15.2.2.2分式的混合运算
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15.2.2分式的加减(第2课时)
分式混合运算例题与练习
x+ 2 x-1 x- 4 解： （2） 2 - 2 . x x - 2 x x - 4 x+ 4
x+ 2 x-1 x = 2 x x- 2） （x- 2） x- 4 （ x+ 2） （ （x- 2） （ x x-1） x = 2 2 x x- 2） （ x x- 2） x- 4 （ x 2 - 4-x 2 +x x 1 = = . 2 2 x- 4 （x- 2） （ x x- 2）
x2 x2 x x
4 x
4.解：
4a 8a a 1 a 1 （a 2）（ a 1） a 1 a 1
2
4a(a 2) 4a (a 2)(a 1) (a 1)(a 1)
4a (a 1)(a 1) (a 1) 4a
a 2 a 1 a = 4a a 2 4a
1 a2
……
x3 5 2.解： ( x 2) 2x 4 x 2 x 3 5 ( x 2)( x 2) 2x 4 x2 x3 x2 2 2x 4 9 x 1 2( 3 x )
a c ac b d bd 1、分式的乘除： a c a d ad b d b c bc
a n a 2、分式的乘方：( ) n b b a c ac b b b 3、分式的加减法则： a c ad bc ad bc b d bd bd bd
布置作业
教科书习题15.2第6题．
5 2 m- 4 （ 1） m+ 2+ 2-m 3-m ； x+ 2 x-1 x- 4 （2） x 2 - 2 x - x 2 - 4 x+ 4 x ．
人教版八年级数学上册说课稿15.2分式的运算
人教版八年级数学上册说课稿15.2 分式的运算一. 教材分析本次说课的内容是人教版八年级数学上册的15.2分式的运算。
这部分内容是学生在学习了分式的概念、分式的性质和分式的化简等知识的基础上进行学习的，是进一步培养学生对分式的理解和运用能力的重要环节。
在这部分内容中，学生需要掌握分式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行分式的运算。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了分式的基本知识，对分式的概念和性质有一定的理解。
但学生在进行分式的运算时，还存在着对运算规则理解不深，运算步骤不清晰等问题。
因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解分式运算的规则，明确运算的步骤，提高学生的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握分式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行分式的运算。
2.过程与方法目标：通过学生的自主学习和合作交流，培养学生对分式运算的理解和运用能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学学习的兴趣，提高学生对数学学习的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式的加减乘除运算规则的掌握和运用。
2.教学难点：分式运算步骤的清晰和运算规则的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，引导学生通过观察、思考、讨论和总结，深入理解分式的运算规则。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生进入分式的运算学习。
2.自主学习：学生通过自主学习，掌握分式的加减乘除运算规则。
3.合作交流：学生分组进行合作交流，通过讨论和总结，明确分式运算的步骤。
4.案例分析：通过分析典型案例，引导学生理解和掌握分式运算的规则。
5.练习巩固：学生进行练习，巩固所学的内容。
6.总结提升：教师引导学生进行总结提升，明确分式运算的重点和难点。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出教学的重点和难点。
在板书中，可以将分式的加减乘除运算规则用图示的方式进行展示，让学生一目了然。
第十五章 15.2 15.2.2 第1课时 分式的加减
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月30日星期一2021/8/302021/8/302021/8/30 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/302021/8/30August 30, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/30
解：原式＝（x＋5）10（x x－5）－（x＋5）2（x x－5）＝
（x＋5）8（x x－5）， 解不等式得－5≤x＜6，取 x＝0， 则原式＝0.
9. 已知： （x2＋y2）－（x－y）2＋2y（x－y）÷4y＝1， 求4x24－x y2－2x＋1 y的值． 解：由已知得 x－12y＝1， 原式＝2x1－y＝12.
∴A－－3AB－＝B1， ＝5，解得
A＝－1， B＝－2.
1. (2017·滨州)观察下列各式：1×23＝11－13，2×24＝12－ 14，3×25＝13－15，
… 请利用你所得结论，化简代数式1×13＋2×14＋3×15＋… ＋n（n1＋2）(n≥3 且 n 为整数)，其结果为
3n2＋5n 4（n＋1）（n＋2） ．
．
知识点 同分母分式加减
解：原式＝（x＋5）10（x x－5）－（x＋5）2（x x－5）＝
（x＋5）8（x x－5）， 解不等式得－5≤x＜6，取 x＝0， 则原式＝0.
