广东省六校2013届高三第三次联考数学(文)
六校联盟2020届高三数学下学期第三次联考试题文含解析
∴实数a的取值范围是（1，2］．
故答案为 ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题,每位考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
综上所述，双曲线 的离心率为2或 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
12. 已知求 的表面积为 , 在球面上，且线段 的长为 ，记 的中点为 ，若 与平面 的所成角为 ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A. B. C。 D。
，在 中，
由 ，得 ，
由勾股定理得: ,
因为 到 三点的距离相等,
所以三棱锥 外接球的球心 在射线 上，
设四面体 外接球半径为 ，在 中， ，
由勾股定理可得： ，
即 ，解得 ，
故所求球体积 ，
故选D．
【点睛】本题考查球的有关计算、考查空间几何体的结构特征、考查逻辑推理、考查学生空间想象能力、逻辑思维能力,是中档题．
A. 2B。 C. 或2D. 或2
【答案】D
【解析】
【分析】
对A，B的位置分两种情况讨论，先求出 的坐标，再根据 得到 的方程,化简即得双曲线 的离心率。
【详解】当点 在 轴上方， 在 轴下方时,如图，
设 ，则 的右焦点且斜率为 的直线 ，
而渐近线的方程是 ，
由 得 ，
由 得 ,
,
，
可得 ,
，
。
同理，当点 在 轴下方时，如图，计算得 .
所以, 即为所求切线方程.
2013届广东省六校高三第三次联考理科数学及答案
广东省六校2013届高三第三次联考理科数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、 选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求,把答案填涂在答卷相应地方上)1. 复数z 满足(1)2z i i +=, 则z 等于( ) A ．1B.C. 2D. 32．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B = ð（ ） A ．{|01}x x ≤< B.{|01}x x <≤ C. {|0}x x < D.{|1}x x >3．已知甲：11a b >⎧⎨>⎩, 乙：21a b ab +>⎧⎨>⎩，则甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 4. 函数()2sin 3x f x π⎛⎫=+ ⎪3⎝⎭的最小正周期为( ) A.3π B. 23π C. 3π D. 6π5. 等差数列{}n a 中，61030a a +=，410a =，则16a 的值为( ) A ．15B ．20C ．25D ．306．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若//m m βα⊂，，则αβ∥ C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则//βγ7. 已知实数,a b 满足1111a b a b -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩, 则2a b +的最大值是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 利用随机模拟方法可估计某无理数m 的值， 为此设计如右图所示的程序框图，其中rand() 表示产生区间(0,1)上的随机数, P 为s 与n 之 比值，执行此程序框图，输出结果P 是m 的 估计值，则m 是 ( ) A.1e B. 1πC. ln2D. lg3II 卷 (非选择题) 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分,共30分， 把答案填在答卷相应地方上） （一）必做题：第9~13题为必做题9. 统计某校1000名学生的数学期中考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，若不低于80分 即为优秀。
2024届广东省高三第三次六校联考数学试题及答案
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,22. 若复数z 满足()34i 1z -=，则z =（ ）A. 1B.15C.17 D.1253. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π64. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.455. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）的A.B.C.D.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上投影向量为2a10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位.的11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P AB B. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45三、填空题：本题共45分，共20分.13. 关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x +=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.的（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-..东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：A2. 若复数z 满足()34i 1z -=（ ）A. 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++-=⇒====+-+⋅-，所以15z ==.故选：B.3. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =-∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ，则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a ⎧==⎨=+⎩，可得2π,a k k Z =-∈，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切；直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件．故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a ==-时取等号，所以当1,1a b ==时，22121a b a b +++取得最小值4+.故选：D7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB -、G SEF -的体积，可得出EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-，即可得解.【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ⋂=，AB 、AS ⊂平面SAB ，所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GH SG AC SC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==⨯⨯=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH -=⋅=⨯=△(3111332C SABSAB V S AC -=⋅=⨯⨯=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列；选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a =+=+=++=，B 是4-连续可表数列；选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列；选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A. 