与斜面有关的平抛运动资料讲解
高中物理当平抛遇到斜面
·当平抛遇到斜面斜面上的平抛问题是一种常见的题型，本文通过典型例题的分析，希望能帮助大家突破思维障碍，找到解决办法。
一．物体的起点在斜面外，落点在斜面上1.求平抛时间例1.如图1, 以v 0＝ m/s 的水平初速度抛出的物体, 飞行一段时间后, 垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上, 求物体的飞行时间解: 由图2知，在撞击处：(tan 30y v v =︒, ∴3y v t g==s.2.求平抛初速度例2.如图3，在倾角为370的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。
解：小球水平位移为0x v t =，竖直位移为212y gt =由图3可知，20012tan 37H gt v t-=， 《又0tan 37v gt =， 解之得：0153gH v =. 点评：以上两题都要从速度关系入手，根据合速度和分速度的方向（角度）和大小关系进行求解。
而例2中还要结合几何知识，找出水平位移和竖直位移间的关系，才能解出最终结果。
3.求平抛物体的落点例3．如图4，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab =bc =cd 。
从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。
若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ）A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点解：当v 水平变为2v 0时，若作过b 点的直线be ，小球将落在c 的正下方的直线上一点，连接O 点和e 点的曲线，和斜面相交于bc 间的一点，故A 对.图1图2图3图4；点评：此题的关键是要构造出水平面be ，再根据从同一高度平抛出去的物体，其水平射程与初速度成正比的规律求解.二、物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。
一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解。
斜面类平抛运动知识点总结
斜面类平抛运动知识点总结一、斜面类平抛运动的基本概念1. 斜面类平抛运动的定义斜面类平抛运动是指物体在一个倾斜角度的斜面上进行平抛运动的过程。
在该运动过程中，物体的平抛轨迹既包括水平方向运动，又包括斜面上的运动。
2. 基本参数在斜面类平抛运动中，一般会涉及到以下几个基本参数：- 初速度（v0）：物体在斜面上的初速度，包括水平方向速度、竖直方向速度和斜面方向速度。
- 初角度（θ）：物体的初速度与斜面法线的夹角。
- 初位置（x0，y0）：物体的初始位置坐标。
- 加速度（a）：物体在斜面上的加速度，包括水平方向加速度和斜面方向加速度。
- 时间（t）：物体在斜面类平抛运动中的运动时间。
3. 运动规律斜面类平抛运动遵循以下几个基本的运动规律：- 牛顿运动定律：物体在斜面上的平抛运动符合牛顿运动定律，即物体在斜面上会受到斜面法线方向的支持力和重力的作用。
- 运动方程：斜面类平抛运动可以用运动方程来描述，包括物体在水平方向和斜面方向上的位移、速度和加速度的关系。
- 动能和重力势能转化：斜面类平抛运动过程中，物体的动能和重力势能会相互转化，这是斜面类平抛运动的一个重要特点。
二、斜面类平抛运动的相关公式在斜面类平抛运动中，涉及到一些基本公式和物理规律，下面列举几个重要的公式：1. 物体在斜面上的加速度斜面类平抛运动中，物体在斜面上的加速度可以用以下公式来计算：a = g*sin(θ)其中，a为物体在斜面上的加速度，g为重力加速度，θ为斜面的倾角。
2. 物体在水平方向上的运动距离斜面类平抛运动中，物体在水平方向上的运动距离可以用以下公式来计算：x = v0*cos(θ)*t其中，x为物体在水平方向上的位移，v0为物体的初速度，θ为斜面的倾角，t为运动时间。
3. 物体在竖直方向上的运动距离斜面类平抛运动中，物体在竖直方向上的运动距离可以用以下公式来计算：y = v0*sin(θ)*t - 0.5*g*t^2其中，y为物体在竖直方向上的位移，v0为物体的初速度，θ为斜面的倾角，t为运动时间，g为重力加速度。
平抛运动与斜面问题的探讨
） 时， 火 车将 做离 心 （ 或近 心 ） 运动， 车 轮将 会 挤压 轨
道 内侧 （ 或外侧） 产 生侧 压 力 Ｆ， 此 时侧 压 力 Ｆ多 大 ？ （ 重力 加速度 为 ｇ ， 不讨论 车轮与轨道 的摩擦 问题 ） 参 考答 案 ：
正值 ， 表 明小 珠 受 大 环 的 支 持力 ， 反作用是压力 ； 若 Ｎ 为 负值 ， 表 明小 珠 受 大环 压 力 ， 反作用是“ 抬力” 。 悬 线 中 的张力 １ 、 极小 ， 则 大 环所 受 “ 抬力” 的 竖 直 分 量最大 。由两 小珠 在 下滑 过 程 中机 械 能 守恒 ， 得
１ ． 如 图 ６所 示 ， 质量 为 Ｍ 的立
Ａ． 轰 炸机 的飞行 高度 Ｂ ． 轰炸 机 的飞行 速度
Ｃ ． 炸 弹 的 飞 行 时 间 Ｉ ） ． 炸 弹 投 时 的 动 能
中掌 生数理亿 ． 富二 赢三使用
图 ６
方 体块 放 在 粗 糙 的 水 平 面 上 ， 立 方
向上 的匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向上 的 自由 落 体 运