9. 已知： （x2＋y2）－（x－y）2＋2y（x－y）÷4y＝1， 求4x24－x y2－2x＋1 y的值． 解：由已知得 x－12y＝1， 原式＝2x1－y＝12.
∴A－－3AB－＝B1， ＝5，解得
A＝－1， B＝－2.
1. (2017·滨州)观察下列各式：1×23＝11－13，2×24＝12－ 14，3×25＝13－15，
… 请利用你所得结论，化简代数式1×13＋2×14＋3×15＋… ＋n（n1＋2）(n≥3 且 n 为整数)，其结果为
3n2＋5n 4（n＋1）（n＋2） ．
．
知识点 同分母分式加减
15.2.2分式的加减(2)混合运算(教案)
-合并同类项的技巧：找出同类项并合并；举例：
（1）讲解分式加减混合运算的法则时，通过具体例题强调加法交换律和结合律在分式运算中的应用，如：
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式混合运算相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如计算不同商品打折后的总价。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式混合运算在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了分式混合运算的概念和实际应用。通过引入日常生活中的例子，我试图让学生认识到数学知识在解决实际问题中的重要性。课堂上，我注意到学生们在理解合并同类项和通分的过程中遇到了一些挑战，这让我意识到这些概念需要更多的解释和练习。
我尝试通过具体的案例分析和逐步解题来帮助学生理解难点，但我也发现，对于一些学生来说，这些概念仍然难以消化。在今后的教学中，我需要寻找更多直观和生动的方法来解释这些难点，比如使用实物或动画来展示分式的通分过程，让学生能够更直观地理解。
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$
难点在于如何确定最简公分母，如$a$和$b$的最小公倍数$ab$。
（1）讲解分式加减混合运算的法则时，通过具体例题强调加法交换律和结合律在分式运算中的应用，如：
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式混合运算相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如计算不同商品打折后的总价。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式混合运算在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了分式混合运算的概念和实际应用。通过引入日常生活中的例子，我试图让学生认识到数学知识在解决实际问题中的重要性。课堂上，我注意到学生们在理解合并同类项和通分的过程中遇到了一些挑战，这让我意识到这些概念需要更多的解释和练习。
我尝试通过具体的案例分析和逐步解题来帮助学生理解难点，但我也发现，对于一些学生来说，这些概念仍然难以消化。在今后的教学中，我需要寻找更多直观和生动的方法来解释这些难点，比如使用实物或动画来展示分式的通分过程，让学生能够更直观地理解。
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$
难点在于如何确定最简公分母，如$a$和$b$的最小公倍数$ab$。
精ppt分式的混合运算
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
解：原式＝－xx－＋22
(2)a＋a 1·(a＋2a1)2－(a－1 1－a＋1 1)． 解：原式＝4a2a－2－4a1－2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
12．(2016·巴中)先化简：x2－x2＋2xx＋1÷(x－2 1－1x)，然后再从－2<x≤2 的 范围内选取一个合适的 x 的整数值代入求值．
(2)(3ba)2·3a＋1 b－ba÷b3； 解：原式＝－3ab3＋a b2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
(3)(2016·成都)(a＋a 2＋a2－1 4)÷aa－ ＋12； 解：原式＝aa－－12
(4)(2016·重庆)x2x＋2＋4x2＋x 4÷(2x－4＋xx2)． 解：原式＝x－1 2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ） 精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
9．(2016·北京)如果 a＋b＝2，那么代数(a－ba2)·a－a b的值是( A )
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
10．李明同学从家到学校的速度是 a 千米/小时，沿原路从学校返回家的速
2ab 度是 b 千米/小时，则李明同学来回的平均速度是 a＋b
(用含 a，b 的式子表示)
千米/小时．
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
