江苏省南通中学2020届高三数学小题强化训练一(无答案)
数学Ⅰ卷试题2020届江苏省南通市高三年级期中第一次模拟考试 数学试题含附加题
绝密★启用前2020届江苏省南通市高三年级期中第一次模拟考试数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 已知集合{|0}U x x=>，={|2}A x x>，则UA= ▲．2. 若复数(1i)(1i)z a=+-(i为虚数单位，a∈R)满足||2z=，则a= ▲ ．3. 某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为▲．4. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线22(0)x py p=>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为▲．5. 下面求2582018++++的值的伪代码中，正整数m的最大值为▲ ．I←2S←0While I＜m S←S＋II←I＋3 End While Print S第5题7 98 5 7 7 7 79 1 3第6题6.如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s = ▲ ．7. 将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8. 两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a = ▲ ． 10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆2222310x y mx m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12. 在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13. 已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ．（第16题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =． （1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，设椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()e xf x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数； （3）设12x x ∈R ，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．A OB OC OP OF E。
江苏省南通中学2020届高三数学小题强化训练六—十(PDF版,无答案)
强化训练六满分：70分 时间：40分钟班级____________ 姓名____________ 成绩____________1. 若集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x|x ＋1＞0}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 满足z(1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ＝________．3. 某工厂为了了解一批产品的净重(单位：g)情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示．则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104)上的产品件数是__________．4. 执行下面的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出i 的值为______________．5. 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一个球，已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．6. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≤0，x －4y ＋4≤0，x －1≥0，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．7. 将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1∶2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为________.8. 已知等差数列{a n }的首项为4，公差为2，前n 项和为S n .若S k －a k ＋5＝44(k ∈N *)，则k ＝____________．9. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．10. 已知抛物线y 2＝16x 的焦点恰好是双曲线x 212－y 2b2＝1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为________．11. 已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是____________．12. 我国南宋时期数学家秦九韶的著作《数书九章》中记载了求三角形面积的“三斜求积”方法，相当于如下公式S △ABC ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－（c 2＋a 2－b 22）2.现已知△ABC 的周长为42，面积为84，且cos B ＝513，则边AC 的长为________．13. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________．14. 设a ，b ＞0，关于x 的不等式N ＜a ·3x －2xb ·3x ＋2x＜M 在区间(0，1)上恒成立，其中M, N 是与x 无关的实数，且M ＞N ，M －N 的最小值为1. 则ab的最小值为________.强化训练七 满分：70分 时间：40分钟班级____________ 姓名____________ 成绩____________1. 设集合A ＝{1，3}，B ＝{a ＋2，5}，A ∩B ＝{3}，则A ∪B ＝________．2. 若复数z 1＝2＋i ，z 1·z 2＝5，则z 2＝________．3. 某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为________．4. 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元，0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为________．5. 已知等差数列{a n }的前9项和为27，a 10＝8，则a 100＝________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞1，tan π3x ，x ≤1，则f (1f （3）)＝________．7. 若抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点，则实数a 的值为________．8. 函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移____________个单位长度得到．9. 若半径为2的球内切于一个正三棱柱中，则该三棱柱的体积为________．10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝__________．11. 已知△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝1，P 为平面AB 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．13. 若b ＞a ＞1且3log a b ＋6log b a ＝11，则a 3＋2b －1的最小值为________．14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤0，e x －5，x >0.若关于x 的方程|f (x )|－ax －5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为________．满分：70分 时间：40分钟班级____________ 姓名____________ 成绩____________1. 已知集合A ＝{1，4}，B ＝{x|1≤x ≤3}，则A ∩B ＝________．2.已知复数z 满足(1－i )z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．3.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为________．