2012-2013学年第1学期大气科学专业流体力学第2章(流体运动的控制方程)
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《大气科学基础》课件第2章 大气动力学基础
✓ 一个名叫古斯塔·加斯佩德·科里奥利的法国人在 1835年最先用数学方法描述了这种效应，所以科学界 用他的姓氏来命名此种力。我们通常也称它为地转偏 向力。在北半球，科里奥利力使风向右偏离其原始的 路线；在南半球，这种力使风向左偏离。风速越大， 产生的偏离越大。于是，在北半球，当空气向低压中 心辐合时会向右弯曲，形成了一个逆时针方向的旋转 气流。从高压中心辐散出来的空气，则因为向右弯曲 而形成了顺时针方向的旋风。我们把逆时针旋转的叫 做气旋，把顺时针旋转的叫做反气旋。在南半球，上 述的情形正好相反。
✓ The green guy will have to run faster than the orange guy to keep up.
• 产生的原因
✓ 物体为保持水平惯性运动， 经纬网因随地球自转而产生相 对加速度。 地转偏向力向右是 在北半球，在南半球则都向左；
✓ 由于除南北两极外，各纬度 的角速度都一样，从北向南飞 的时候，南边的圈大，即越向 南纬线越长，所以线速度大， 所以在北边的时候具有的一个 小的线速度与南边的线速度相 比就显的慢了。，
like this;
Dv F Dt
“The rate of change of velocity with time is equal to the sum of the forces acting on the parcel”
Frame of Reference
• For a non-rotating Earth, these forces are:
the earth; ✓ Not a real force in the sense that it cannot cause
a motion; ✓ As an earth-bound observer, we are not aware
2012-2013学年第1学期大气科学专业流体力学第3章(实验流体力学的基本原理和方法)
15
如果模型流体和原型流体是同一种流体（保证流体本身 的物理性质不变），通常有：
c 2 / 1 1 c 2 / 1 1
（需要说明，这是特例，一般不为1）。
16
根据方程分析法求解动力相似判据
下面以垂直方向的运动方程为例，通过方程分析方法来 推导动力相似的判据： 对于实际流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
对于所考虑的不可压缩黏性流体问题，只要以上四个无量 纲数在两个流场中是相同的，那么实际和模型流场相似， 则两方程应反映同一事实。
( St )1 ( St )2 , (Re)1 (Re) 2 , ( Eu)1 ( Eu) 2 , ( Fr )1 ( Fr ) 2
可见，利用无量纲数作为动力相似判据，比直接利用方 程分析法要简单。
ct t2 / t1
运动相似常数 cv u2 / u1 v2 / v1 w2 / w1 V2 / V1
t 注意：
f (l , v) ，通常 c t 可以是不独立的，决定于
。 上式要求所有对应点均成立
14
c l 和 cv
其他一些物理特征量的相似常数
c 2 / 1 c 2 / 1 cg g 2 / g1
方程中各物理量为模型流场中的量 以上方程反映模型流场的动力性质和过程。 将相似常数 cl x2 / x1 y2 / y1 z2 / z1 c 2 / 1
cv u2 / u1 v2 / v1 w2 / w1 ct t2 / t1
c 2 / 1 cg g 2 / g1
12
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场（或者实际流场）和模型流 场是满足几何相似、时间相似和运动相似的，并考虑 不可压缩 黏性流体的简单情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
大气流体力学第2章(2-3节)
取如图所示的流体四面体元，分析其受力情况。 z C
n
M
n
y
x
B
pn
A x
z
y
7
z C
n
M
n
为了区分不同面元所 受到的表面力，将 应力矢量的下标取其 受力面元的外法向方 向，并且规定为外法 向流体对另一部分流 体施加的应力。
y
x
B
pn
A x
z
1
如果 F 表示单位质量的流体的质量力： F F lim m 0 m m 的流体块上的质量力。 其中 F 是作用在质量为 不难看出， F 可以看做质量力的分布密度。
例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度 就是重力加速度 g 。
2
表面力
1定义：表面力是指流体内部之间或者流体与其他物 体的接触面上所受到的相互作用力。 如流体内部的粘性力和压力、流体与固体接触面上 的摩擦力等。
10
11
n (nx , ny , nz )
y
z C
n
n