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r ，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(),8b k = ，若//a b r r ，则298362k =⨯=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅-⋅=⋅-= ，所以，a b = 或()c a b ⊥-，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =- ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+-cos 2111sin2π222224x x x x x ⎫+⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x，故A 错误；函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以图象C 关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()()121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确，对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x -+-=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x -+-=，故()1f x -是“Ⅰ型函数”，C 正确，对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =--，由于[]11ππ,,sin 1,122x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣∈⎦，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =--∈--，由于sin y x =在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调递增，的所以21m -≥-且221m -≤，故12m =，D 正确，故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥,因此11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ，因此三棱锥1P BC D -为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R =0h =时，R r ==B 正确，取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM==,所以截面面积为16sin602⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==--=--，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=-=---=---,所以点P到直线11B C的距离为d====，由于01a≤≤，所以d⎤=⎥⎦，由于45⎤∈⎥⎦,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=---∴--，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=---,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=---共线，则10a-=，1a=，此时()10,0,1C P=-，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=-不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.【答案】43-##113-【解析】【分析】分析可知，3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值.【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a<0，且3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，由韦达定理可得31a b a +-+=-，231a -⨯=，解得23a =-，所以，423a b a +==-.故答案为：43-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.【答案】9【解析】【分析】根据10109a S S =-求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，所以()10991010921212a S S =-=---=，所以92102log log 29a ==.故答案为：9的15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围．【详解】2()()0f x af x -=，则()0f x =或()f x a =，2100x x -=⇒=，2(2)02x x -=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象可知，当01a <<时满足题意，故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】π|sin |2A ϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =222π28(1243A sin ϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ，即可求出()f x ，再由三角函数的性质求解．【详解】由题意可得：||||OB OC =，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，2,0B πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0,sin )C A ，πsin 1,22A D ϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin A ϕω=+代入上式可得：2ππ(2240ωω-⨯-=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=-.πsin 263⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，所以函数16ππ()sin()363f x x =-，[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin(,1632x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，16ππ816()sin(),36333f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）n T =【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式；（2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】解：对任意的n *∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++-++-===+++，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+-=，故2n S n =.【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，故对任意的n *∈N ，21n a n =-.所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值.【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C -=+=+=，所以，1cos 2A =-，故2π3A =.【小问2详解】解：因为D 为BC 中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+-= ，由余弦定理可得222222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =-，的由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥-，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc =⎧⎨+-=⎩时，即当4b c ==时，等号成立，故a的最大值为19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =-- （2）[)(]2,10,1--⋃【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c a =++≠，根据()()25152f x f x x x ++=---可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=---，所以，21225522a a b a b c ⎧⎪=-⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎩，解得1220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，故()2122f x x x =--.