等比数列(2)
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等比数列(2课时)
等比数列(2课时)
• 等比数列的定义和性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列与等差数列的比较 • 等比数列的实际应用
01
等比数列的定义和性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的比值都 相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的比值 都等于常数，这个常数被称为等比数列的公比。在等比数列中， 第一项（首项）记为a，公比记为r，第n项记为a_n，则有公式 a_n=a*r^(n-1)。
学定理，如费马小定理、欧拉定理等。
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式的推导
定义等比数列
一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则称该数 列为等比数列。
推导等比数列的通项公式
假设等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则第$n$项$a_n$可以表示为$a_1 times r^{(n-1)}$。
贷款还款
在贷款还款计划中，等比数列用 于计算每月的还款金额。通过设 定贷款总额、年利率和贷款期限， 等比数列可以帮助确定每月的还
款金额。
股票价格
股票价格常常以等比数列的形式 表示，即股价呈现指数增长或下 降的趋势。投资者可以利用等比 数列的知识分析股票价格的走势。
等比数列在物理中的应用
放射性衰变
放射性衰变过程中，原子核以一定的比率发生衰变，形成 等比数列。通过等比数列的知识，可以计算出放射性衰变 的时间常数和半衰期。
无限等比数列
当公比$r$的绝对值小于1时，等 比数列称为无限等比数列，其通 项公式仍为$a_1 times r^{(n1)}$。
03
等比数列的求和公式
• 等比数列的定义和性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列与等差数列的比较 • 等比数列的实际应用
01
等比数列的定义和性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的比值都 相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的比值 都等于常数，这个常数被称为等比数列的公比。在等比数列中， 第一项（首项）记为a，公比记为r，第n项记为a_n，则有公式 a_n=a*r^(n-1)。
学定理，如费马小定理、欧拉定理等。
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式的推导
定义等比数列
一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则称该数 列为等比数列。
推导等比数列的通项公式
假设等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则第$n$项$a_n$可以表示为$a_1 times r^{(n-1)}$。
贷款还款
在贷款还款计划中，等比数列用 于计算每月的还款金额。通过设 定贷款总额、年利率和贷款期限， 等比数列可以帮助确定每月的还
款金额。
股票价格
股票价格常常以等比数列的形式 表示，即股价呈现指数增长或下 降的趋势。投资者可以利用等比 数列的知识分析股票价格的走势。
等比数列在物理中的应用
放射性衰变
放射性衰变过程中，原子核以一定的比率发生衰变，形成 等比数列。通过等比数列的知识，可以计算出放射性衰变 的时间常数和半衰期。
无限等比数列
当公比$r$的绝对值小于1时，等 比数列称为无限等比数列，其通 项公式仍为$a_1 times r^{(n1)}$。
03
等比数列的求和公式
高一 9 等比数列(2)
2.首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是
an a1qn1(a1 0，q 0).
3.（1）数列单调性的概念
一般地，一个数列 an ，如果从第2项起，每一项都大于它前
面的一项，即an1 an ，那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 an1 an ，那
ka
2
ka4
2 9 2
, ,
81
k a
2
1
,
a
3
1 3
舍去
f
(x)
2
1 3
x
，则an
2
1 n 3
.
(2)
an
显然为等比数列
Q
a1
2 3
0且0
q
1 3
1
an为递减数列.
1.等比数列 an a1qn1 a1 0，q 0 的单调性
a1
q的范围
a1 0
a1 0
0 q 1 q=1 q 1 0 q 1 q=1 q 1
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§3.1等比数列（第2课时）
授课教师：景德镇二中 李昊
复习回顾 1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（首项a1 0且q 0）.
an 为递增数列.
方法二
an =f (n) 3g2n1可以看作定义域为正整数集的指数型函
数，根据指数型函数单调性的判断得出an为递增数列.
引例（答2）：已如an知何=3等？g若比12a数nn该列1 数a3列ng为的12递通n减项1，数公该列式数；为列ana的n =单3g3调12g性12n又1，n为如1该递何数增？列数的列单. 调性
an a1qn1(a1 0，q 0).
3.（1）数列单调性的概念
一般地，一个数列 an ，如果从第2项起，每一项都大于它前
面的一项，即an1 an ，那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 an1 an ，那
ka
2
ka4
2 9 2
, ,
81
k a
2
1
,
a
3
1 3
舍去
f
(x)
2
1 3
x
，则an
2
1 n 3
.
