河北2018中考数学复习专题复习三几何解答题第2课时解三角形和三角形相似试题.

第2课时解三角形和三角形相似
1．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N 分别为AC，CD 的中点，连接BM，MN，BN.
(1)求证：BM＝MN；
(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC＝2，求BN 的长．
解：(1)证明：在△CAD 中，
∵M，N 分别是AC，CD 的中点，
∴MN∥AD，且MN＝12
AD.在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM＝12
AC.又∵AC＝AD，∴MN＝BM.
(2)∵∠BAD＝60°，且AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
由(1)知BM＝12
AC＝AM＝MC.∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.
∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°.
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.
∴BN 2＝BM 2＋MN 2.
由(1)知，MN＝BM＝12AC＝12
×2＝1.∴BN＝ 2.
2．(2016·白银)如图，已知EC∥AB,∠EDA＝∠ABF.
(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；
(2)求证：OA 2＝OE·OF.
证明：(1)∵EC∥AB，
∴∠C＝∠ABF.
又∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠C＝∠EDA.
∴AD∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形．
(2)∵EC∥AB，∴OA OE ＝OB OD
.又∵AD∥BC，∴OF OA ＝OB OD
.
∴OA OE ＝OF OA
，即OA 2＝OE·OF.3．(2015·南充)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin ∠DMF＝35
，那么AB 的长为6．
解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.
(2)设AP＝x，由折叠关系可得BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1.
由△AMP∽△BPQ，得AM BP ＝AP BQ
，即BQ＝x 2.由△AMP∽△CQD，得AP CD ＝AM CQ
，即CQ＝2.AD＝BC＝BQ＋CQ＝x 2
＋2，
MD＝AD－AM＝x 2＋2－1＝x 2＋1.又∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF＝35
，DF＝DC＝2x，∴sin∠DMF ＝DF MD ＝2x x 2＋1＝35
.解得x ＝3或x ＝13
(不合题意，舍去)．∴AB ＝2x ＝6.
4．(2016·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 是边AC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，将△AED 沿DE 所在的直线折叠得到△A 1DE.
(1)当点A 1落在边BC(含边BC 的端点)上时，折痕DE 的长是多少？
(2)连接A 1B，当点E 在边AB 上移动时，求A 1B 长的最小值．
解：(1)∵点D 到边BC 的距离是DC＝DA＝1，
∴点A 1落在边BC 上时，点A 1与点C 重合，如备用图所示．此时，DE 为AC 的垂直平分线，即DE 为△ABC 的中位线，
∴DE＝12
BC＝1.(2)连接BD.
在Rt △BCD 中，BD＝BC 2＋CD 2＝ 5.
由△A 1DE≌△ADE，可得A 1D＝AD＝1.
由A 1B＋A 1D≥BD，得A 1B≥BD－A 1D＝5－1.
∴A 1B 长的最小值是5－1.
5．(2015·资阳)E，F 分别是正方形ABCD 的边DC，CB 上的点，且DE＝CF，以AE 为边作正方形AEHG，HE 与BC 交于点Q，连接DF.
(1)求证：△ADE≌△DCF；
(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；
(3)连接AQ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°.
∵DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS )．
(2)证明：∵四边形AEHG 是正方形，∴∠AEH＝90°.
∴∠AED＋∠QEC＝90°.
∵∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°.∴∠QEC＝∠EAD.
∴△ADE∽△ECQ.∴CQ DE ＝CE AD
.∵CE AD ＝DE AD ＝12，∴CQ DE ＝CQ CF ＝12
.∴点Q 是CF 中点．
(3)S 1＋S 2＝S 3成立．
理由：∵△ADE∽△ECQ，∴CQ DE ＝QE AE
.又∵DE＝CE，∴CQ CE ＝QE AE
.∵∠C＝∠AEQ＝90°，∴△AEQ∽△ECQ.∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE.
∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ
)2.∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ
2.由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，
∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.
6．(2015·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接C F 并延长交AB 于点M，MN⊥CM 交AD 于点N.
(1)当F 为BE 中点时，求证：AM＝CE；
(2)若AB BC ＝EF BF ＝2，求AN ND
的值；(3)若AB BC ＝EF BF
＝n，当n 为何值时，MN∥BE.解：(1)证明：∵F 为BE 中点，∴BF＝EF.
∵在矩形ABCD 中，AB∥CD，
∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF.
∴△BMF≌△ECF(AAS )．
∴MB＝CE.
∵AB＝CD，CE＝DE，∴MB＝AM.∴AM＝C E.
(2)设MB＝a，
∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF.
∴EF BF ＝CE MB
＝2.∴CE＝2a.∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB－MB＝3a.
∵AB BC ＝2，∴BC＝AD＝2a.∵MN⊥MC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMN＋∠BMC＝90°.
又∵∠AMN＋∠ANM＝90°，
∴∠BMC＝∠ANM.
∴△AMN∽△BCM.
∴AN MB ＝AM BC ，即AN a ＝3a 2a
.∴AN＝32a，ND＝AD－AN＝12
a.∴AN ND ＝32a 12
a
＝3.(3)设MB＝a，
∵EF BF
＝n，且△MBF∽△CEF，∴CE MB ＝EF BF
.∴CE＝na，AB＝CD＝2na.
∵AB BC
＝n，∴BC＝2a.如图，当MN∥BE 时，CM⊥BE.
∵∠BMC＋∠BCM＝90°，∠EBC＋∠BCM＝90°，∴∠BCM＝∠EBC.
∴△MBC∽△BCE.
∴MB BC ＝BC CE ，即a BC ＝BC na
.∴BC＝na.又∵BC＝2a，∴na＝2a.解得n＝4.
∴当n＝4时，MN∥BE.
7．(2016·石家庄模拟)提出问题：
(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE⊥DH 于点O，求证：A E＝DH；
类比探究：
(2)如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F 分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；
综合运用：
(3)在(2)问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH.∴∠HAO＋∠O AD＝90°.
∵AE⊥DH，∴∠ADO＋∠OAD＝90°.
∴∠HAO＝∠ADO.
∴△ABE≌△DAH(ASA )．∴AE＝DH.
(2)EF＝GH.理由：
将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM＝EF.
将GH 平移到DN 处，则DN∥GH，DN＝GH.
∵EF⊥GH，∴AM⊥DN.
根据(1)的结论得AM＝DN，∴EF＝GH.(3)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥CD.
∴∠AHO＝∠CGO.
∵FH∥EG，∴∠FHO＝∠EGO.
∴∠AHF＝∠CGE.
∴△AHF∽△CGE.∴AF CE ＝FH EG ＝FO OE ＝12
.又∵EC＝2，∴AF＝1.
过点F 作FP⊥BC 于点P，根据勾股定理得EF＝17.
∵FH∥EG，∴FO FE ＝HO HG
.根据(2)知EF＝GH，∴FO＝HO.
∴S △FOH ＝12FO 2＝12×(13EF)2＝1718，S △EOG ＝12EO 2＝12×(23EF)2＝6818
.∴阴影部分面积为1718＋6818＝8518.。