平均数差异显著性检验
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7-2平均数差异的显著性检验
平均数差异的显著性 检验
平均数差异的显著性检验
平均数差异的显著性检验是指通过从两个总 体中抽取出的两个样本来判断这两个总体的均值 的大小关系。 一、理论依据
抽样分布理论
• 两个平均数之差的标准误，是用一切可能的样本 平均数之差在抽样分布上的标准差来表示的： 1.相关样本：
SEX X
1 2
2 12 2 2r 1 2
Z X1 X 2
2 X 1
n1
2 X 2
n2
•
决断规则（查Z值表）： 同前
2.独立小样本（n1≤30或n2≤30）：
X1 X 2
2 2 n1 X 1 n2 X 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
• •
检验统计量：
t
df n1 n2 2
决断规则（查t值表）： 同前
2.独立样本：
SEX
1X2
12
n1
2 2
n2
平均数差异的显著性检验
二、相关样本平均数差异的显著性检验 相关样本的两种情况： 1.同组前后测 2.配对组 1.相关大样本（n=n1=n2＞30）： • • 检验统计量： Z
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
n
决断规则（查Z值表）： 同前 2.相关小样本（n=n1=n2≤30）：
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
• •
检验统计量：
t
df n 1
n 1
决断规则（查t值表）： 同前
平均数差异的显著性检验
三、独立样本平均数差异的显著性检验 1.独立大样本（n1＞30、n2＞30）： • 检验统计量：
平均数差异的显著性检验
平均数差异的显著性检验是指通过从两个总 体中抽取出的两个样本来判断这两个总体的均值 的大小关系。 一、理论依据
抽样分布理论
• 两个平均数之差的标准误，是用一切可能的样本 平均数之差在抽样分布上的标准差来表示的： 1.相关样本：
SEX X
1 2
2 12 2 2r 1 2
Z X1 X 2
2 X 1
n1
2 X 2
n2
•
决断规则（查Z值表）： 同前
2.独立小样本（n1≤30或n2≤30）：
X1 X 2
2 2 n1 X 1 n2 X 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
• •
检验统计量：
t
df n1 n2 2
决断规则（查t值表）： 同前
2.独立样本：
SEX
1X2
12
n1
2 2
n2
平均数差异的显著性检验
二、相关样本平均数差异的显著性检验 相关样本的两种情况： 1.同组前后测 2.配对组 1.相关大样本（n=n1=n2＞30）： • • 检验统计量： Z
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
n
决断规则（查Z值表）： 同前 2.相关小样本（n=n1=n2≤30）：
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
• •
检验统计量：
t
df n 1
n 1
决断规则（查t值表）： 同前
平均数差异的显著性检验
三、独立样本平均数差异的显著性检验 1.独立大样本（n1＞30、n2＞30）： • 检验统计量：
26二、独立小样本平均数差异的显著性检验解析
有人在某小学的低年级做了一项英语教学实 验，在实验的后期，分别从男女学生中抽取一个样 本进行统一的英语水平测试，结果如下表所示。问 在这项教学实验中男女生英语测验成绩有无显著性 差异？（假定方差齐性）
性别 男 女
人数 25 28
平均数 92.2 95.5
样本标准 差 13.23 12.46
解：1.提出假设
D 1 2 1 2
t
X1 X 2 ( X 1 X 1 ) 2 ( X 2 X 2 ) 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
X1 X 2
2 2 n1 X n n1 n2 1 2 X2 n1 n 2 2 n1n2
t
t
X1 X 2
对于方差不齐性的两个独立样本平均数差异显
著性检验，需要用校正的t‘作为检验统计量。
方法和步骤：
t´值的计算方法也有三种：
用S计算：
'
X X t S S n n
' 1 2 1 1
2 2
2
2
用 计算
X
t
X X
1
1
2 X1
n 1 n 1
2
2
2 X2
用原始数 据计算：
X X t X ( X ) / n X ( X ) / n n (n 1) n (n 1)
H 0 : 1 2
H 1 : 1 2
2．计算检验的统计量
X1 X 2 t 2 2 n1 X n n1 n2 1 2 X2 n1 n2 2 n1n2
92.2 95.5 0.917 2 2 25 13.23 28 12.46 25 28 25 28 2 25 28
