小样本资料的差异显著性检验
显著性差异分析
显著性差异分析显著性差异分析是统计学中常用的一种方法，用于确定两个或多个样本之间是否存在显著性差异。
这种分析方法可以帮助研究人员确定研究对象在不同条件下的表现是否存在实质性的差异，从而为科学研究和决策提供依据。
本文将介绍显著性差异分析的基本原理、相关统计指标以及实际应用案例。
一、基本原理显著性差异分析基于假设检验的思想，通过对比不同观测值之间的差异，判断是否存在实质性的差异。
在进行显著性差异分析时，通常会制定一个原假设（H0）和一个备选假设（H1）。
原假设认为观测值之间不存在显著性差异，备选假设则认为观测值之间存在显著性差异。
二、相关统计指标在显著性差异分析中，常用的统计指标包括均值、方差和标准差。
均值用于衡量不同样本之间的平均表现，方差和标准差则用于衡量不同样本之间的离散程度。
此外，还有一些统计指标如t值、p值和置信区间等，用于判断差异是否达到统计学上的显著性。
三、实际应用案例显著性差异分析在各个领域都有广泛的应用。
以下以医学领域为例，介绍显著性差异分析的一个实际案例。
研究人员想要比较两种不同药物对患者血压的影响是否存在显著性差异。
他们随机选取了100名患者，并将其分成两组，一组服用药物A，另一组服用药物B。
他们在实验开始前和结束后分别对患者的血压进行测量，得到了如下结果：药物A组：初始平均血压为120 mmHg，终止平均血压为110 mmHg。
药物B组：初始平均血压为122 mmHg，终止平均血压为115 mmHg。
为了确定这两组数据之间的差异是否显著，研究人员进行了显著性差异分析。
他们首先计算了每组的均值和标准差，然后使用t检验进行了统计显著性检验。
经过计算和统计分析，研究人员得到了以下结果：药物A组和药物B组之间的平均差异为2 mmHg，标准差为3 mmHg。
根据t检验的结果，他们得到了t值为1.33，p值为0.187。
根据统计结果可知，p值大于显著性水平（通常为0.05），即在此次研究中未能找到药物A和药物B之间的显著性差异。
显著性检验(Significance Testing)
显著性检验（Significance T esting）显著性检验就是事先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否显著地有差异。
或者说，显著性检验要判断样本与我们对总体所做的假设之间的差异是纯属机会变异，还是由我们所做的假设与总体真实情况之间不一致所引起的。
显著性检验是针对我们对总体所做的假设做检验，其原理就是“小概率事件实际不可能性原理”来接受或否定假设。
抽样实验会产生抽样误差，对实验资料进行比较分析时，不能仅凭两个结果（平均数或率）的不同就作出结论，而是要进行统计学分析，鉴别出两者差异是抽样误差引起的，还是由特定的实验处理引起的。
[编辑]显著性检验的含义显著性检验即用于实验处理组与对照组或两种不同处理的效应之间是否有差异，以及这种差异是否显著的方法。
常把一个要检验的假设记作H0,称为原假设（或零假设） (null hypothesis) ，与H0对立的假设记作H1，称为备择假设(alternative hypothesis) 。
⑴在原假设为真时，决定放弃原假设，称为第一类错误，其出现的概率通常记作α；⑵在原假设不真时，决定接受原假设，称为第二类错误，其出现的概率通常记作β。
通常只限定犯第一类错误的最大概率α，不考虑犯第二类错误的概率β。
这样的假设检验又称为显著性检验，概率α称为显著性水平。
最常用的α值为0.01、0.05、0.10等。
一般情况下，根据研究的问题，如果犯弃真错误损失大，为减少这类错误，α取值小些，反之，α取值大些。
[编辑]显著性检验的原理无效假设显著性检验的基本原理是提出“无效假设”和检验“无效假设”成立的机率（P）水平的选择。
所谓“无效假设”，就是当比较实验处理组与对照组的结果时，假设两组结果间差异不显著，即实验处理对结果没有影响或无效。
经统计学分析后，如发现两组间差异系抽样引起的，则“无效假设”成立，可认为这种差异为不显著（即实验处理无效）。
26二、独立小样本平均数差异的显著性检验解析
