流体力学的基本概念
第一章 流体力学的基本概念
第一章 流体力学的基本概念
x x( x0 , y 0 , z 0 , t , ) y y ( x0 , y 0 , z 0 , t , ) z z ( x , y , z , t , ) 0 0 0
τ固定，t变化时，迹线；
第一章 流体力学的基本概念
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
1.流动的描述
流体的物理量表示为流体质点和时间的函数。
p p( x0 , y0 , z0 , t )
T T ( x0 , y0 , z0 , t )
( x0 , y0 , z0 , t )
（x0 , y0 , z0） 固定，t 变化： 表示某一确定流体质点的空间位臵及相 关物理量随时间的变化规律。 （x0 , y0 , z0）变化，t 固定： 表示同一时刻不同流体质点的空间位臵 及相关物理量。
0
有限大的正数
r0 , r 互为反函数。
第一章 流体力学的基本概念
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
r0 r0 (r , t )
x0i x0i ( x j , t )
x0 x0 ( x, y, z , t ) y0 y0 ( x , y , z , t ) z z ( x, y , z , t ) 0 0
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
(2) 已知欧拉参考系的物理量
u u (r , t )
积分 代入
dr u (r , t ) dt
dx dt u ( x, y , z , t ) dy v ( x, y , z , t ) dt dz dt w( x, y , z , t )
第4章 流体基本知识
注：不是流体没有粘性
一、流体的静压强定义：
流体的压强(pressure) ：在流体内部或固体壁面所存在的单位 面积上 的法向作用力 流体静压强（static pressure)：流体处于静止状态时的压强。
p
lim
A0
P A
4、稳定流和非稳定流
定常流动(steady flow) :流动物理参数不随时间而变化
如：p f ( x, y, z), u f ( x, y, z, )
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f ( x, y, z, t ), u f ( x, y, z, t )
式中μ——黏度或黏滞系数(viscosity or absolute viscosity)。
黏度的单位是：N.s/m2或Pa.s 黏度μ的物理意义：表征单位速度梯度作用下的切应力， 反映了流体黏性的动力性质，所以μ又被称为动力黏度。 与动力黏度μ对应的是运动黏度υ(kinematic viscosity)，二 者的关系是
V 0
V 0
V
V
G V
三、流体的压缩性与膨胀性 1、压缩性： 定义：在一定的温度下，流体的体积随压强升高而缩 小的性质 表示方法：体积压缩系数β (The coefficient of compressibility)
1 dV V dp
（1/Pa）
2、膨胀性： 定义： 在一定的压强下，流体的体积随温度的升 高而增大的性质 表示方法：温度膨胀系数α(the coefficient of expansibility)
特别注意：流体静压强的分 布规律只适用于静止、同种、 连续的流体。
1-流体力学的基本概念
V p dp E ＝ V d 1
单位体积的相对变化所需要的压力增量。
常数
不可压缩流体
• 对于气体
气体密度随压力的变化是和热力过程有关的。 可压缩性表现突出。 在某些情况下，气体可作不可压缩流体处理。
• 水在100atm下，容积缩小0.5% • 气体，气压增加0.1倍，则密度增加0.1倍
牛顿内摩擦定律
y方向速度梯度
剪切应变率
dv x d dx dy dy dt
牙膏0 > 0
油漆 水
满足此表达式的流体称为 牛顿流体。不满足以上关 系的流体成为非牛顿流体。
0
淀粉糊
13
三. 可压缩性
体积压缩系数
当温度保持不变，单位压强增 量引起流体体积的相对缩小量
7
3. 连续介质
密度随尺度的变化(常温下) 3) 当a>L，流体的密度随空间变化，是一个空间分布 的连续函数。
