数列求和解题策略
数列求和的几种常见方法
数列求和的几种常见方法数列求和是数学中一种常见的问题，主要目的是计算给定数列的所有项的和。
在数学中，有许多不同的方法可以解决这个问题。
下面将介绍几种常见的数列求和方法。
1.数学归纳法：数学归纳法是一种常见的求和方法。
它基于数学归纳法的思想，即从其中一条件的正确性推出下一个条件的正确性。
当我们想计算一个数列的和时，可以尝试使用归纳法进行推导。
首先，我们假设数列的和为S(n)，即前n个项的和。
然后，我们找到S(n+1)与S(n)的关系，例如通过观察求和式的规律。
最后，我们使用归纳法证明S(n+1)与S(n)的关系成立，并找到S(n)的表达式。
2.公式求和法：一些数列具有明确的求和公式，通过使用这些公式，可以直接计算数列的和。
例如，等差数列的求和公式为S(n) = n(a1 + an) / 2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
类似地，等比数列的求和公式为S(n) = a1(1 - r^n) / (1-r)，其中a1为首项，r为公比。
利用这些公式，我们可以快速计算出数列的和。
3.差分法：差分法是另一种常见的数列求和方法。
它通过求取数列的差分数列来简化求和问题。
差分数列是指将数列中每个相邻的项相减得到的新数列。
通过计算差分数列的和，我们可以得到原始数列的和。
差分法的思路是将原本的复杂数列转化为更加简单的等差或等比数列。
4.数列分解法：数列分解法是一种将复杂的数列拆分为更简单的数列的方法。
通过拆分数列，我们能够找到更简单的求和规律，从而快速计算出数列的和。
数列分解法常用于特殊数列的求和，例如和差数列、间隔数列等。
5.递推法：递推法是通过逐步迭代计算数列的每一项来求和的方法。
我们首先计算出数列的前几个项，然后利用递推关系计算出下一个项，并将其加入到已有的和中。
通过不断迭代，我们可以逐步计算出所有项的和。
递推法常用于递推数列或递归数列的求和。
除了以上提到的求和方法，还有一些其他的方法，如等差数列的部分和、等比数列的部分和、级数求和、积分求和等。
2024年高考数学命题热点全覆盖专题17数列求和的方法规律文
专题17 数列求和的方法规律一．【学习目标】1．娴熟驾驭等差、等比数列前n项和公式．2．娴熟驾驭非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．二．【学问要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列{a n}为等差或等比数列时干脆运用其前n项和公式求和．若{a n}为等差数列，则S n＝（a1＋a n）n2＝____________________．若{a n}为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，S n＝_________({a n}为常数列)；当q≠1时，S n＝______________＝_________(2)裂项相消求和法数列{a n}满意通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．(3)倒序相加法假如一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4)错位相减法假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采纳两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 三．【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特别结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n}的通项公式，它几乎涵盖了数列中全部的思想策略、方法和技巧，对学生的学问和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.练习3. 已知函数，则的值为 _____．【答案】2.裂项求和例2. 数列{}n a的前n项和为n S，若，则5S等于（）1 656130【答案】【解析】选练习1.数列的前项的和为（ ）111- 111- 11【答案】 【解析】故数列的前10项的和为选练习6.数列{}n a 满意11a =，且对于随意的*n N ∈都有，则等于（ ）20162017 4032201720172018 40342018【答案】D练习7.设数列{}n a满意，且，若[]x 表示不超过x的最大整数，则( ) 【答案】【解析】构造，则，由题意可得，b是为首项为公差的等差数列，故数列{}n故，故以上个式子相加可得，解得，∴，∴，∴20172018则．故答案为：．练习8. 已知幂函数()af x x =的图象过点()4,2，令（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2018S =（ ）20181+ 20181-20191+ 20191-【答案】故选：.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且，若，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________．【答案】2119101n --练习10.设数列{}n a 的前项为n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
数列求和各种方法总结归纳
数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。
下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。
即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。
例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。
首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。
当r等于1时，等比数列的和为a*n。
2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。
对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。