性别 男 女
人数 25 28
平均数 92.2 95.5
样本标准 差 13.23 12.46
解：1.提出假设
D 1 2 1 2
t
X1 X 2 ( X 1 X 1 ) 2 ( X 2 X 2 ) 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
X1 X 2
2 2 n1 X n n1 n2 1 2 X2 n1 n 2 2 n1n2
t
t
X1 X 2
对于方差不齐性的两个独立样本平均数差异显
著性检验，需要用校正的t‘作为检验统计量。
方法和步骤：
t´值的计算方法也有三种：
用S计算：
'
X X t S S n n
' 1 2 1 1
2 2
2
2
用 计算
X
t
X X
1
1
2 X1
n 1 n 1
2
2
2 X2
用原始数 据计算：
X X t X ( X ) / n X ( X ) / n n (n 1) n (n 1)
H 0 : 1 2
H 1 : 1 2
2．计算检验的统计量
X1 X 2 t 2 2 n1 X n n1 n2 1 2 X2 n1 n2 2 n1n2
92.2 95.5 0.917 2 2 25 13.23 28 12.46 25 28 25 28 2 25 28
小样本 的差异显著性检验
当两样本量相等时：n1 n2 n
则： sx1x2
n1 s12s2 2 nn1
s12s2 2 n
在小样本时，两样本平均数差的标准化
x1x212 是服从 t 分布的
sx1x2
因此： tx1x212
sx1x2
由于我们在之前的无效假设是：H0 :1 2 （备择假设是： HA:12 ） 因此这一式子可以简化为：t x1 x 2
显然，这两个厂家的药物是相互独立的，试验所用 动物也是独立的；样本较小
因此应使用成组数据的 t-test 进行分析 （同学们先行分析）
先做预备计算，将两个样本的平均值、方差等计算
出来：n1 10 x1 49.95
n 2 8 x2 48.70
s12 1.225 s22 1.074
sx1x2 1.1591108 10.51
根据统计假设检验的基本原理可知，假设检验的关 键是根据统计量的分布计算实得差异（即表面效 应）由抽样误差造成的概率
测验的统计量分布服从 u- 分布或 t- 分布，所以单 个平均数的假设检验可分为 u-test 和 t-test 两种
一、总体方差已知时单个平均数的假设检验
当总体方差 2 已知，不管样本多大，均可用 u- 分
布计算实得差异由抽样误差造成的概率，所以称 u-test u- 检验（u-test）的方法和步骤见前一章内容 （请逐一回忆一下检验公式和检验步骤）
二、总体方差未知时单个样本平均数的假设 检验
（一）当总体方差未知、而样本较大时，可以使用 u- 分布计算实得差异由抽样误差造成的概率
因此，其检验还是 u-test
一定要注意其中的任意一组作处理，一组作对照， 而不能事先规定哪一组做处理，哪一组作对照
显著性差异分析
显著性差异分析在科学研究和数据分析中，显著性差异分析是一种有效的工具，用于确定两组或多组数据之间是否存在显著的差异。
本文将介绍显著性差异分析的基本原理、常用的统计方法以及如何进行分析。
一、显著性差异分析的基本原理显著性差异分析的基本原理是通过对不同组别的数据进行比较，使用统计学方法来判断差异的显著性。
在进行显著性差异分析时，我们通常会设立一个零假设(H0)和一个备择假设(H1)。
零假设(H0)通常表示两组数据没有显著差异，而备择假设(H1)则表示两组数据存在显著差异。
显著性水平(alpha)是决定是否拒绝零假设的标准。
通常情况下，显著性水平取0.05，即5%的置信水平。
二、常用的统计方法1. t检验t检验是一种适用于小样本（样本量较小）情况下的显著性差异分析方法。
它可以判断两组数据均值是否存在显著差异。
适用于两组数据之间的比较。
2. 方差分析（ANOVA）方差分析是一种适用于多组数据（三组或三组以上）比较的统计方法。
它可以判断多组数据均值之间是否存在显著差异。
适用于多组数据之间的比较。
3. 卡方检验卡方检验是一种适用于两个及以上分类变量的显著性差异分析方法。
