人教版数学九年级上册 21.2.3 因式分解法(1)(共22页)
21.2.3 因式分解法 课件 人教版数学九年级上册
(x－3)2＝9－x2， (x－3)2＝(3＋x)(3－x)，
(x－3)(x－3＋x＋3)＝0，2x(x－3)＝0.
∴x1＝3，x2＝0.
知2－练
感悟新知
(3)a＝1，b＝－ 2，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝2＋4＝6>0.
方程有两个不等的实数根 x＝
2± 6 2
，
即 x1＝
2＋ 6 2
，x2＝
2－ 6 2
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法
感悟新知
知识点 1 因式分解法
知1－讲
1. 定义 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次 . 这 种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 .
ห้องสมุดไป่ตู้
感悟新知
知识储备 常用的因式分解的方法： 1. 提公因式法； 2. 公式法；
.
知2－练
课堂小结
因式分解法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接 的方法
最灵活 的方法
硬规定 的方法
公式法 因式分 解法
配方法
提公因 式法
公式法
主要特点
直接 开平 方法
平方根的 x2=n(n ≥ 0)或(ax＋ 求解迅速、准确，
意义 b)2=n(a ≠ 0，n ≥ 0) 但只适用于一些
型方程
特殊结构的方程
因式 分解
法
若ab=0， 能化为一边为0， 求解迅速、准确，
则a=0或 另一边为两个因式 但适用范围较小
b=0
积的形式的方程
感悟新知
知2－讲
得( x － 5 ) ( x － 6 ) － ( x － 5 ) =0.
人教版九年级数学上册21.2.3 因式分解法(共24张PPT)
10x-4.9x2=0 ① x=0,或10﹣4.9x=0. ②
通过因式分解， 转化为每个一次 因式等于0,得到 两个一次方程。
7
知识点一：因式分解法解一元二次方程
新知探究
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不 是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两 个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分 别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方 法叫做因式分解法.
14
知识点二：用适当方法解一元二次方程
学以致用
1.解方程(x+4)2=3(4+x),最适当的解法是( D )
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
2..方程3x(x+1)=3x+3的解为( D )
A.x=1 B.x=- 1 C.x1=0,x2=-1 D.x1=1,x2=- 1 请选择你认为适当的方法解下列方程.
(1) (x-1)2= 3;
(2) 3(2x-5)=2x(2x-5)
15
知识点二：用适当方法解一元二次方程
归纳总结
配方法要先配方，再降次;通过配方法可以推出求根 公式，公式法直接利用求根公式解方程;因式分解法要先 将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别 使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二 次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.
5
知识点一：因式分解法解一元二次方程
新知探究
10x-4.9x2=0 ①
方程①的右边为0,左边可以因式分解,得 如果a•b=0,那
x(10-4.9x)=0
么a= 0 ,或b= 0 .
这个方程的左边是两个一次因式的乘积,右边是0.我们知 道,如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0； 反之,如果两个因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0.
人教版九年级上 21.2.3 因式分解法(包含答案)
21.2.3因式分解法知识要点：1.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．2.因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法等；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程，即可得到原方程的解1．方程x （x +2）＝﹣x （x +2）的根是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝﹣2C ．x ＝0D ．x ＝2 【答案】B2．若实数x ，y 满足()()2222x y 3x y -30+++=，则22x y +的值为( )A ．3或-3B ．3C ．-3D ．1 【答案】B3．方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．121,0x x ==B ．121,2x x =-=C ．121,2x x ==D ．无解【答案】C 4．方程20x x -=的根是（ ）A ．1x =B ．120x x ==C ．121x x ==D ．10x =，21x =【答案】D 5．已知2x =-是关于x 的一元二次方程22502x x a --=的一个根，则a 的值为（ ） A ．3± B ．3- C ．3D ．1或1- 【答案】A6．若关于 x 的方程 250x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是（） A ．1B ．－1C ．5D ．12【答案】C7．一元二次方程 (1)x x x -= 的解是（ ）A ．1或－1B ．2C ．0或2D ．0【答案】C8．2(3)5(3)x x x --- 因式分解结果为（ ）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x --【答案】D9．将4个数 a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式．若11611x x x x +-=-+，则x 的值为（ ）.A ．BC ．2±D ．2【答案】A10．三角形一边长为 10，另两边长是方程 214480x x -+= 的两实根，则这是一个（ ）. A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】A11．若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝_____________．【答案】612．一小球以15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h ＝15t －5t 2，则小球经过____s 达到10 m 高．【答案】1或213．已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y 的值是_____________． 【答案】5或1014．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“※”为：a ※b=a 2-ab ，例如：1※3=12-1×3.若x ※4=0，则_____【答案】x=0或4.15．解方程：(1)(2)4x x -+=【答案】x 1=2，x 2=-3．16．若2222()(2)80x y x y ++--=，求22xy +的值．【答案】417．用因式分解法解下列方程：（1）23(5)2(5)x x -=-；（补全解题过程） 解：原方程可变形为23(5)2(5)0x x ---=，分解因式，得______________________________．∴50x -=，或1330x -=．∴15=x ，2133x =． （2）24410x x -+=．【答案】（1）(5)(133)0x x --=；（2）1212x x ==。
人教版九年级数学上册因式分解法课件(1)
活动
什么时候可以用因式分解法？
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘 积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法.