性别 男 女
人数 25 28
平均数 92.2 95.5
样本标准 差 13.23 12.46
解：1.提出假设
D 1 2 1 2
t
X1 X 2 ( X 1 X 1 ) 2 ( X 2 X 2 ) 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
X1 X 2
2 2 n1 X n n1 n2 1 2 X2 n1 n 2 2 n1n2
t
t
X1 X 2
对于方差不齐性的两个独立样本平均数差异显
著性检验，需要用校正的t‘作为检验统计量。
方法和步骤：
t´值的计算方法也有三种：
用S计算：
'
X X t S S n n
' 1 2 1 1
2 2
2
2
用 计算
X
t
X X
1
1
2 X1
n 1 n 1
2
2
2 X2
用原始数 据计算：
X X t X ( X ) / n X ( X ) / n n (n 1) n (n 1)
H 0 : 1 2
H 1 : 1 2
2．计算检验的统计量
X1 X 2 t 2 2 n1 X n n1 n2 1 2 X2 n1 n2 2 n1n2
92.2 95.5 0.917 2 2 25 13.23 28 12.46 25 28 25 28 2 25 28
平均数差异分析
)
X1 − X 2 统计量 = SEDX
25
1．两总体正态，总体标准差已知 两总体正态，
总体标准差已知条件下，平均数之差的抽样分布服从正态分布， 总体标准差已知条件下，平均数之差的抽样分布服从正态分布， 作为检验统计量，计算公式为： 以Ｚ作为检验统计量，计算公式为：
X1 − X 2 Z = SE D X
极其显著＊＊
显著性水平拒绝H 在0.01显著性水平拒绝 0， 显著性水平拒绝 接受H 接受 1
17
表10－4 10－
单侧t 单侧t检验统计决断规则
∣t∣与临界值比较 ∣
P值 值
显著性
检验结果
∣t∣＜t(df)0.
保留H 拒绝H 保留 0，拒绝 1
t(df)0.05≤∣t∣＜t(df)0.01 ∣∣
8
3．平均数显著性检验的几种情形
⑴总体为正态，总体标准差σ已知 总体为正态，总体标准差 已知 平均数的抽样分布服从正态分布， 为检验统计量，其计算公式为： 平均数的抽样分布服从正态分布，以Ｚ为检验统计量，其计算公式为：
Z =
X − µ0
σX
=
X − µ0
σ
n
9
例１：某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分数为66分， 某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分数为 分 标准差为11.7。现以同样的试题测验应届毕业生（假定应 。现以同样的试题测验应届毕业生（ 标准差为 届与历届毕业生条件基本相同），并从中随机抽18份试卷 届与历届毕业生条件基本相同），并从中随机抽 份试卷， ），并从中随机抽 份试卷， 算得平均分为69分，问该校应届与历届毕业生汉语拼音测 算得平均分为 分 验成绩是否一样？ 验成绩是否一样？
28
某幼儿园在儿童入园时对49名儿童进行了比奈智力测 例1:某幼儿园在儿童入园时对 名儿童进行了比奈智力测 某幼儿园在儿童入园时对 验(σ=16)，结果平均智商为 ，结果平均智商为106。一年后再对同组被试施 。 测，结果平均智商分数为110。已知两次测验结果的相关 结果平均智商分数为 。 系数为r=0.74，问能否说随着年龄的增长和一年的教育， ，问能否说随着年龄的增长和一年的教育， 系数为 儿童智商有了显著提高？ 儿童智商有了显著提高？
第二节 样本平均数与总体平均数差异显著性检验
第二节样本平均数与总体平均数差异显著性检验在实际工作中我们往往需要检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异，即检验该样本是否来自某一总体。
已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值或期望数值。
如畜禽正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄以及生产性能指标等，都可以用样本平均数与之比较，检验差异显著性。
检验的基本步骤是：（一）提出无效假设与备择假设：=，：≠，其中为样本所在总体平均数，为已知总体平均数；（二）计算值计算公式为：（5-2）式中，为样本含量，为样本标准误。
（三）查临界t值，作出统计推断由查附表3得临界值，。
将计算所得值的绝对值与其比较，若|t|<，则P>0.05，不能否定：=，表明样本平均数与总体平均数差异不显著，可以认为样本是取自该总体；若≤|t|<，则0.01<P≤0.05，否定：=，接受：≠，表明样本平均数与总体平均数差异显著，有95%的把握认为样本不是取自该总体；若|t|≥，则P≤0.01，表明样本平均数与总体平均数差异极显著，有99%的把握认为样本不是取自该总体。
