中国计量学院 概率论复习题(二)
概率论与数理统计的习地的题目2及答案详解
习题二3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==5.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2437.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C(0.02)(0.98)0.01k k k k N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰ 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰ 11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭ 404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.x A B x ,x -⎧+≥>⎨<⎩λλ（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=,01,2,12,0,x x x x ≤<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他.求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e -λ|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x-∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ=故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ=查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )x Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()dyX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤ ⎪ ⎝⎭⎝()dX f x x =故 d ()()d Y Y X X f y F y f f y ⎤⎛==+⎥⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+-2/2,0y y -=>32.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（） 2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为22,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
09-10《概率论与数理统计B》课程考试试卷A卷
中国计量学院2009~2010学年第 一 学期《概率论与数理统计B 》课程考试样卷A 第 1 页 共 ６ 页 中国计量学院2009~ 2010学年第 一 学期《概率论与数理统计B 》课程考试试卷(A)开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 年 月 日 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级：题序 一 二 三 (1) 三 (2) 三 (3) 三 (4) 三 (5) 三(6)总分 得分评卷人 一、选择题：（每题2分，2×10=20） 1．设事件A 、B 互相独立，且()0P A >，()0P B >，则（ ）一定成立。
(A)()1()P A B P A =- (B) ()0P A B = (C) ()1()P A P B =- (D) ()()P A B P B =2. 掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。
(A) 1/6 (B)2/3 (C)1/3 (D)1/23. 已知(,)X B n p 服从二项分布, 且(2)8E X =，32(2)3D X -=，则参数,n p 分别为（ ）。
（A ）18，2/3 （B ）12, 1/2 （C ）12, 1/3 （D ）24, 1/4 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则23Y X =+的分布函数()G y 为（ ）。
(A) 3()22y F - (B) (23)F y + (C) 2()3F y + (D) 13()22F y - 5. 对任意随机变量X ，若,EX DX 存在，则[()]D D DX 等于（ ）。
（A ）0 （B ）X （C ） 3()DX （D ）DX6. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若相关系数0XY R =，则（ ）。
（A ）()D XY DX DY =⋅ （B ） X 和Y 相互独立装订线中国计量学院2009~2010学年第 一 学期《概率论与数理统计B 》课程考试样卷A 第 2 页 共 ６ 页 （C ）()D X Y DX DY +=+ （D ） 以上选项都不成立7. 设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ）。
全国自学考试概率论与数理统计二历年真题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题课程代码：02197一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (A ⋃B )=32，若事件A ，B 相互独立，则P (A )=( ) A ．91B ．61C ．31D ．21 2．对于事件A ，B ，下列命题正确的是( ) A ．如果A ，B 互不相容，则A ，B 也互不相容 B ．如果A ⊂B ，则B A ⊂ C ．如果A ⊃B ，则B A ⊃D ．如果A ，B 对立，则A ，B 也对立3．每次试验成功率为p (0<p <1)，则在3次重复试验中至少失败一次的概率为( ) A ．(1-p )3 B ．1-p 3C ．3(1-p )D ．(1-p )3+p (1-p )2+p 2(1-p )4．已知离散型随机变量X则下列概率计算结果正确的是( ) A ．P (X =3)=0 B ．P (X =0)=0 C ．P (X >-1)=1D ．P (X <4)=1 5．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X ( )A ．0B ．31C ．32 D ．1A ．(51，151)B ．(151，51)C ．(101，152) D ．(152，101) 7．设(X ,Y )的联合概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤≤≤+,,0,10,20),(其他y x y x k 则k =( )A ．31B ．21 C ．1D ．38．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X +10的方差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．149．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P (|X -2|≥3)≤( )A ．91B ．92C ．31D ．94 10．由来自正态总体X ～N (μ，22)、容量为400的简单随机样本，样本均值为45，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是(u 0.025=1.96，u 0.05=1.645)( ) A ．(44，46)B ．(44.804，45.196)C ．(44.8355，45.1645)D ．(44.9，45.1)二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