(2)
an
显然为等比数列
Q
a1
2 3
0且0
q
1 3
1
an为递减数列.
1.等比数列 an a1qn1 a1 0，q 0 的单调性
a1
q的范围
a1 0
a1 0
0 q 1 q=1 q 1 0 q 1 q=1 q 1
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§3.1等比数列（第2课时）
授课教师：景德镇二中 李昊
复习回顾 1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（首项a1 0且q 0）.
an 为递增数列.
方法二
an =f (n) 3g2n1可以看作定义域为正整数集的指数型函
数，根据指数型函数单调性的判断得出an为递增数列.
引例（答2）：已如an知何=3等？g若比12a数nn该列1 数a3列ng为的12递通n减项1，数公该列式数；为列ana的n =单3g3调12g性12n又1，n为如1该递何数增？列数的列单. 调性
(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》
－
(6)若{an}是等比数列，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来 的顺序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为 qk 1.
＋
(7)在等比数列{an}中，连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积) 构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列． (8){an}是等差数列，c 是正数，则数列{can}是等比数列． (9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等 差数列．
[ 错解] 设这个等比数列为{an}，其中 a1＝1，a5＝4，插入 的三项分别为 a2，a3，a4. 由题意，得 a1，a3，a5 也成等比数列，则 a2 3＝a1a5＝1×4 ＝4，故 a3＝± 2，∴a2a3a4＝a3 8. 3＝±
[ 错因分析]
[ 正解]
该解法没有正确判断 a3 的符号，在求等比数
有关等比数列的开放探究题
已知数列 {an} 是各项为正数的等比数列，数列 1 {bn}定义为 bn＝n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)] ，是否存在实 数 k，使得数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．
[ 分析]
先利用数列{an}是等比数列，求出数列{bn}的通项
公式，再求 bn＋1－bn，看使它成为常数的条件是什么？
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．
a3＝4 解得 a7＝16 a3＝16 或 a7＝4
.
①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. 1 ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q 得，q ＝4，
[ 方法总结]
除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条
(6)若{an}是等比数列，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来 的顺序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为 qk 1.
＋
(7)在等比数列{an}中，连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积) 构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列． (8){an}是等差数列，c 是正数，则数列{can}是等比数列． (9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等 差数列．
[ 错解] 设这个等比数列为{an}，其中 a1＝1，a5＝4，插入 的三项分别为 a2，a3，a4. 由题意，得 a1，a3，a5 也成等比数列，则 a2 3＝a1a5＝1×4 ＝4，故 a3＝± 2，∴a2a3a4＝a3 8. 3＝±
[ 错因分析]
[ 正解]
该解法没有正确判断 a3 的符号，在求等比数
有关等比数列的开放探究题
已知数列 {an} 是各项为正数的等比数列，数列 1 {bn}定义为 bn＝n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)] ，是否存在实 数 k，使得数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．
[ 分析]
先利用数列{an}是等比数列，求出数列{bn}的通项
公式，再求 bn＋1－bn，看使它成为常数的条件是什么？
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．
a3＝4 解得 a7＝16 a3＝16 或 a7＝4
.
①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. 1 ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q 得，q ＝4，
[ 方法总结]
除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条
等比数列(2)
【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
（1）应用等比数列的前n 项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）综合应用数列知识，解决生活中借、贷款等实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．
情感目标：
（1）经历数列的前n 项和公式的探索，增强学生的创新思维．
（2）赞赏国际象棋的发明人数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化． （3）经历借、贷款问题的计算过程，体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣。
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】
−。
等比数列(2)
(3) {an }是等比数列 an cqn (c、q为非0的常数)
5、等比数列常用性质 (1) 若 m n p q，则 am an a p aq .
(2) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是等比数列， 且公比为 qm .
(3) 若 {an} 与{bn} 均为等比数列，
说 明：
本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换 关系.不失一般性，设c＞0，c≠1, 则：
若数列{an}是等差数列，那么数列{can }是等比数列；
反之,若{an}是等比数列且an ＞0,则数列{logc an }是等差数列.
例2：已知{an }和{bn }是项数相同的等 比数列，求证{an • bn}是等比数列。
an 0 a3 a5 5 .
(2) 在等比数列{an }中，a3a4a5 3 , a6a7a8 24 , 求 a9a10a11 的值.
解： {an} 是等比数列 ，
a3a4a5 a43 3 , a6a7a8 a73 24 , a9a10a11 a130
又 a4 , a7 , a10 成等比数列，a43 , a73 , a130成等比数列，
则数列{man
bn
}
与
{
man bn
}
(m
0
常数)
仍为等比数列.