Hale Waihona Puke xy Bx x n cos n, i nx n 考虑各面元间的关系： y n cos n, j n y n z n cos n, k nz n
不可压流体
n 2A n
25
26
第三节 运动方程
•流体的运动方程 （普遍形式） •纳维-斯托克斯（N-S）方程（具体形式） •欧拉方程（理想流体的运动方程） •静力方程 （最简单情形的运动方程）
引进应力张量：
p xx p xy p xz P p yx p yy p yz p p p zx zy zz
n
M
n
y
x
B
pn
A x
z
y
7
z C
n
M
n
为了区分不同面元所 受到的表面力，将 应力矢量的下标取其 受力面元的外法向方 向，并且规定为外法 向流体对另一部分流 体施加的应力。
y
x
B
pn
A x
z
1
如果 F 表示单位质量的流体的质量力： F F lim m 0 m m 的流体块上的质量力。 其中 F 是作用在质量为 不难看出， F 可以看做质量力的分布密度。
例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度 就是重力加速度 g 。
2
表面力
1定义：表面力是指流体内部之间或者流体与其他物 体的接触面上所受到的相互作用力。 如流体内部的粘性力和压力、流体与固体接触面上 的摩擦力等。
10
11
n (nx , ny , nz )
y
z C
n
n
Hale Waihona Puke xy Bx x n cos n, i nx n 考虑各面元间的关系： y n cos n, j n y n z n cos n, k nz n
不可压流体
n 2A n
25
26
第三节 运动方程
•流体的运动方程 （普遍形式） •纳维-斯托克斯（N-S）方程（具体形式） •欧拉方程（理想流体的运动方程） •静力方程 （最简单情形的运动方程）
引进应力张量：
p xx p xy p xz P p yx p yy p yz p p p zx zy zz
控制方程计算流体力学基础
综合得到：
同样，y、z方向的方程：
Du p xx yx zx fx Dt x x y z
物理含义与数值均不同
物质导数与速度散度
1 物质导数（Substantial Derivative）
x2 x1 lim u t2 t1 t t 2 1 y2 y1 lim v t2 t1 t t 2 1 z2 z1 lim w t2 t1 t t 2 1
而微团内质量增加的时间变化率为
dxdydz (dxdydz ) t t
两者相等
V 0 t
连续性方程（ Continuity Equation）
4、随流体运动的无穷小微团模型
m V c
D m 0 Dt
与随流体运动的流体微团，它的质量变化对 时间的变化率为0
D V 0 Dt
连续性方程（ Continuity Equation）
四种方程的转化 结论：四种方程是同一个方程（连续 性方程）的四种不同的形式，区别在 于每个方程中的各项都有略微不同的 物理含义。
动量方程（Momentum Equation）
动量方程推导的基本物理学原理：
（1）以向量的型式表示物质导数，对任意坐标系都成立 Dp （2）物质的导数可以用于任何流场变量，比如 Dt 、DT Dt 等等。
物质导数与速度散度
1、物质导数（Substantial Derivative）
D ( V ) Dt t
当地导数/Local Derivative 迁移导数/Convective Derivative
推出x方向总表面力
动量方程（Momentum Equation）
equations 流体力学控制方程
流体力学控制方程一、引言流体力学是研究流体运动规律的科学，而流体力学控制方程是描述流体运动规律的基本方程。
在工程和科学研究中，控制方程的建立和应用对于解决流体力学问题具有重要意义。
本文将对流体力学控制方程进行系统的介绍和分析。
二、流体力学基本方程流体力学中最基本的控制方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
这些方程可以描述流体的运动、压力分布以及能量转化过程。
1. 质量守恒方程流体力学中的质量守恒方程可以描述流体的质量变化和流动过程。
质量守恒方程的一般形式可以表示为：$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$其中，$\rho$表示流体的密度，$\mathbf{v}$表示流体的速度矢量，$\nabla \cdot$表示散度算子。
质量守恒方程表明了质量在流体中的守恒性质。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的力学规律。
一般情况下，动量守恒方程可以表示为：$\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = - \nabla p + \nabla \cdot\mathbf{\sigma} + \rho \mathbf{f}$其中，$p$表示流体的压力，$\mathbf{\sigma}$表示应力张量，$\mathbf{f}$表示外力。