【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +-==-的定义域为()0,∞+，且()ln 12ln 1g x x x x x '=+--=--，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，由()0h x '>可得01x <<，由()0h x '<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故对任意的0x >，()()()10g x h x h '=≤=，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x -≤<-或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1--⋃.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E --所成角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥，翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ⋂=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD -中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ，因此，AD EF ⊥.【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=，因AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠=o ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD ===，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D、12E ⎛⎫⎪⎝⎭、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC =，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，可得(2,m =- ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22220102n DF x n EF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得(n =- ，为所以，13cos ,19m n m n m n ⋅===⋅，由图可知，二面角C DF E --的平面角为锐角，故二面角C DF E --的余弦值为1319.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn n b =+（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224nn n b b -=⋅，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b -+<-⋅，进而可得112k k n n k ==-∑<∑，结合错位相减法即可得证.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a -=⋅=，又221144n n n n n b a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n n n n n nb b ⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220nn b b -≠，且211222224424n n n nn n b b b b +++-⋅==-⋅，所以数列{}22n n b b -是首项为8，公比为4的等比数列；【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222n n nn n n n n n n n b b -+-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-<==，所以112k k n n k==-∑<∑，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以4n T =所以1112422k k n n n k n ==--+⎫∑<∑=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-.【答案】22. ()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.23. 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问1详解】()()ln f x x t x =-,()n 1l 1ln t x f x t x x x ⎛'⎫-⎝=-+=-- ⎪⎭,()100e t f x x ->⇔<<',()10e t x f x -<⇔>',()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =-,()ln f x x '=-,()()1ln f x x x =-在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭=--⎝-==⎭，因()10f x x'⎤⎦=-<⎡⎣'，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数，函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示.不妨设12x x <，则1201e x x <<<<.连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1ey x =--,当y a =时，()41e e x a =-+,由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>-+-，只需证明411(2e)e ex x a +>-+-，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >-+--=-，连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ，为()1ln 1e x f x x '-===⇒，11121ln e e e e f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=，直线3l 的方程为21e e y x -=-,即1ey x =+，令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1ea -,由图可知，11ex a >-，故要证不等式成立.。
140511广东省六校2013届高三高考联合模拟试题数学理试题_Word版含答案-推荐下载
C．16
30，
则
Sn
y
C．{x|-1＜x＜1}
2013
C． i i 2
，若
z
a1
D．20
-4x ，过 M
l1 、 l2 分别交于 A 、 B ，若 M 是线段 AB 的中点，则 AB 等于（ ） A．12 B． 145 C． 146 D． 147
7．已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（ ）
y 2
+2 x
1 3
D．
2
）
（
2
2
）
y y
开始
i=1, S=0 i 2013
是
S=S+ 1
i
2
4
侧侧侧
2
x max 等于（
侧侧侧
否 输出 S 结束
第 3 题图
）
．
2
侧侧侧
10．若
f
(x)
女生 373
一年级 二年级 三年级
男生 377 370
2ex1 ，x， 2
log
3
(
x2
1)
，x
x
则
2.
11．曲线 y x3 ax 3 在点（1， m ）处的切线方程为 y 2x n ，则 a
12．已知
f
(
x)
2
sin(
3
y
z
f
(
f
(2)) 的值为
x ) (| | ) ，若 x 1是它一条对称轴，则
13．如右图，等边△ ABC 中， AB 2AD 4AE 4 ，则 BEACD
2014届广东省珠海一中等六校高三第三次联考数学文试题及答案
广东2014届高三六校第三次联考文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式（1）用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑，． （其中12nx x x x n+++=）（2）锥体体积公式13V Sh =（S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） 第一部分 选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4A =,则U A =A ．UB ．{}1,3,5C ．{}3,5,6D ． {}2,4,62.设复数i(12i)z =+(其中i 是虚数单位)，则在复平面内,复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知向量(2,1),(1,),a b k ==-若//(2)a a b -，则k =A ．12-B ．12C ．12D ．12-4.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则116a a = A ． 2 B ． 3或6 C ． 6 D ． 35.设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，则下列四个命题中是真命题的是A ．