若在0.05水平上进行单侧检验，只要将计算所得t值的绝对值|t|与由附表3查得 =0.10的临界t值比较，即可作出统计推断。
【例5.1】母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别为116、115、113、112、114、117、115、116、114、113（天），试检验所得样本的平均数与总体平均数114天有无显著差异？根据题意，本例应进行双侧t检验。
1.提出无效假设与备择假设：=114，：≠1142、计算值经计算得：=114.5，S=1.581所以===1.000=10-1=93、查临界值，作出统计推断由=9，查值表（附表3）得=2.262，因为|t|<，P>0.05，故不能否定：=114，表明样本平均数与总体平均数差异不显著，可以认为该样本取自母猪怀孕期为114天的总体。
第三节 两个样本平均数差异显著性检验
B 此例 ，经计算得 =705.625、 =288.839， =696.125、
700、705 680、695、700、715、708、685、 8 698、688
=138.125 1、提出无效假设与备择假设 ： = ， ： ≠
2、计算 值， 因为 =7.306 于是
= =1.300 =（8-1）+（8-1）=14 1. 查临界 值，作出统计推断当df=14时，查临界 值得： =2.145，|t|<2.145,P>0.05，故不能否定无效假设 ： = ，表明两种饲料饲喂粤黄鸡的增重效果差异不显著，可以认 为两种饲料的质量是相同的。 在非配对设计两样本平均数的差异显著性检验中，若总的试验单位 数（ ）不变，则两样本含量相等比两样本含量不等有较高检验效率，因 为此时使 最小，从而使 的绝对值最大。所以在进行非配对设计时，两样本含量以相同为 好。 在实际工作中还经常会遇到推断两个样本平均数差异是否显著的问 题，以了解两样本所属总体的平均数是否相同。对于两样本平均数差异 显著性检验，因试验设计不同，一般可分为两种情况：一是非配对设计 或成组设计两样本平均数的差异显著性检；二是配对设计两样本平均数 的差异显著性检。
第三节 两个样本平均数的差异显著性检验
在实际工作中还经常会遇到推断两个样本平均数差异是否显著的问 题，以了解两样本所属总体的平均数是否相同。对于两样本平均数差异 显著性检验，因试验设计不同，一般可分为两种情况：一是非配对设计 或成组设计两样本平均数的差异显著性检；二是配对设计两样本平均数 的差异显著性检。 一、非配对设计两样本平均数的差异显著性检验 非配对设计或成组设计是指当进行只有两个处理的试验时，将试验 单位完全随机地分成两个组，然后对两组随机施加一个处理。在这种设 计中两组的试验单位相互独立，所得的二个样本相互独立，其含量不一 定相等。非配对设计资料的一般形式见表5-2。 表5-2非配对设计资料的一般形式 观测值xij 样本 平均数 总体平 处理 含量ni 均数 1 x11x12… n1 =Σx1j/n1 2 x21x22… n2 =Σx2j/n2 非配对设计两样本平均数差异显著性检验的基本步骤如下： （一）提出无效假设与备择假设 ： = ， ： ≠
第七章 平均数差异的显著性检验
第七章 平均数差异的显著性检验
一 平均数差异性检验的基本原理
• 含义： – 平均数差异的显著性检验是指对两个样本平均数之间 差异进行的显著性检验。 • 差异显著的表达： – 两个样本平均数所代表的总体之间的平均数有差异；
– 两样本平均数的差异已不能认为完全是抽样误差造成
的，两个样本平均数分别来自于不同的总体。
σ1、σ2分别表示第一个和第二个变量的总体标准差 r 表示两个变量的相关系数 n 表示样本的容量
一 平均数差异性检验的基本原理
• 2)当两个变量互相独立（相关系数为0）这两个变量之差
平均数标准误，即独立样本平均数之差的标准误：
• n1、n2分别表示第一个和第二个样本的容量
二
相关样本平均数差异的显著性检验
五
方差不齐性独立样本平均数差异的 显著性检验
练习
• 课后完成本章练习题。
感谢各位的参与！
1、两个总体均值之差的检验（配对样本的t检验）
• 检验两个相关总体的均值 – 配对或匹配 – 重复测量 (前/后) 利用相关样本可消除项目间的方差 假定条件 – 两个总体都服从正态分布 – 如果不服从正态分布，可用正态分布来近似 (n1 30 , n2 30 )
• •
二
相关样本平均数差异的显著性检验
• 检验统计量为：
t
X -X s
1 1 2 2 d d
2 2
X -X
1 1
n -1
d
2 2
n n(n - 1)
-
d
2 2
2 2
自由度df ＝nD - 1
• 有兴趣可以推导
二
相关样本平均数差异的显著性检验
2、同一组对象情况
一 平均数差异性检验的基本原理
• 含义： – 平均数差异的显著性检验是指对两个样本平均数之间 差异进行的显著性检验。 • 差异显著的表达： – 两个样本平均数所代表的总体之间的平均数有差异；
– 两样本平均数的差异已不能认为完全是抽样误差造成
的，两个样本平均数分别来自于不同的总体。
