函数的奇偶性导学案
函数的奇偶性和周期性导学案
1、判断下列函数奇偶性:
(1)f(x)＝ (2) f(x)= (3)f(x)＝ ＋
2、如果奇函数 区间[－7，－3]上是（）
A、增函数且最小值为－5 B、增函数且最大值为－5
C、减函数且最小值为－5 D、减函数且最大值为－5
3、奇函数 （）
A、 B、 C、 D、
4、已知
5、设 是奇函数，求 的值。
2、根据定义判断函数奇偶性的步骤：
（1）求定义域，看定义域是否关于原点对称
（2）验证 或 对定义域中的任意x是否恒成立。
（3）作结论。
3、f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=
4、周期性：设函数 的定义域是 ，若存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 且 ，则函数 为周期函数， 为 的一个周期。
二、例题讲解
四、课后作业：
1、对 （）
A、 B、 C、 D、
2、已知定义在R上的奇函数 ，则 的值为（）
A、－1 B、1 C、0 D、2
3设 为（）
A、0.5 B、1.5C、－1.5 D、－0.5
4、已知函数 ， 的值为（）
A、0.5 B、1 C、1.5 D、－1.5
5、已知 ）
A、4 B、6 C、8 D、11
1、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
(5)
2、设奇函数 的定义域为[－4,4],若当 ，则不等式 的解集是_________________________.
3、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 求出函数的解析式并ห้องสมุดไป่ตู้出函数f(x)的图象。
4、已知f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上的单调性，并证明。
函数的奇偶性导学案
函数的奇偶性导学案导言：函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们经常遇到一些特殊的函数，它们具有奇偶性质。
本文将介绍函数的奇偶性概念，以及如何判断一个函数是奇函数还是偶函数。
一、函数的奇偶性概念在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型。
它们与自然数的奇偶性概念相对应。
下面分别给出奇函数和偶函数的定义。
1. 奇函数：一个定义域在实数集上的函数f(x)，如果对于任意x，都有f(-x) = - f(x)，那么称该函数为奇函数。
也就是说，当自变量取相反数时，函数值的相反数也相等。
2. 偶函数：一个定义域在实数集上的函数f(x)，如果对于任意x，都有f(-x) = f(x)，那么称该函数为偶函数。
也就是说，当自变量取相反数时，函数值保持不变。
二、判断一个函数的奇偶性判断一个函数是奇函数还是偶函数，可以通过两种方法：图像判断和代数判断。
1. 图像判断：绘制函数的图像是判断函数奇偶性的直观方法。
对于奇函数，若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；对于偶函数，若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数。
2. 代数判断：对于定义在整个实数集上的函数f(x)，可以通过代数方式进行奇偶性判断。
将函数的表达式中的x替换为-x，然后比较原函数和替换后的函数是否相等即可。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，下面分别介绍奇函数和偶函数的性质。
1. 奇函数的性质：a) 奇函数的图像关于原点对称；b) 奇函数在区间[-a, a]上关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；c) 奇函数与奇函数相乘是偶函数；d) 奇函数与偶函数相乘是奇函数。
2. 偶函数的性质：a) 偶函数的图像关于y轴对称；b) 偶函数在区间[-a, a]上关于y轴对称，即f(-x) = f(x)；c) 偶函数与奇函数相乘是奇函数；d) 偶函数与偶函数相乘是偶函数。
四、应用实例奇偶函数在数学和实际应用中具有广泛的应用。
《函数的奇偶性》导学案
学习目标：1,初步理解奇函数、偶函数、函数的奇偶性的概念；2,掌握判断一些简单函数奇偶性的方法.《函数的奇偶性》导学案（一）一、课前预习1.画出函数()()xx f x x f 12==与，从对称的角度观察其图像特点.2.分析函数()2x x f =的图像，比较()()x f x f -与的关系.x……-3-2-10123……2x y =类比：()xx f 1=呢？3.给出奇函数、偶函数的概念：（1）偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的，都有，那么函数()f x 就叫做偶函数．偶函数的图像关于对称（2）奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的，都有，那么函数()f x 就叫做奇函数．奇函数的图像关于对称判断：①奇、偶函数的定义域都关于原点对称.（）②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()11f f -=-，则函数()f x 一定是奇函数.（）由此，判断函数的奇偶性：图象法（形），定义法（数）二、项目一会判断函数的奇偶性1.判断下列函数的奇偶性：⑴()1f x x x =+⑵()11f x x x =+--()1,0x x -+<⎪⎩方法总结：用定义法判断函数的奇偶性：①先验证是否关于对称，②验证与的关系，③根据定义下结论.练习：判断下列函数的奇偶性：⑴()4223f x x x =+⑵()32f x x x =-⑶()21x f x x +=⑷()23f x x x =-+三、当堂检测1.对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（）.A．()()0f x f x --=B．()()0f x f x +-=C．()()0f x f x -= D．(0)0f ≠2.下列说法错误的是（）.A.1()f x x x =+是奇函数B.()|2|f x x =-是偶函数C.()0,[6,6]f x x =∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x x f x x -=-既不是奇函数，又不是偶函数3.函数()|2||2|f x x x =-++的奇偶性是.项目总结：用定义法判断函数奇偶性的一般步骤：课后反思：。
016--2.1.4函数的奇偶性(1)
4、若函数 是奇函数，且 ，则 ___________
四、典型例题
例1、判断下列函数的奇偶性
1 ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
例2、已知f（x） 求
例3、已知 是奇函数，且当 时， ，求 的表达式
五、课堂练习
1、函数 的奇偶性是 （ ）
5、函数 的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
6、 为 上的偶函数,且当 时, ,则当 时, _____.
7、函数 为偶函数，那么 的大小关系为__________________.
8、已知 为偶函数，其定义域为 ，求 的值域.
【当堂检测】
1、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
4、如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以_____________为对称轴的________图形；反之，如果一个函数的图象_______________对称，则这个函数是____________________.
三、基础自测
1、一次函数 ，是奇函数，则_______________
2、二次函数 是偶函数，满足的条件是____________
A．y＝－x2＋5(x∈R)B．y＝－xC．y＝x3(x∈R)D．y＝－ (x∈R，x≠0)