它可以判断两个或多个分类变量的分布是否存在显著差异。
适用于分类变量之间的比较。
三、如何进行进行显著性差异分析时，首先需要根据研究问题选择合适的统计方法。
然后，收集相应的数据并进行预处理，如数据清洗和数据转换。
接下来，使用选择的统计方法计算统计量，并得出相应的检验结果。
最后，根据检验结果判断差异是否显著，如果显著，则可以拒绝零假设，认定两组或多组数据之间存在显著差异；如果不显著，则接受零假设，认为两组或多组数据没有显著差异。
四、注意事项在进行显著性差异分析时，需要注意以下几点：1. 样本容量：样本容量通常需要足够大，以提高分析的可靠性和准确性。
2. 数据类型：不同的统计方法适用于不同类型的数据，如连续型数据和分类型数据。
3. 假设检验：根据研究问题和实际情况设定合适的零假设和备择假设，选择适当的显著性水平。
显著性差异分析
显著性差异分析显著性差异分析是一种常用的统计方法，用于确定两组或多组数据之间是否存在显著差异。
通过显著性差异分析，我们能够确定变量之间的差异性程度，进而得到有关数据的重要结论。
本文将介绍显著性差异分析的概念、原理以及常用的方法。
一、显著性差异分析的概念显著性差异分析是基于统计学的假设检验方法，旨在帮助我们判断两组或多组数据在某个或某些变量上是否存在显著的统计差异。
通过显著性差异分析，我们可以对数据进行全面的比较和评估，从而得出科学、客观的结论。
二、显著性差异分析的原理显著性差异分析的原理基于概率论和数理统计学的基本假设检验方法。
在进行显著性差异分析时，我们首先需要设置一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。
原假设通常假定两组或多组数据在某个或某些变量上没有显著差异，备择假设则假设存在显著差异。
基于原假设和备择假设，我们选取适当的统计检验方法来计算数据集的统计量，并与理论分布进行比较。
根据计算得到的统计量和临界值进行比较，我们可以得出关于数据差异性的结论，判断是否拒绝或接受原假设。
三、常用的显著性差异分析方法1. t检验t检验是一种用于小样本（样本容量较小）的显著性差异分析方法。
常见的 t检验包括独立样本t检验和配对样本t检验。
独立样本t检验用于比较两组不相关的样本数据之间的差异，而配对样本t检验则用于比较同一组样本在不同时间或条件下的差异。
2. 方差分析(ANOVA)方差分析是用于比较三组或三组以上数据之间差异的显著性分析方法。
方差分析将总变异分解为组内变异和组间变异，通过比较组间和组内的方差来判断数据是否存在显著差异。
方差分析广泛应用于实验设计、医学研究等领域。
3. 非参数检验非参数检验是一种用于无法满足正态分布假设的数据进行显著性差异分析的方法。
非参数检验不对样本数据的分布进行特定要求，而是通过排列、秩和等方法来进行统计推断。
常用的非参数检验方法包括Wilcoxon秩和检验、Mann-Whitney U检验等。
显著性检验
显著性检验1、什么是显著性检验显著性检验就是事先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否显著地有差异。
或者说，显著性检验要判断样本与我们对总体所做的假设之间的差异是纯属机会变异，还是由我们所做的假设与总体真实情况之间不一致所引起的。
显著性检验是针对我们对总体所做的假设做检验，其原理就是“小概率事件实际不可能性原理”来接受或否定假设。
抽样实验会产生抽样误差，对实验资料进行比较分析时，不能仅凭两个结果（平均数或率）的不同就作出结论，而是要进行统计学分析，鉴别出两者差异是抽样误差引起的，还是由特定的实验处理引起的。
2、显著性检验的含义显著性检验即用于实验处理组与对照组或两种不同处理的效应之间是否有差异，以及这种差异是否显著的方法。
常把一个要检验的假设记作H0,称为原假设（或零假设）(null hypothesis) ，与H0对立的假设记作H1，称为备择假设(alternative hypothesis) 。
⑴在原假设为真时，决定放弃原假设，称为第一类错误，其出现的概率通常记作α；⑵在原假设不真时，决定接受原假设，称为第二类错误，其出现的概率通常记作β。