微元体积δV不是数学上的无限小，而应理解为“物理 上的”无限小(唯象的方法)
8
3. 连续介质
宏观物理量的严格定义--- 系综平均
������ 理论上，δV应当取成是真正的数学无限小，而对于 给定的点和时间， 密度ρ就是一个随机变量。求出这个随 机变量的统计平均值，将得到一个确定的数，不同点和时 间ρ的全体就是定义在时空四维连续体上的密度分布函数。
2) 欧拉表达式中包括变量t , 是不定常流动。 3)在拉格朗日参考系中求加速度,
2 x ax 2 (2ae2t ) 4ae2t 4 x t t 2 y 2y a y 2 [2b(1 t )] 2b t t (1 t )2
2 z 2t t 4ce2t t 2ce2t 6ce2t t az 2 2ce 3 3 3 t t (1 t ) (1 t ) (1 t ) (1 t ) 4
第一章流体力学基本概念
分别运动至A’,B’,C’,D’点，则有
A
B
A'
B'
udt
E D D D A A (u d)d u u t d dtudt
图1-2 速度梯度
由于
du ED
dt
因此得速度梯度 duED tgd d
dy dydt dt dt
可以看出dθ为矩形ABCD在dt时间后剪切变形角度，这就表明速度梯度实质上就 是流体运动时剪切变形角速度
•第一章流体力学基本概念
随着科学技术的不断进步，计算机的发展和应用，流体力学的研究领域和应用范 围将不断加深和扩大。从总的发展趋势来看，随着工业应用日益扩大，生产技术 飞速发展，不仅可以推动人们对流动现象深入了解，为科学研究提供丰富的课题 内容，而且也为验证已有的理论、假设和关系提供机会。理论和实践密切结合， 科学研究和工业应用相互促进，必将推动本学科逐步成熟并趋于完善。
第一章 流体力学基本概念
第一节 流体力学的发展、应用及其研究方法 第二节 流体的特征和连续介质假设 第三节 流体的主要物理性质及分类 第四节 作用在流体上的力
•第一章流体力学基本概念
第一节 流体力学的发展、应用及其研究方法
一、流体力学发展简史
流体力学是研究流体的平衡及运动规律，流体与固体之间的相互作 用规律，以及研究流体的机械运动与其他形式的运动（如热运动、化学 运动等）之间的相互作用规律的一门学科。 流体力学属于力学范畴，是 力学的一个重要分支。其发展和数学、普通力学的发展密不可分。流体 力学起源于阿基米德（Archimedes，公元前278~公元前212）对浮力的 研究。
流体的压缩性及相应的体积弹性模量是随流体的种类、温度和压力而变化 的。当压缩性对所研究的流动影响不大，可以忽略不计时，这种流动成为不可 压缩流动，反之称为可压缩流动。通常，液体的压缩性不大，所以工程上一般 不考虑液体的压缩性，把液体当作不可压缩流体来处理。当然，研究一个具体 流动问题时，是否考虑压缩性的影响不仅取决于流体是气体还是液体，而更主 要是由具体条件来决定。
流体力学的基本原理
流体力学的基本原理流体力学是研究流体静力学和流体动力学的学科，旨在了解和分析流体的行为和特征。
它的研究对象包括气体和液体，在工程学、物理学和地球科学等领域都有着广泛的应用。
本文将探讨流体力学的基本原理，以期帮助读者全面了解这一领域的知识。
一、流体力学的基本概念流体力学研究的是流体的运动，而流体的运动可以分为两种情况：一种是静态流体，即流体处于静止状态；另一种是动态流体，即流体具有速度场分布的运动状态。
流体力学通过数学方法和实验研究对流体的运动行为进行预测和描述。
二、连续介质假设在进行流体力学的研究中，我们通常采用连续介质假设。
连续介质假设认为流体是由无数微观粒子组成的，这些粒子之间的相互作用力可以忽略不计。
基于这个假设，我们可以应用微分方程和积分方程进行流体的运动描述和分析。
三、质量守恒定律质量守恒定律是流体力学中的基本原理之一。
根据这一定律，一个封闭系统内的质量总是不变的。
换句话说，对于一个流体流动系统来说，流入系统的质量必须等于流出系统的质量。
这个原理被广泛应用于流体力学中的流量分析和控制。
四、动量守恒定律动量守恒定律是另一个重要的流体力学基本原理。
它描述了流体中动量的守恒关系。
根据动量守恒定律，流体在受到外力作用时会产生加速度，并且流体内各点之间的压力差会引起流体的运动。
这个原理在研究流体力学中的压力分布、速度场和流体流动方向等方面起着重要作用。
五、能量守恒定律能量守恒定律是流体力学的另一个基本原理。