σ1、σ2分别表示第一个和第二个变量的总体标准差 r 表示两个变量的相关系数 n 表示样本的容量
一 平均数差异性检验的基本原理
• 2)当两个变量互相独立（相关系数为0）这两个变量之差
平均数标准误，即独立样本平均数之差的标准误：
• n1、n2分别表示第一个和第二个样本的容量
二
相关样本平均数差异的显著性检验
五
方差不齐性独立样本平均数差异的 显著性检验
练习
• 课后完成本章练习题。
感谢各位的参与！
1、两个总体均值之差的检验（配对样本的t检验）
• 检验两个相关总体的均值 – 配对或匹配 – 重复测量 (前/后) 利用相关样本可消除项目间的方差 假定条件 – 两个总体都服从正态分布 – 如果不服从正态分布，可用正态分布来近似 (n1 30 , n2 30 )
• •
二
相关样本平均数差异的显著性检验
• 检验统计量为：
t
X -X s
1 1 2 2 d d
2 2
X -X
1 1
n -1
d
2 2
n n(n - 1)
-
d
2 2
2 2
自由度df ＝nD - 1
• 有兴趣可以推导
二
相关样本平均数差异的显著性检验
2、同一组对象情况
平均数差异的显著性检验
第一步：提出假设 第二步：选择检验统计量并计算其值 第三步：一般情况下，经常应用的是右侧 F检验。 第四步：统计决断 查附表3 举例（见教材）
0
1
2
H :
1
1
2
2．计算检验的统计量
t
X1 X2
2 X1
2 X
2
2r X1 X2
n 1
99 101
0.954
142 152 2 0.72 14 15
28 1
3．确定检验形式 左侧检验 4．统计决断 当df=27时，
t(27)0.05 1.703
t=0.954<1.703，P>0.05 所以，要保留零假设，即一年后儿童的智 商没有显著地提高。
t(9)0.05 2.262
t(9)0.01 3.250
t 3.456** 3.250
p<0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒 绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散
识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差 异的结论。
又如：
某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关 计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效 性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水 平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习 计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将 学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分 配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的 分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学 习效果上的显著性差异？
n1 n2
如
假设某小学从某学期刚开学就在中、高年 级各班利用每周班会时间进行思想品德教育， 学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道 德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想 品德教育的效果是否优于中年级？
0
1
2
H :
1
1
2
2．计算检验的统计量
t
X1 X2
2 X1
2 X
2
2r X1 X2
n 1
99 101
0.954
142 152 2 0.72 14 15
28 1
3．确定检验形式 左侧检验 4．统计决断 当df=27时，
t(27)0.05 1.703
t=0.954<1.703，P>0.05 所以，要保留零假设，即一年后儿童的智 商没有显著地提高。
t(9)0.05 2.262
t(9)0.01 3.250
t 3.456** 3.250
p<0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒 绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散
识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差 异的结论。
又如：