4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是________．t ←1 i ←2While i ≤4 t ←t ×i i ←i ＋1 End While Print t5. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤2，x －y ≥－1，x ＋y ≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．6. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________．7. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝__________．8. 若sin (α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为________．9. 在平面直角坐标系中，点A(1，0)，B(0，1)，点C 在第二象限内．若∠AOC ＝5π6，OC→＝λOA →＋μOB →，且|OC →|＝2，则λμ＝________．10. 若曲线y 1＝sin x 在x ＝0处的切线与曲线y 2＝ln x －x ＋a 相切，则实数a ＝________． 11.一块边长为10 cm 的正方形铁皮按如图1所示将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图2所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.12. 已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为____________．13. 已知两曲线f(x)＝asin x ，g (x )＝b cos x 相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则1a 2＋1b2的值为________． 14.已知a >0，b >0，c >2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________.满分：70分 时间：40分钟班级____________ 姓名____________ 成绩____________ 1. 函数y ＝2sin(3x －π3)的最小正周期为__________．2. 若(a ＋bi)(3＋4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a 2＋b 2的值为________．3. 根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________．S ←0 i ←1While i ≤5 i ←i ＋1 S ←S ＋i End While Print S4. 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为________．5. 已知A ，B ∈{－3，－1，1，2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．6. 已知2sin(k π＋α)＋cos(k π＋α)＝0(k ∈Z )，则（sin α＋cos α）2cos 2α的值为________．7. 已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为__________．8. 记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为__________．9. 已知点P(1，0)到双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为________．10.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)＞0，则x 的取值范围是____________．11.若sin α＝35，且α是第二象限角，则tan (α－π4)＝________．12. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3(0<x<12)，则3x ＋1y －3的最小值为________．13. 已知P 是圆x 2＋y 2＝1上一动点，AB 是圆(x －5)2＋(y －12)2＝4的一条动弦(A ，B 是直径的两个端点)，则PA →·PB →的取值范围是________．14.设关于x 的实系数不等式(ax ＋3)(x 2－b)≤0对任意x ∈[0，＋∞)恒成立，则a 2b ＝________.满分：70分 时间：40分钟班级____________ 姓名____________ 成绩____________ 1. 函数f (x )＝ln 11－x的定义域为________．2. 若复数z ＝(1＋i)(1－a i)(i 为虚数单位，a ∈R )满足|z |＝2，则a ＝________．3. 某高级中学高一、高二、高三在校生人数分别为1 200，1 180，1 100.为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的学生人数为________．4. 如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．5. 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为________．6. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)．若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________．7. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________．8. 已知cos(π3＋α)＝13(0<α<π2)，则sin(π＋α)＝__________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点．若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为________．10. 将25个数排成五行五列：a 11a 12a 13a 14a 15a 21a 22a 23a 24a 25a 31a 32a 33a 34a 35a 41a 42a 43a 44a 45a 51a 52a 53a 54a 55已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等．若a 24＝4，a 41＝－2，a 43＝10，则a 11a 55的值为________．11. 已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m>n>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝___________12. 已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b ≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝－1a ，且a ＞b ，则a －b a 2＋b2的最大值为________.13. 在△ABC 中，边a ，b ，c 所对应的角分别为A ，B ，C.若2sin 2B ＋3sin 2C ＝2sin A sin B sin C ＋sin 2A ，则tan A ＝________．14. 若存在两个正实数x ，y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是________．。
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试(附答案)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
江苏省南通市2020届高三第三次模拟考试数学试题答案
所以
f
'(x)
2x (x2 4(x
4x 16) 4)2
0 ，所以
f
( x)max
f
(2
2) 6 4
2
，
即△ ABC 的内切圆的面积最大值为 (6 4 2) ．
18．(本小题满分 16 分)
【答案与解析】
a c 3,
（1）
AF
3 ，点
F
与椭圆
C
左准线的距离为
5， c
a2 c
5,
c a2 b2 ,
，
y
k
(
a3k 2 ab2 a2k2 b2
a)
Hale Waihona Puke 2kab2 a2k2 b2
，
即
M
(
a3 a2
2
k2．
k2
,
…… 6 分a 2 b2
)
b a2
2
k k2
a
同理由
y 2k(x a),
x2 a2
y2 b2
1
得
N
(
4a3k 2 ab2 4a2k 2 b2
,
4kab2 4a2k 2
b2
－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取 得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 0≤x1 x2 xn ，且
f x1 f x2 f x2 f x3 f xn1 f xn 2017 ，