若α⊥⊥m n m ,，则α//nB ．若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直C ．若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n β⊥D ．若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m6.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：x2 4 5 6 8 y3040506070由散点图判断y 与x 具有线性相关关系，计算可得回归直线的斜率是7，则回归直线的方程是A ．^715y x =+B ．^75y x =+C ．^750y x =+D ．^745y x =+7.一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为A ． 13B ． 1C ． 12D ．328.同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在(,)63ππ-上是增函数”的一个函数是A.sin()26x y π=+B.cos()26x y π=-C.cos(2)3y x π=+D.sin(2)6y x π=-9.若221x y+=,则x y +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞10.已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同实数根的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件第二部分 非选择题(共 100 分)二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11. 已知函数33,0()tan ,02x x f x x x π⎧<⎪=⎨-≤<⎪⎩ ,则(())4f f π= ． 12.阅读图2的程序框图，输出结果s 的值为 ．13.已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，1z a b =--，则z 的取值范围是_ ．14.在平面内，若三角形的面积为S ，周长为C ，则此三角形的内切圆的半径2Sr C=；在空间中，图2 开始结束2014n ≤0,1s n == 是否输出ssin3n s s π=+1n n =+11主视图2俯视图 侧视图11图1三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，利用类比推理的方法，求得此三棱锥P ABC -的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R =_____________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知向量2(2cos ,3)a x =，(1,sin 2)b x =，函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；(2)若()23f πα-=，,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求sin(2)6πα+的值.16．（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[)155,160,第二组[)160,165,…,第八组[]190,195,图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率； (2)根据得到的样本数据估计该学校男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数；(3)从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率 .17．（本小题满分14分）在图4所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1AE =,AE ⊥平面ABC ,平面BCD ⊥平面ABC ,BD CD =,且BD CD ⊥.身高 (cm)频率/组距1951901851801751701651600.060.040.0160.008O155身高(cm)频率/组距图3ABCED（1）证明：AE //平面BCD ；（2）证明：平面BDE ⊥平面CDE ； （3）求该几何体的体积.18．（本小题满分14分）已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123b =. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .19．（本小题满分14分）已知函数2()ln ,()(R)f x x x g x ax x a ==-∈. （1）求()f x 的单调区间和极值点；（2）求使()()f x g x ≤恒成立的实数a 的取值范围；（3）当18a =时，是否存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x++=有三个不等实根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数2()4f x x =-，设曲线)(x f y =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为)0,(1+n x ，其中1x 为正实数，*N ∈n .（1）用n x 表示1+n x ； （2）若41=x ，记22lg -+=n n n x x a (*N ∈n )，试判断数列{}n a 是否是等比数列，若是求出其公比；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，设()()(25)lg322123n nn b n n a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：71303n S ≤<.2014届高三六校第三次联考文科数学参考答案一、 选择题：C BD D D A A D D C 二、填空题： 11.3-； 12.32； 13.122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，-； 14.336- . 三、解答题：15.（本小题满分12分）已知向量2(2cos ,3)a x =，(1,sin 2)b x =，函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；(2)若()23f πα-=，,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求sin(2)6πα+的值. 解：(1)2()2cos 3sin 2cos23sin 21f x x x x x =+=++ 2sin(2)16x π=++ ， 4分∴()f x 的最小正周期为T π=. 6分(2)()2sin(2())12sin(2)123362f ππππααα-=-++=-+=， 1cos 22α∴-=，1cos 22α=-， 8分,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2αππ∴∈，423πα∴=，23πα=， 10分 3sin(2)sin 162ππα∴+==-. 12分16．（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[)155,160,第二组[)160,165,……,第八组[]190,195,图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.身高 (cm)频率/组距1951901851801751701651600.060.040.0160.008O155身高(cm)频率/组距(1)求第七组的频率；(2)根据得到的样本数据估计该学校男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数；(3)从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率 . 16.解： (1)第六组的频率为40.0850=， 2分 所以第七组的频率为 ：10.085(0.00820.0160.042+0.06=0.06--⨯++⨯）. 4分 （2）由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.0085=0.18⨯，所以估计该校男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为0.18800144⨯=人. 7分 (3)第六组[)180,185的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[]190,195的人数为2人, 设为,A B , 则从这6人中抽取2人有,,,,,ab ac ad bd bc cd ，,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况,9分抽取的两个男生的身高之差不超过5有,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况, 11分 抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率为715P =. 