(4) 单调性 ：由 an a1qn1 知
an1 q an
若 a1 0 q 1
或
a1 0 0 q
1
，则
{an }
是递增数列 ；
若 0a1q0 1或 qa110 ，则 {an } 是递减数列 ；
若 q 1 ，则{an } 是常数列； 若 q 0 ，则{an } 是摆动数列.
5、等比数列常用性质 (1) 若 m n p q，则 am an a p aq .
(2) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是等比数列， 且公比为 qm .
(3) 若 {an} 与{bn} 均为等比数列，
说 明：
本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换 关系.不失一般性，设c＞0，c≠1, 则：
若数列{an}是等差数列，那么数列{can }是等比数列；
反之,若{an}是等比数列且an ＞0,则数列{logc an }是等差数列.
例2：已知{an }和{bn }是项数相同的等 比数列，求证{an • bn}是等比数列。
an 0 a3 a5 5 .
(2) 在等比数列{an }中，a3a4a5 3 , a6a7a8 24 , 求 a9a10a11 的值.
解： {an} 是等比数列 ，
a3a4a5 a43 3 , a6a7a8 a73 24 , a9a10a11 a130
又 a4 , a7 , a10 成等比数列，a43 , a73 , a130成等比数列，
则数列{man
bn
}
与
{
man bn
}
(m
0
常数)
仍为等比数列.
(4) 单调性 ：由 an a1qn1 知
an1 q an
若 a1 0 q 1
或
a1 0 0 q
1
，则
{an }
是递增数列 ；
若 0a1q0 1或 qa110 ，则 {an } 是递减数列 ；
若 q 1 ，则{an } 是常数列； 若 q 0 ，则{an } 是摆动数列.
等比数列(2)
等比数列的性质 等比数列的性质
1、an=amqn-m
2、 m, n, p, q ∈ N+ , 且m + n = p + q, 若 3、 m, n, p, q ∈ N+ , 且m + n = 2p, 若
则am an = ap aq
2
则am an = ap 4.如果 {a } {b } 是项数相同的等比数列,那 如果 是项数相同的等比数列 那 也是等比数列. 么 {a b } 也是等比数列
1 5 1+ 5 <q< 2 2
1.设{an } 是递增等差数列，前三项 的和为12，前三项的积为48，则 它的首项是____ 2 2.设 {an }是递增等比数列，前三项 的和为14，前三项的积为64，则 它的首项是____ 2
练习
3、己知等差数列{an}的首项 1>0, 、己知等差数列 的首项a 的首项 项和为S 前n项和为 n ,若3a5=8a12 ,问数列 项和为 若 问数列 的前几项和最大? 的前几项和最大
(a4 + a8 ) = a4 + a8 + 2a4 a8 = 49,
2 2 2
Q an > 0, 则a4 + a8 = 7
练习：
1.在等比数列 n}中,已知 4a15=-2, 在等比数列{a 中 已知 已知a 在等比数列 那么a 那么 3a6a12a17=_____. 4 2.在等比数列 n}中,已知 4a5a6=8, 在等比数列{a 中 已知 已知a 在等比数列 32 则a1a3a5a7a9=_____.