动量守恒方程表明了流体运动受到的各种力的作用以及其动量变化的规律。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体内能的转化和传递过程。
一般情况下，能量守恒方程可表示为：$\frac{\partial (\rho e)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} e) = \nabla \cdot (\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{v}) + \nabla \cdot (\mathbf{q}) + \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{f}$其中，$e$表示单位质量流体的内能，$\mathbf{q}$表示传热通量。
计算流体力学中的控制方程
计算流体力学中的控制方程计算流体力学（CFD）是一种数值模拟方法，用于研究流体力学现象。
它基于控制方程，通过数值方法求解流体的运动状态和特性。
控制方程是CFD的核心，它描述了流体的运动规律和物理特性。
CFD中的控制方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
这些方程描述了流体的质量、动量和能量在空间和时间上的变化。
它们是CFD模拟的基础，也是CFD模拟结果的准确性和可靠性的保证。
质量守恒方程描述了流体的质量守恒原理。
它表明，在任何给定的时间和空间点，流体的质量都是不变的。
这个方程可以用来计算流体的密度和速度分布。
动量守恒方程描述了流体的动量守恒原理。
它表明，在任何给定的时间和空间点，流体的动量都是不变的。
这个方程可以用来计算流体的速度和压力分布。
能量守恒方程描述了流体的能量守恒原理。
它表明，在任何给定的时间和空间点，流体的能量都是不变的。
这个方程可以用来计算流体的温度和热传递分布。
控制方程的求解是CFD模拟的核心。
它需要使用数值方法来近似求解方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法。
这些方法可以将控制方程离散化，将连续的流体运动转化为离散的数值计算。
CFD模拟的结果受到控制方程的准确性和数值方法的精度的影响。
因此，控制方程的正确性和数值方法的精度是CFD模拟的关键。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的控制方程和数值方法，以获得准确和可靠的模拟结果。
控制方程是CFD模拟的核心，它描述了流体的运动规律和物理特性。
控制方程的求解需要使用数值方法，以近似求解方程。
CFD模拟的结果受到控制方程的准确性和数值方法的精度的影响。
因此，在CFD模拟中，需要选择合适的控制方程和数值方法，以获得准确和可靠的模拟结果。
4流体流动的控制方程
Tu x j
j
T x j cV x j
温度表示的能量方程
牛顿型流体的控制方程
不可压缩流体，根据连续方程
u k xk 0
ui t
u i u j x j
ui f i x xi x j j p
v y
w z
0
微 分 形 式
！
张量形式
t u i xi 0
运动（动量）方程
◆动量守恒定律
作用在控制体的上外力的合力与单位时间内通过控制面流入控制体内 的动量之和等于单位时间内控制体中流体动量的增量。
单位质量流体所受到的质量力为 微元面积矢量dS的应力张量为
1 e U x j 2
2
e u j u u j i ij u i x xi j T u i x j
2 u k p fiu i q x j 3 x k
V
f x dV
S
p x n dS
高斯（Gauss）定理
u div U u f x div p x dV 0 v t
运动（动量）方程
u div U u f x div p x dV 0 v t
流体仿真与应用
第四讲
流体流动的控制方程
连续性方程
◆质量守恒定律
n dS V U S t U
单位时间内通过控制面流入的质量之和等于单位时间 内控制体中质量的增量。
大气科学专业流体力学第二章(基本方程)
包围的体积为
质量力
的流体块
流体的作用力
表面力
27
质量力
1定义：质量力是指作用于所有流体质点的力。 如重力、万有引力、电磁力等。 2特征：
（1）质量力是一种长程力：质量力随相互作用的元素之 间的距离的增加而减小，但对于一般流体的特征运动距离 而言，质量力均能显示出来。
（2）质量力是一种分布力，分布于流体块的整个体积内 ，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体无关。 通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。