12分 17．（本小题满分14分）在图4所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1AE =,AE ⊥平面ABC ,平面BCD ⊥平面ABC ,BD CD =,且BD CD ⊥. （1）证明：AE //平面BCD ；（2）证明：平面BDE ⊥平面CDE ；（3）求该几何体的体积.17.证明:(1) 取BC 的中点M ,连接DM 、AM , 由已知BD CD =,可得：DM BC ⊥，又因为平面BCD ⊥平面ABC ,平面BCD 平面ABC BC =，所以DM ⊥平面ABC ，因为AE ⊥平面ABC , 所以//AE DM ， 又因为AE ⊄平面BCD ,DM ⊂平面BCD ，所以//AE 平面BCD . 4分 (2)由(1)知//AE DM ,又1AE =,1DM = ,所以四边形DMAE 是平行四边形,则有//DE AM ， 由（1）得DM AM ⊥,又AM BC ⊥,∴AM ⊥平面BCD , 所以DE ⊥平面BCD ， 又CD ⊂平面BCD ,所以DE CD ⊥，由已知BD CD ⊥, D BD DE = ,∴CD ⊥平面BDE ，因为CD ⊂平面CDE , 所以平面BDE ⊥平面CDE . 10分 (也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系)（3）M AM DM AM BC DM BC =⊥⊥ ,,，∴BC ⊥平面AEDM ， 11分M图4ABC E D图4ABCED1,3==DM AM ，易得四边形AEDM 为矩形其面积3S =， 12分 故该几何体的体积C AEDM B AEDM V V V --=+=33231=⨯⨯BC S . 14分18．（本小题满分14分）已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123b =. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T . 18.（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则11414620a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，1(1)31n a a n d n ∴=+-=-. 2分 132(2)n n S S n -=+≥ ①， 1232(3)n n S S n --∴=+≥ ②，由① — ②得13(3)n n b b n -=≥，11(3)3n n b n b -∴=≥， 4分 由112,32(2)3n n b S S n -==+≥得1213()2b b b +=+， 229b ∴=， ∴2113b b =， 5分 {}n b ∴是等比数列，公比是13， 23n nb ∴=. 6分 （2）2(31)3n n n nn c a b -=⋅=， 231111112(258(34)(31))33333n n n T n n -=⋅+⋅+++-+-，23411111112(258(34)(31))333333n n n T n n +=⋅++++-+-， 8分 231121111112(2(31))3333333n n n T n -+∴=⋅+++++-- 1111(1())21332((31))13313n n n -+-=+---1171112((31))6233n n n -+=---176733n n ++=-，767223n nn T +∴=-⋅. 14分19．（本小题满分14分）已知函数2()ln ,()(R)f x x x g x ax x a ==-∈. （1）求()f x 的单调区间和极值点；（2）求使()()f x g x ≤恒成立的实数a 的取值范围；（3）当18a =时，是否存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x++=有三个不等实根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．解：（1）()ln 1f x x '=+， 由()0f x '>得1x e>， ()0f x '<得10x e <<，()f x ∴在1(0,)e 单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，()f x 的极小值点为1x e=.（注：极值点未正确指出扣1分） 3分 （2）方法1：由()()f x g x ≤得2ln (0)x x ax x x ≤->，ln 1ax x ∴≥+ ，令()ln 1h x ax x =-- ，则11()ax h x a x x-'=-=， ⅰ）当0a ≤时，()0h x '<，()h x 在()0,+∞单调递减，()h x 无最小值，舍去； ⅱ）当0a >时， 由()0h x '>得1x a >，()0h x '<得10x a<<， ()h x ∴在1(0,)a 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，min 1()()ln h x h a a∴==，只须ln 0a ≥，即1a ≥，∴当1a ≥时()()f x g x ≤恒成立. 8分方法2：由()()f x g x ≤得2ln (0)x x ax x x ≤->，ln 1ax x ∴≥+， 即ln 1x a x+≥对任意0x >恒成立，令ln 1()x h x x+=，则2ln ()x h x x -'=，由()0h x '>得01x <<，()0h x '<得1x >，()h x ∴在(0,1)单调递增，在()1,+∞单调递减，max ()(1)1h x h ∴==，∴ 1a ≥，∴当1a ≥时()()f x g x ≤恒成立.（3）假设存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x++=有三个不等实根， 即方程26ln 880x m x x ++-=有三个不等实根， 令2()6ln 88x x m x x ϕ=++-，262(43)2(3)(1)()28x x x x x x x x xϕ-+--'=+-==，由()0x ϕ'>得01x <<或3x >，由()0x ϕ'<得13x <<，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，(1,3)上单调递减，(3,)+∞上单调递增，∴()x ϕ的极大值为(1)78m ϕ=-+，()x ϕ的极小值为(3)156ln 38m ϕ=-++. 11分要使方程26ln 880x m x x ++-=有三个不等实根，则函数()x ϕ的图像与x 轴要有三个交点，根据()x ϕ的图像可知必须满足780156ln 380m m -+>⎧⎨-++<⎩，解得7153ln 3884m <<-， 13分 ∴存在实数m ，使得方程3()()04f x m g x x ++=有三个不等实根， 实数m 的取值范围是7153ln 3884m <<-. 14分20.（本小题满分14分）已知函数2()4f x x =-，设曲线)(x f y =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为)0,(1+n x ，其中1x 为正实数，*N ∈n .（1）用n x 表示1+n x ； （2）若41=x ，记22lg -+=n n n x x a (*N ∈n )，试判断数列{}n a 是否是等比数列，若是求出其公比；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，设()()(25)lg322123n nn b n n a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：71303n S ≤<. 20.解：（1）由题可得()2f x x '=，所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是()()()n n n y f x f x x x '-=-， 即2(4)2()n n n y x x x x --=-， 2分 令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-，即2142n n n x x x ++=，显然0n x ≠，∴2124n n nx x x ++=. 4分（2）数列{}n a 是等比数列，证明如下：由2124n n nx x x ++=，22lg -+=n n n x x a 得222112214222(2)22l g l g l g l g ()2l g 242(2)2222n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x a a x x x x x x +++++++++======+-----， ∴12n na a +=， 所以数列{}n a 成等比数列，公比为2． 8分 （3）解：14x = 1114lglg34x a x +∴==-，由（2）得11122lg3n n n a a --=⋅=， ∴()()(25)lg322123n n n b n n a +=++⋅()()25121232n n n n +=⋅++21121232n n n ⎛⎫=-⋅ ⎪++⎝⎭111(21)2(23)2n n n n -=-++，所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+， 12分 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+，10(23)2n n >+⋅13n S ∴<， 又1(23)2n n +⋅单调递增，113(23)2n nS n ∴=-+⋅单调递减， ∴当1n =时n S 的最小值为730， ∴71303n S ≤<． 14分。