3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。
首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。
数列求和7种方法(方法全-例子多)精选全文
可编辑修改精选全文完整版数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列求和方法总结
数列求和方法总结数列求和是数学中一个非常常见且重要的问题，它出现在各个领域的数学问题中，并且在高中数学及以上的学习中经常遇到。
在解决数列求和问题时，我们可以通过多种方法，其中包括代入法、消元法、几何法、差分法、数学归纳法等等。
下面我将对这些方法进行详细的总结与说明。
1. 代入法：代入法是一种常见的求和方法。
我们可以通过代入来求和项的个数和具体数值。
首先，我们需要确定数列的通项公式，然后将要求和的项数具体代入到通项公式中，求出每一项的数值，最后再将这些数值相加即可得到所求的数列的和。
例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以先找到通项公式为an=2n-1，然后代入每一项的数值，得到1、3、5、7、9，最后相加得到的和为(1+9)*5/2=25。
2. 消元法：消元法是一种常用的数学方法，在求和问题中也有广泛应用。
通过对求和式进行变形，我们可以通过消除多项式的常数项、控制变量项或者引入新的变量来简化求和的步骤，从而得到更简单的表达式。
例如，要求等差数列1、2、3、4、5的前n项和，我们可以通过对求和式进行变形，得到Sn=(n+1)*n/2。
3. 几何法：几何法是一种求解数列求和的常见方法，它通常适用于等比数列求和问题。
当数列的各项之间的比值存在规律时，我们可以通过将数列的各项代入到几何模型中来计算求和的方法。
例如，要求等比数列1、2、4、8、16的前n项和，我们可以将这些数列代入等比数列的几何模型中，即1、2、2^2、2^3、2^4，可见，这是一个以2为公比的等比数列。
根据等比数列的求和公式Sn=a1*(r^n-1)/(r-1)，代入数值可得到所求的和。
4. 差分法：差分法是一种通过对数列进行差分来求和的方法。
它通常适用于数列之间的差为常数或规律的数列，通过对数列进行差分可以简化求和的过程。
例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以通过差分法来解决，即将数列进行差分得到2、2、2、2，可以发现这是一个公差为2的等差数列。
数列求和的解题策略
数列求和的解题策略：一．公式法(1)单项和(1)1232n n n +++++=(2)22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ (3)33332(1)123[]2n n n +++++= 等差等比公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=，11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩二．错位相减法： 两点：1格式整齐；2.最后检查。
Exe1.求和：231232222n n +++2.求和：231233333n n ++++3.求和：23135213333n n -++++求和：1231222322n n ⋅+⋅+⋅++⋅错位相减法也可用裂项来代替：等比数列公式里也有这一点：11n n a a S q+-=-23341121111n n a a a a a a a a q q q q+----=++++---- 12n a a a =+++ 三.倒序相加：Exe1.等差数列的前n 项和1()2n n n a a S +=2.已知()1x f x x =+，求111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++3.已知()xf x =1231()()()()n f f f f n n n n -++++ 模板：()f x 的对称中心为(,)a b ，则()(2)2f x f a x b +-=4.在1和100之间放入n 个正数12,,,n a a a ，使这2n +个数成等比数列，求这2n +项的乘积n T5.求证：1!2n n n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭6.正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1()2n n n a a S +≤四．分组求和：Exe1.求和：1123456(1)n n S n +=-+-+-++- ；2.求和：22222212123456(1)n n S n +=-+-+-++- ；3.已知2221n a n n =++，求12n n S a a a =+++ ；4.已知222n n a n =+，求12n n S a a a =+++ ；5.已知sin2n n a n π=⋅，求12n n S a a a =+++ ； 6.已知2sin 3n n a π=，求12n n S a a a =+++ ； 7. 已知213n a n =-，求12n n S a a a =+++ ；8.已知,,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数2为偶数，求12n n S a a a =+++ ； 9.已知2-1,3,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求12n n S a a a =+++ ； 这里要注意：3(1)2n n n n a λ=--为递增数列，求λ的取值范围；五．裂项求和：理论：(1)()n a h n h n =+- Exe1.已知数列1(1)n a n n =+，求12n n S a a a =+++ ； 2.已知数列1(21)(21)n a n n =-+，求12n n S a a a =+++ ； 3.已知等差数列{}n a ，求12231111n n n S a a a a a a +=+++⋅⋅ ； 4.已知数列n a =12n n S a a a =+++ ；5.已知数列2221(1)n n a n n +=⋅+，求12n n S a a a =+++ ；6.已知数列(1)!n n a n =+，求12n n S a a a =+++ ； 7.已知数列12(1)2n n n a n n ++=⋅+⋅，求12n n S a a a =+++ ； 8.已知数列1111222n n n n n n n a ++-+==-，求12n n S a a a =+++ ；9.已知数列11211(21)(21)2121n n n n n n a ++==-++++，求12n n S a a a =+++ ； 10.已知数列tan tan(1)n a n n =⋅+，求12n n S a a a =+++ ；11.已知数列sin(12)n a n =+，求12n n S a a a =+++ ；12.已知数列n a =，求12n n S a a a =+++ ； 13.已知数列1cos cos(1)n a n n =⋅+，求12n n S a a a =+++ ； 思考：等差数列{}n a 的前n 项和n S ，12111n S S S +++ 能否求和？。
