第4讲 函数的奇偶性(学案)

第四讲 函数的奇偶性
一、知识要点：
1、函数奇偶性定义：
如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。

(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数， （3）简单性质：
设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 二、基础练习：
1. f(x),g(x)是定义在R 上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则f(x)，g(x)均为偶函数,h(x)一定为偶函数吗？ 反之是否成立？
2.已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是
①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x ·f(x); ④y=f(x)+x. 3.设函数若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是
4.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则在x<0上f(x)的表达式为
5. 设f(x)是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f(x 1)与f(-x 2)的大小关系是 三、例题精讲：
题型1： 函数奇偶性的判定 例1. 判断下列函数的奇偶性：
① x x
x x f -+-=11)1()(,②2
9|4||3|x
y x x -=++-,③22
(0)
()(0)
x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩④2
211)(x x x f --=
变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：
① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2
）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。

必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
题型2： 函数奇偶性的证明
例2、已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). 求证：f (x )是奇函数；
变式：已知f （x ）=(2
1)2
21
x
x
a +-+是奇函数，则实数a 的值等于
题型3： 函数奇偶性的应用
例3.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m 的取值范围。

变式1：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是
题型4：综合应用
例5.f(x)、g(x)都是定义在R 上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=
变式：已知函数f(x)=g(x)+2,x ∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M 、N ，则M+N= .
例6．已知函数b
ax c x x f ++=2
)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式2
3)(0≤
≤x f 的解集是[2,1]--∪]4,2[。

（1）求,,a b c ；
（2）是否存在实数m 使不等式2
3)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出m 的取值范围；若
不存在，请说明理由。

例7.已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1,若a ,b ∈［－1,1］,a +b ≠0时， 有
b
a b f a f ++)()(＞0.
(1)判断函数f (x )在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式：f (x +
21
)＜f (
1
1
-x );
(3)若f (x )≤m 2
－2pm +1对所有x ∈［－1,1］,p ∈［－1,1］(p 是常数）恒成立，求实数m 的取值范围.
能 力 训 练 题
1.判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=
1
2
3
--x x x ； （2）()x x x f -+
-=
11； （3）f(x)=x 2
+1 (x[-10,10))；
2.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a ＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+g (0)=0,其中正确的个数是
3．已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且3
0时,(),则0()x f x x x x f x ≥=
+<=时 _。

4.设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上的奇偶性是
5. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是
6.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则在R 上f(x)的表达式为
7.如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上最小值是
8.若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m φ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0） 上最小值为_ _。

9.(1)()
()x x a f x x
++=
为奇函数，则a = ．
10．如果函数()()()23,0,,0.
x x y f
x x ->⎧⎪=⎨
<⎪⎩是奇函数，则()f x =
11.判断2
2
()(0);||a x
f x a x a a
-=≠+-常数的奇偶性。

12.已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R.
（1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-2
1
≤a ≤2
1
，求f(x)的最小值.。