根据这一定律，流体在运动过程中能量总是守恒的。
能量守恒定律可以用来描述流体在不同状态中的能量变化和转化。
例如，在研究流体的产热和传热过程中，我们可以利用能量守恒定律来分析和计算。
六、流体力学的应用流体力学的研究不仅仅是理论分析，还有着广泛的应用价值。
在建筑工程中，流体力学可以用于分析和设计水力结构，例如水坝和水渠。
在航空航天工程中，流体力学可以用于研究和改进飞机和火箭的气动性能。
在地球科学中，流体力学可以用来模拟大气和海洋的环流系统，以及地球内部的岩浆运动。
流体力学的基本概念
流体力学的基本概念流体力学是研究流体在运动和静止时的物理学科，广泛应用于工程、自然科学和医学领域。
流体力学的基本概念包括：流体、速度场、流线、通量、压力、连通性、黏度等。
下面将对这些基本概念进行介绍。
1. 流体流体是指能够流动的物质，包括气体和液体。
与固体不同的是，流体没有一定的形状，并且具有很强的流动性。
流体力学研究的是在流体中运动和转化的能量和物质。
2. 速度场在流体力学中，速度场指的是在空间中的任何一个点（x,y,z）处，流体在该点的速度向量V(x,y,z)。
速度场可以用向量场表示，它是一个三维矢量，表示流体在不同点的速度和方向。
3. 流线流线是指在流体中某个时刻从每个点出发的一条曲线，它的方向与该点的速度向量方向相同。
流线可用于描述流体在空间中的流动状态，它的密度越集中，表示流体流动越迅速。
4. 通量在流体力学中，通量是指通过一定面积的流体的质量或者体积。
它可以通过流体穿过该面积的速度与面积相乘来计算。
通量是流体力学中的重要概念，与流体的流动速度和流体的面积有关。
5. 压力压力是指单位面积受到的力的大小，以牛顿/平方米表示。
在流体力学中，压力是指垂直于流体流动方向的单位面积上的压力大小，它与流体的密度和流速有关。
6. 连通性流体力学中的连通性是指流体不可穿透的性质，即两个靠近的流体体积不能相互穿透。
在流体运动中，连通性是一条重要的限制条件。
连通性是流体力学中常常需要掌握的概念，尤其是在流体的运动与静止的过程中。
7. 黏度黏度是指流体阻力的大小，它是描述流体的粘性的物理量。
黏度可以用来描述流体在运动中的阻力大小，阻力越大，黏度也就越大。
黏度是流体力学中非常重要的物理量，它影响了流体的运动和可塑性。
第一章 流体力学的基本概念
当i j 时 当i j 时
（b）]；2）转动，使正方形绕4轴转动，直至对角线42与
42重合[图1-1（c）]，则其转角为242；3）变形，剪切 正方形1234，并拉伸42对角线，使2与2重合[图1-1 （d）]。由此可见，这种流线都是直线的简单流动，也还 是由平动、转动、变形这三种运动形式复合而成的。
分析一般情况下流体运动的分解
ai ei a1e1 a2e2 a3e3 ax i a y j az k a
ei e1 e2 e3 i j k xi x1 x2 x3 x y z
描述流体运动的两种方法
速度分解定理
变形速度张量
应力张量
本构方程 漩涡运动的基本概念
第一节 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法
拉格朗日法是从分析各个流体质点的运动状态着手来研究整个流场的流体 运动的。该方法的基本思想是：从某个时刻开始跟踪每一个流体质点，记 录这些质点的位置、速度、加速度及其它物理参数的变化。这种方法是离 散的质点运动描述方法在流体力学中的推广。该方法的分析公式为
r a, b, c, t t
,
2 r a , b, c , t a t 2
p p a, b, c, t ,
T T a, b, c, t ,
a, b, c, t
拉格朗日法初看容易理解，但就某些特定问题来求解方程是很困难的。
b1 b3 b3 b1 b1 b2 b2 b2 b3 a1 a2 a3 a2 a3 a2 a3 e1 a1 e2 a1 e3 x2 x3 x2 x3 x2 x3 x1 x1 x1
流体力学基本概念和方程汇总
流体力学基本概念和方程汇总流体力学是研究流体运动的力学学科，它涉及到液体和气体在外力作用下的行为和性质。
在流体力学中，有一些基本概念和方程被广泛应用于流体的描述和分析。
下面是流体力学的基本概念和方程的汇总。
一、基本概念1.流体：流体是指可流动的物质，包括液体和气体。
2.运动：流体在空间中的运动，通常包括速度、位置和加速度等因素。