(ii)
又 2kMA kBN (iii)
由 (i)
(ii)
(iii)
得：
2b2 a2
b4
江苏南通2020届高三数学测试(2.22)
江苏省南通第一中学2020届高三学生测试（2.22）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{1，3}，则A ∩(∁U B)＝________．2． 设命题p ：x ≤4；命题q ：x 2－5x ＋4≤0，那么p 是q 的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)3． 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是________．4． 某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．21，则该校高三学生共有________人．5． 下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是60，那么输入的x 值是________．6． 已知在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 4a 6＝81，则a 7－a 9a 3－a 5＝________． 7． 若曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线x ＋ay ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 8． 已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最大值和最小值分别为a ，b ， 则a －b 的值为________．9． 已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x ，那么f (e 2)的值为________．(e 为自然对数的底数)10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos B 的值为________．11．已知a >b >0，a ＋b ＝2，则4a －b ＋12b的最小值等于________． 12．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝10，BC ＝2，M 为边AB 的中点，P 是△ABC 内(包括边界)一点，则BP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是________． 13． 设函数f (x )={−x 3+x 2,x <2alnx,x ≥2的图象上存在两点M ，N ，使得以M ，N 为直径的圆经过点O (其中O 为坐标原点)，且M ，N 的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是______________．14．在平面直角坐标系中，已知⊙O 1与⊙O 2交于P (1，2)，Q 两点，两圆半径之积为1．若两圆均与直线l ：y ＝kx 和x 轴相切，则直线l 的方程为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (本小题满分14分) 设向量a ＝(3cos x ， sin x )，b ＝(1，－1)，c ＝(1，1)，其中x ∈[0,π]．(1) 若(a +b )∥c ，求实数x 的值；(2) 若a ·b ＝13，求函数sin (x +π6)的值．16． (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 的中点．(1) 若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点；(2) 若AB ＝2PC ，求证：CG ⊥平面PBD ．17． (本小题满分14分)如图，把一块边长为40cm 的正六边形铁皮剪去阴影部分，制成一个正六棱柱形的无盖容器．设容器的底面边长为x cm ，容积为y cm 3．(1) 求出y 关于x 的函数关系式y =f (x )，并写出函数的定义域；(2) 当容器的底面边长为多大时，无盖容器的容积最大？最大是多少？18． (本小题满分16分)已知椭圆C ： x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆C 的离心率为e ．(1) 若点A 的坐标为(b,√34)，求椭圆C 的方程；(2) 记AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，OM ⊥ON ．①证明AF 1→·AF 2→为定值；②设直线AB 的斜率为k ，若k ≥33，求e 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =−，*n ∈N ．数列{}n b 满足1(1)(1)n n nb n b n n +−+=+，*n ∈N ，且b 1=0．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若c n =a n b n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，对任意的*n ∈N ，都有n n T nS a ≤−，求实数a 的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n ，使a 1，m a ，b n +n （1n >）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m ，n ，若不存在，请说明理由．20． (本小题满分16分)设函数f (x )＝x 3－ax ，a ∈R ，g (x )＝x e x，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）， f （x ）>g （x ），g （x ）， f （x ）≤g （x ）(e 为自然对数的底数)． (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数h (x )的最小值为－1e，求实数a 的取值范围； (3) 是否存在实数a 使得h (x )＝f (x )或h (x )＝g (x )恒成立，如果是，求出a 的取值集合，如果不是，请说明理由.数学附加题21． 【限选题】共2小题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ． 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵1012⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，若直线y =kx −1在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点(2,6)P ，求实数k 的值．C ． 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋32(t 是参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4．由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分10分)批量较大的一批产品中有40%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中的优等品的个数．(1)求取出的3个样品中有优等品的概率；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．23． (本小题满分10分)设集合A ={1,2}，A n ={t|t =a n ⋅3n +a n−1⋅3n−1+⋯+a 1⋅3+a 0,a i ∈A,i =0,1，2，…，n}，n ∈N ∗．(1)写出集合A 1和A 2；(2)求证：能将集合A n (n ≥2,n ∈N ∗)分成两个没有公共元素的子集B s ={b 1,b 2,…,b s }和C l ={c 1,c 2,…,c l }，s ，l ∈N ∗，使得b 1+b 2+⋯+b s =c 1+c 2+⋯+c l 和b 12+b 22+⋯+b s 2=c 12+c 22+⋯+c l 2同时成立．。
江苏省南通市2020届高三一模数学试卷及答案
南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．【答案】115．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值为▲．【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1End While Print a（第4题）【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（第18题）O（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，极大值极小值．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。
江苏省南通市南郊中学2020年高三数学理模拟试题含解析