11．(习题 6 变式)计算： (1)(2016·聊城)(xx2＋－84－x－2 2)÷x2－x－4x4＋4；
解：原式＝－xx－＋22
(2)a＋a 1·(a＋2a1)2－(a－1 1－a＋1 1)． 解：原式＝4a2a－2－4a1－2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
12．(2016·巴中)先化简：x2－x2＋2xx＋1÷(x－2 1－1x)，然后再从－2<x≤2 的 范围内选取一个合适的 x 的整数值代入求值．
(2)(3ba)2·3a＋1 b－ba÷b3； 解：原式＝－3ab3＋a b2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
(3)(2016·成都)(a＋a 2＋a2－1 4)÷aa－ ＋12； 解：原式＝aa－－12
(4)(2016·重庆)x2x＋2＋4x2＋x 4÷(2x－4＋xx2)． 解：原式＝x－1 2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ） 精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
9．(2016·北京)如果 a＋b＝2，那么代数(a－ba2)·a－a b的值是( A )
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
10．李明同学从家到学校的速度是 a 千米/小时，沿原路从学校返回家的速
2ab 度是 b 千米/小时，则李明同学来回的平均速度是 a＋b
(用含 a，b 的式子表示)
千米/小时．
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
11．(习题 6 变式)计算： (1)(2016·聊城)(xx2＋－84－x－2 2)÷x2－x－4x4＋4；
人教八年级数学上册-分式的混合运算(附习题)
课堂小结 对于不带括号的分式混合运算： （1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减； （2）计算结果要化为最简分式． 对于带括号的分式混合运算： （1）将各分式的分子、分母分解因式后，再
进行计算； （2）注意处理好每一步运算中遇到的符号； （3）计算结果要化为最简分式．
课后作业
2y 3x
x2 2y
x 2y2
3x3 8y
x3 4 y3
3x3y2 8y3
2x3
2.先化简，再求值： m2
m2
3m 4m
4
m m
3 2
m
2
2
，
其中m=2.
解：原式
m m 3 m 22
m2 m3
2 m
2
m 2 m 2. m2 m2 m2
当m=2代入其中，得原式 2 2 0 . 22
问题 分数的混合运算的顺序是什么？你能将 它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
分式的混合运算顺序： “从高到低、从左到右、括号从小到大”．
例1 计算：
2a 2 b
1 a-b
-
a b
b 4
.
这道题的运算顺序是怎样的？
解：
2a 2
b
1 a-b
-
a b
b 4
=
4a2 b2
1 a-b
-
a b
例2 计算：
（1） m+2+
5
2-m
2m-4 ； 3-m
（2） xx2 -+22x -
x-1 x2 -4x+4
x-4 ． x
这两道题的运算顺序又是怎样的？
解：（1）
m+2+
15.2.2(2)分式的混合运算(课件)八年级数学上册(人教版)
1 Байду номын сангаас 2
3．先化简，再求值：
，其中x=3．
x
2
x
4
解：
2−1
−2
−1 ÷
+1
2 −4
2 − 1 − 2
+1
=
−
÷
−2 −2
+2 − 2
=
+1
−2
⋅
+2 −2
+1
= +2 ，
当 = 3 时，原式= 3 + 2 = 5．
当堂检测
1 a2
2
(3 m)(3 m) 2(2 m)
•
2m
3 m
2(m 3) 2m 6;
新知探究
+2
−1
−4
【例2】计算： ( 2 − 2 − 2 − 4 + 4) ÷ .
x2
x 1
x
•
解:(2)原式
2
x( x 2) ( x 2) x 4
( x +1)(x - 1) x +1 x +1 ( x +1) x +1 ( x +1) x - 2 x - 2
1
令x = 0( x ≠± 1且x ≠2), 得原式 =
2
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分
是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
新知探究
(1)进行混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左往右的
( x 2)( x 2) x( x 1)
3．先化简，再求值：
，其中x=3．
x
2
x
4
解：
2−1
−2
−1 ÷
+1
2 −4
2 − 1 − 2
+1
=
−
÷
−2 −2
+2 − 2
=
+1
−2
⋅
+2 −2
+1
= +2 ，
当 = 3 时，原式= 3 + 2 = 5．
当堂检测
1 a2
2
(3 m)(3 m) 2(2 m)
•
2m
3 m
2(m 3) 2m 6;
新知探究
+2
−1
−4
【例2】计算： ( 2 − 2 − 2 − 4 + 4) ÷ .