某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关 计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效 性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水 平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习 计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将 学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分 配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的 分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学 习效果上的显著性差异？
n1 n2
如
假设某小学从某学期刚开学就在中、高年 级各班利用每周班会时间进行思想品德教育， 学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道 德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想 品德教育的效果是否优于中年级？
第七章 平均数差异的显著性检验
n
——第一个与第二个变量的总体方差； r——两个变量的相关系数 n——样本的容量（n对相关样本）
2 12 2
10
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
二、平均数之差的标准误 平均数之差的标准误——两个总体标准差已知 2、独立样本——
D
2 1
n1
2 2
n2
n1、n2——第一个与第二个样本的容量
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： 分别用平均数差异的标准误的三种不同形式计算t值： ①用D计算
t
D
D D
2
n( n 1)
( D ) / n
2
19
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ②用总体标准差估计值S计算
23
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 32人的射击小组经过三天集中训练，训练前后分数如表， 问三天集训有无明显效果？
检验的步骤：
（1）提出假设
H0：μ1≤μ2（或μD≤0） H1：μ1＞μ2（或μD＞0）
24
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 检验的步骤： （2）选择检验统计量并计算其值 ——假定训练前后射击得分是从两个正态总体抽出的相关样 本，那么它们差数的总体也呈正态分布； ——而差数的总体标准差σD未知， ——于是样本的差数平均数与差数的总体平均数的离差统计 量呈t分布。 ——但因差数的数目n=32＞30，t分布接近正态，也可以用 Z检验近似处理。
25
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
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独立样本：秩和检验法
适用资料
秩和检验法与参数检验中独立样本的t 检验相对应。当“总体正态” 这一前提不成立，不能使用t检验时以秩和检验法代替t 检验。
计算过程
具体步骤： ① 将两个样本数据混合由小到大进行等级排列（最小的为1等）； ② 设 n1 < n2 ，将容量较小的样本（ n1 ）中各数据的等级相加， 以T表示； ③ 把T值与秩和检验表（附表14）中的临界值比较，若T≤T1 或 T≥T2 ，则表明两样本差异有统计学意义；若T1<T<T2 ，则意味着两样本 差异无统计学意义。
s12 s22 n1 n2
（2）相关样本
Z DX DX SEDX
X X
1 2 1 2
12 22 2r 1 2 n
或
Z
D X DX SE DX
X
1
X 2 1 2 s12 s 22 2rs1 s 2 n
1
X 2 1 2
2 s12 s2 n 1
（1）两个样本容量均小于10 时（n1 ≤10 , n2 ≤10 ）
独立样本：秩和检验法
（2）两个样本容量均大于10 时（n1>10，n2>10） 一般认为当两个样本容量均大于10时，秩和的分 布接近正态分布，其平均数及标准差如下（n1≤n2） ：
n n n 1 T 1 1 2 2
配对样本：符号等级检验法（方法二）
（2）当N＞25 时 当N＞25 时，一般认为T 的分布接近正态分布。 其平均数、标准差分别为：
T
N N 1 4
N N 12 N 1 T 24
T T
因而可以进行Z 检验
Z
T
非参数检验的概念
对总体分布有严格假定，对某些总体参数要满足一定 的假设条件的假设检验，我们称之为参数检验。 对总体分布不做严格假定，对总体参数也不需要满足 一定的假设条件的假设检验，我们称之为非参数检验。