动， 只要 掌 握 了运 动 的合 成 与 分 解 的平 行 四边 形 定
则， 一 般 的平 抛 运 动 问题 都 能 够 解 决 。但 当平 抛 运 动 与斜 面 相 结 合 时 ， 求 解 起 来 就 要 困 难 一 些 了 。下 面 我们 结合 例 子来探 究 这类 问题 的求 解策 略 。
的 距 离 ｄ一 １ Ｉ Ｔ Ｉ ， 取 ｇ —ｉ ０ ｍ／ ｓ ， 空
动 过程 中 ， 小 球 在槽 内做 周 期性 变 速 圆 周运 动 ， 立 方
体块 始 终静 止在 地 面 上 。试 求 在 。取 以下 数 值 时 ，
例析平抛运动与斜面的组合问题
例析平抛运动与斜面的组合问题许文将平抛运动与斜面组合是一种常见的深化平抛运动的构题方式。
这类组合问题往往通过斜面的一些隐含条件，能很好地考查同学们对平抛运动规律的理解与运用。
下面通过实例剖析平抛运动与斜面组合的几种经典构题方式，探究各种组合问题的命题规律，总结求解问题的分析方法。
一、起点在斜面外、落点在斜面上的平抛起点在斜面外、落点在斜面上的平抛运动问题往往会给出做平拋运动的物体落在斜面上的速度方向与斜面的夹角或物体落在斜面上的位置。
斜面往往会隐含着物体做平抛运动末速度的方向、平抛运动的水平位移与竖直位移间的关系。
通常根据斜面的倾角，由几何关系、三角函数等数学知识找出相关的隐含条件，才能使问题得以顺利求解。
例1如图1所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面时运动的时间为t，重力加速度为g。
则下列说法中正确的是（）。
点评本题中斜面约束了小球的平抛运动，斜面的倾角隐含着小球做平抛运动的末速度方向、水平位移与竖直位移间的关系。
通过相关的数学知识找出这种隐含条件是分析求解这类问题的关键。
例2如图2所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰好落在b点。
若小球的平抛初速度变为v，落点位于c点，则（）。
A.v0B.√2v0C.2v0D.v>3v0例3如图4所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，现测得AB：BC：CD=5：3：1，则（）。
A.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动时间之比为1：2：3B.从A、B、C三处抛出的三个小球落在斜面上时的速度与初速度间的夹角之比为1：1：1C.从A、B、C三处抛出的三个小球的初速度大小之比为3：2：1D.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动轨迹可能在空中相交解析因为AB：BC：CD=5：3：1，所以从A、B、C三处抛出的三个小球做平抛运动的位移大小之比为点评本题中三个小球的运动均为同一斜面上的平抛运动，上述求解过程中充分利用了斜面上平抛运动的几个二级结论，即运动时间t∞v0，合位移s∞v0，末速度与初速度方向间夹角a与斜面倾角θ之间满足tan a=2tanθ，实现了快速求解问题的目标。
与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．两种情况的特点及分析方法对比如下：方法内容斜面飞行时间总结分解速度水平方向：v x＝v0竖直方向：v y＝gt合速度：v＝v x2＋v y2特点：tan θ＝v xv y＝v0gtt＝v0g tan θ分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2合位移：s＝x2＋y2特点：tan θ＝yx＝gt2v0t＝2v0tan θg分解位移，构建位移三角形【例1】如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)()A.23s B.223s ， C. 3 s D.2 s【例2】如图所示，AB为固定斜面倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？【例3】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )A.v 20tan αgB.2v 20tan αgC.v 20g tan αD.2v 20g tan α【例4】如图所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力)(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值．【例5】如图所示，一个小球从高h ＝10 m 处以水平速度v 0＝10 m/s 抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知AC ＝5 m ．g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：(1)P 、C 之间的距离；(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向．课后作业1.如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落到了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打在斜面上，则v1、v2之比为()A．