右端项为21???????00000hhhhhhhuyzxzuyzxuyxxxhxyzzuuuxxx????????????????????????????????????????????????????????????????hhhuxhzxuzxuyx?00????????????yx?thyx?z?thh???????????0?????????xzyuxzyx?thh????????????????0022考虑到与z无关并消掉等式两端公共项可得
6
对于不可压缩流体，它在流动过程中每 个流点的密度始终保持不变，应有，此 时流体的连续性方程为：
d 0 dt
0 V
7
例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？
u xt 2 y (1) v xt 2 yt u=y 2 2 xz (2) v 2 yz xy 2 z 1 w x 2 z 2 x3 y 4 2
u
y
x
u
( u ) x x
y
x
单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量为：
[ u
( u ) x] y z u y z = ( u ) x y z x x
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22
表面力的特征：
（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面力 随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相互作 用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。 （2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的。
（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。
23
定义单位面积上的表面力（即：表面应力）为：
对于沿流管的定常流动，设流速与截面垂直，且密度 和流速在任意截面内为定值，则沿流管的连续性方程：
v 常数
1v11 2 v2 2
14
3、具有自由表面的流体连续性方程 通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。 实际物理现象： 空气 水 当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之， 当该处有水向四周散开时，将使得那里的水面降低。 这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中 称之为自由表面。
17
具有自由表面的流体连续性方程的物理意义？
h V h h V 0 t
h (V h) t
h
它是讨论水面波动及简单的大气动力学问题所经常用到的。
18
第二节 质量力 表面力 应力张量
1、作用于流体的力
分析对象： 流体中以界面
包围的体积为
12
V t
对于流体的定常运动，有
0 t
流体的连续性方程可写为：
V 0
可知，在定常运动中，通过任意控制体封闭表面的流体质量 的净流入量等于零. 即单位时间内流出控制体表面的质量=流进控制体表面的质量。
13
在定常运动中，单位时间内流出控制体表面的质量等 于流进控力
表面力
19
质量力
1定义：质量力是指作用于所有流体质点的力。 如重力、万有引力、电磁力等。 2特征：
（1）质量力是一种长程力：质量力随相互作用的元素之 间的距离的增加而减小，但对于一般流体的特征运动距离 而言，质量力均能显示出来。
（2）质量力是一种分布力，分布于流体块的整个体积内 ，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体无关。
pnx n x p xx n y p yx nz pzx pny n x p xy n y p yy nz pzy pnz n x p xz n y p yz nz pzz
33
pnx n x p xx n y p yx nz pzx pny n x p xy n y p yy nz pzy pnz n x p xz n y p yz nz pzz
上式为作用于流体微元的应力矢量之间的相互关系。
n与 x， y， z的关系？
30
z
n
C
n ( nx , n y , nz )
M y
y
n
M
P
x
B
n
P K
x
A
z
A x
考虑面元 x与 n 的关系：
x n cos n, i nx n
u xt 2 y (1) v xt 2 yt
8
2、欧拉(Euler)观点下的流体连续性方程（一） 在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。
单位时间内通过左侧面 流入控制体的流体质量为：
z
z
u y z
单位时间内通过右侧面 流出控制体的流体质量为：
[ u ( u ) x] y z x
通常情况下，作用于流体的质量力指的是重力。
20
如果 F 表示单位质量的流体受到的质量力： F F lim m 0 m 不难看出， F 可以看做质量力的分布密度。
例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度 就是重力加速度 g 。