江苏省南通市南郊中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=的所有零点的和等于（）A．1﹣2πB．1﹣C．1﹣πD．1﹣参考答案：A【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数的零点即是方程的解，解方程即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=﹣1=0，解得x=1，当﹣2π≤x＜0时，f（x）=2cosx﹣1=0，解得cosx=，x=﹣，或x=﹣，∴1﹣﹣=1﹣2π所以所有零点的和等于1﹣2π，故选：A【点评】本题考查了函数的零点定理和余弦函数的图象的性质，属于基础题．2. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.参考答案：B3. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．1 D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥（也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面S=（1+2）×1=，高h=1，故体积V==，故选：D也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体，同样得分．【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．4. ．已知向量满足，且，则与的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C略5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是()A. B.C. D.参考答案：A略6. 如果执行右边框图，，则输出的数S与输入的N的关系是（）A. B.C. D.参考答案：A7. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.参考答案：A因为函数可化简为可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；同时有，可知函数在时，则上单调递增，排除答案B和D，故答案选A．8. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C． D．参考答案：D9. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A. 3B. 2C. 1D.参考答案：A略10. 如右图，在平行四边形中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是( )A. B.C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为虚数单位，计算：___________．参考答案：12. 若复数满足：，则在复平面内，复数z对应的点坐标是_____________.参考答案：(4，－2)略13. 记不等式的解集为，若集合中有且只有三个元素，则实数的取值范围为▲ .参考答案：答案：14. 在的展开式中，常数项为 .参考答案：1515. 已知函数f（x）=ax2（a＞0），点A（5，0），P（1，a），若存在点Q（k，f（k））（k＞0），要使= λ（+）（λ为常数），则k的取值范围为．参考答案：（2，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】根据向量和+共线得出a，k的关系式，化简即可得出k=．根据条件得出0＜1﹣a2＜1，【解答】解：Q（k，ak2），=（1，0），=（，），=（1，a）．∴+=（1+，），∵=λ（+）（λ为常数），∴﹣a（1+）=0，∴ak2﹣ak=a=ak，∴k﹣1=，即k2﹣2k+1=a2k2+1，若a=1，则k=0，不符合题意；∴a≠1，∴k=．∵a＞0且a≠1，k＞0，∴0＜1﹣a2＜1，∴＞2．故答案为（2，+∞）．16. 在三角形ABC中，AB=2，,,点D、E分别在边AC,BC上，且，则的最大值为____________参考答案：17. 已知函数满足对任意的都有成立，则＝。
【精准解析】江苏省南通市2020届高三下学期考前模拟试卷(一)数学试题
南通市2020届高考考前模拟卷（一）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．. 1. 已知集合{}*2,N A xx x x =<∈∣，{0,1,2,3,4}B =，则A B ________.【答案】{1,2,3} 【解析】 【分析】解不等式确定集合A ，然后由交集定义计算． 【详解】220(1)(2)00204x x x x x x x x ⇒<⇒<⇒≤⇒≤<，又*x N ∈，∴{1,2,3}A =，∴{1,2,3}A B ⋂=． 故答案为：{1,2,3}．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解无理不等式，属于基础题． 2. 设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得12z i =+，从而得到其虚部的值. 【详解】根据(12)|34|i z i -=+，可得22(12)345i z -+=， 所以2255(12)12121(2)i z i i +===+-+-， 所以复数z 的虚部为2， 故答案为：2.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属于简单题目.3. 若某程序框图如图所示，则运行结果为________.【答案】9 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件可得结论． 【详解】程序运行时，变量值变化如下：0,1S n ==，不满足5S ≥；0,3S n ==，不满足5S ≥；2log 3,5S n ==，不满足5S ≥；2log 15,7S n ==，不满足5S ≥；2log 105,9S n ==，满足5S ≥，退出循环，输出9n =．故答案为：9．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时模拟程序运行是常用方法．4. 某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动，则选出的学生中男生比女生人数多的概率为________. 【答案】710【解析】 【分析】依据题意男生选3人或男生2人女生1人，依次计算概率，最后可得结果. 【详解】由题可知：男生选3人或男生选2人女生选1人若男生选3人，则概率为33135110==C P C 若男生选2人女生选1人，则概率为2132235610==C C P C 所以所求的概率为12710=+=P P P 故答案为：710【点睛】本题考查互斥事件的概率，审清题意，细心计算，属基础题.5. 已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左焦点重合，则双曲线的离心率为________.【答案】3【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，由双曲线方程求得a ，从而可得离心率．【详解】抛物线28y x =-中28p =，4p =，焦点为(2,0)-，它是双曲线的左焦点，则双曲线222:1(0)x C y a a-=>中2c =，a =所以离心率为c e a ===．【点睛】本题考查抛物线与双曲线焦点坐标，考查双曲线的离心率，求出,a c 是求双曲线离心率的基本方法．6. 为了解某校学生课外阅读的情况，随机统计了1000名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示，则阅读时间在[125,150)中的学生人数为________.【答案】200 【解析】 【分析】首先由频率分布直方图求出25a ，再由人数等于样本总数乘以频率即可求出． 【详解】由题意得：()0.0040.0120.016251a +++⨯=， 可得250.2a =，则阅读时间在[125,150)中的学生人数为：10000.2200⨯=. 故答案为：200.【点睛】本题考查频率分布直方图，掌握住频率分布直方图中频率=小矩形的面积．属于较易题.7. 已知向量()1,3a =，()2,1b =-，()3,2c =.若向量c 与向量ka b +共线，则实数k =_________.【答案】1- 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得向量ka b +的坐标，然后利用平面向量共线的充分必要条件求解. 【详解】∵向量()1,3a =，()2,1b =-，∴向量()=2,31ka b k k +-+, 又∵()3,2c =，且向量c 与向量ka b +共线，∴()()33122,k k +=- 解得1k =-, 故答案为： 1-.【点睛】本题考查向量的坐标运算和利用向量共线的充分必要条件求参数的值，考查运算能力，属基础题.8. 体积为36π的球的内接正四面体的表面积为________. 【答案】243 【解析】 【分析】根据球的体积可得球的半径，依题意可知该球为正四面体的外接球，然后计算正四面体的边长，最后简单计算可得结果.