2、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3、偶函数f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________.
高一数学（2019级）导学案
课型：新授课 编制人：年级主任：班级：姓名：编号：016
高一数学 第一章第13课时函数的奇偶性导学案
《必修1》第一章《集合与函数》 第13课时 函数的奇偶性高一（ ）班 第 小组 姓名： 评价：1. 理解奇偶函数的概念，掌握判断奇偶性的方法：（1）数形结合，理解奇偶性的定义；（2）理解奇函数、偶函数图像的对称性；（3）掌握判断奇偶函数的两种方法.2、理解奇偶性的简单运用：（1）已知奇偶性将已知函数部分图像补充完整；（2）已知奇偶性确定某个系数的值，特别是奇函数,何时f (0)=0，何时f (0)不存在，为什么？3、领悟奇偶性的本质，明确定义域先行判断的重要性.探究1：在课本P33页“观察”中给出的坐标系内分别作出212y x =和||y x =的图象，然后归纳出这4个图象的共性.偶函数定义：对于函数f(x)的 任意一个x,都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数的性质：偶函数的图象关于 对称.问题1：函数？是不是偶函数，为什么和24232)(112)(x x x g x x f +=+=探究2：完成课本P34页的表格，回答“观察”中的问题. 奇函数定义：对于函数f(x)的 的任意一个x,都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的性质：奇函数的图象关于 对称.问题2：是奇函数吗？为什么？函数x x x f +=3)(问题3：完成课本P35页思考.先自学课本P35页例5，然后证明：（1）||2x y --=是偶函数 （2）{1,01,0()x x x x f x +>-<=是奇函数.思考：（1）么结论？是偶函数，你能发现什如果c bx ax x f ++=2)(（2）为什么？定有结论是奇函数，那么是否一如果函数,0)0()(==f x f y 试举例说明.（3）如果从地面上观察到轰炸机上扔下炮弹的飞行高度h 和飞行时间t 的函数关系是h=1000-10t 2,试问这个函数是偶函数吗？为什么？奇函数的判断是否存在同样的问题？试举例说明.课堂练习：判断下列函数的奇偶性：(1)xx x f 1)(2+= (2)||)(a x x f -=。
高中数学《函数的奇偶性》导学案
1．3.2 奇偶性1．奇偶函数的定义(1)偶函数的定义：□1如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数的定义：□2如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．函数奇偶性的几何特征(1)□3奇函数的图象关于原点对称；(2)□4偶函数的图象关于y 轴对称．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )(2)函数f (x )＝x 2的图象关于原点对称．( )(3)对于定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝－f (1)，则函数f (x )一定是奇函数．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(1)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，f (2)＝4，则f (－2)＝________.(2)(教材改编P 36T 1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x 4＋2x 2；②f (x )＝x 3＋1x ； ③f (x )＝x 3＋x 2.(3)(教材改编P 36T 2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的递增区间．答案(1)4(2)①是偶函数②是奇函数③是非奇非偶函数(3)完整图如下函数的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)『释疑解难』理解函数奇偶性的注意点(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在[－3,5]上却不具有奇偶性．(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则根据定义可得，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0，即奇函数的图象过原点．(3)若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数．这样的函数有且只有一类，即f (x )＝0，x ∈D ，D 是关于原点对称的非空数集．探究1 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ；(3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0.解 (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，所以定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－1＝－f (x )． 综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0是奇函数．拓展提升 函数奇偶性判断的方法(1)定义法(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．【跟踪训练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x －x 2，x >0；(2)f (x )＝0； (3)f (x )＝2x ＋1；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1. 解 (1)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )，当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(2)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．(3)函数y＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．探究2 奇偶函数的图象及应用例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)[结论探究]本例条件不变，问题改为比较f(－1)与f(－3)的大小．解由例题图象知f(－1)＜0，f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)．拓展提升巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．【跟踪训练2】(1)奇函数y＝f(x)的局部图象如图(1)所示，则f(2)与f(4)的大小关系为________；(2)已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图(2)所示，那么f(x)的值域是________．答案(1)f(2)>f(4)(2)[－3，－2)∪(2,3]解析(1)因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f (－2)<f (－4)，所以－f (－2)>－f (－4)，即f (2)>f (4)．(2)利用奇函数图象的性质可以得到函数f (x )在[－2,0)上的图象，如图所示，利用图象得到函数f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．