2013届广州市高三年级调研测试数学(文科)试题及参考答案详解
广州市2013届高三年级调研测试数 学（文 科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1+i （i 为虚数单位）的模等于AB ．1 CD ．122．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19 C ．9- D ．19- 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．145．已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα 7．如图1，程序结束输出s 的值是A ．30B ．55C ．91D ．140 8．已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数图29．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x轴上且离心率小于2的椭圆的概率为 A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 10．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是A. 17,⎡⎤-⎣⎦B. (3,⎤-∞⎦C. (7,⎤-∞⎦D. ()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知()fx 是奇函数, ()()4g x f x =+, ()12g =, 则()1f -的值是 .12．已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 . 13．设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++= ，则sin A 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是 . 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .侧视D CBAP 图5图4图3625x 0611y 11988967乙甲三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值. 17．（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦， 其中12nx x x x n+++= .18．(本小题满分14分)已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分14分） 已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N *，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；(2) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.2013届广州市高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．2 12.13. 1 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ …………… 1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ………… 6分 （2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=. …………… 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………… 9分2cos α= …………… 10分()212sin α=- …………… 11分9=…………… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=. …………… 1分∴5x =. …………… 2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴3y =. …………… 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分 （3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分FE D CBAP记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710. ……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ， 则PE ⊥平面ABCD . …………… 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥. …………… 3分 ∵AD CD ⊥，CD PE E CD ,=⊂ 平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分 ∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥. …………… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在R t △PED中，PE ==，…………… 7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E = ，∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. …………… 10分 依题意得2EF AD ==. …………… 11分 在R t △PEF 中，3PF ==， …………… 12分∴△PAB 的面积为162S AB PF == . ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. …………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . …………… 4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分 ∴=1a 1.∴12-=n n S . …………… 6分 当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分 ∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n n a . …………… 8分（2）解：∵12n n na n -=，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++. ① …………… 9分21231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++.② …………… 10分 ①-②得2112222n n n T n --=++++- …………… 11分12212nn n -=-- …………… 12分 =()121nn -- . …………… 13分∴()121nn T n =-+ . …………… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >. …………… 1分∴25f x ax a /()=-. …………… 2分∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. …………… 3分 ∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-. …………… 5分解法2：设()2fx ax bx c =++， ∵不等式()0fx <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,.∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b /()=+. 又函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-.∴26a b +=-. ② …………… 3分由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分 ∴()2210fx x x =-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370fx x+=等价于方程32210370x x -+=.