【详解】由题可知：该球为正四面体的外接球，设球的半径为R所以34=3633ππ⇒=R R如图另设正四面体的边长为a依题意可知O 为该正四面体的球心，N 为BCD 的中心 所以3sin 60=⋅=BM BC ，233==BN BM==AN 所以222=+OB BN ON，即222⎫⎫=+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭R R化简可求得a =所以该正四面体的表面积为14sin 602⋅⋅⋅⋅=a a故答案为：【点睛】本题考查正四面体的外接球问题，关键在于找到正四面体的边长和外接球半径之间的关系，属中档题.9. 设等比数列{}n a 前n 项的和为n S ，满足16a ，3a ，24a 成等差数列，且480S =，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】123n -⋅ 【解析】 【分析】先利用等差中项求出公比q ，再利用等比数列前n 项和求出首项，最后利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】设公比为q ，由16a ，3a ，24a 成等差数列， 得2312111264264a a a a q a a q =+⇒=+，又10a ≠，则2264q q =+，所以3q =或1q =-； 又480S =，所以1q ≠-，则3q =，()()44114111380212a q a S a q--===⇒=--，则11123n n n a a q --==⋅.故答案为：123n -⋅.【点睛】本题主要考查了等差中项，等比数列通项公式以及等比数列前n 项和公式.属于较易题.10. 已知函数2()f x x m =+，()2ln g x n x =，若曲线()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，则函数()()()F x f x g x =-的最小值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】首先对函数2()f x x m =+和()2ln g x n x =求导，代入1x =，求得切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用两直线重合得到方程组，求得11n m =⎧⎨=-⎩，利用导数研究()()()F x f x g x =-的单调性，确定出最小值，得到结果.【详解】因为2()f x x m =+，()2ln g x n x =，有'()2f x x =，2'()n g x x=， 所以'(1)2,'(1)2f g n ==，且(1)1,(1)0f m g =+=，所以()y f x =在1x =处的切线方程为12(1)y m x --=-，即210x y m -+-=，()y g x =在1x =处的切线方程为02(1)y n x -=-，即220nx y n --=，因为两条切线相同，所以有2212nm n=⎧⎨-=-⎩，解得11n m =⎧⎨=-⎩，所以2()()()12ln F x f x g x x x =-=--，(0)x >，222(1)2(1)(1)'()22x x x F x x x x -+-=-==，(0)x >， 所以当01x <<时，'()0F x <，当1x >时，'()0F x >， 所以()F x 在(0,1)上单调递减，在()1,+∞时单调递增， 所以()F x 在1x =处取得最小值，且(1)1100F =--=， 故答案为：0.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有曲线在某个点处的切线方程的求解，利用导数研究函数的最值，属于中档题目.11. 已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【答案】10【解析】 【分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭221tan 2tan 21tan ααα-+=⋅+，由题意可求tan 2α=，代入求解即可.【详解】由tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得tan1tan 3tan 241tan παααα+⎛⎫+==-⇒= ⎪-⎝⎭，又)cos 2cos 2sin 242πααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2222cos sin 2sin cos 2cos sin αααααα-+=+221tan 2tan 21tan 10ααα-+==+. 故答案为：10. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，属于中档题.12. 如图，在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 边上的中点，AD 与CE 的交点为O ，若3AO BC ⋅=-，AB =B 的最大值为________.【答案】4π 【解析】 【分析】 表示()13=+AO AB AC ，进一步可得()123=-AO BC BA ，然后计算3AO BC ⋅=-可得关于BC 的一元二次方程，最后利用0∆≥可得结果.【详解】根据题意可知：在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 边上的中点 所以O 为ABC 的重心，所以()()213132=⋅+⋅+=AB AC AB AC AO 又AC BC BA =-，所以()123=-AO BC BA 又3AO BC ⋅=-，所以()211223333-⋅=-⋅=-BC BA BC BC BA BC根据32AB =cos ⋅=⋅⋅BA BC BA BC B所以2122cos 303-+=BC B BC则()21224303∆=--⨯⨯≥B所以21cos 2≥B ，由30⋅=-<AO BC ，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则2cos ≥B ，所以0,4π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B所以B 的最大值为4π故答案为：4π 【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于2122cos 303-+=BC B BC 的表示以及0∆≥的使用和理解，属中档题. 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:6l y kx =+上存在点P ，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，且12122x x y y +=-，则实数k 的取值范围为________.【答案】55,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】采用数形结合，取AB 的中点Q ，根据12122x x y y +=-，可计算1OQ =，然后根据=OA OQOP OA可得OP ，最后利用点O 到直线l 的距离不大于OP ，可得结果. 【详解】取AB 的中点Q 如图根据圆的几何性质可得△△Rt OPA Rt OAQ所以=OA OQOP OA由1212,22x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()2222221122121212122224+++++⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y x y x x y y x x y y OQ由2222112212124,42,++==+=-x y x y x x y y所以1OQ =，则4OP =点O 到直线l 的距离为=d则42=≤⇒≤-d k 或≥k所以,22⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭k故答案为：,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【点睛】本题考查直线与圆的应用，本题难点在于计算OP 以及利用关系≤d OP ，审清题意，考查分析能力以及逻辑推理能能力，属难题.14. 已知函数3ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩，若()()g x f x ax =-有3个零点，则实数a 的取值范围为________. 【答案】11,1(2,)e ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别画出函数()f x 与y ax =的图象，根据两图象的交点有3个，可得结果. 