探究3 利用函数奇偶性求解析式例3 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (2－x )，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－x (2＋x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (x ＋2)．故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x ＋2)，x >0，0，x ＝0，x (2－x )，x <0.拓展提升求函数解析式的注意事项(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性解出f (x )．注意：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，则未必有f (0)＝0.【跟踪训练3】 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x >0时f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．解 设x <0，∴－x >0.∵当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，∴f (－x )＝(－x )3＋(－x )＋1＝－x 3－x ＋1.又∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.探究4 函数的奇偶性与单调性的综合应用例4 (1)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f (－5)与f (3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )是偶函数，所以f (－5)＝f (5)，因为f (x )在[2,6]上是减函数，所以f (5)<f (3)，所以f (－5)<f (3)．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |>|m |，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 拓展提升奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．【跟踪训练4】 (1)已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)<f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)(2)设f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．答案 (1)D (2)见解析解析 (1)因为函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，所以f (－4)<f (－2)⇒f (4)<f (2)．又f (x )在[0,5]上是单调函数．所以f (x )在[0,5]上递减，从而f (0)>f (1)．(2)由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0， 且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，即3a <2，a <23.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.1.判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.2.奇偶函数的主要性质(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f (|x |)＝f (x )，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.(3)函数的单调性与奇偶性的关系①若f (x )是奇函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f (x )是偶函数，则f (x )在其关于原点对称的区间上单调性相反.②奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等.3.分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外，也可以用图象法来判断.1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x 3D ．y ＝－x 2＋8答案 C解析 A ，D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数，而C 项中函数为奇函数．2．若函数f (x )满足f (－x )f (x )＝1，则f (x )图象的对称轴是( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4.两式相加，解得g (1)＝3.4．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________.解析 ∵f (x )是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f (3)＝－1，f (6)＝4.∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7.5．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)若g (x )＝f (x )＋bx 为偶函数，求b ；(2)求函数f (x )在[－3,3]上的最大值．解 (1)g (x )＝f (x )＋bx ＝x 2＋(b ＋4)x ＋3，g (－x )＝x 2－(b ＋4)x ＋3，∵g (x )＝g (－x )，∴b ＋4＝0，∴b ＝－4.(2)f (x )＝x 2＋4x ＋3关于直线x ＝－2对称，因此f (x )在x ＝－2取得最小值－1，在x ＝3取得最大值24.A 级：基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34 D ．1答案 A解析 函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12.2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2解析因为函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数，因为f(a)≥f(－2)，所以|a|≤|－2|，解得－2≤a≤2，所以答案选D.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案C解析解法一：∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.解法二：令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.选C.4．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))C．(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))答案D解析因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上，故选D.5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定解析 ∵x 2>－x 1>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x 2)<f (－x 1)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)，∴f (－x 2)<f (－x 1)．二、填空题6．