1∶2B．2∶1 C．3∶2 D．2∶32.如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O 点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g取10 m/s2)()A．2 s B. 2 s C．1 s D．0.5 s3.如图所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则()A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/sB.小球击中斜面时的速度大小为4 m/sC.小球做平抛运动的水平位移是1.6 mD.小球做平抛运动的竖直位移是1 m4.将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 3 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g＝10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，下列判断正确的是()A.斜面的倾角是60°B.小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 mC.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方D.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处5.如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )A.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2B.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2C.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶2D.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶46.如图所示，从斜面上的A 点以速度v 0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，已知AB ＝75 m ，α＝37°，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )A.物体的位移大小为60 mB.物体飞行的时间为6 sC.物体的初速度v 0大小为20 m/sD.物体在B 点的速度大小为30 m/s7.如图所示，可视为质点的小球，位于半径为3m 半圆柱体左端点A 的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B 点.过B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A.553 m/sB.4 3 m/sC.3 5 m/sD.152m/s8.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求： (1)小球水平抛出的初速度大小v 0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x .与斜面有关的平抛运动参考答案【例1】【答案】 C【解析】 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v 0和竖直方向的分速度v y ，则有：tan 30°＝v 0v y ，v y ＝gt ，联立得：t＝v 0g tan 30°＝3v 0g＝ 3 s ，故C 正确． 【例2】【答案】 (1)4v 0 23g 23v 03g (2)3v 03g 3v 0 212g【解析】 (1)设飞行时间为t ，则有：水平方向位移l AB cos 30°＝v 0t 竖直方向位移l AB sin 30°＝12gt 2解得：t ＝2v 0g tan 30°＝23v 03g ，l AB ＝4v 023g .(2)方法二(结合斜抛运动分解)如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的“竖直上抛”运动．小球到达离斜面最远处时，速度v y ＝0， 由v y ＝v 0y －g y t ′可得：t ′＝v 0y g y ＝v 0sin 30°g cos 30°＝v 0g tan 30°＝3v 03g小球离斜面的最大距离y ＝v 0y22g y ＝v 0 2sin 2 30°2g cos 30°＝3v 0 212g.【例3】【答案】 A【解析】 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg，则A 、B 间的水平距离x ＝v 0t ＝v 20tan αg，故A 正确，B 、C 、D 错误.【例4】【答案】 (1)6.75 m 0.9 s (2)32【解析】 (1)如图所示，小球落到B 点时位移与初速度的夹角为37°，设运动时间为t . 