数列求和的方法总结
数列求和的方法总结
数列求和的方法总结
数列求和与三角函数在高考中轮番出现，一般分值在十分左右。
下面给大家整理了数列求和的`方法总结，欢迎阅读!
数列求和的方法总结
01裂项相消法：
将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的结果，如图。
02公式法：
用常用求和公式求和得到细解结果，也是数列求和的最基本最重要的方法，如图。
03倒序相加法：
是解决数列求和经典方法，在等差数列前n项和公式的推导过程中，使用了这种方法，如图。
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数列的前n 项和的常用方法
一、 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
练习：1.求和=-++++n
n 21
225
2321
32 _______________________. 2.等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n
a a a a ++++ ＝________________. 二.裂项相消法:适用于⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
例1、（2010山东高考理）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求n a 及n S ； （2）令n b = 211n
a -(n ∈N *)，求数列{}n
b 的前n 项和n T
例2、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）、设1
1n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
练习.1、求和：1111447(32)(31)
n n +++=⨯⨯-⨯+ . 2、求和：111112123123n +
+++=+++++++ . 3、数列｛214n 1
－｝的前n 项和为S n ，则n lim →∞S n ＝___________ 3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
例3、（2010四川文）已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8和为4-，
（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1*(4)(0,)n n n b a q
q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .
例4、（2008全国Ⅰ）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+． （Ⅰ）设12n n n a b -=
．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
例5、
已知函数()f x 2x ≤-），
（1）求()f x 的反函数1()f x -； （2）若11a =，11()n n a f a --=-，求n a ；
（3）若1121b a a =
+，2231b a a =+，…，11n n n b a a +=+，…，求数列{}n b 前n 项和n S 。
练习:
1.(2008陕西高考)已知数列{}n a 的首项123a =，121
n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{
1}n a -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n
n a 的前n 项和n S ．
2、（2007福建高考）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．
3.（2009山东高考）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>
且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T
4、已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n n b a x =(x R ∈)，求数列{}n b 前n 项和n S 的公式.
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
练习：求和：123123(1)n n n n n n n
C C C n C nC -++++-+ =______________________ 5.分组求和法
例6.（2010·重庆高考文科·Ｔ16）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.
（1）求通项公式n a 及n S ；
（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T
练习：
1、设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- ，则n S ＝_______________________.
2、数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++ 的通项公式n a = ，前n 项和n S = .
3、 2
222222210099654321-++-+-+- ＝________________________.。