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0 解析 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x ，又∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，故f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.答案 13 解析 由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b ＝0，所以a ＋b ＝13.8．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 －13<x <43解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋1|；(2)f (x )＝x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x <－1，0，|x |≤1，－x ＋2，x >1.解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －1|－|－x ＋1|＝|x ＋1|－|x －1|＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)对于函数f (x )＝x ，其定义域为[0，＋∞)，因为定义域不关于原点对称，所以函数f (x )＝x 既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．当x <－1时，－x >1，f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )；当|x |≤1时，|－x |≤1，f (－x )＝0＝f (x )；当x >1时，－x <－1，f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )．所以对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数．B 级：能力提升练10．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)证明：f(x)为奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求函数f(x)在[－3,6]上的最大值与最小值．解(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，得f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)，即f(x)＝－f(－x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2∈R，且x2>x1，则x2－x1>0，于是f(x2－x1)<0.又f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，所以f(x2)－f(x1)<0.所以f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[－3,6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4.于是f(x)在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.。
导学案007函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性考纲要求1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．考情分析1.函数的奇偶性是高考考查的热点．2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，还可与函数单调性等其他知识点交汇命题.基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是3．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．双基自测1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )．A.－12B.－14C.14D.122．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x－x 的图象关于( )．A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数4．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和25．(教材习题改编)下列函数中，所有奇函数的序号是________．(1)f (x )＝2x 4＋3x 2；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 2＋1x； (4)f (x )＝x 3＋1.典例分析考点一、 判断函数的奇偶性 [例1]下列函数：①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 变式1：判断下列函数的奇偶性．(1)y ＝2x －1＋1－2x ；(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x >0，0x ＝0，－x 2－2x <0.：利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件．(2)如果函数定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)． 注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性. 一些重要类型的奇偶函数（3）一些重要类型的奇偶函数f(x)=(a>0,a ) 为偶函数;f(x)=(a>0,a) 为奇函数; f(x)=f(x)=f(x)=x+f(x)=g(|x|)为偶函数;考点二、 函数奇偶性的应用[例2] (2011·安徽高考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝ ( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[例3] (2012·烟台调研)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －x x>0的解集为 ( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)变式2：本例的条件不变，若n ≥2且n ∈N*，试比较f (－n )、f (1－n )、f (n －1)与f (n ＋1)．：函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 考点三 、函数的奇偶性与周期性[例4] (2011·大纲版全国卷)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝ ( )A ．－12B ．－14C.14D.12[例5]已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1， (1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．[审题视点] (1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )为周期函数； (2)由f (x )在[0,1]上的解析式及f (x )图象关于x ＝1对称求得f (x )在[1,2]上的解析式；(3)由周期性求和的值．变式3.