【详解】由题可知：()()g x f x ax =-有3个零点 等价于函数()f x 与y ax =的图象有3个交点 当0x >时，()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-= 可知若()0,1x ∈，()0f x '<，则函数单调递减 若()1,x ∈+∞，()0f x '>，则函数单调递增 当0x ≤时，()32=+g x x x ，则()2320'=+>g x x则函数()g x 在(],0-∞单调递增又直线y ax=恒过原点如图当直线y ax=与()lnf x x x=-相切时，设切点为()00,A x y()01-'=xf xx，000ln=-y x x所以000000ln1--=⇒=x x xx ex x，所以()11'=-f xe当直线y ax=与()32=+g x x x相切时，切点为原点所以()232'=+g x x，则()02'=g由函数()lnf x x x=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增所以()()110≥=>f x f，所以lnx x>又函数()f x与y ax=的图象有3个交点则11,1(2,)⎛⎫∈-⋃+∞⎪⎝⎭ae故答案为：11,1(2,)e⎛⎫-⋃+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据函数零点个数求参问题，常常使用等价转化的思想，转化为两个函数交点个数问题，数形结合，解决问题，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1A C BC ⊥，1//AC 平面1ADB .求证：（1）D 是BC 的中点； （2）平面1ADB ⊥平面11BCC B .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接1A B 交1AB 于点M ，然后根据1A C //平面1ADB ，可得DM //1A C ，最后根据M 为1A B 的中点，可得结果.（2）根据1A C BC ⊥，可知DM BC ⊥，可证明AD BC ⊥，然后根据线面垂直以及面面垂直的判定定理，可得结果.【详解】（1）连接1A B 交1AB 于点M 如图因为1A C //平面1ADB ，且1AC ⊂平面1A BC平面1A BC 平面1=ADB DM ，所以1A C //DM又四边形11ABB A 为平行四边形，所以M 为1A B 的中点 所以在1A BC 中，1A C //DM 且M 为1A B 的中点 可知D 是BC 的中点（2）根据（1）可知：1A C //DM ，又1A C BC ⊥ 所以BC DM ⊥，由AB AC =，D 是BC 的中点 所以BC AD ⊥ 由ADDM D =,,⊂AD DM 平面1ADB所以BC ⊥平面1ADB ，又BC ⊂平面11BCC B 所以平面1ADB ⊥平面11BCC B【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，熟练掌握线线、线面、面面之间的位置关系以及相关定理，属中档题.16. 在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若2b c =，cos 3C =，求sin A 的值； （2）若2b =，3B π=，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）36+；（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出sin B ，再利用同角间三角函数关系，两角和的正弦公式和诱导公式可求得sin A ；（2）用余弦定理得出,a c 的关系式，再由基本不等式可得ac 的最大值，从而得面积最大值．【详解】（1）∵cos C =，∴sin 3C =，又∵b =，由正弦定理得sin sin b c B C =，即1sin sin 2b B C c =⋅==，∵3b c =，∴b c <，∴B C <，∴6B π=，∴()163336sin sin sin()sin cos cos sin 23236A B C B C B C B C π+=--=+=+=⨯+⨯=；（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又3B π=，∴2242a c ac ac ac ac +-=≥-=，当且仅当ac 时等号成立， ∴11sin 4sin 3223ABC S ac B π=≤⨯⨯=△，∴ABC 面积最大值为3，此时ABC 为等边三角形．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等，掌握正弦定理与余弦定理是解题关键，本题属于中档题．17. 数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”间题，题意如下：“如图1，两塔相距**步，高分别为**步和**步.两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟.两鸟同时自塔顶出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达（假设两鸟速度相同）.求两塔与喷泉中心之距.”如图2，现有两塔AC 、BD ，底部A 、B 相距12米，塔AC 高3米，塔BD 高9米.假设塔与地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内.（1）若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所在点M ，求喷泉距塔底A 的距离；（2）若塔底A 、B 之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶C 出发，飞抵水面A 、B 之间的某点P 处饮水之后，飞到对面的塔顶D 处.求当小鸟飞行距离最短时，饮水点P 到塔底A 的距离.【答案】（1）9米；（2）3米. 【解析】【分析】（1）设AM x =，列方程求解；（2）作出C 关于AB 的对称点C '，C D '与AB 的交点就是最短距离的P 点，由此可计算出结论．【详解】（1）设AM x =，则由题意222239(12)x x +=+-，解得9x =； （2）设C '是C 关于直线AB 的对称点，连接C D '交AB 于P ，Q 是线段AB 上任一点，如图，QC QD QC QD C D ''+=+≥，当且仅当Q 与P 重合时，等号成立．P 点即为所求．∵,AC AB BD AB '⊥⊥，∴//AC BD '，∴AC AP BD BP '=，而AC AC '=，∴3912APAP=-，解得3AP =．【点睛】本题考查数学文化，考查数学的应用，解题关键是正确理解题意，抽象出数学问题，用相应的数学知识求解．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12，右焦点为(,0)c ，椭圆上的点到准线的距离的最小值为2，A 为椭圆C 的上顶点，圆2221():4F x c y -+=，直线l 与椭圆C 和圆2F 分别交于点E ，F ，M ，N .（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若AM AN =，1348MN EF =，求直线l 的方程. 【答案】（1）22143x y +=；（2）3333y x =-或3133333y x =-. 【解析】 【分析】（1）由离心率和距离的最小值列出关于,a c 的方程组，再求出b 可得椭圆方程； （2）由AM AN =得2AF MN ⊥，求得直线l 的斜率，然后设直线l 方程为3y m =+，由直线与椭圆相交弦长公式求得弦长EF ，再由圆的弦长公式求得MN ，这样由已知可求得m ．【详解】（1）由题意2122c a a a c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，∴2222213b a c =-=-=，∴椭圆标准方程为22143x y +=；（2）由（1）3)A ，2(1,0)F ，2303AF k -== ∵AM AN =，∴A 在线段MN 的垂直平分线上，2F 也在线段MN 的垂直平分线上，∴2AF MN ⊥，∴2133MN AF k k =-=， 设直线l 方程为33y x m =+，设1122(,),(,)E x y F x y ，由22143x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2213412033x mx m ++-=，∴1213x x +=-，21212(3)13m x x -=，22212121248(399)()()4169m x x x x x x --=+-=，1231313EF x =-==，0x y m -+=，2F 到l直线的距离为d ==，由12d <得11m <，即03m -<<(*). 圆2F 半径为12r =，∴MN == ∵1348MN EF =，∴1348MN EF =，1348=，解得m =m =(*)． ∴直线l方程是33y x =-或333y x =-. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，掌握直线与椭圆相交弦长公式和直线与圆相交的弦长公式是解题关键．计算的方法是“设而不求”的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，由韦达定理的表达式去计算弦长． 19. 已知函数21()ln (1)2f x a x x =+-，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，都有()0f x ，求实数a 的取值范围； （3）设211()l n 22a g x x x x =+++，若0[1,]x e ∃∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12ln 22-；（2）[0,)+∞；（3）2(,1),1e e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）代入2a =-，求导即可求解极值.