平均数差异显著性检验
平均数差异显著性检验的概念
平均数差异显著性检验是指根据两个样本平均 数的差异检验两个相应总体平均数的差异。
(一)两总体正态、两总体方差已知条件下
（1）独立样本
Z DX DX SEDX
X
1
X 2 1 2
2 12 2 n1 n2
非参数检验的特点
（1）非参数检验一般不需要严格的前提条件； （2）非参数检验特别适用于顺序资料（等级变量）； （3）非参数检验很适合于小样本，且方法简单； （4）非参数检验最大的不足是未能充分利用资料的全部信息；
（5）非参数检验目前还不能处理“交互作用”。
独立样本方差齐性检验
两个样本方差之间差异显著性检验的概念
两个样本方差之间的差异显著性检验是指根据两个样本方差
之间的差异检验两个样本所在总体的方差之间的差异。
独立样本方差齐性检验
2 s大
F
2 s小
Z
DX DX SEDX
X
1
X 2 1 2
2 s12 s2 n1 n2
t
DX DX SEDX
X
X
1
X 2 1 2 d
2
n nn 1
2 d
（d i X 1i X 2i ， df n 1）
② 相关系数已知
t
D X DX SE D2
2 s12 s 2 2rs1 s 2 n 1
例2：用配对设计方法对9名运动员进行不同方法训练，每
一个对子中的一名运动员按传统方法训练，另一名运动员接 受新方法训练。课程进行一段时间后对所有运动员进行同一 考核，结果如下。能否认为新训练方法显著优于传统方法？
传统（X） 85 88 87 86 82 82 70 72 80 新法（Y） 90 84 87 85 90 94 85 88 92
配对样本：符号等级检验法（方法二）
适用资料
符号等级检验法又称添号秩和检验法，其适条件与符号检验法相同， 但它的精确度比符号法高。 计算过程 （1）当N≤25时 ① 把相关样本对应数据之差值按绝对值从小到大作等级排列（注意差 值为零时，零不参加等级排列）； ② 在各个等级前面添上原来的正负号； ③ 分别求出带正号的等级和（ T+ ）与带负号的等级和（ T- ），取两 者之中较小的记作（ T= min（T+，T-）。 ）； ④ 根据N 来查符号等级检验表（附表16），当T 大于表中临界值时表明 差异不显著；小于临界值时表明差异显著。
n1n2 n1 n2 1 T 12
这样，就可以按下面的式子进行差异检验了。
Z T T
T
配对样本：符号检验法（方法一）
适用资料 所谓符号检验法是以正负号作为资料的一种非参数方法，它适用于相关样本的 差异检验，与参数检验中相关样本差异显著性 t 检验相对应。 符号检验法也是将中数作为集中趋势的度量，主要用来检验与某些差值的中数 有关的零假设。 计算过程 （1）当样本容量 N≤25 时 对于样本每对数据之差（Xi，Yj）不计大小，只记符号，求出（Xi，Yj）为正号 的有多少，记为n+ ，（Xi，Yj）为负号的记为n- ，（Xi，Yj）为零的不计在内。这样 记N = n+ + n-，r = min（n+，n-）。检验时根据N 与r ，查符号检验表（附表15）得r 的临界值，如果实得r 值大于表中r 的临界值时，表示差异无统计学意义。
N r r 2 Z N 2
Z
r 0.5 N 2
N 2
（2）当样本容量N＞25 时 在实际中当N＞25 时常常使用近似正态法：
Z
校正公式：
r
rN N
2
2
Z
r 0.5 N 2
N 2
（当r＞N／2时，取r-0.5 ；当r＜N／2时，取r+0.5 ）
SE DX
n s n s n1 n2 2
2 1 1
2 2 2
n1 n2 n n 1 2
（ df n1 n2 2 ）
② 两个总体方差不等
t DX D X SEDX
X
1
X 2 1 2
2 s12 s2 n1 1 n2 1
t 的临界值应由 t
2 2 SE X t SE t 1 X 2 2 1
SE SE
2 X1
2 X2
求得。
若实际得 t t ，则认为两个平均数在水平上差异显著。
（二）两总体正态、两总体方差未知
（2）相关样本 ① 相关系数未知
t D X DX SE DX
（2）相关样本
Z D X DX SE DX
X
12
n
1
X 2 1 2
2 2
n
2r
1
n
2
n
（二）两总体正态、两总体方差未知
（1）独立样本 ① 两个总体方差相等（方差齐性） D X X t
X DX 1 2 1 2
（ df n 1 ）
(三)两总体均非正态（n＞30或n＞50）
（1）独立样本
Z DX DX SEDX
X X
1 2 1 2
n1 n2
2 1
2 2
或
Z
DX DX SEDX
X X
1 2 1 2
两总体均非正态（n＜30） 例1：在一项关于模拟训练的实验中，以技工学校的学生为对象，
对5名学生用针对某一工种的模拟器进行训练，另外让6名学生下车间 直接在实习中训练，经过同样时间后对两组人进行该工种的技术操作 考核，结果如下： 模拟器组：56，62，42，72，76 实 习 组：68，50，84，78，46，92 假设两组学生初始水平相同，问两种训练方式效果是否不同？