则tan 37°＝h x ＝12gt 2v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得：t ＝0.9 s所以x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)设小球落到B 点时速度方向和水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v 0＝gt v 0＝32.【例5】【答案】 (1)5 2 m (2)10 2 m/s 方向垂直于斜面向下 【解析】 (1)设P 、C 之间的距离为L ，根据平抛运动规律有： AC ＋L cos θ＝v 0t ，h －L sin θ＝12gt 2联立解得：L ＝5 2 m ，t ＝1 s.(2)小球撞击P 点时的水平速度v 0＝10 m/s 竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s所以小球撞击P 点时速度的大小v ＝v 02＋v y 2＝10 2 m/s设小球撞击P 点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v yv 0＝1 解得：α＝45°故小球撞击P 点时速度方向垂直于斜面向下．课后作业1.【答案】C【解析】球A 做平抛运动，根据分位移公式，有x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，又tan 30°＝yx ，联立解得v 1＝32gt ；小球B 恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝v 2v y ＝v 2gt ，则得v 2＝33gt ，可得v 1∶v 2＝3∶2，故C 正确，A 、B 、D 错误． 2.【答案】C【解析】设小球撞到斜面AB 中的一点D 上，则小球的水平运动的时间与竖直下落的时间相等，设飞行时间为t ，则根据几何关系可得v 0t ＝10 m －12gt 2，代入数据解得t ＝1 s ，故选项C正确． 3.【答案】 A【解析】 P 点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan 37°＝v 0v y ，解得：v y ＝v 0tan 37°＝334 m/s＝4 m/s ，小球击中斜面时的速度大小为：v ＝v 20＋v 2y ＝32＋42 m/s ＝5 m/s ，A 正确，B 错误；小球运动的时间：t ＝v y g ＝410 s ＝0.4 s ，可知水平位移：x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m ，竖直位移：y ＝12gt 2＝12×10×0.42 m ＝0.8 m ，C 、D 错误.4.【答案】 C【解析】 设斜面倾角为θ，对小球在A 点的速度进行分解有tan θ＝v 0gt，解得θ＝30°，A 错误；小球距过A 点水平面的距离为h ＝12gt 2＝15 m ，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度一定大于15 m ，B 错误；若小球的初速度为v 0′＝5 m/s ，过A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v 0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，可知小球应该落在P 、A 之间，C 正确，D 错误。
专题02 平抛运动的描述——解析版
专题2 平抛运动的描述（教师版）一、目标要求二、知识点解析1．平抛运动的定义将物体以一定的速度抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动；做抛体运动的物体只受到重力作用，既加速度g不变，因此抛体运动一定是是匀变速运动．抛体运动开始时的速度叫做初速度．如果初速度是沿水平方向的，这个运动叫做平抛运动．平抛运动是匀变速曲线运动．平抛运动的特征：①具有水平方向的初速度②只受重力作用2．平抛运动的基本规律(1)水平方向：匀速直线运动．(2)竖直方向：自由落体运动，加速度为g．3．平抛运动的运动规律v的方向相同；竖直方向为y轴，正方向向下；物以抛出点为原点取水平方向为x轴，正方向与初速度(,)，下面将就质点任意时刻的速度、位移进行讨论．体在任意时刻t位置坐标为P x yy(1)速度公式：水平方向和竖直方向速度：0x y v v v gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此物体的实际速度为：0y x v v gtv v tan α⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩(2)位移公式水平方向和竖直方向位移：0212x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此实际位移为：02S y gt x v tan θ⎧⎪==⎪⎨⎪==⎪⎩注意：显然，位移和速度的夹角关系为：12tan tan θα=，即v 的反向延长线交于OA 的中点O ’．这一结论在运算中经常用到．(3)轨迹公式 由0x v t =和212y gt =可得2202g y x v =，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线． 4．平抛运动的几个重要结论(1)运动时间：t =(2)落地的水平位移：x x v t v ==，即水平方向的位移只与初速度0v 和下落高度h 有关．