x2
x 1
x
•
解:(2)原式
2
x( x 2) ( x 2) x 4
( x +1)(x - 1) x +1 x +1 ( x +1) x +1 ( x +1) x - 2 x - 2
1
令x = 0( x ≠± 1且x ≠2), 得原式 =
2
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分
是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
新知探究
(1)进行混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左往右的
( x 2)( x 2) x( x 1)
八年级数学 15.2.2分式的混合运算
b d b c bc
同分母加减：b c b c
加减法
aa a
异分母加减：b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
一 新课讲解
2
问题：如何计算
2m
n
1 m-n
-
m n
n 4
？
请先思考这道题包含的运算，再确定运算顺 序，并独立完成.
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
2a
a2 b2
巧用公式
一 能力提升
例4.若
2 x2 1
A x 1
B ，求A、B的值. x 1
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对 照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.
2.课本p146 习题15.2 第6题
一 课堂练习
1.
计算
1
3x 2y
3x 2y
2y 3x
的结果是（ C
）
2 y 6xy
A. 9x2
2y 3x
B. 2y
3x 2y
C. 3x
3x
D. 2 y
2.
化简(
x y
y) x
x
x
y
的结果是
x y y.3.化简来自1x y x 3y
解：∵ A B x 1 x 1
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15.2.2分式的运算
分式的混合运算
实数的混合运算顺序： 1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
例1: 2a 1 a b b .a b b 4
2
1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
1 1 1 (1) a(a 1) (a 1)(a 2) (a x 1)(a x)
1 1 2 4 1024 2048 (2) 2 4 1024 2048 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
200220032 (3) 20022002 2 20022004 2 2
1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
分式的混合运算：关键是要正 确的使用相应的运算法则和运算顺 序；正确的使用运算律，尽量简化 运算过程；结果必须化为最简分式 。 混合运算的特点：是整式运算、 因式分解、分式运算的综合运用， 综合性强。
1 x 11 2 x 1 x 1
x2 x 1 x4 2( 2 2 ) x 2x x 4x 4 x
1 1 mn 3 m n 2m m n 2m
学 以 致 用
2 2 x y x y 4 x y x 3x x y 3x
化简求值题型
2013年重庆中考题
a 2 6ab 9b2 21、先化简，再求值： a 2 2ab
5b2 1 a 2b a 2b a
a b 4 其中，a，b满足 a b 2
2014年重庆中考题
2015年重庆中考题
特别题
2 x2 3x 4 2 2 5、先化简，再求值： x 1 x 1 x 2x 1
x 4 0 其中x是不等式组 的整数解。 2 x 5 1
例2: a 2
a 1 4 a 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a
1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
例3:
x3 5 ( x 2) 2x 4 x 2
分式的混合运算
实数的混合运算顺序： 1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
例1: 2a 1 a b b .a b b 4
2
1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
1 1 1 (1) a(a 1) (a 1)(a 2) (a x 1)(a x)
1 1 2 4 1024 2048 (2) 2 4 1024 2048 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
200220032 (3) 20022002 2 20022004 2 2
1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
分式的混合运算：关键是要正 确的使用相应的运算法则和运算顺 序；正确的使用运算律，尽量简化 运算过程；结果必须化为最简分式 。 混合运算的特点：是整式运算、 因式分解、分式运算的综合运用， 综合性强。
1 x 11 2 x 1 x 1
x2 x 1 x4 2( 2 2 ) x 2x x 4x 4 x
1 1 mn 3 m n 2m m n 2m
学 以 致 用
2 2 x y x y 4 x y x 3x x y 3x
化简求值题型
2013年重庆中考题
a 2 6ab 9b2 21、先化简，再求值： a 2 2ab
5b2 1 a 2b a 2b a
a b 4 其中，a，b满足 a b 2
2014年重庆中考题
2015年重庆中考题
特别题
2 x2 3x 4 2 2 5、先化简，再求值： x 1 x 1 x 2x 1
x 4 0 其中x是不等式组 的整数解。 2 x 5 1
例2: a 2
a 1 4 a 2 2 2 a 2a a 4a 4 a 2a
1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算则从左到右依次计算。 3、有括号的先算括号里面的，从小括 号到中括号，最后再去大括号。
例3:
x3 5 ( x 2) 2x 4 x 2