3.静止：流体在空间中不运动的状态。
4.流速：流体在单位时间内通过一些截面的体积。
二、基本方程1.静力学方程：描述在静止状态下的流体行为。
在平衡状态下，流体中各点的压强相等。
2.动力学方程：描述流体在运动状态下的行为。
包括质量守恒、动量守恒和能量守恒等方程。
-质量守恒方程：流体在宏观上的质量守恒，即在闭合系统中，质量的净进出量为零。
-动量守恒方程：描述流体动量的变化。
动量是质量与速度的乘积，动量守恒方程中考虑了流体流动的惯性和外力的作用。
-能量守恒方程：描述流体内部能量的变化。
能量守恒方程中考虑了热能和机械能的转换和损失。
3.伯努利方程：描述无黏流体在不受外力作用下沿流线的稳定流动。
它表明在流速增加的地方压强降低，为流体提供了加速的能源。
4.导体方程：描述流体内部流速分布的关系。
它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒方程来推导的。
三、附加方程1.状态方程：描述流体状态的方程，如理想气体状态方程pV=nRT。
2.粘性方程：描述流体黏性特性的方程。
黏性是流体内部分子间相互作用所产生的阻力，影响流体的粘度和黏性流动等现象。
3.边界条件：描述流体流动过程中与边界接触的物体对流体运动的影响。
边界条件包括无滑移条件、不透过条件和等温条件等。
4.各向同性方程：描述流体的等向性特性。
合理假设流体在各个方向上具有相同的特性，简化流体力学计算。
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第1章 流体力学的基本概念流体力学是研究流体的运动规律及其与物体相互作用的机理的一门专门学科。
本章叙述在以后章节中经常用到的一些基础知识，对于其它基础内容在本科的流体力学或水力学中已作介绍，这里不再叙述。
连续介质与流体物理量连续介质流体和任何物质一样，都是由分子组成的，分子与分子之间是不连续而有空隙的。
例如，常温下每立方厘米水中约含有3×1022个水分子，相邻分子间距离约为3×10－8厘米。
因而，从微观结构上说，流体是有空隙的、不连续的介质。
但是，详细研究分子的微观运动不是流体力学的任务，我们所关心的不是个别分子的微观运动，而是大量分子“集体”所显示的特性，也就是所谓的宏观特性或宏观量，这是因为分子间的孔隙与实际所研究的流体尺度相比是极其微小的。
因此，可以设想把所讨论的流体分割成为无数无限小的基元个体，相当于微小的分子集团，称之为流体的“质点”。
从而认为，流体就是由这样的一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所谓的“连续介质”。
同时认为，流体的物理力学性质，例如密度、速度、压强和能量等，具有随同位置而连续变化的特性，即视为空间坐标和时间的连续函数。
因此，不再从那些永远运动的分子出发，而是在宏观上从质点出发来研究流体的运动规律，从而可以利用连续函数的分析方法。
长期的实践和科学实验证明，利用连续介质假定所得出的有关流体运动规律的基本理论与客观实际是符合的。
所谓流体质点，是指微小体积内所有流体分子的总体，而该微小体积是几何尺寸很小（但远大于分子平均自由行程）但包含足够多分子的特征体积，其宏观特性就是大量分子的统计平均特性，且具有确定性。
流体物理量根据流体连续介质模型，任一时刻流体所在空间的每一点都为相应的流体质点所占据。
流体的物理量是指反映流体宏观特性的物理量，如密度、速度、压强、温度和能量等。
对于流体物理量，如流体质点的密度，可以地定义为微小特征体积内大量数目分子的统计质量除以该特征体积所得的平均值，即VMV V ∆∆=∆→∆'limρ （1-1）式中，M ∆表示体积V ∆中所含流体的质量。
按数学的定义，空间一点的流体密度为VMV ∆∆=→∆0limρ （1-2）由于特征体积'V ∆很小，按式（1-1）定义的流体质点密度，可以视为流体质点质心（几何点）的流体密度，这样就应予式（1-2）定义的空间点的流体密度相一致。
为把物理概念与数学概念统一起来，方便利用有关连续函数的数学工具，今后均采用如式（1-2）所表达的流体物理量定义。
所谓某一瞬时空间任意一点的物理量，是指该瞬时位于该空间点的流体质点的物理量。
在任一时刻，空间任一点的流体质点的物理量都有确定的值，它们是坐标点),,(z y x 和时间t 的函数。