（2）[1,)x ∀∈+∞，都有()0f x 等价于[1,)x ∈+∞时，min ()0f x 恒成立，然后分类讨论求min ()f x 即可.(3)令()()()(1)ln am x f x g x a x x x=-=---，即存在[]01,x e ∈，使得()max 0m x >，然后分类讨论求()max 0m x >即可求解. 【详解】（1）当2a =-时，21()2ln (1)2f x x x =-+- ()()()22122'()10x x x x f x x x x x x-+--∴=-+-==> 令'()0f x =，解得1,2x x =-= 当02x <<时，'()0f x < 当2x >时，'()0f x >∴当2x =时，()f x 取得极小值()122ln 22f =-+；无极大值. (2) [1,)x ∀∈+∞，都有()0f x ， 即[1,)x ∈+∞时，min ()0f x 恒成立()()2'11a x x af x x x x x-+=+-=≥令()2h x x x a =-+①当0∆≤，即1140,4a a -≤≥时 ()0h x ≥，()'0f x ≥即，所以()f x 在[)1,+∞单增所以()()min 10f x f ==，满足题意.②当0∆≥，即1140,4a a -≥≤时此时x =，x =i 1≤时，即104a ≤≤时()0h x ≥，()'0f x ≥即，所以()f x 在[)1,+∞单增所以()()min 10f x f ==，满足题意.ii 1≥时，即0a ≤时此时()10f =，所以()min 102f x f ⎛=<⎝⎭，不满足题意. 综上所述：当0a ≥时，满足[1,)x ∈+∞时，min ()0f x 恒成立.[)0,a ∴∈+∞（3）令()()()(1)ln a m x f x g x a x x x=-=---即存在[]01,x e ∈，使得()0000(1)ln 0am x a x x x =---> 即存在[]01,x e ∈，使得()max 0m x >()()()()2222111'1+x a x a x x a a a m x x x x x-+-++-+-=-== i ）当1a ≤时，此时在[]1,x e ∈上，()'0m x ≤，()m x 单减 ()()max 110m x m a ∴==-->，即1a <-，满足题意.ii ）当1a e <<时，此时在[]1,x a ∈上，()'0m x >，()m x 单增 在[],x a e ∈上，()'0m x <，()m x 单增.()()()max 1ln 1m x m a a a a ∴==---1a e <<0ln 1a ∴<< 即()11ln 12a a a a --<---<-()()max 0m x m a ∴=<，不满足题意.iii ）当a e ≥时， 此时在[]1,x e ∈上，()'0m x ≥，()m x 单增()()max10a m x m e a e e ∴==--->，解得21e ea e +>-，满足题意.综上所述：2(,1),1e e a e ⎛⎫+∈-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭【点睛】此题考查了函数的极值，含参单变量函数任意，存在性条件最值问题，主要用到的分类讨论的思想方法，属于较难题目.20. 给定数列{}n P ，若*,m n N ∀∈，且m n ≠，mn P P +是数列{}n P 的项，则称数列{}n P 为“C 数列”.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n N ∀∈，都有()12n n n a a S +=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若数列{}n a 为“C 数列”，13a =，*2a N ∈，且23a >，求2a 所有的可能值；（3）若n S 也是数列{}n a 的项，求证：数列{}n a 为“C 数列”. 【答案】（1）证明见解析；（2）4或6；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知得()12n n S n a a =+，()()+11+12+1n n S n a a =+，两式相减得：1112(1)n n n a a n a na ++=++-，112(1)n n n a a na n a -=+--（2n ≥），两式相减得： 112n n n a a a -+=+，可得证；（2）由（1）得数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ,可得12336a a d d +=++=+，32n d-=，讨论d 的所有可能的值可得2a 所有的可能值； （3）由已知得当1n =时，11a S =显然成立，当2n ≥时，设1,n k n m S a S a -==，相减得n k m a a a =-，即m n k a a a +=，由等差数列的定义可得证.【详解】（1）证明：当1n =时，()1111112a a a S a +==⨯=，成立，又()12n n n a a S +=， 所以()12n n S n a a =+，()()+11+12+1n n S n a a =+，两式相减得：()1112(1)n n n n S S a n a na ++-=++-，即1112(1)n n n a a n a na ++=++-，112(1)n n n a a na n a -=+--（2n ≥），两式相减得：()112(1)(1)n n n n a n a a -+-=-+，即112n n n a a a -+=+，所以数列{}n a 为等差数列；（2）由（1）得数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ,由数列{}n a 为“C 数列”，13a =，*2a N ∈，且23a >，得12336a a d d +=++=+，所以63(1)d n d +=+-， 所以 32n d-=，又n *∈N ，所以221,5,4;3,3,6d n a d n a ======， 所以2a 所有的可能值为4或6；（3）因为n S 也是数列{}n a 的项，当1n =时，11a S =显然成立，当2n ≥时，设1,n k n m S a S a -==，相减得n k m a a a =-，即m n k a a a +=， 又,,m n k N *∈，所以数列{}n a 为“C 数列”.【点睛】本题考查数列的新定义，关键在于理解数列的新定义和运用等差数列的定义、通项与前n 项和的关系，得出递推关系式，属于难题.数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换21. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=.设变换1T 、2T 对应的矩阵分别为1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1002N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求曲线1C 在依次实施变换下1T 、2T 后所得曲线2C 的方程.【答案】22844x y xy +-=【解析】 【分析】根据题中所给的条件，首先求得2210MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，之后应用变换公式求得结果. 【详解】因为1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1002N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以2210MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 设(,)x y 是圆1C ：221x y +=上的任意一点，两次变换后对应的点为(',')x y ，所以'0'221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以''22x x y x y =⎧⎨=+⎩，所以''2'2x x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 因为221x y +=，所以22'2''()12y x x -+=，整理得228''4''4x y x y +-=， 曲线1C 在依次实施变换下1T 、2T 后所得曲线2C 的方程为22844x y xy +-=.【点睛】该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有曲线经过变换之后对应方程的求解，属于简单题目.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求直线l 被曲线C 截得的弦长. 【答案】247【解析】 【分析】分别写出曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程，然后联立方程并使用韦达定理，最后根据弦长公式进行计算即可.