(3)落地时速度：v =0v 和下落高度h 有关平抛运动 (4)两个重要推论：表示速度矢量v 与水平方向的夹角，故 表示位移矢量与水平方向的夹角，故 ①平抛运动中，某一时刻速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍． ②根据示意图，我们可知，平抛运动中，某一时刻速度的反向延长线与x 轴的交点为水平位移的中点． 5．求解平抛运动飞行时间的四种方法(1)已知物体在空中运动的高度，根据212h gt =，得到t = (2)已知水平射程x 和初速度0v ，也可以求出物体在空中运动的时间0x t v =(3)已知物体在空中某时刻的速度方向与竖直方向的夹角θ与初速度0v 的大小，根据0v gttan θ=可以求得时间．(4)已知平抛运动的位移方向与初速度方向的夹角α及初速度0v 的大小，根据200122gtgt v t v tan α==可求出时间．6．类平抛运动有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某个方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动．对这种运动像平抛又不是平抛，通常称为平抛运动，处理方法与平抛运动一样，只是a 不同而已．如图所示倾角为θ．一物块沿上方顶点P 水平射入，而从右下方顶点Q 离开．xα0tan y xv gt v v α==θ21tan tan 222x x y gt gt x v t v θα====7．斜面上的平抛运动解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，若已知斜面倾角，则相当于间接告诉合速度或者合位移的方 向．这个类问题主要就是将平抛运动规律与几何知识综合起来．①当物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角．一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向(角度)关系进行求解．例如：两个相对的斜面，倾角分别为037和053，在顶点把两个小球以相同初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，是求解A 、B 两个小球落到斜面上的时间之比是多少．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,== b ：由于物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角可知：tan y x θ=，()201tan 2gt v t θ=，0tan v t g θ2=，所以：tan 379tan 5316A B t t ︒==︒ ②当物体的起点在斜面外，落点在斜面上 解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，是垂直打到斜面上，所以水平方向的速度和竖直方向的速度有以下关系：0tan yv v θ=根据这个公式再加上水平方向和竖直方向的位移关系就可以方便的求解．例如：在倾角为37°的斜面底端的正上方H 处平抛一个小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,==，由图可知， 2012tan 37H gt v t-︒=. b ：由速度关系得：0tan 37v gt ︒=，解之得：0v = 8．斜抛运动的基本概念(1)定义：斜向上或斜向下抛出的物体只在重力(不考虑空气阻力)作用下的运动叫做斜抛运动． (2)斜抛运动的特点：水平方向速度不变，竖直方向仅受重力，加速度为g ．(3)斜抛运动的分解：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下 抛运动的合运动． (4)斜抛运动的方程如图所示，斜上抛物体初速度为v ，与水平方向夹角为θ，则速度：x yv v v v gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩位移：212x v t y v t gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩轨迹方程：可得：xt v cos θ=，代入y 可得2222gx y x v tan cos θθ=-可以看出：y ＝0时 (1)x ＝0是抛出点位置．(2)22v x gsin θ=是水平方向的最大射程．(3)飞行时间：2v t gsin θ=三、考查方向题型1：平抛运动的基本规律典例一：(多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是( ) A ．落地时间仅由抛出点高度决定B ．抛出点高度一定时，落地时间与初速度大小有关C ．初速度一定的情况下，水平飞出的距离与抛出点高度无关D ．抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度大小成正比 【答案】AD【解析】AB ．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由 h =212gt 得 t则知平抛运动的时间由抛出点高度决定，与初速度无关，故A 正确，B 错误；CD ．平抛运动的水平距离 x =v 0t=v 抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度的大小成正比，故C 错误，D 正确．题型2：平抛运动的计算典例二：（2020江苏·多选）如图所示，小球A 、B 分别从2l 和l 的高度水平抛出后落地，上述过程中A 、B 的水平位移分别为l 和2l 。