通常只限定犯第一类错误的最大概率α，不考虑犯第二类错误的概率β。
这样的假设检验又称为显著性检验，概率α称为显著性水平。
最常用的α值为0.01、0.05、0.10等。
一般情况下，根据研究的问题，如果放弃真错误损失大，为减少这类错误，α取值小些，反之，α取值大些。
3、显著性检验的原理一、无效假设显著性检验的基本原理是提出“无效假设”和检验“无效假设”成立的机率（P）水平的选择。
所谓“无效假设”，就是当比较实验处理组与对照组的结果时，假设两组结果间差异不显著，即实验处理对结果没有影响或无效。
经统计学分析后，如发现两组间差异系抽样引起的，则“无效假设”成立，可认为这种差异为不显著（即实验处理无效）。
平均数差异的显著性检验
0
1
2
H :
1
1
2
2．计算检验的统计量
t
X1 X2
2 X1
2 X
2
2r X1 X2
n 1
99 101
0.954
142 152 2 0.72 14 15
28 1
3．确定检验形式 左侧检验 4．统计决断 当df=27时，
t(27)0.05 1.703
t=0.954<1.703，P>0.05 所以，要保留零假设，即一年后儿童的智 商没有显著地提高。
t(9)0.05 2.262
t(9)0.01 3.250
t 3.456** 3.250
p<0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒 绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散
识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差 异的结论。
又如：
某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关 计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效 性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水 平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习 计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将 学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分 配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的 分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学 习效果上的显著性差异？
n1 n2
如
假设某小学从某学期刚开学就在中、高年 级各班利用每周班会时间进行思想品德教育， 学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道 德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想 品德教育的效果是否优于中年级？
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58.3 59.2 58.6 60.6 60.3 59.5 59.1 58.0 61.0 58.9 n = 10 下面我们作统计分析
由于是小样本，且总体方差为未知 因此应使用 t-test 进行分析 （请同学们先自行立题、计算）
首先计算平均数和标准差，得：
x 59.35 s 0.999
s 0.999 sx 0.32 n 10
一、成组数据的平均值比较
方法介绍：
在一个总体中，随机地抽取两个样本，在这两个样
本中，被抽取的个体是相互独立的，且基本条件
（如品种、日龄、性别、体况等）都应一致、均
匀，必要时须作适当的调整，尽可能使两个组在 样本量上一致，各组的基本情况一致 随机地指定一组作处理，另一组作对照