【详解】由题可知：曲线C的参数方程为2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）则曲线C 的普通方程为22143x y +=直线lsin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos 1ρθρθ-=，由sin ,cos ρθρθ==y x 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+= 设两交点分别为()()1122,,,A x y B x y222107880143x y x x x y -+=⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩ 则121288,77x x x x +=-=-故所求弦长247==AB故答案为：247【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程以及普通方程的转化，还考查了直线与椭圆的弦长公式，熟练参数方程、极坐标方程以及普通方程的转化过程，属基础题. 选修4-5：不等式选讲23. 设x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，求证：33311116xy yz zx x y y z z x ++++≥ . 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由基本不等式+a b ≥.【详解】因为x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，所以31682xy yz x y x+≥==（当且仅当24x y =，即x z =时取等号），31682yz xz y z y +≥==（当且仅当24y z =，即x y =时取等号），31682xz xy z x z+≥==（当且仅当24z x =，即y z =时取等号）， 所以333161616+++2+2+2xy yz xz yz xz xy x y y z z x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当x y z ==取等号）， 所以33311116xy yz zxx y y z z x ++++≥，当且仅当x y z ==取等号. 【点睛】本题考查运用基本不等式证明不等式，关键在于构造基本不等式和满足基本不等式的条件，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24. 抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2. （1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥ . 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求出p 即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，利用已知条件对函数214y x =求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用1PF AB k k ⋅=-，即可得出结论.【详解】（1）由题意知：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则焦点F 到直线2py =-的距离为：222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以抛物线的方程为：24x y =； （2）证明：把直线1y kx =+代入24x y =消y 得：2440x kx --=，又216160k ∆=+>，利用韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，由题意设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ， 由（1）可得：214y x =， 则12y x '=， 所以1211,22PA PB k x k x ==，则切线PA 的方程为：()112y n x x m -=-，切线PA 的方程为：()212y n x x m -=-， 则()()()()1112221212y n x x m i y n x x m ii ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，()()i ii -利用韦达定理化简整理得：2m k =，把2m k =代入()i 整理得：2221222211111111221211111114414444x xy y n x kx x x x x x x x x x x --=-+=-+=-+==---，则()()2,1,0,1P k F -，()11102PF AB k k k k--⋅=⨯=--，则PF AB ⊥【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题. 25. 设集合{}()*1,2,3,,N ,2S n n n =∈≥，A 、B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数不大于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(),A B 的个数为n P . （1）求2P 的值； （2）求n P 的表达式.【答案】（1）25P =；（2）()121nn P n =-+.【解析】 【分析】（1）当2n =时，{}1,2S =，对集合A 中的最大元素进行分类讨论，确定对应集合B ，可求得2P 的值；（2）设集合A 中的最大元素为k ，确定集合A 、B 的情况，可得集合(),A B 共有()11122122k n k n k --+--=-对，由此能求出n P .【详解】（1）当2n =时，{}1,2S =.若{}1A =，则B 的可能情况为：{}1、{}2、{}1,2； 若{}2A =或{}1,2，则{}2B =. 综上所述，25P =；（2）若集合A 中的最大元素为k ，则集合A 的其余元素可在1、2、、1k -中任取若干个（包含不取），此时，集合A 的个数为集合{}1,2,,1k -的子集个数12k -，集合B 中的元素只能在k 、1k +、2k +、、n 中任取若干个（至少取一个），此时，集合B 的个数为集合{},1,2,,k k k n ++的真子集个数121n k -+-，所以，(),A B 的个数为()11122122k n k n k --+--=-，当k 依次取1、2、3、、n 时，可分别得到集合对(),A B 的个数，因此，()()()()()0121212222222221222n n n n n n n n P n --=-+-+-++-=⋅-++++()()112212112n n n n n ⨯-=⋅-=-+-.【点睛】本题考查集合子集和真子集个数公式的应用，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.。
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江苏省南通中学2020届高三强化训练一
数学小题
1.设集合A={x|-2≤x≤2}, Z 为整数集，则A∩Z 中元素的个数为____
2.设复数1,1
z i z +=--其中i 为虚数单位,则|z|=___ 3.利用计算机随机产生0~1之间的数a,则事件“3a -1>0”发生的概率为___
4.若双曲线221x my +=过点((2,2),-则该双曲线的虚轴长为___
5.为了了解学生课外阅读的情况,随机统计了n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示.已知在[50, 75)中的频数为100,则n=___
6.若tan α=34
，则22sin 2cos n a α+=___ 7.函数1x -的定义域为___
8.设公比不为1的等比数列{}n a 满足3121,8a a a =-243,
,a a a 成等差数列，则数列{}n a 前4项和为___
9.已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x ,则5
()(1)2
f f -+=____. 10.在△ABC 中,若2,BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则sin sin A C
的值为___. 11.一个长方体的三条棱长分别为3,8,9,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为____.
12.如图，在平面直角坐标系xOy 中,双曲线E:22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点为A,过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B, C 两点.若△ABC 为直角三角形，则双曲线E 的离心率为___
13. 已知
,,4242ππππαβ<<<<且:22sin sin sin()cos cos αβαβαβ=+, 则tan(α+β)的最大值为
___ 14.设a≠0, e 是自然对数的底数,函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a ⎧-≤=⎨-+>⎩
有零点，且所有零点的和不大于6,则a 的取值范围是____.。