试概率论与数理统计(二)历年真题
全国2009年7月自学考试概率论与数理统计(二)试题课程代码：02197一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则有( ) A.P(A)=1-P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A B )=1 D.P(AUB)=P(A)+P(B)2.设A 、B 相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是( ) A.P(AB)=0 B.P(A-B)=P(A)P(B ) C.P(A)+P(B)=1 D.P(A | B)=03.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为( ) A.0.125 B.0.25 C.0.375 D.0.504.设函数f (x)在[a ，b]上等于sin x ，在此区间外等于零，若f (x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a ，b]应为( )A.[2π-，0] B.[0，2π]C.[0，π]D.[0，2π3]5.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其它021210)(x x x xx f ，则P(0.2<X<1.2)= ( )A.0.5B.0.6C.0.66D.0.76.设在三次独立重复试验中，事件A 出现的概率都相等，若已知A 至少出现一次的概率为19／27，则事件A 在一次试验中出现的概率为( ) A.61 B.41 C.31D.217.设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为 XY1 2 3 1 61 91 181 221 α β则有( )A.α=91，β=92B. α=92，β=91C. α=31，β=32D. α=32，β=318.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为( ) A.-2 B.0 C.21 D.2 9.设μn 是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的ε>0，均有}|{|lim n εμ>-∞→p nP n( )A.=0B.=1C.>0D.不存在10.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H 0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是( ) A.必接受H 0 B.可能接受H 0，也可能拒绝H 0 C.必拒绝H 0 D.不接受，也不拒绝H 0 二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
《概率论与数理统计B》课程摸拟卷(2)
中国计量学院《概率论与数理统计B 》课程摸拟卷（2）开课二级学院： 理学院 _ ，考试时间： 年____月____日 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 ___ 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：1．事件A 、B 为对立事件，等价于（ ）（A ）A 、B 互不相容； （B ）A 、B 相互独立； （C ） AB=Ω； （D ） A B=A B=Ω∅且.2．已知(2,)B p ξ服从二项分布, 且(1)5/9P ξ≥=，则p =（ ） （A ） 1/2 （B ） 1/3 （C ） 2/3 （D ） 4/9 3．对于任意两个随机变量ξ和η，若0K ξη=，则（ ） （A ）()D D D ξηξη=⋅； （B ）()D D D ξηξη+=+；（C ） ξ 和η 相互独立； （D ）ξ 和η 互斥.4．下面哪个统计量是总体方差D ξ的无偏估计( )（A ）4114ii ξ=∑； （B ）4211()3ii ξξ=-∑；（C ）4211()4ii ξξ=-∑；（D ）421()ii ξξ=-∑5． , ξηξη+若和都服从正态分布则服从（ ）. （A ）正态分布； （B ）t 分布； （C ）2χ分布 （D ）F 分布二.填空题：（每空2分，2×15=30）1．若A, B, C 表示三个事件，则“三个事件至少有一个发生”可表示为___________，“一个都不发生”可表示为__________ ．2．掷3次硬币，只出现一次正面的概率P (A ) = ． 3．如果P(A)=0.3, P(B)=0.4, A B , P(A B)=-且与相互独立则____,()P A B += .4．两个人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为51，41，则此密码被译出的概率为 ．5．已知随机变量ξ～B （n ，p ），且E ξ=12； D ξ=8， 则二项分布中的参数n = ，p = ．6．已知~(0,4), ~B(9, 1/3)N ξη，则(32)E ξη+= ，(32)D ξη-= ．7. 设~(0, 4), N ξξ则的密度函数为_______， (>0)_____,P ξ= (0)_____,P ξ== _____~(0,1).N η=8. 设3x ξ的所有可能取值为-2, 1, ，且已知(2)0.4, (1)0.4, P P ξξ=-===30.2, ______.E x ξ==则三.(本题8分)有两个口袋，甲袋中有两个白球，一个黑球，乙袋中有一个白球，两个黑球。
中国计量学院《概率论与数理统计A》课程摸拟卷和答案
中国计量学院《概率论与数理统计A》课程摸拟卷和答案中国计量学院《概率论与数理统计A 》课程摸拟卷开课二级学院：理学院 _ ，考试时间：年____月____日时考试形式：闭卷√、开卷□，允许带计算器 ___ 入场考生姓名：学号：专业：班级：一、选择题：（每题3分，共15分）1、已知随机变量X ),(p n B ，()6,(2)16E X D X =-=,则参数p n ,分别为（）。
（A ）218,3n p == （B ）112,2n p == （C ）118,3n p ==（D ）124,4n p ==2、设事件A 与事件B 相互独立,且()0,()0,P A P B >>则（）一定成立。
（A ）(|)1()P A B P A =-；（B ）(|)0P A B = （C ）()1()P A P B =-；（D ）(|)()P A B P B =3、随机变量X 2(,),N μσ则随σ增大，{3}P X μσ-<（）。
（A ）单调增大（B ）单调减少 (C) 保持不变（D ）增减不定 4、设总体X 服从0-1分布，521,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，2S 是样本方差，则下列各项中的量不是统计量的是（）。