一定要注意其中的任意一组作处理，一组作对照， 而不能事先规定哪一组做处理，哪一组作对照
典规定 （试想一下，该题可以用一尾检验吗？）
我们有三个公式用于单个样本的统计假设检验：
u x
x
x u sx
t
x sx
能说出这三个公式各自的使用场合和它们之间的区 别吗？
第二节 两个样本平均值相比较的 统计假设检验
很多情况下，我们不只是将样本平均数与总体平均
数相比较
而是做一个试验，这个试验中设置两个组，一个组
间应有较大的差异
2、选取若干个动物，每一个动物在试验前测定一 次，试验后测定一次，这样的两次记录就是配对 数据，如同一个人吃早饭前后各测一次血糖值， 这同一个人的两次血糖值就是一对数据，若干个 人就有若干个数据对 3、同一个体的不同部位可以配成一对，如一个兔 子的左右体侧，就可以配成一对，若干个兔子的 不同体表就是若干对
4、同一个动物的不同试验时期所施加的不同处理 形成一个对子，如一只猪在第一试验期施加 A 处 理，在第二试验期施加 B 处理；或第一试验期施 加处理，第二试验期作对照
作试验，施加某种试验条件（即处理 ），另一个 组作对照，试验完了将这两个组的试验数据进行 比较 这种试验可以采用两种方法进行： 第一种方法是两个组的数据是相互独立的：一组是 处理，另一组是对照
第二种方法是两个组的数据是配对的
下面我们先讨论两个组是相互独立的情况
这种统计假设检验的方法称为成组数据的比较
么？ ）
二、配对数据的平均值比较
方法介绍：
配对数据来自于配对试验，配对试验根据具体试验
情况可以有好多种方法： 1、将两个品种、性别、日龄、体况等一致的动物 （最好是有血缘关系的同胞或半同胞）配成一对， 任意一只进入试验组，另一只进入对照组，配成
若干对，试验中做好记录，这种记录到的数据就
是配对数据
注意：对子内的两个个体应尽可能一样，但对子之
2
2
n2
1 1 n1 n2
或：
sx1 x2
n1 1 s12 n2 1 s22
n1 1 n2 1
1 1 n1 n2
t 公式中分母两样本差的标准误也可以这样写：
sx1 x2 1 1 s n1 n2
2
2 1
其中：
s2
所得 t 值出现的概率 p 0.01 ，因此更应该否定无效 假设而接受备择假设
即：该猪群肛温与正常猪肛温差异极显著，我们有 99% 以上的把握认为该猪群犯病了
再举一例：
药典规定，某药物每 100ml 中应含有 60mg 的总黄 酮，现对某药厂生产的某一批次的这种药进行检 测，得如下数据，试问该批次药物的总黄酮含量 合格吗？
查附表4：t 分布表，得知：自由度为 df = 24 - 1 =
23 时的
t0.05,23 2.069
t0.01,23 2.807
本例中所得 t 4.71 t0.05,23 2.069
所得 t 值的概率 p 0.05 因此，应否定无效假设， 接受备择假设 即：该猪群肛温与正常猪肛温差异显著，我们有 95% 以上的把握认为该猪群犯病了 由于所得 t 值远大于 t0.05,23 2.069 因此还应当作进一 步的检验： t 4.71 t0.01,23 2.807
检验
已知： = 39 ℃，样本 x = 40.2 ℃， = 1.25 ℃ s
检验步骤如下：
设 H0 : 39 ℃ vs H A 39 ℃
计算 sx 和 t 值：
s 1.25 sx 0.255 n 24
x 40.2 39 t 4.71 sx 0.255
试验，并对试验后所得资料进行分析，通过统计 推断来定性或定量地分析研究总体的特征 本章主要介绍总体方差未知、且样本较小时不同资 料类型的统计推断——差异显著性检验（假设检
验）的具体方法
第一节 单个平均数的假设检验
单个平均数的假设检验是检验一个样本所属的总体
平均数 0 与一个特定（已知）总体平均数 间是
在第四章讨论 t- 分布时，我们已经知道，总体方差
未知、且样本较小时，可以用 s 2 代替 2 ，其统计 x 量 就不再服从标准正态分布，而是服从 t分布： x t
sx
sx
（请回忆一下 t- 分布曲线及其特点）
t- 分布曲线受自由度制约，不同自由度下的 t- 分布