斜面上平抛
斜面上平抛运动问题斜面上的平抛运动问题一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tanα＝2tanβ，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝2tanφ。
证明：如右图所示，由平抛运动规律得tanθ＝v yv x＝gtv0，tanφ＝y0x0＝12·gt2v0t＝gt2v0，所以tanθ＝2tanφ。
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如右图所示，tanφ＝y0 x0tanθ＝2tanφ＝y0 x0/2即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点。
注意：(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
(2)它们与水平方向的夹角关系为tanθ＝2tanφ，但不能误认为θ＝2φ。
【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθC．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ[解析]竖直速度与水平速度之比为：tanφ＝gtv0，竖直位移与水平位移之比为：tanθ＝gt22v0t，故tanφ＝2tanθ，D正确。
(注意：只要落点在斜面上，该结论与初速度大小无关)关于物体在斜面上运动，若选取鞋面为参照物时，我们可以更具所需将速度沿加速度方向和垂直于加速度方向分解、将加速度沿速度方向和垂直于速度方向分解或者两者同时进行分解从而进行有效阶梯【典例精析】：如右图所示，足够长斜面OA的倾角为θ，固定在水平地面上，现从顶点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球在飞行过程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？解法一：常规分解方法(不分解加速度)当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大。
8与斜面结合的平抛问题
与斜面结合的平抛运动问题考点规律分析与斜面结合的平抛运动常见的两类情况(1)顺着斜面抛：如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
结论有：①到达斜面的速度方向与斜面夹角恒定；②到达斜面的水平位移和竖直位移的关系：tanθ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0；③运动时间t＝2v0tanθg。
(2)对着斜面抛：如图乙所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。
结论有：①速度方向与斜面垂直；②水平分速度与竖直分速度的关系：tanθ＝v0v y＝v0gt；③运动时间t＝v0g tanθ。
例题讲解女子跳台滑雪如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。
设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面。
(取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)运动员在空中飞行的时间t ； (2)A 、B 间的距离s 。
[规范解答] (1)运动员由A 点到B 点做平抛运动，水平方向的位移x ＝v 0t ，竖直方向的位移y ＝12gt 2，又yx ＝tan37°，联立以上三式得t ＝2v 0tan37°g ＝3 s 。
(2)由题意知sin37°＝y s ＝12gt 2s ， 得A 、B 间的距离s ＝gt 22sin37°＝75 m 。
[完美答案] (1)3 s (2)75 m物体从斜面平抛后又落到斜面上，则其位移大小为抛出点与落点之间的距离，位移的偏角为斜面的倾角α，且tan α＝\f(y,x )。
当速度平行于斜面时，物体离斜面最远。
举一反三作业1.如图所示，以9.8 m/s 的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为(g 取9.8 m/s 2，不计空气阻力)( )A.23s B.223sC. 3 s D．2 s答案C解析如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度v y，则有tan30°＝v0vy ，又v y＝gt，解两式得t＝v yg＝3v0g＝ 3 s，故C正确。
