(完整版)物理竞赛讲义(三)力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心.doc
高中物理竞赛辅导讲义静力学
高中物理竞赛辅导讲义静力学高中物理竞赛辅导讲义第1篇静力学【知识梳理】一、力和力矩1．力与力系（1）力：物体间的的相互作用（2）力系：作用在物体上的一群力①共点力系②平行力系③力偶2．重力和重心（1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力）（2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合）3．力矩（1）力的作用线：力的方向所在的直线（2）力臂：转动轴到力的作用线的距离（3）力矩①大小：力矩=力×力臂，M =FL②方向：右手螺旋法则确定。
右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。
③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。
4．力偶矩（1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。
（2）力偶臂：两力作用线间的距离。
（3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。
二、物体平衡条件1．共点力系作用下物体平衡条件：合外力为零。
（1）直角坐标下的分量表示ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0（2）矢量表示各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。
（3）三力平衡特性①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。
2．有固定转动轴物体的平衡条件：3．一般物体的平衡条件：（1）合外力为零。
（2）合力矩为零。
4．摩擦角及其应用（1）摩擦力①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数）②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数）③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反（2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。
①滑动摩擦角：tanθk=μ②最大静摩擦角：tanθsm=μ③静摩擦角：θs≤θsm（3）自锁现象三、平衡的种类1．稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。
2．不稳定平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。
3．随遇平衡：当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。
高二物理竞赛课件：力矩转动惯量定轴转动定律
面内
即：都在转动平面内
三、定轴转动定律
O’
对刚体中任一质量元 mi ω
Fi (外力)
fi (内力)
ri P
mi
fi
i
Fii
应用牛顿第二定律，可得： O
Fi fi miai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sini fi sini miai miri
用ri 乘以上式左右两端：
Firi sini firi sini miri2
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
因为这个力矩与Z轴平行, 因此我们称这个力矩为力
转动 平面
r
F2
对转轴 Z 的力矩
我们将力对z轴的力矩记作Mz
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3）F1 对转轴的力矩为零 ，在定轴转动中不予考虑。
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上 述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i1
i1
i1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
得到：
N
N
Firi sini (miri2 )
的代数和 M z
.
Mz Jzβ
z
Fej
O rj mj
Fij
Mz
Jz Jz
d
dt
讨论：
（1） M 一定，J
β 转动惯量是转动
高中物理奥林匹克竞赛专题力矩 刚体定轴转动定律 (共15张PPT)
解：以转台和二人为研究对象，所受外力只有重
力及轴的支撑力，诸力对转轴的合力矩为零，所
以系统角动量守恒．各转动惯量分别为
J 1 m R2 ，2
JA
1 mR2 2
JB
1mR/22
2
以，地面为参照系，A处的人走动的角速度为
＋(v / R)，B处的人走动的角速度为
(2v1R)-(4v/R)
2
由角动量守恒定律
0
0
mg x k x 2
0 .2
2
J
2
4
0
2
12 .6 故： v R 1 .26 m / s