使用因式分解法的条件
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论仍旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于
零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤
1. 化方程为一般情势; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
例题
解方程： 1. x2－3x＋2＝0.
2. x2－5x－6＝0.
3. x2－10x＋9＝0.
练习
解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为两个一元一次方程，请 写出其中一个一元一次方程
选择合适的方法解一元二次方程
1. 配方法解一元二次方程要先配方，再降次； 2. 通过配方法可以推导求根公式，直接利用求根公式可以求出一
元二次方程的两根； 3. 用因式分解法要先使方程一边化为两个一次因式相乘的情势，
21.2.3因式分解法
复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2. 什么叫因式分解? 若ab＝0，则a＝0或b＝0；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为x1＝a， x2＝b
用因式分解法解形如x2＋bx＝0的一元二次方程
形如x2＋bx＝0的方程，可以用提取公因式法将方程的左边分解成 x(x＋b)的情势，从而将原方程转化为x(x＋b)＝0，这样可得原方程 的解为x1＝0，x2＝－b.
另一边为0，再分别使每个一次因式等于0. 4. 配方法、公式法适用于解所有有实数根的一元二次方程；因式
21.2.3因式分解法解一元二次方程(第1课时)
(6)另一解法 : ( x 4) 2 (5 2 x) 2 x 4 (5 2 x) x 4 5 2 x或x 4 5 2 x 3x 9或x 1 即x1 3，x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地, 场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4.
(
)
原方程的解为x1 8或x2 4.
1.解下列方程： 2 (1) x x 0,
(2) x 2 3 x 0,
2
提公因式： x( x 1) 0， 所以有 x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
提公因式： x( x 2 3 ) 0， 所以有 x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3 x 2 6 x 3, 移项，得： 3 x 6 x 3 0，
2
2 x 112 x 11 0
2 x 11 0 另一解法 :或2 x 11 0
3
提公因式法
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
快速回答：下列各方程的根分别是 多少？
(1) x( x 2) 0
①
方程①的右边为0，左边可因式分解，得 除配方法或公式法以 x 10 4.9 x 0. 外，能否找到更简单 的方法解方程① 于是得
x 0 或 10 4.9 x 0,
人教版九年级上册21.2.3解一元二次方程---因式分解法 课件(共19张PPT)
2.课本P14 练习1.
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法，要作为一种基本技 能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
于是得：2x＋1＝0，或 4x－3＝0，
x1＝－
1 2
，
x2＝
3 4
.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.
解：设这个数为x，根据题意，得：2x2＝7x. 移项，得：2x2－7x＝0. 因式分解，得：x(2x－7)＝0.
于是得：x＝0，或 2x－7＝0.
x1
0，x2
7. 2
智慧探讨 二次三项式 ax2＋bx＋c (a≠0)的因式分解.
（3）x2 ( 3 5)x 15 0；（4）2(x 3)2 x x 3；
（5）x2 (3 2)x 18 0； （6）(x 1)2 3 x 1 2 0；
（7）(4x 2)2 x(2x 1)；
（8）x2 12x 27 0；
（9）3x(x 2) 5(x 2)；
（10）2(x 3)2 x2 9 .
参考答案：
1.x1
1 4
；x2
7. 5
2.x1
2 3
；x2
1.
3.x1
3 2
；x2
1. 2
4.x1 3；x2 9.
5.x1 0；x2 4.6.x1来自5；x21. 3
7.x1 1；x2 6.
8.x1 4 2；x2 2.
课下作业
1.用分解因式法解下列方程：
（1）x2 (5 2)x 5 2 0； （2）(3x 1)2 5 0；
a＝1，b＝－3，c＝0.
b2 4ac 32 41 0 9＞0.
x b b2 4ac 3 9 ，
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.3因式分解法》课件(共21张PPT)
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
合作探究
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的
方法吗？ 10x - 4.9x 2 = 0 x(10 - 4.9x) = 0
两个因式的积等于零
6.由多项式乘法：(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab，将该式从右到左使用，即可 得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a + b) x+ ab = (x + a) (x + b). 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). (1)尝试： 分解因式：x2+6x+8=(x+ 2 )(x+ 4 )； (2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.
4.知道因分解式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的 简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。
导入新知
同学们，这个阶段我们一直都 在学习研究如何解一元二次方程， 那至此已经学过几种解一元二次 方程的解法了？
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式 提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解 因式的方法叫做提公因式法.
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.”
（2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程.