…………… 6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310hx x x x x /=-=-. …………… 7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分 当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. …………… 13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-， 设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=， 解得023x =. …………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P 的坐标为2,33⎛ ⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 解法2: 抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>. ∵53PF =,∴()22002519x y -+=. ① …………… 1分 ∵点P 在抛物线22:4C y x =上,∴2004y x =. ②解①②得023x =,03y =.∴点P 的坐标为2,33⎛ ⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分 又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=- .∴()12122,FM FN x x y y +=+-+ .∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① …………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ …………… 7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴MN AQ k k =, 即121221312y y y y x x x x -==+-++. ④ …………… 8分 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=. …………… 9分 当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分 解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+， 由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=. 设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k+=-+, ()()()1212122611234k y y k x k x k x x k +=+++=++=+.…6分 ∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=- .∴()12122,FM FN x x y y +=+-+ .∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ∴21228134k x x x k+=+=-+, ① 2634k y k=+. ② …………… 7分 ①÷②得()314x k y +=-， ③ …………… 8分 把③代入②化简得()2243430y x x +++=. (*) …………… 9分 当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-,依题意, 可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=, 即()224343y x x =-++, 由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-. …………… 11分 ∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=…………… 12分 ∴当3x =-时,4RFmax =, …………… 13分 此时,415RTmax =+=. …………… 14分。
广东省广州市2013届高三调研测试数学文试题
试卷类型：A广州市2013届高三年级调研测试数 学（文 科） 2013.1一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1+i （i 为虚数单位）的模等于AB ．1 CD ．122．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{3．已知函数()2030xx x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19 C ．9- D ．19- 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．145．已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是．αα//,//,//n m n m 则若 ．βαγβγα//,,则若⊥⊥ ．n m n m //,//,//则若αα ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα 7．如图1，程序结束输出s 的值是A ．30B ．55C ．91D ．140 8．已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 9．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在x的椭圆的概率为图2A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 10．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是A. 17,⎡⎤-⎣⎦B. (3,⎤-∞⎦ C. (7,⎤-∞⎦D. ()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知()fx 是奇函数, ()()4g x f x =+, ()12g =, 则()1f -的值是 .12．已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 . 13．设x x f c o s )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，若AB C ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++= ，则sin A 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =， 则PC 的长是 . 15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；ks5u（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值.17．（本小题满分12分）侧视D CAP 图5图4图3625x 0611y 11988967乙甲某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++=.18．(本小题满分14分)已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分14分） 已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N *，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数 根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1)求椭圆1C 的方程；ks5u (2)若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程； (3) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.广州市2013届高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：11．2 12. 13. 1 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ … 1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ………… 6分 （1）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=. … 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭2cos α=()212sin α=-9=. 17．（1）解：∵甲班学生的平均分是85， ∴92968080857978857x +++++++=.∴5x =. ∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =.…… 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分 （3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A DFE DCBAP()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710. 18．