4.在等比数列 n}中,求通项： 在等比数列{a 中 求通项 求通项： 在等比数列 (1)a1=-2,a3=-8 (2) a1=5,且2an+1=-3an 且 5.在等比数列 n}中,若a6=6,a9=9,则 在等比数列{a 中 若 在等比数列 则 4 a3=_____. 6.在等比数列 n}中,若a1=48,n=7,an=3/4, 在等比数列{a 中 若 在等比数列 1/2或- 1/2 或 则q=_________. 7. 已知 n}为等比数列 公比 已知{a 为等比数列 公比q≠1,若ap=m, 为等比数列,公比 若 并且l,p∈ 则 等于( ). D 并且 ∈N*,则al等于 (A)mql-p-1 (B)mql-p+1 (C)mql-1 (D)mql-p
等比数列(二)
由此联想到什么？关于等比数列的项和公 比有何限制？
an 0 ，q是非零常数．
a1 a1q q n cq n (c为常数) q 几何意义：a n = __________________________________
n 1
形如指数函数上的一些规律的点 图象特点：___________________________________
求这 5 个数。
解 : 由题q
n m
5832 an 7 1 q 729 q 3 8 am
故所求数为 24，72，216，648，1944 或 －24，72， － 216，648， － 1944 例4、公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数 列，求公比 q ,
a3 a3 a3 q a3 解 : 由题设三数为 , a3 , a3 q a3 q q 3
数
列
等
差
数列等比数列关系式
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
anam=asat
性
中 项
质 m+n=s+t
an+am=as+at m+n=s+t
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d a-3d，a-d，a+d， a+3d a, aq,
b2=ac aq2 或
a ，a，aq q
an1 2 an
故{ a n } 是公比为 2 的等比数列
(2) 由 a 1 = －2 且公比 q = 2 ∴ a n = (－ 2 ) × 2 n － 1 = － 2 n 故 { a n } 的通项公式为 a n = －2 n
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那 么 别数为列q11，a1nq1，q2{，anqq·b21，n}，|q1|.bann，{|an|}仍 是 等 比 数 列，且 公 比 分
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》
解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
2.4等比数列(2)
2.4 等比数列
（第2课时）
旧知回顾
1、等比数列的定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q≠0）。
an an 1 q(q 0, n 2) (或 q) 定义式： an 1 an
（2）c是不为0的常数，则{ c · an }呢？
san rbn 呢？
san 呢？ rbn
完成课本第53页练习3
思考题：
比数列吗？
an {2 } 是不是等 (1) 已知等差数列 {an }，试判断数列
(2) 已知等比数列 {an } ，试判断数列{log 2 an } 是不是等 差数列吗？
pq
它是一个与n无关的常数，
所以an bn 是一个以pq为公比的等比数列。
例 3、
已知数列an 、 bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列。
你能利用本例的条件，构造其他数列吗？并判断 该数列是不是等比数列？
an （ 1） 呢？ bn
an a1 (n 1)d
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
an a1q
n 1
通项 公式
(1)an am q n m
则 am· an=as· ar .
(3) an2=an-1· an+1 . （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
练习：
(1)在等比数列an 中,若a4 a8 9, 则 a2 a10 9 ,a6 ±3 .
（第2课时）
旧知回顾
1、等比数列的定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q≠0）。
an an 1 q(q 0, n 2) (或 q) 定义式： an 1 an
（2）c是不为0的常数，则{ c · an }呢？
san rbn 呢？
san 呢？ rbn
完成课本第53页练习3
思考题：
比数列吗？
an {2 } 是不是等 (1) 已知等差数列 {an }，试判断数列
(2) 已知等比数列 {an } ，试判断数列{log 2 an } 是不是等 差数列吗？
pq
它是一个与n无关的常数，
所以an bn 是一个以pq为公比的等比数列。
例 3、
已知数列an 、 bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列。
你能利用本例的条件，构造其他数列吗？并判断 该数列是不是等比数列？
an （ 1） 呢？ bn
an a1 (n 1)d
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
an a1q
n 1
通项 公式
(1)an am q n m
则 am· an=as· ar .
(3) an2=an-1· an+1 . （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
练习：
(1)在等比数列an 中,若a4 a8 9, 则 a2 a10 9 ,a6 ±3 .
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一、复习回顾：
1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常
a n 1 数的数列称作等比数列. q(q为不等于零的常 数) an
2．通项公式 a n a1q , 推广形式: a n
n 1
a mq
n m
,
3．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比 中项,且
b ac
2
(2)a2 n 是等比数列;
1 (3) 是等比数列; (4)ln an 是等比数列. an
其中真命题的个数是 ____ .