例如，某一瞬时空间任意一点的密度是坐标点),,(z y x 和时间t 的函数，即),,,(t z y x ρρ= （1-3）描述流体运动的两种方法描述流体运动的方法有拉格朗日（Lagrange ）法和欧拉（Euler ）法。
拉格朗日法拉格朗日法是以个别的流体运动质点为对象，研究这些指定质点在整个运动过程中的轨迹以及运动要素随时间变化的规律。
各个质点运动状况的总和就构成了整个流体的运动。
这种方法又称为质点系法。
在某直角坐标系0xyz 中，将0t t =时的某流体质点在空间的位置坐标),,(c b a 作为该质点的标记。
在此后的瞬间t ，该质点),,(c b a 运动到空间位置),,(z y x 。
不同的质点在0t 时，具有不同的位置坐标，如),,(c b a '''、),,(c b a ''''''……，这样就把不同的质点区别开来。
同一质点在不同瞬间处于不同位置；各个质点在同一瞬间t 也位于不同的空间位置。
因而，任一瞬时t 质点),,(c b a 的空间位置),,(z y x 可表为⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x(1-4a)式中c b a ,,称为拉格朗日变数。
若给定式中的c b a ,,值，可以得到某一特定质点的轨迹方程。
将某质点运动的空间位置的时间历程描绘出来就得到该质点的迹线。
将式（1-4a ）对时间t 取偏导数，可得该流体质点在任意瞬间的速度u 在z y x ,,轴向的分量⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂==∂∂==∂∂=),,,(),,,(),,,(t c b a u t z u t c b a u t y u t c b a u tx u z z y y x x （1-5a ）若坐标用i x 表示，3,2,1=i ，即用321,,x x x 代替z y x ,,；用i u ，即321,,u u u ，代替z y x u u u ,,；用k x 0，3,2,1=k ，即030201,,x x x ，代替c b a ,,；则式（1-4a ）~ (1-5a)可写为),(0t x x x k i i = （1-4b ）),(0t x u tx u k i ii =∂∂=（1-5b ） 对于某一特定质点，给定c b a ,,值，就可利用式（1-4）~ (1-5)确定不同时刻流质点的坐标和速度。
欧拉法欧拉法是以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。
这种方法又叫做流场法。
采用欧拉法，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。
在直角坐标系中，流速是随空间坐标),,(z y x 和时间t 而变化的。
因而，流体质点的流速在各坐标轴上的投影可表示为⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x （1-6a ）或),(t x u u k i i = （1-6b ）式中3,2,1,=k x k ，代表自变量z y x ,,。
若令上式中z y x ,,为常数，t 为变数，即可求得在某一空间点),,(z y x 上，流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。
若令t 为常数，z y x ,,为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速分布情况（即流速场，velocity field ）。
流速v ϖ是一个矢量，所以流速场是一个矢量场。
流速虽是流动的一个重要参数，但只有流场不足以完全说明流动的全部情况，还应知道其他表达流动的各个参数的分布情况。
一个标量，如流体的密度ρ，温度T 等，在空间和时间上的连续分布就成为一个标量场。
应力ij σ是一个二阶张量，所以应力在空间和时间上的分布是一个张量场。
表述流动的各种场的综合成为流场（flow field ），如流速场t)z,y,(x,v ϖ，密度场),,,(t z y x ρ等。
质点的加速度公式和随体导数质点加速度公式质点加速度是质点速度向量随时间的变化率。