3、质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，转动惯量为Mr2/2，绕过盘的 边缘挂有质量为m，长为l的匀质柔软绳索（如 图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧 绳长之差为S时，绳的加速度的大小．
大小： M z F2rsin F 2 d
方向：
M
方向:
z
OZ
3、总力矩的大小= 所有外力力矩的代数和
M
正方向的规定：促进转动的力矩为正
z
1
§3-3 力矩 刚体定轴转动定律
二、定轴转动定律
F=mam d v
dt
dp
F=
dt
牛二
类比法
M z J
J
dw dt
已知： m i : p 点质量
M
z
dL dt
r
M
a
S
解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长
分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳 的盘为研究对象．设a为绳的加速度，β为盘的
角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在
高中物理竞赛讲义(超级完整版)
最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况 (5)二、知识体系 (5)第一部分力＆物体的平衡 (6)第一讲力的处理 (6)第二讲物体的平衡 (8)第三讲习题课 (9)第四讲摩擦角及其它 (13)第二部分牛顿运动定律 (15)第一讲牛顿三定律 (16)第二讲牛顿定律的应用 (16)第二讲配套例题选讲 (24)第三部分运动学 (24)第一讲基本知识介绍 (24)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (26)第四部分曲线运动万有引力 (28)第一讲基本知识介绍 (28)第二讲重要模型与专题 (30)第三讲典型例题解析 (38)第五部分动量和能量 (38)第一讲基本知识介绍 (38)第二讲重要模型与专题 (40)第三讲典型例题解析 (53)第六部分振动和波 (53)第一讲基本知识介绍 (53)第二讲重要模型与专题 (57)第三讲典型例题解析 (66)第七部分热学 (66)一、分子动理论 (66)二、热现象和基本热力学定律 (68)三、理想气体 (70)四、相变 (77)五、固体和液体 (80)第八部分静电场 (81)第一讲基本知识介绍 (81)第二讲重要模型与专题 (84)第九部分稳恒电流 (95)第一讲基本知识介绍 (95)第二讲重要模型和专题 (98)第十部分磁场 (107)第一讲基本知识介绍 (107)第二讲典型例题解析 (111)第十一部分电磁感应 (117)第一讲、基本定律 (117)第二讲感生电动势 (120)第三讲自感、互感及其它 (124)第十二部分量子论 (127)第一节黑体辐射 (127)第二节光电效应 (130)第三节波粒二象性 (136)第四节测不准关系 (139)第0部分绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称Ipoh）① 1967年第一届，（波兰）华沙，只有五国参加。
高中物理竞赛讲座：第三章刚体的转动1
A
o x dm=dx
d
x
平行轴定理: J O J O md
2
其中: JO:刚体对过质心轴的转动惯量 JO’:刚体对平行于过质心轴的轴的转动惯量 d:两平行轴间的距离
定轴转动中的动能定理
1 2 : A Ek 2 Ek1
1 1 2 2 J 2 J1 2 2
2
1
1
J d
d J d dt
2
1
2
1
J d
2
1
M d
微分形式
dA M d
积分形式 A
2
1 1 2 2 M d J2 J1 2 2
•
1 对M： TR ( MR 2 ) 2
对m : mg T ma
a m
运动学关系： a R
81.7(rad / s 2 )
T 9.15( N )
mg
1 2 2 解2：将M,m视为整体 J MR mR 2 M mg R
M J
§3-3 刚体转动中的功能关系
o
x x dm=dx
解: dJ0= x2dm = x2dx
1 J O dJ0 x dx x 3 1 l 3 1 ml 2 l / 2 3 12 l / 2 12
l/2 2
l /2
(2).绕过棒端与棒轴的转动惯量 l l 1 x 3 1 3 1 2 2 J A x dx l ml 0 3 3 0 3
高二物理竞赛课件：力矩和转动定律
1 mgl
2
例2）现有一质量为m，半径为R的匀质薄圆盘在 平面内以角速度ω转动，求摩擦力产生的力矩。
dr 解： 取细圆环为质元
ωr
dm
ds
m
R2
2rdr
dM r dF rgdmk
rg
m
R2
2rdrk
M
R
dM g
m 2r 2dr 2 gmR
0
R 2
3
(二）转动定律
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个 类似于牛顿定律的、确定刚体在外力矩作用下运动状
力矩和转动定律
力矩和转动定律
——寻求类似于牛顿定律、确定刚体 在外力矩作用下运动状态发生变化的 规律——转动定律。
（一）刚体定轴转动的力矩 1 .对固定点的力矩 M r F
2 .对固定转轴的力矩 （1）力垂直于转轴
M
F
Or
d
Pr
这种情况相当于质点绕固定点
O 转动的情形, 可用上面公式.
（2）力与转轴不垂直
FN
FN
i
ri Fi Mi
i
注意: (a) M合
i ri
Fi
i
i
(b) 以上公式中, 力都应理解为垂直于转轴的分量, 下同.