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
4．判断数列为等比数列的方法:
a n 1 q(n N ) 数列a n 为等比数列 (1)定义法:若 an
(2)等比中项法: --2 若 a n1 a n a n2(n N 且an ,a n1 ,a n2 0)
数列a n 为等比数列
n a cq (c, q均是不为0的常数, n N ) (3)通项法:若 n
an=amqn-m
b2=ac
a, aq, aq2或 a ，a，aq q
问题1、已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q：
（1）将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新 的数列，这个数列是等比数列吗？ （2）取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数 列，这个数列是等比数列吗？ （3）在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新 的数列，这个数列是等比数列吗？
练习:有四个数，前三个成等比数列,它们的和为19, 后三个数成等差数列，其和为12,求这四个数
25，-10，4，18或9，6，4，2 例3:已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1, 求证:{an}为等比数列。
四、小结
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 若m+n=t+s,则 am· an=at· as
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 若m+n=t+s,则 am· an=at· as
你还能写出类似的等式吗？
（2）根据以上等式，你能归纳出一般的结论吗？ 在等比数列{an}中，若m+n=t+s,则am· an=at· as 特别地：当m=n时，an2 = as· a t,
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
m、n、p、 (m、n、p、 N * ) 结论：等比数列{an}中， a p， 是等比数列。 数列,则 am , a n ,
成等差
思考： 若{an}、 {bn}是等比数列，且公比为q1，q2，则 {anbn}、{kan}也是等比数列吗？
练习.an 是等比数列, 下列四个命题 :
(1) an 是等比数列;
（5）若an>0,a1· a5+2a3· a5+a2· a8=25,则a3+a5= （6）若an>0, a3· a4=16, 则log4a1+log4a2+…+log4a6= ;
பைடு நூலகம்
;
三、例题选讲
例2:已知三个数成等比数列,它们的和为14, 积为64, 求此数列 结论:三个数成等比数列 ，设三个数为aq-1,a,aq
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
问题2、在等比数列{an}中，已知a1=1,q=2,试计算: (1)a2,a3,a7,a8.并验证等式a2· a8=a3· a7是否成立？
三、例题选讲
例1、在等比数列{an}中： （1）若a3· a5=100,则a4= ;
（2）若a3=4, a9=9,则a6=
;
（3）若a3=4, a7=9,则a5= ; (4)在等比数列an 中, 若a1 a2 a3 3, a1 a2 a3 8
则an _______
数列a n 为等比数列
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数 等距项 性 质
an-an-1= d an=am +(n-m) d
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d am,am+k,am+2k,…成等差
an q an 1
1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常
a n 1 数的数列称作等比数列. q(q为不等于零的常 数) an
2．通项公式 a n a1q , 推广形式: a n
n 1
a mq
n m
,
3．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比 中项,且
b ac
2
(2)a2 n 是等比数列;
1 (3) 是等比数列; (4)ln an 是等比数列. an
其中真命题的个数是 ____ .
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
4．判断数列为等比数列的方法:
a n 1 q(n N ) 数列a n 为等比数列 (1)定义法:若 an
(2)等比中项法: --2 若 a n1 a n a n2(n N 且an ,a n1 ,a n2 0)
数列a n 为等比数列
n a cq (c, q均是不为0的常数, n N ) (3)通项法:若 n
an=amqn-m
b2=ac
a, aq, aq2或 a ，a，aq q
问题1、已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q：
（1）将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新 的数列，这个数列是等比数列吗？ （2）取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数 列，这个数列是等比数列吗？ （3）在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新 的数列，这个数列是等比数列吗？
练习:有四个数，前三个成等比数列,它们的和为19, 后三个数成等差数列，其和为12,求这四个数
25，-10，4，18或9，6，4，2 例3:已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1, 求证:{an}为等比数列。
四、小结
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 若m+n=t+s,则 am· an=at· as
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 若m+n=t+s,则 am· an=at· as
你还能写出类似的等式吗？
（2）根据以上等式，你能归纳出一般的结论吗？ 在等比数列{an}中，若m+n=t+s,则am· an=at· as 特别地：当m=n时，an2 = as· a t,
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
m、n、p、 (m、n、p、 N * ) 结论：等比数列{an}中， a p， 是等比数列。 数列,则 am , a n ,
成等差
思考： 若{an}、 {bn}是等比数列，且公比为q1，q2，则 {anbn}、{kan}也是等比数列吗？
练习.an 是等比数列, 下列四个命题 :
(1) an 是等比数列;
（5）若an>0,a1· a5+2a3· a5+a2· a8=25,则a3+a5= （6）若an>0, a3· a4=16, 则log4a1+log4a2+…+log4a6= ;
பைடு நூலகம்
;
三、例题选讲
例2:已知三个数成等比数列,它们的和为14, 积为64, 求此数列 结论:三个数成等比数列 ，设三个数为aq-1,a,aq
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
问题2、在等比数列{an}中，已知a1=1,q=2,试计算: (1)a2,a3,a7,a8.并验证等式a2· a8=a3· a7是否成立？
三、例题选讲
例1、在等比数列{an}中： （1）若a3· a5=100,则a4= ;
（2）若a3=4, a9=9,则a6=
;
（3）若a3=4, a7=9,则a5= ; (4)在等比数列an 中, 若a1 a2 a3 3, a1 a2 a3 8
则an _______
数列a n 为等比数列
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数 等距项 性 质
an-an-1= d an=am +(n-m) d
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d am,am+k,am+2k,…成等差
an q an 1