 中的有关数据，求出函数f (x )的解析式及其定义域．（二）练习：1．1 nmile(海里)约为1854m ，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x 的函数解析式．2．用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数，并画出函数的图象．3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式．4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式．五、回顾小结1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性；3．待定系数法求函数的解析式．六、作业课堂作业：课本32页1，4，5．。
苏教版高中数学函数教案
苏教版高中数学函数教案
授课班级：高中一年级
教学内容：函数的定义及基本性质
教学目标：
1. 理解函数的定义及函数的自变量、因变量的概念。
2. 掌握函数的基本性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性。
3. 能够运用函数的基本性质解决实际问题。
教学重点：
1. 函数的定义及函数图像的性质。
2. 函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性。
教学难点：
1. 函数奇偶性和周期性的判断。
2. 函数图像的基本性质。
教学准备：
1. 教材《高中数学教材》第一章相关内容。
2. 讲义、黑板、彩色粉笔。
教学过程：
一、导入（5分钟）
引导学生回顾前几节课所学的函数的概念，并询问他们对函数的理解。
二、讲解函数的基本性质（15分钟）
1. 函数的定义和符号表示。
2. 定义域、值域的概念及求法。
3. 函数的奇偶性判断原则。
4. 函数的单调性和周期性的判断。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 给出一些函数的表达式，让学生判断其奇偶性和周期性。
2. 给出几道实际问题，要求学生运用函数的性质进行解答。
四、课堂互动（10分钟）
组织学生进行讨论，互相检查答案，并就不懂的地方进行解释。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习作业，巩固和加深学生对函数基本性质的理解。
教学反思：
通过本节课的讲解和练习，学生对函数的基本性质有了一定的了解，但部分学生对函数的奇偶性和周期性的判断还存在一定困难。
下节课将重点讲解这两个方面的内容，并增加更多练习，以提高学生的应用能力。
江苏省高一数学上册 第二单元《函数》全套教案
高一数学必修1教学案 第二单元函数 函数的概念和图像（1）班级 姓名目标要求1．理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的一种数学模型； 2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域．重点难点重点：函数的概念； 难点：对抽象符号()y f x 的理解．课前预习1．根据初中所学知识，回忆函数概念、函数模型. 2．初中学过的具体函数有哪些？图象特点是什么？初中学过常数函数、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，请写出这3. 下面观察实例：课本23P 中的三个问题，如何用集合语言．．．．来简述三个问题的共同特点？ 4．单值对应：具有 的特征的对应.5．函数的定义：设,A B 是两个_________数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的__________元素x ，在集合B 中都有____________的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为 ______________________． 理解：6．定义域：在)(x f 的对应中__________x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域.说明：7．值域：对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，将y 组成的集合C 叫做函数()y f x =的值域，则C _____B .课堂互动例1 (1)下面各图中表示y 是x 的函数的是 _____________(填出所有满足条件的序号)（１）2x y =与2)(x y =；（２）||)(x x f =与2)(t t g =； （３）1)(2-=x x f 与11)(-+=x x x g ；思考：函数)(x f y =，A x ∈与函数)(t f z =，A t ∈是否为同一函数？变题：下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？（1）2)(x y =；（2）xx y 2=；（3）y=33x ；（4）y=2x ；（5）,x y =x ∈Z ．例2 (1)已知函数2()3x f x x =-．求(1)f , ()f a , (1)f a -, ()f f a []；yy(2)已知函数36(0)()5(0)x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩ 求(1)f 及(1)f f []的值．例3 求下列函数的定义域：(1) 1()2f x x =-； (2) ()f x = (3) 1()2f x x=-．课堂练习1、从甲地到乙地的火车票价为８０元，儿童乘火车时，按照身高选择免票、半1.0→ ，1.3→ ，1.5→ ； (2) 若购票钱款为输入值，儿童身高h 为输出值，则0→ ， 40→ ；(3) 分别说明(1)、(2)中的对应是否为“单值对应”．2、某班级学号为1～6的学生参加数学测试的成绩如下表所示, 试将学号和成98807975654321（第１题）3、下列对应中，第________个是集合A 到集合B 的函数：(1)A 为正实数集, B R =, 对于任意的x A ∈, x x →的算术平方根； (2) A ={1,2,3,4,5}, B ={0,2,4,6,8}, 对于任意的x A ∈，2x x →． 4、下列各式中, y 与x 构成函数关系的是___________________①y x =± ② 2y x = ③ 2y = ④ y = 5、下列四组函数中, 表示同一函数的是______________________① ()f x x =||, ()g x = ②()f x =, 2()g x =③21()1x f x x -=+, ()1g x x =- ④()f x =, ()g x =6、若2()x f x x =-, 求(0)f , (1)f , 1()2f , (1)()f n f n +-．学习反思① 函数是非空数集到非空数集上的一种对应，且是一个 对应。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表⽰》教案完美版《函数的概念及其表⽰》教案第⼀课时： 1.2.1 函数的概念（⼀）教学要求：通过丰富实例，进⼀步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习⽤集合与对应的语⾔来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作⽤；了解构成函数的要素；能够正确使⽤“区间”的符号表⽰某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，⽤集合与对应的语⾔来刻画函数。
教学过程：⼀、复习准备：1. 讨论：放学后骑⾃⾏车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在⼀个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每⼀个确定的值，y 都有唯⼀的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是⾃变量，y 是因变量. 表⽰⽅法有：解析法、列表法、图象法.⼆、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .⼀枚炮弹发射，经26秒后落地击中⽬标，射⾼为845⽶，且炮弹距地⾯⾼度h （⽶）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近⼏⼗年，⼤⽓层中臭氧迅速减少，因⽽出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞⾯积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常⽤恩格尔系数（⾷物⽀出⾦额÷总⽀出⾦额）反映⼀个国家⼈民⽣活质量的⾼低。
“⼋五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每⼀个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯⼀确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是⾮空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的⼀个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫⾃变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？⼀次函数(0)y ax b a =+≠、⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
苏教版数学高一《函数的表示方法》 精品学案
执笔人：夏文秀审核人：2011年9月日第二章 2.1.2函数的表示方法（2）第4课时
【教师活动】
【教学目标】
1.进一步理解函数的表示方法的多段函数的表示，能根据实际问题列分段函数；
2.能较为准确地作出分段函数的图【教学重难点】
分段函数的图象、定义域和值域【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】【学生活动】
【学习目标】
1．理解分段函数的概念
2.能根据实际问题列出符合题意的分段函数，能较为准确数的图象
【课时安排】
1课时
【课前预习】
如何画函数的图像？
【课堂探究】
一．问题情境
函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二．师生互动
三．建构数学
1．分段函数的概念：
注意点：（1）
（2）
(3)
四．数学应用
例1.某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出程的函数解析式．
例2.将函数f(x)＝| x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式象，根据图象指出函数f(x)的值域．
【当堂练习】
1.书本第31页练习2。
《3.1 函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域． [解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y ＝f (x )是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y ＝f (x )”为y 是x 的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f(x)＝x＋1 x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。