曲线其形状是不同的，因此不同自由度下算得的
一、总体方差已知时单个平均数的假设检验
当总体方差 2 已知，不管样本多大，均可用 u- 分 布计算实得差异由抽样误差造成的概率，所以称
u-test
u- 检验（u-test）的方法和步骤见前一章内容
（请逐一回忆一下检验公式和检验步骤）
二、总体方差未知时单个样本平均数的假设 检验
（一）当总体方差未知、而样本较大时，可以使用
否存在显著差异的一种统计方法，也可理解为检
验一个样本是否来自某一特定（已知）总体的统 计分析方法
根据统计假设检验的基本原理可知，假设检验的关
键是根据统计量的分布计算实得差异（即表面效
应）由抽样误差造成的概率
测验的统计量分布服从 u- 分布或 t- 分布，所以单
个平均数的假设检验可分为 u-test 和 t-test 两种
t- 值落在某一范围内的概率值也随自由度的不同 而不同
下面我们用例子来说明这一类型的 t-test
例：猪的正常肛温为 39℃，今有一个猪场报告，怀
疑其猪群可能是发病了，某兽医在该场内随机抽
测了 24 头猪的体温，得到这 24 头猪的平均肛温 为 x = 40.2 ℃，标准差为 s = 1.25 ℃，试问该猪 场的猪犯病了吗？ 该例仅有总体平均值 = 39 ℃，而无总体方差，且 样本量不大（n = 24 < 30），因此符合总体方差 未知、且是小样本的情况，应使用 t-test 来进行
显然，这两个厂家的药物是相互独立的，试验所用 动物也是独立的；样本较小 因此应使用成组数据的 t-test 进行分析
（同学们先行分析）
先做预备计算，将两个样本的平均值、方差等计算 出来：n1 10 x1 49.95 s12 1.225 2 n2 8 x2 48.70 s2 1.074
0
由于 t '处于 t1 ~ t2 之间，因此，只有在实际计 算得到的 | t | 在 t1 ~ t2 之间时，才需要计算 t '
附：
两均方是否齐性的判别方法： F
2 s大 2 s小
如果 F F ,df1 ,df2 表示两均方齐性，否则就是不齐
（例题见P 52 该例实际是不需要计算 t ' 的，为什
sx1 x2
因此： t x1 x2 1 2 sx1 x2 由于我们在之前的无效假设是：H0 : 1 2
（备择假设是： H A : 1 2 ）
因此这一式子可以简化为：t x1 x2 sx1 x2
得到成组数据所进行的试验称为完全随机设计法 （仅两个组）
所得 t 值出现的概率 p 0.05
因此，否定无效假设，接受备择假设 即：A、B 两厂生产的该类药物的 24h 血液残留量 差异显著（下面应针对这一现的是合并均方，合
并均方只有在两总体方差（我们一般用样本均方
估计总体方差）相同，即两方差差异不显著的情 况下才能得到 这里我们总假定两个均方差异不显著，但如果两方 差差异显著，就不能合并，两均方是否相等，必 须用下一章的 F-test 进行检验才能知道
试验过程中注意记录资料，结束以后整理资料并进 行统计分析 这样得到的资料称为成组数据 这样的数据在组间、组内都是独立的 成组数据的 t-test 其公式是：
x1 x2 t sx1 x2
其中：
sx1 x2
x
2 1
x
1
2
n1 n1 1 n2 1
x
2 2
x
u- 分布计算实得差异由抽样误差造成的概率
因此，其检验还是 u-test
（请回忆一下以上两种 u-test 的共同点和不同点；
公式的不同：哪里不同）
（二）总体方差未知，且样本较小时的单个 样本平均数的假设检验
实际上，在很多情况下，总体方差往往是未知的，
而由于各种条件的限制，试验的样本又不可能很 大，即只能用小样本来作试验，或调查时抽取的 样本较小 因此，总体方差未知、样本较小是试验中最常见的 一种情况
sx1 x2 1 1 1.159 0.51 10 8
设立无效假设： H0 : 1 2 vs H A : 1 2
计算 t 值，并作比较：
t 2.45 t0.05,16 2.120
49.95 48.70 1.25 t 2.45 0.51 0.51
A、B 两厂生产某同类药物，现作 24 小时血液内残 留量检测，得如下数据，试分析哪一厂家的该类 药物的残留量大