21
表面力
1定义：表面力是指流体内部之间或者流体与其他物 体的接触面上所受到的相互作用力。 如流体内部的黏性力和压力、流体与固体接触面上 的摩擦力等。
15
交界面
考虑流体为不可压缩的。
具有自由表面的流体连续方程 h hV 0 t
欧拉型连续方程
h V h h V 0 t
V 0 t
水
h
空 气
16
考虑流体为不可压缩的。
Lagrange 观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在 运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质 量是守恒不变的。
p lim
p
0
p 例如：流体受到的表面力为压力， 就是压强。
24
质量力和表面力的比较
矢量 F 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函 数，因而构成了一个矢量场。 而矢量 p 为流体的应力矢量，它不但是时间和空间
点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变 化。
B
pn
z
p z pz
y
p x px
p y p y
28
dV m F m pn n p x x p y y p z z dt
根据作用力与反作用力原理，方程可以写成如下形式：
5
Lagrange 观点下连续性方程的物理意义
d V 0 dt ？
(1) 0 流体体积增大 d / dt 0 流体密度减小； V (2) 0 流体体积减小 d / dt 0 流体密度增大； V (3) 0 流体体积不变 d / dt 0 流体密度不变。 V
V t
单位体积的流体质量通量
(1) V） 0 有流体净流出 / t 0 流体局地密度减小； （ (2) V） 0 有流体净流入 / t 0 流体局地密度增大； （ (3) V） 0 流体无净流出或净流入 / t 0 流体局地密度不变。 （
引进应力张量：
p xx p xy p xz P p yx p yy p yz p p p zx zy zz
pn n P
34
应力分量
pij 的物理含义：
¤ 对应力分量的下标作如下规定：第一个下标表示受 ¤
力面元的外法线方向；第二个下标表示面元受到的应 力矢量所投影的方向。
或者 ( V ) 0 t
10
2、欧拉(Euler)观点下的流体连续性方程（二）
拉格郎日型连续方程
d V 0 dt
d V dt t
欧拉型连续方程
V 0 t
11
欧拉型连续性方程的物理意义
d ( m) 0 dt
m h
d ( m) d ( h ) dh d ( ) h 0 dt dt dt dt
dh d ( ) h 0 dt dt dh h h 0 V dt
h V h h V 0 t
31
n ( nx , n y , nz )
C
z
n
y
n
x
y B
x n cos n, i nx n 考虑各面元间的关系： cos n, j n y n y n z n cos n, k nz n
pn , p x , p y , p z
z
y
27
z
C
n
M
n
dV m F m pn n p x x dt A p y y p z z
x 根据作用力与反作用力原理
根据牛顿第二定律，
y
x
dV m F m pn n px x p y y pz z dt
29
dV m Fm pn n p x x p y y pz z dt
四面体体积取极限时：
pn n p x x p y y pz z
6
对于不可压缩流体，它在流动过程中每 个流点的密度始终保持不变，此时流体 的连续性方程为：
d 0 dt
0 V
7
例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？
u=y 2 2 xz (2) v 2 yz xyz 1 2 w xz x 3 y 4 2
2
第二章
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
流体运动的控制方程
流体的连续性方程 质量力 表面力 应力张量 运动方程 能量方程 流体力学基本方程组
3
第一节 流体的连续性方程
连续性方程是流体力学的基本方程之一，它 是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论几种不同表现形式的流体连续性方程。
所以要确定应力矢量 p ，必须考虑点的矢径 r 、该点受力 面元的方向（或者说面元的法线单位矢量 n ）以及时间 t。确 切地说应力矢是两个矢量（ r 、n ）和一个标量的函数 t。
25
2、应力张量
取如图所示的流体四面体元，分析其受力情况。 质量为 m z C
质量力为 F m
表面力？？？
n
M
n
y
x
B
pn
A x
z
y
26
z C
n
M
n
为了区分不同面元所 受到的表面力，将 应力矢量的下标取其 受力面元的外法线方 向，并且规定为来自 外法线方向的流体对 另一部分流体施加的 x 应力。
y
x
B
pn
A