（A ）},,,min{521X X X （B ）21(1)X P S --；(C) },,,max{521X X X （D ）255X S -5、设随机变量X 的数学期望存在，则[()]E E EX =( ) 。
（A ）0；（B ）()D X ；（C ）()E X ；（D ）2[()]E X二．填空题（每空2分，共30分）1．设C B A ,,表示三个随机事件，用C B A ,,分别表示事件“C B A ,,三个事件至少有一个发生”和“C B A ,,三个事件一个都不发生” ，。
2．设连续随机变量(),(0)X e λλ> ，则当k = 时，1{2}4P k X k <<=。
官方概率论与数理统计题库(2)_15
第一章一.选择题1．设A ，B 为两个事件，则=-)(B A P ( ).A.)()(B P A P -；B.)()()(AB P B P A P +-；C.)()(AB P A P -；D.)()()(AB P B P A P -+.2．设()()()3.05.04.0===AB P B P A P ，，则有( )A.6.0)(=B A P B.A 与B 互不相容 C. A 与B 互相独立 D.9.0)(=B A P3． 5件产品中有3件正品，2件次品，今两次从中各取一件产品（不放回），则在第一次取到正品的条件下，第二次取到次品的概率是( ) A.41 B. 103 C.21 D.52 4．已知A ，B ，C 为三个随机事件，则A ，B ，C 不都发生的事件为( ). A.C B A ； B.ABC ； C.C B A ⋃⋃； D.ABC .5．设A ，B 为随机事件，()0P B >，(|)1P A B =，则必有（ ）。
A. ()()P A B P A ⋃=B. A B ⊃C. ()()P A P B =D. ()()P AB P A =6.10件产品中有2件次品今从中任取3件，则恰好有一件次品的概率是（ ）A. 715B. 12C. 15D. 3207．设随机事件A 与B 互不相容，0)(>A P ，0)(>B P ，则（ ）A.)(1)(B P A P -=；B. 1)(=AB P ；C.1)(=⋃B A P ；D. )()()(B P A P AB P =8．. 设事件A 与事件B 为对立事件，则事件A B ⋂ ( ) .A. 发生的概率为1；B. 是可能事件；C. 是不可能事件 ；D.是必然事件9．若事件A 与B 互相独立，则下列等式中成立的是( )A.)(1)(B P A P -= B.())()(B P A P AB P ⋅= C.1)(=B A P D. 0)(=AB P10．设A 与B 两事件独立，且4.0)(=A P ，()0.7P A B =,则=)(B P ( ). A.0.7； B.0.6； C.0.5； D.0.411．已知41)(=A P ，31)(=A B P ，21)(=B A P ,则)(B A P 等于( ) . A.31； B.61； C.121； D. 4112. 设随机事件A 与B 相互独立，则=⋃)(B A P ( ).A.)()(B P A P +；B.)()()()(B P A P B P A P -+；C.)()(B P A P ；D.)()(B P A P +.13．设A 与B 为对立事件，则下列错误的为( ) .A. 0)(=AB PB.1)(=⋃B A P ；C.)()()(B P A P B A P +=⋃；D. )()()(B P A P AB P =.14．若随机事件A 与B 相互独立，则()P A B +＝（ ）。
概率论综合练习题2及参考答案
概率论综合练习2：一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【 】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.53.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【 】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示).5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y 相互独立，下列随机变量服从2χ分布的是【 】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【 】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率. 2.a EX DX 3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩. (1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个， 求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 三、计算题（36%）1.(,)X Y ()P X Y =2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？【注】上侧分位点0.0251.96z=，0.025(8) 2.306t=.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.概率论综合练习题2参考解答一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.【解析】()()()()0.7()0.3P A B P A AB P A P AB P AB -=-=-=-=,解得 ()0.4P AB =. 2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【 】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.5 【解析】由,A B 相互独立，可得()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ====0.6，应选B. 3.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【 】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由密度函数的性质()0f x ≥及()cos 1If x dx xdx +∞-∞==⎰⎰可知，A 正确，选项B,C,D 错误.4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示). 【解析】~(1,2)Z X Y N =--~(0,1)N =,(0)12P Z P P P >=>=>=-≤5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y χ分布的是【 】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +【解析】由~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ~(0,1)N , 所以，222~(2)2Y X χ+，应选B.6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【 】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++【解析】容易计算四个选项中的估计量的数学期望均为μ(即都是μ的无偏估计)，而22122()242X X D σσ+==,22223245()399X X D σσσ++==, 22213395()4168X X D σσσ++==,221233()393X X X D σσ++==,应选D.