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与斜面有关的平抛运动1．如图，从斜面上的点以速度υ0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，己知AB=75m ， a=37°，不计空气阻力，下列说法正确的是A.物体的位移大小为75mB.物体飞行的时间为6sC.物体的初速度v 0大小为20m/sD.物体在B 点的速度大小为30m/s 【答案】AC 【解析】试题分析：由图可知，物体的位移大小为75m ，选项A 正确；物体飞行的时间为s s g s t3106.0752sin 2=⨯⨯==α，选项B 错误；物体的初速度v 0大小为s m ts v /2037cos 0==o，选项C 正确；物体在B 点的速度大小为s m s m gt v v /1310/)310(20)(22220=⨯+=+=，选项D 错误；故选AC.考点：平抛运动的规律.2．如图所示，斜面与水平面夹角，在斜面上空A 点水平抛出两个小球a 、b ，初速度分别为v a 、v b ，a 球落在斜面上的N 点，而AN 恰好垂直于斜面，而b 球恰好垂直打到斜面上M 点，则（ ）A ．a 、b 两球水平位移之比2v a :v bB ．a 、b 两球水平位移之比2v a 2 :v b 2C ．a 、b 两球下落的高度之比4v a 2 :v b 2D ．a 、b 两球下落的高度之比2v a 2 :v b 2【答案】BC 【解析】试题分析：a 球落在N 点，位移与斜面垂直，则位移与水平方向的夹角为90°-θ，设此时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα=2tan（90°-θ），b 球速度方向与斜面垂直，速度与水平方向的夹角为90°-θ，可知：2yb ya bav v v v =，解得：2yaaybbv v v v =，根据22yv h g=，则a、b两球下落的高度之比224:a bv v．故C正确，D错误．根据yvtg=知，a、b两球的运动时间之比为v a：2v b，根据x=v0t，则水平位移之比为：x a：x b＝v a2：2v b2．故B正确，A 错误．故选：BC．考点：平抛运动的规律.3．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端水平抛出一个小球，小球落在斜面上某处．关于小球落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角α，下列说法正确的是A．夹角α满足tanα=2tan（B．夹角α与初速度大小无关C．夹角α随着初速度增大而增大D．夹角α一定小于90【答案】BD【解析】试题分析：因为小球落到了斜面上，所以小球的位移与水平方向的夹角与斜面的倾角相同，故有：200122gty gttanx v t vθ===，设速度与水平方向的夹角为β，则002yv gttan tanv vβθ===，可知2tan tanβθ=，由于θ不变，则β也不变．则小球落在斜面上时的速度与斜面的夹角：αβθ=-，保持不变．与初速度无关．因为平抛运动速度与水平方向的夹角不可能等于90度，则小球落在斜面上时的速度与斜面的夹角不可能等于90度，故BD正确。
考点：考查了平抛运动规律的应用4．如图所示，小球以v o正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为（重力加速度为g）（）A.02tanvgθB.02tanvgθC.0tanvgθD.tanvθ【答案】A【解析】试题分析：过抛出点作斜面的垂线，如图所示：当质点落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向：x=v0t竖直方向：y=t g221根据几何关系有θtan=yx，则tvgt221=tanθ，解得t=θtan2gv，选项A正确。
考点：此题考查了平抛运动5．如图所示，将一物体从倾角为θ的固定斜面顶端以初速度v0沿水平方向抛出，物体与斜面接触时速度与斜面之间的夹角为α1，若只将物体抛出的初速度变成1/2v0，其他条件不变，物体与斜面接触时速度与斜面之间的夹角为α2，则下列关于α2与α1的关系正确的是（）A．α2＝12α1B．α2＝α1C．tanα2＝12tanα1D．tanα2＝2tanα1【答案】B【解析】试题分析：设物体与斜面接触时距斜面顶点距离为l ，由平抛运动的规律有0cos l v t θ=，21sin 2l gt θ=则得：0tan 2gtvθ=，由上图知：100tan()y v gt v v αθ+==，可得1tan()2tan αθθ+=所以1α与抛出速度0v 无关，即有α2＝α1，故ACD 错误、B 正确。
考点：本题考查了平抛运动的规律6．如图所示，斜面AC 与水平方向的夹角为α，在A 点正上方与C 等高处水平抛出一小球，其速度垂直斜面落到D 点，则CD 与DA 的比为( )A ．1tan a B ．12tan a C ．21tan a D ．212tan a【答案】D 【解析】试题分析：设小球水平方向的速度为v 0，将D 点的速度进行分解，水平方向的速度等于平抛运动的初速度，通过角度关系求解得竖直方向的末速度为v 2=αtan 0v，设该过程用时为t ，则DA 间水平距离为x= v 0t ，故DA=ααcos cos 0t v x =；CD 间竖直距离为h=22t v ，故CD=αsin h=αsin 22t v ，得DA CD =α2tan 21，故选项D 正确。
考点：平抛运动规律7．如图所示，把两个小球a 、b 分别从斜坡顶端以水平速度v 0和2v 0依次抛出，两小球都落到斜面后不再弹起，不计空气阻力，则两小球在空中飞行时间之比是( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4【答案】B 【解析】 v yv 0试题分析：设斜面倾角为θ，将平抛运动分解到水平方向和竖直方向，第一次2101 12tangtv tθ=，可得012tanvtgθ=；第二次220112tan2gtv tθ=可得，024tanvtgθ=，因此两小球在空中飞行时间之比12:1:2t t=，因此B正确，A、C、D错误。