人教版初中数学九年级上册21.2.3 因式分解法1
人教版初中数学人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！21．2.3 因式分解法1．认识用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；人教版初中数学(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝，x2＝16743.方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．探究点二：用因式分解法解决问题若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．解析：先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．三、板书设计利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
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课前准备
5．解下列方程． 10x 4.9 x 2 0
解： （1） （用配方法） 4.9 x 2 10x 0,
（2） （用公式法） 4.9 x 2 10x 0,
x2
100 x 0, 49
2 2
a 4.9, b 10, c 0,
你认为该如何解决这个问题？
思考： 除 配方法 或 公式法 以 外，能否找到 更简单的方法 解这个方程？
10x - 4.9x = 0
配方法
2
？
公式法
100 x 1 = 0 ，x 2 = ≈ 2.04 49
一、探究新知
观察方程 10x - 4.9x 2 = 0，它有什么特点？ 特点：方程的右边为0，左边可以因式分解 . x（10 - 4.9x） =0 x=0 或 10 - 4.9x = 0 两个因式的积等于0. 至少有一个因式为0. 解两个一元一次方程 .
100 x 1 = 0 ，x 2 = 49
思考: 上述解法中，二次方程是如何降为一次方程的？
一、探究新知 利用因式分解使方程化为两个一次式乘积 等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0， 从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
ax bx c 0 (a 0)
2
图解：
(mx n) ( px q) 0
A.配方法 B.公式法 C.因式分解法
三、综合应用 归纳： 配方法要先配方，再降次；通过配方法可 以推出求根公式，公式法直接利用求根公式； 因式分解法要先将方程一边化为 两个一次因 式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等 于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次 方程，因式分解法只适用某些一元二次方程．
a=0
.
或 b=0
.
语言表述：如果两个因式的积等于零，那么这两个 因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有 一个等于零，它们的积也就等于零．
课前准备
4．解一元二次方程的基本思路是 降次 我们已经学过的解一元二次方程的 方法有 直接开平方法,配方法，求根公式法 5．解下列方程． （1） 10x 4.9 x 2 0 （用配方法） ；
解:（1）原方程可变形为 （2）原方程可变形为
3(x 2) x( x 2) 0, ( x 2)(3 x) 0,
( x 1)(x 5) 9 0,
2
x 4 x 4 0, 2 x 2 0, 或 3 x 0， ( x 2) 0, x1 x2 2. x1 2, x3x＋4)＝0 等价于 2x＋2＝0或3x＋4＝0
二、应用举例
3. 填空： （1）方程 x2 +5x =0 的根是 （2）方程 2x2－8=0 的根是
x1=0, x2= -5
；
x1＝2，x2＝-2 ；
x1＝x2＝3
.
（3）方程 x2－6x =－9 的根是
二、应用举例 4. 解下列方程： (1) 3(x 2) x( x 2) , (2) ( x 1)(x 5) 9 .
三、综合应用
（一）例题讲解
( 补) 例2 选择下列方程 最合适 的解法.
(1) 4 x 2 x 0 2 (2) x 2 x 168 0 (3) x 3 3x 5 0
2
（ C ）;
（ A ）;
（ B ）; (4) ( x 2)(4 x 1) ( x 1)(x 2) （ C ）.
三、综合应用 （二）巩固练习
1. 请你观察下列方程的特征，说出用什么方法解 方程比较简便. （1） x 2 x 0 ;
b 2 4ac 10 4 4.9 0 ，
2
100 50 50 2 x x , 49 49 49
50 50 x , 49 49
50 50 x , 49 49 50 50 50 50 x ,或 x - ， 49 49 49 49 100 x1 0, 或 x 2 . 49
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
二、应用举例 (二)巩固练习 1. 说出下列方程的根：
(1) x(x－8)＝0；
（1）x1＝0，x2＝8； （2）x1＝ -1，x2＝5 .
(2) (x＋1)(x－5)＝0.
二、应用举例
2．下列用因式分解法 解方程正确的是( A．x(x－3)＝2x 等价于 x－3＝2 B．(x－3)(x＋1)＝1 等价于 x－3＝1或x＋1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3 等价于 x－2＝2或x－3＝3
九年级
上册
21.2.3
因式分解法（1）
课前准备
1．将下列各题因式分解: (1) am+bm+cm = m(a＋b＋c) ； (2) a2-b2 = (a＋b)(a－b) ； (3) a2±2ab+b2 = (a±b)2 .
2．因式分解的方法 有： 提取公因法、公式法、十字相乘法 3．如果a×b=0 ，那么
2 2
100 0
∴方程有两个不等实数根，
b b 2 4ac 10 10 ∴x ， 2a 9.8
∴ x1 0, 或 x 2
100 . 49
一、探究新知
问题2 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的 高度（单位：m）为10x - 4.9x 2 ． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？
mx n 0
或
px q 0
二、应用举例 （一）例题讲解 例1 解下列方程：（教材例3） 1 3 2 2 (1) x( x 2) x 2 0 , (2) 5 x 2 x x 2 x .
4 4
因式分解法的 基本步骤： （1）移项将方程变形为 右边等于0 的形式； （2）将方程左边因式分解； （3）至少有一个因式为0，得到两个一元一次方程；