(4) 若作用在刚体各处的力是连续分布的，可将
刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质
元上的元力矩，再对所有元力矩求和
M合 r dF
(5) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,即
在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取
质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
ΔLi ri Δmivi ri Δmiri Δmi ri2ω
超详细的高中物理竞赛辅导资料 力、物体的平衡
力、物体的平衡§1.1常见的力1、1、1力的概念和量度惯性定律指出，一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于惯性参照系的速度不变，也就是说，如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变，必是由于受到其他物体对它的作用，在力学中将这种作用称为力。
凡是讲到一个力的时候，应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。
一个物体，受到了另一物体施于它的力，则它相对于惯性参照系的速度就要变化，或者说，它获得相对于惯性参照系的加速度，很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为力的大小的量度。
实际进行力的量度的时候，用弹簧秤来测量。
重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，可近似认为重力不变（重力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面的高度而变化）弹力 物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变，而对外部产生的宏观反作用力。
反映固体材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）S F =σ与胁变（应变）l l ∆=ε之间的正比例关系，如图所示εσE =式中E 为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。
弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。
F=-kx式中x 表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k 为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸决定。
接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力力实质上是一种弹性力，常见如下几类：1、柔索类（图1-1-2）如绳索、皮带、链条等，其张力⎩⎨⎧拉物体指向沿柔索方位::T一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。
滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同一根绳内的张力处处相等。
2、光滑面（图1-1-3）接触处的切平面方位不受力，其法向支承力F图1-1-1BC c A 图1-1-3G 图1-1-2⎩⎨⎧压物体指向沿法线方位::N3、光滑铰链物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定。
高中物理竞赛力矩和力矩平衡知识点讲解
高中物理竞赛力矩和力矩平衡知识点讲解力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，是物体转动转动状态改变的原因。
它等于力和力臂的乘积。
表达式为：M=FL，其中力臂L是转动轴到F的力线的（垂直）距离。
单位：Nm 效果：可以使物体转动.正确理解力矩的概念力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。
但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态的变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响。
力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。
物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。
力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。
力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算。
力对物体的转动效果使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。
①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。
②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。
需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。
大小一定的力有最大力矩的条件：①力作用在离转动轴最远的点上；②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。
力矩的计算：①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL如图中，力F 的力臂为LF=Lsin θ 力矩M ＝F •L sin θ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。
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郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义
第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
【知识要点】
（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为 M=FL ，单位 “牛 ·米”。
一般规定
逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件
作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。
即 ΣM=0，或 ΣM 逆=ΣM 顺 。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体， 再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为
m 1 和 m 2 的 A 、 B 两质点坐标分
别为 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标
y
为：
y 2 B
m 1 x 1 m 2 x 2 m 1 y 1 m 2 y 2
y C
C x C
m 2
y C
m 2
y 1
A
x
m 1
m 1
O
x 1 x C x 2
一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，
其重心 C 位置由如下公式求得：
m i x i
m i y i z C
m i z i
x C
y C
m i
m i
m i
本节内容常用方法有： ①巧选转轴简化方程： 选择未知量多， 又不需求解结果的力线交 点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象： 选整
体分析， 常常转化为力矩平衡问题求解； ③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过
割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【典型例题】
【例题 1】如图所示， 光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球 A 和 B 两球之间连有弹簧， 平衡时圆心 O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为
α和 β，求两球质量之比。
O
A
α
β
B
【例题 2】（第十届全国预赛）半径为R，质量为m1的均匀圆球与一质量为m2的重物分别用细绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A ，并处于平衡。
如图所示，已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L ，若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角θ。
A
θ
D
O O C
E
【例题 3】（第十届全国决赛）用20 块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面
一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L，横截面为h L
的正方形，求此桥4
具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
H
S
【例题 4】（第六届预赛）有 6 个完全相同的刚性长条薄片 A i B i（ i=1 ， 2 ），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此 6 个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起 B i恰在碗口上，另一端小突起 A i位于其下方薄片的正中，由正上方俯
视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片 A6B 6 上一点，这一点与此薄片中点的距离等于
它与小突起 A 6的距离，则薄片 A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起 A 1所施的）压力。
B4
A 6
A 5
B
3
B5
A 1
A 4
B6 A2 A
3
B2
B 1
【练习】
1、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦
因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力
为
F1，向左匀速拉出时的水平拉力为F2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较 F1和 F2的大小？O
A
B
θF1
2、如图所示，是一种手控制动器， a 是一个转动着的轮子， b 是摩擦制动片， C 是杠杆， O
是其固定转动轴， 手在 A 点施加一作用力 F 时，b 将压紧轮子使轮子制动， 若使轮子制动需
要的力矩是一定的，则下列说法正确的是：
A F
A 、轮 a 逆时针转动时，所需力 F 小
O
a
C B 、轮 a 顺时针转动时，所需力
F 小
b
C 、无论轮 a 逆时针还是顺时针转动所需的力 F 相同
D 、无法比较力 F 的大小
3、两根等长的细线，一端拴在同一悬点 O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为
m 1 和 m 2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为
45
和 30°，如图所示。
则 4、如图所示，一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆，细杆的左端用
铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。
由
于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ） ，所以要将木板从球下面向右抽出时，至少
需要大小为 F 的水平拉力。
试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？
m 1 : m 2 为多少？。