二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率.【解】记1A ——乘火车，2A ——乘船，3A ——乘汽车， 4A ——乘飞机，B ——迟到. (1) 1234()()P B P A B A B A B A B =()1234()()()P A B P A B P A B P A B =+++11223344()(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++1110.30.20.10.404312=⨯+⨯+⨯+⨯ 1.80.1512==, (2) 1111()()(|)0.30.25(|)0.5()()0.15P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====.2.设随机变量X 的分布律如下标所示：X0 1 2 3 Pa 0.2 0.3 0.1 (1)求a 的值； (2)求EX ； (3)求DX . 【解】(1) 10.20.30.10.4a =---=；(2) 00.410.220.330.1 1.1EX =⨯+⨯+⨯+⨯=;(3) 200.410.240.390.1 2.3EX =⨯+⨯+⨯+⨯=, 222() 2.3 1.1 1.09DX EX EX =-=-=.3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩.(1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个， 求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 【解】(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得 21000100011000A A A dx x x +∞+∞=-==⎰,解得1000A =; (2) 220002000100010001(2000)2P X dx x x +∞+∞>==-=⎰； (3) 设Y 为4个部件中寿命大于2000小时的个数，则~(4,0.5)Y B ,(P 任取4个，至少有一个寿命2000)>1(P =-4个的寿命都小于2000)441151(0)10.511616P Y C =-==-=-=. 三、计算题（36%）1. 设,X Y 相互独立，其分布律分别为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 0.3 0.5 0.2 P0.3 0.4 0.3 (1) 求(,)X Y 的联合分布律； (2) 求()P X Y =.【解】(1)由,X Y 的独立性及各自的边缘分布律可得(,)X Y 的联合分布律:Y X1 2 3 ()i P X x = 1 0.09 0.12 0.09 0.3 2 0.15 0.20 0.15 0.5 3 0.06 0.08 0.06 0.2 ()j P Y y = 0.3 0.4 0.3 1 (2) ()(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.090.20.060.35=++=. 2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由. 【解】（1）边缘密度：166(1),01()(,)0,xX xdy x x x f x f x y dy other +∞-∞⎧⎪=-≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰，2063,01()(,)0,y Y xdx y y f y f x y dx other +∞-∞⎧⎪=≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰； (2) 在0,01x y y <<<<内，2(,)6()()18(1)X Y f x y x f x f y xy x =≠=-，所以，,X Y 不相互独立.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.【解】(1) 5186127133884345335x ++++==，0011xt EX xe dx te dt λλλλ+∞+∞--===⎰⎰，由EX X =得λ的矩估计量1X λ=，矩估计值11533x λ==； (2) i X 的密度函数为：,0()0,0i x i i ie xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,2,,i n =似然函数：12()1()()n x x x n n L f x f x e λλ-+++==，10,0n x x >>，对数似然函数：1ln ln ni i L n x λλ==-∑，令1ln 0ni i d L n x d λλ==-=∑得 11nii nxxλ===∑，即λ的最大似然估计值为1533x λ==.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X 服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？ 【注】上侧分位点0.025 1.96z =，0.025(8) 2.306t =. 【解】0:72H μ=;1:72H μ≠ 当0H 成立时，检验统计量72~(8)/9X T t S -=，拒绝域：0.025{||(8) 2.306}W t t =>=， 由61820668.66793x ==≈， 4.583s =得检验统计量T 的值 2.1820t =-W ∉,因此，在显著性水平0.05α=之下认为患者的脉搏次数与正常人没有显著差异.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.【解】记误差变量为X ,则~(0.5,0.5)X U -, 0.50.502EX -+==, 2[0.5(0.5)]11212DX --==, 11200,,X X 为来自总体X 的样本，据独立同分布中心极限定理，得11200X X ++近似服从(0,100)N , 11(||10)(1010)n n P X X P X X ++<=-<++<111010()(11)10101010n nX X X X P P ++++=-<<=-<<(1)(1)2(1)1≈Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.20.841310.6826。
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复习题（二）
一、选择题
1．某人射击时，中靶的概率为
4
3
，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A)
434
12
⨯）（ (B) 343）（ (C) 41432⨯）（ (D) 3
4
1）（
2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑==n
i i X n X 1
1的数学期望和方差分别为（ ）.