（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ， 则PE ⊥平面ABCD . ∵AD ⊂平面ABCD ， ∴AD PE ⊥. ∵AD CD ⊥，CD PE E CD ,=⊂ 平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . ∵PC ⊂平面PCD ， ∴AD PC ⊥. …… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在R t △PED中，PE ==过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E = ，∴AB ⊥平面PEF .∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. 依题意得2EF AD ==. 在R t △PEF 中，3PF ==，∴△PAB 的面积为162S AB PF == . ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. ………… 14分19．（1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S .∴12)1(11-⋅+=-n n a S . 从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列，∴=1a 1. ∴12-=n n S .… 6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . ∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n n a . 8分（2）解：∵12n n na n -= ，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++ . ① …………… 9分 21231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++ .② …………… 10分①-②得2112222n nn T n --=++++- 12212nn n -=-- =()121nn -- . ∴()121nn T n =-+ . ………… 14分20.（1）∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5f x ax x =-，0a >. ∴25f x ax a /()=-.∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. ∴256a a -=-，解得2a =.∴()()225210fx x x x x =-=-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370f x x+=等价于方程32210370x x -+=. 设()h x=3221037x x -+，则()()26202310h x x x x x /=-=-.当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分 ∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. ∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根.……… 14分21. (1)抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-， 设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=， 解得023x =.∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限， ∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P 的坐标为23⎛ ⎝⎭. ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上， ∴2248193a b +=.又1c =，且22221a b c b =+=+， 解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.(2)设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ， 则∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① … 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴MNAQ k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ …………… 8分 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+，化简得()2243430y x x +++=.当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=,即()224343y x x =-++, 由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-.∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=. ∴当3x =-时,4RFmax=,此时,415RTmax=+=. … 14分。
2013届六校(惠州一中等)高三第三次联考理综卷(2013.01)
2013届高三六校第三次联考理科综合试题本试卷共10页，36小题，满分300分。
考试用时150分钟。
命题：东莞中学一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1．关于生物体遗传物质的叙述，正确的是A．玉米的遗传物质主要是DNAB．人的遗传物质主要分布在染色体上C．HIV的遗传物质含有硫元素D．流感病毒的核酸水解产生4种脱氧核苷酸2．下列实验中，不需要．．．漂洗或冲洗的是A．观察线粒体和叶绿体B．观察细胞的有丝分裂C．低温诱导染色体加倍D．观察DNA、RNA在细胞中的分布3．关于生物变异与生物进化的叙述，正确的是A．变异均能为生物进化提供原材料B．太空射线能使种子发生定向变异C．自然选择会使种群基因频率发生定向改变D．一个碱基对的缺失引起的变异属于染色体变异4．关于植物激素作用及其应用的叙述，正确的是A．脱落酸可用于麦田除草B．赤霉素可用于传统方法生产啤酒C．乙烯的主要作用是促进果实的发育D．细胞分裂素处理雌花获得无子番茄5．若图1、图2两图均表示人体生命活动调节过程中细胞之间的相互联系，叙述正确的是A．人体对寒冷刺激做出的反应只与图1有关B．细胞a分泌的激素作用于细胞b，并参与细胞代谢C．细胞c受到刺激产生的兴奋通过电信号传递给细胞d第5题图D．如果细胞a是垂体细胞，细胞b可以表示性腺细胞6．关于玉米（2N=20）体内细胞分裂的叙述，正确的是A．在有丝分裂末期赤道板上不形成细胞板B．在正常的次级卵母细胞中不含有同源染色体C．在减数第一次分裂后期的细胞中有4个染色体组D．在减数第二次分裂的前期和后期均可以发生基因重组7．某强酸性溶液中，能大量共存的一组是A．K+、Na+、AlO2-、SO42-B．NH4+、Na+、I-、NO3-C．Na+、K+、SO42-、CO32-D．Mg2+、Al3+、NO3-、SO42-8．设n A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是[已知相对原子质量：C12 H1] A．常温下，14gC2H4含2n A个C－H共价键B．1 molFe与足量稀硝酸反应，转移2n A个电子C．1L0.1mol/LNH4NO3溶液中含有NH4+数为0.1n AD．常温常压下，22.4L的NO2和SO2混合气体含有2n A个O原子9．综合利用海水可以为人类提供丰富的化学资源，下述说法正确的是A．电解MgCl2溶液获得金属Mg B．电渗析法和离子交换法能获得纯净水C．用蒸馏法能提取海水中的溴D．可用金属Na置换出海水中的K 10．下列说法正确的是A．用NaOH溶液区分乙醇和乙醛B．可用饱和Na2CO3溶液除去CO2中的SO2 C．实验室用浓硫酸干燥Cl2和H2D．仅用新制Cu(OH)2检验淀粉水解程度11．下列说法正确的是A．铜的金属活动性比铁弱，可用铜罐代替铁罐贮运浓硝酸B．氨水是弱碱，可用氨水与AlCl3溶液反应制Al(OH)3C．某些金属化合物具有特定的颜色，因此可制作烟花D．H2O2是一种绿色氧化剂，可氧化酸性高锰酸钾而产生O212．下列实验中，不能．．观察到明显现象的是A．把一段打磨过的铝条放入少量冷水中B．把氯气通入到FeSO4溶液中C．把绿豆大的钾投入乙醇中D．把溴水滴加到KI淀粉溶液中13．如图小车向右运动过程某段时间内车中悬挂的小球A和车水平底板上的物块B都相对车厢静止，这段时间内关于物块B受到摩擦力下述判断中正确的是A．物块B不受摩擦力作用B．物块B受摩擦力作用，大小恒定，方向向左C．物块B受摩擦力作用，大小恒定，方向向右D．因小车的运动性质不能确定，故B受的摩擦力情况无法判断14．如图所示为一质点沿东西方向（规定向东为正方向）做直线运动的tv 图像，由图可知A．3s末物体回到初始位置B．3s末物体的加速度方向将发生变化C．物体所受合外力的方向一直向西D．物体所受合外力的方向一直向东15．竖直放置与稳定电源相连的平行金属板如图，与板有一定距离的上方P带负电的油滴由静止释放，是A．做匀加速直线，电势能不变B C．做非匀变速曲线，电势能减少D16．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。