(2012·南昌第一次模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋2f (3)，且f (－1)＝2，则(3)＝________，f (2 011)＝________.：判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．考题范例(2011·沈阳模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间． [解答示范] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，(2分) ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(6分)又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．(8分)当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(10分)(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 两个性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数． (3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x ，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.本节检测1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈R D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R2．(2011·辽宁高考)若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a 为奇函数，则a ＝( )A.12B.23 C.34D ．13．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．04．如果函数g (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.5．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．6. (2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )． A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2自我反思。
高中数学——函数的奇偶性导学案
函数的奇偶性一.小题回顾1. 函数x x x f -=3)(的奇偶性是 .2. 函数32)(-=x x f 的图象关于____________对称.3. 已知函数3)1()2()(2+-+-=x m x m x f 是偶函数,那么实数m =__________.4. 已知函数)(x f y =是R 上的奇函数,且当0>x 时,1)(=x f ,则函数)(x f 的解析式为 .5. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是_________________.二.知识梳理1. 一般地,如果对于函数)(x f 的定义域内的_______一个x ,都有_____________,那么称 函数)(x f 是偶函数;如果对于函数)(x f 的定义域内的_______一个x ,都有_____________,那么称函数)(x f 是奇函数.2. 如果函数)(x f 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数)(x f 具有_________________.3. 偶函数的图象关于___________对称,奇函数的图象关于__________对称.三.例题精析例1. 判断下列函数的奇偶性 (1)x x x x f -+-=11)1()( (2)221)(2-+-=x x x f (3))1lg()(2++=x x x f (4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+-=0,0,)(22x x x x x x x f例2. (1)已知函数,2)1()1()(22++-+-=n x m x m x f 则当n m ,为何值时，)(x f 是奇函数. (2)已知q x px x f ++=32)(2是奇函数，且,35)2(=f 求实数q p ,的值.例3. 若)(x f 是R 上偶函数，且0≥x 时，.)1ln()(2x x x f ++=(1)求当R x ∈时，)(x f 的表达式；(2)若),3()1(m f m f ->-求实数m 的取值范围.例4. 定义在R 上的函数)(x f ,对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++,且,0)0(≠f 试判断)(x f 的奇偶性.四.反思小结五.巩固训练1. 已知bx ax x f +=2)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数,那么b a +的值是 .2. 若a x f x +-=121)(是奇函数，则a =__________. 3. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当x>0时,22)(x x f x -= ,则)1()0(-+f f =____.4. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且0>x 时,1)(+=x x f ,则当0<x 时，)(x f =________________. 5.已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则 =+)1()1(g f ____________.。
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鸡西市第十九中学学案
练习：判断下列函数是否为偶函数？
]1,1[,)(3-∈=x x x f )1,1[,)(3-∈=x x x f ]2,1()1,2[,)(3 -∈=x x x f
练习：奇函数定义域是[a,2a+3]，则a=_____.
例1. 利用定义函数
x x x f 2)(3+=的奇偶性
小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立；
（3）、作出相应结论.若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；
若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数
练习.利用定义判断下列函数的奇偶性
,1
)(x
x x f -= ,1)(2+-=x x f
0)(=x f x x x f +=2)(
总结：
根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数 练习：判断下列函数是否为偶函数或奇函数？（口答）
奇、偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数.
⑵ 偶函数的图象关于y 轴对称.
反过来,如果一个函数的图象关于y 轴对称, 那么这个函数为偶函数.
注：奇偶函数图象的性质可用于：
①.判断函数的奇偶性； ②.简化函数图象的画法。
例2. 已知函数)(x f y =是偶函数，它在y 轴右边的图像如下图，画出它在y 轴左边的
图像。
练习：（1）已知函数y=f(x)是),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，它在),0(+∞上的图像如图所示，画出它在)0,(-∞上的图像。
【当堂训练】利用定义判断下列函数的奇偶性
（1） 221)(2
-+-=x x x f （2）⎩
⎨⎧>+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f。