（A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2
（D ）n a ,b
3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）.
(A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0
4. 设)(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）.
(A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f
(C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f +
5．已知随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00
,)(22
22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1
= 的期望
=)(Y E （ ）.
(A)
a 22π
(B) π (C) a 21 (D)
a
π
2 6．设)(),(x f x F 分别为某随机变量的分布函数和密度函数,则必有（ ）.
(A) )(x f 单调不减 (B) 0)(=-∞F (C)
⎰
+∞
∞
=-1)(F dx x (D) ⎰+∞
∞
=-)(f )(dx x x F
7．设二维离散型随机变量），（Y X 的联合分布律为
则==}{Y X P （ ）.
(A) 0.8 (B) 0.7 (C) 0.3 (D) 0.5
8．设两个独立的随机变量Y X ,分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）.
(A) 21}0{=≤-Y X P (B) 21}0{=≤+Y X P (C) 21}1{=≤-Y X P (D) 2
1
}1{=≤+Y X P
9．设二维连续型随机变量），（Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它
，,01
,1)(2
2y x y x f π，
则X 和Y 为（ ）的随机变量.
(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布 (C) 不独立同分布 (D) 不独立不同分布
10．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中2σ已知，μ为未知参数，则μ的等尾双侧置信区间长度L 与置信度α-1的关系是（ ）.
(A) 当α-1减少时，L 变小 (B) 当α-1减少时，L 增大 (C) 当α-1减少时，L 不变 (D) 当α-1减少时，L 增减不定
二、填空题
1． 已知5.0)(=A P , 3.0)(=AB P ,则=
-)(B A P .
2． 设123,,X X X 是来自正态总体X ~(),1N μ的样本,则当=k 时,
3
213
1
41ˆkX X X ++=μ
是总体均值μ的无偏估计. 3． 设]6,1[~X U ，则方程012=++Xt t 有实根的概率为 .
4． 袋内有3个白球与2个黑球，从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概
率 . 5． 设,4.0,36)(,25)(===XY Y Var X Var ρ则.)(=
-Y X Var
Y X
0 1 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.1 0.1 2
0.1
0.1
6． 设总体X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其它
,010,)(1x x
x f θθ， 是未知参数，0>θ
X X X X n 为,,,21 的一个样本，则θ的矩估计量=θˆ
7. 设X e Y N X -=),1,0(~,则Y 的密度函数=)(y f Y .
8.设Y X ,为两个随机变量，且
74
}0{}0{,73}0,0{=≥=≥=
≥≥Y P X P Y X P ，
则=≥}0),{max(Y X P .
9. 设Y X ,相互独立，且概率密度分别为: ⎩⎨⎧≤≤=其它,01
0,1)(x x f X ,⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y ，则
Y X Z +=的概率密度=)(z f Z .
10.将n 只球（1~n 号）随机地放进n 只盒子（1~n 号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，则=)(X E . 三、设A 和B 是两个事件，8.0)(,6.0)(==B P A P ，
试问：(1) 在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少； (2) 在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少.
四、已知随机变量X 的概率分布如右表， 求随机变量：（1）X 的分布函数)(x F . （2）X Y 2-=的概率分布.
五、设连续型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F ,11,ln 1,0)(
求：(1) 随机变量的概率密度函数)(x f ； （2） )5.20(≤<X P ；
（3） 期望)(X E .
X
-1 0 2 4 p
0.2
0.3
0.4
0.1
六、某产品主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%，80%和5%，
其次品率分别为0.02，0.01和0.03.试计算:
(1) 从这批产品中任取一件,是不合格品的概率为多大?
(2) 已知从这批产品中随机地抽取一件是不合格品,问这件产品是甲厂生产的概率?
七、设总体X 密度函数为⎩⎨⎧≤≤=-其它
,01
0,),(1x x x f θθθ,其中0>θ为未知参数，如果取得样本
观测值为n x x x ,,,21 ，求参数θ的极大似然估计值.
八、设随机变量X 的分布函数)(x F 连续且严格单调增加，求)(X F Y =的概率密度.
九、设随机变量），（Y X 的概率密度为⎩
⎨⎧>>=+-，
其它，，00
,0),()43(y x ke y x f y x （1）求常数k ; （2）}20,10{≤<≤<Y X P ；
（3）求），（Y X 的联合分布函数),(y x F ；（4）判断Y X ,的独立性.。