在Lagrange 法中是以单个流体质点作为研究对象，因此位移函数（1-4）式对时间求二次偏导数可得流体质点的加速度a 在各轴向的投影：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂==∂∂==∂∂=),,,(),,,(),,,(222222t c b a a t za t cb a a t ya t cb a a t xa z z y y x x （1-7a ）或),(022t x a tx a k i ii =∂∂= （1-7b ）欧拉法不追踪质点运动而着眼于流场，由速度场)t ,x (u ,k i 计算),(t x k 处的质点加速度i a 时必须求出该质点在t δ时间内的速度增量，在求其极值，即t )t ,x (u )t t ,x x (u lima k i k k i 0x 0t i i δδδδδ-++=→→ （1-8）式中k x δ是质点在t δ时间内的位移。
利用Taylor’s Series 展开，则)x t ,x ,t (O )tu t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k 2k 2x i t k i kk i k k i k δδδδδδδδ+∂∂+∂∂+=++ 略去高阶微小量，所以t ki k x i x i t k i kk i k k i )x u(x )t u (t )t u t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k k ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=-++δδδδδδ 代入式(1-8)，得tx x u t u a kk i i i δδ∂∂+∂∂=注意到i x δ是质点位移，因而k kt u tx lim=→δδδ 则得欧拉法描述流体质点加速度的表达式ki k i i x uu t u a ∂∂+∂∂=（1-9a ） 或写为3i 32i 21i 1i i x uu x u u x u u t u a ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=（1-9b ） 以矢量表示为v )v (tv a ϖϖϖϖ∇⋅+∂∂= （1-9c ）在直角坐标系下，加速度表述为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a zu u y u u x u u t u dt du a z z z y z x z z y y z y y y x y y y x z x y x x x x x （1-9d ）以上三式中等号右边第一项t u x ∂∂、t u y ∂∂、tu z∂∂表示在每个固定点上流速对时间的变化率，称为时变加速度（当地加速度）。
等号右边的第二项至第四项之和z u u y u u x u u x z x y x x∂∂+∂∂+∂∂、z u u y u u x u u y z y y y x ∂∂+∂∂+∂∂、zu u y u u x u u z z z y z x ∂∂+∂∂+∂∂是表示流速随坐标的变化率，称为位变加速度（迁移加速度）。
因此，一个流体质点在空间点上的全加速度应为上述两加速度之和。
质点的随体导数将推导加速度公式的方法推广到质点上任意物理量的增长率的计算，引出质点的随体导数的概念。
质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用DtD表示。
在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：kk x Qu t Q Dt DQ ∂∂+∂∂= （1-10） 式中，),(t x Q Q k =可以是标量、向量或张量。
质点导数公式对任意物理量都成立，故将质点随体导数的运算符号表示如下：kk x u t Dt D ∂∂+∂∂= （1-11a ） 或332211x u x u x u t Dt D ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= （1-11b ） 其中，t ∂∂称为局部随体导数，kk x u ∂∂称为对流随体导数，即在欧拉法描述得流动中，物理量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。