考点：平抛运动8．如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。
已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此不能算出（）A．轰炸机的飞行速度 B．炸弹的飞行时间C．轰炸机的飞行高度 D．炸弹投出时的动能【答案】D【解析】试题分析：由图可得炸弹的水平位移为tanhxθ=；设轰炸机的飞行高度为H，炸弹的飞行时间为t，初速度为v0．据题：炸弹垂直击中山坡上的目标A，则根据速度的分解有：00tanyv vv gtθ==又200122gtH h gtx v t v-==，联立以上三式得：22tanhH hθ=+，可知可以求出轰炸机的飞行高度H．炸弹的飞行时间2()H htg-=，也可以求出t．轰炸机的飞行速度等于炸弹平抛运动的初速度，为xvt=，可知也可以求出，故A、B、C均能算出；由于炸弹的质量未知，则无法求出炸弹投出时的动能，故D不能算出。
考点：平抛运动的规律.9．如图所示的两个斜面，倾角分别为37°和53°，在顶点两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两个小球平抛运动时间之比为（）A.1:1B.4:3C.16:9D.9:16【答案】D【解析】试题分析：对于a球，21237237AAAgt v tanytan tx v t g︒︒==⇒＝对于b球，t21253253?BBBgt v tanytan tx v t g︒︒=⇒＝＝所以tan379tan5316ABtt︒︒＝＝，故D正确。
考点：考查了平抛运动规律的应用10．如图所示，在斜面上的O点先后以2v和3v的速度水平抛出A、B两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为（）A．2 ：3 B．4 ：5 C．4 ：9 D．3 ：5【解析】ACD【解析】试题分析：A、当A、B两个小球都能落到水平面上时，由于两者的下落高度相同，运动的时间相同，则水平位移之比为初速度之比，为2：3，所以A正确；C、当A、B都落在斜面的时候，它们的竖直位移和水平位移的比值即为斜面夹角的正切值，即212tangtv tθ=，整理可得，时间02tanvtgθ=，两次平抛的初速度分别为2υ0和3υ0，所以运动的时间之比为0120222233tantanvtt vθθ×==×，两小球的水平位移大小之比为x A：x B=2v0t A：3v0t B=4：9，所以C正确；BD、当只有A落在斜面上的时候，A、B水平位移之比在4：9和2：3之间，所以D正确，B 错误．考点：平抛运动的规律.11．如图所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同初速度水平抛出，小球均落到斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面的速度方向与斜面的夹角为α1，当抛出的速度为v2时，小球到达斜面的速度方向与斜面的夹角为α2，则（）A．当v1＞v2时，α1＞α2 B．当α1＜α2，v1＞v2时C．无论v1、v2大小如何，均有α1=α2 D．2θ=α1+θ【答案】C【解析】试题分析：如图所示，由平抛运动的规律知212Lcos v t Lsin gtθθ=，＝，解得：02v tantgθ=，由图知002yv gttan tanv vαθθ+==（）＝，所以α与抛出速度v无关，故12αα=，故C正确。
考点：考查了平抛运动12．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．则此时小球水平速度与竖直速度之比、小球水平方向通过的距离与在竖直方向下落的距离之比分别为（）A.水平速度与竖直速度之比为tanθB.水平速度与竖直速度之比为1tanθC.水平位移与竖直位移之比为2tanθD.水平位移与竖直位移之比为12tanθ【答案】AC【解析】试题分析：小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角为θ，则水平速度与竖直速度之比为θ=x y v v tan ：，故A 正确，B 错误．水平位移与竖直位移之比 1222θ===x y x y x y v t v t v v tan :：：，故C 正确，D 错误。
考点：考查了平抛运动13．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（ ）A ．tanφ＝sinθB ．tanφ＝cosθC ．tanφ＝tanθD ．tanφ＝2tanθ14．如图所示，以s /m 8.9的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在θ为ο30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（ ）A.s 33B. s 332 C. s 3 D. s 2 【答案】C 【解析】试题分析：小球撞在斜面上的速度与斜面垂直，将该速度分解，如图．则060y v tan v ︒=，则060y v v tan gt =︒=，所以033v t s g=＝，C 正确。