贵州省遵义市南白中学2017届高三上学期第二次联考理数试题(解析版).doc

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（ ） A ．12- B ．-2 C ．2 D ．12【答案】C考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi2.已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，集合1{|24}4x B x =≤≤，则A B = （ ） A ．{|2}x x ≥- B ．{|22}x x -<< C ．{|22}x x -≤< D ．{|2}x x < 【答案】C 【解析】试题分析：{|lg(2)}(,2)A x y x ==-=-∞，1{|24}[2,2]4x B x =≤≤=-，所以A B =I {|22}x x -≤<，选C.考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3.已知α为第三象限角，且cos α=，则tan 2α的值为（ ） A ．43-B ．43C ．34- D ．-2 【答案】A考点：二倍角公式【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。

4.已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（ ）A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是假命题D ．()p q ∧⌝是真命题 【答案】D 【解析】试题分析：11lg x x x =-≥时，所以命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥为真；1(0,),sin 0,sin 2sin x x x x π∀∈>+≥=，当且仅当sin 1x =时取等号，所以命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>为假；因此p q ∨是真命题，p q ∧是假命题 ，()p q ∨⌝是真命题 ，()p q ∧⌝是真命题，选D,考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 5.函数2()(2)x f x x x e =-的大致图象是（ ）【答案】A考点：利用导数研究函数图像6.已知,x y 满足约束条件34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ）A ．2z x y =-B ．2z x y =-+C ．12z x y =-- D ．2z x y =+ 【答案】B 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(2,2),(3,1)A B C ，所以直线2z x y =-在点(3,1)处取得最大值，直线2z x y =-+在点(3,1)处取得最小值，直线12z x y =--在点(2,2)处取得最小值，直线2z x y =+在点(3,1)处取得最大值，选B. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17【答案】C考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱长中最长的是（ ）A ．B ．5CD ．【答案】C 【解析】试题分析：四面体有一侧棱（长为4）垂直于底面，底面为直角三角形（直角边长为3和4），因此所有棱长为 C. 考点：三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析． 9.已知点P 是抛物线214x y =上的一个动点，则点P 到点(1,2)A -的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A ．B ．1C 1D 1 【答案】B考点：抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 10.某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．30种 【答案】B考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.11.如图，已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，以双曲线C 的实轴为直径的圆记为圆O ，过点2F 作圆O 的切线，切点为P ，则以12,F F 为焦点，过点P 的椭圆T 的离心率为（ ）A ．2 B C ．4D【答案】D 【解析】试题分析：由离心率为2得2,c a b ==，又2PF 为圆O的切线，所以22222121,2()(2)(2c)PF b PF PF OP PF =+=+⇒==，因此椭圆T== D.考点：椭圆与双曲线定义与离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有211212()()0x f x x f x x x -<-，记225(0.2)a f =，(1)b f =，513log 3(log 5)c f =-⨯，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c << 【答案】A考点：函数单调性与奇偶性综合应用【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos sin b a C c A =+，则A = .【答案】4π 【解析】 试题分析：cos sin sin sin cos sin sin sin()sin cos sin sin b a C c A B A C C A A C A C C A =+⇒=+⇒+=+ sin cos sin sin cos sin tan 14C A C A A A A A π⇒=⇒=⇒=⇒=考点：正弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.14.若对于任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为 . 【答案】6考点：二项式定理【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.15.在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在阴影部分的概率为 .【答案】23【解析】试题分析：阴影部分的面积为32102332x ==⎰，所以点P 恰好落在阴影部分的概率为223113=⨯ 考点：定积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．16.已知函数()32f x kx k =-有两个零点12,x x ，则12||k x x +-的取值范围是 . 【答案】5131(,]12100考点：直线与圆位置关系【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*11()2n n S a n N +=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*3log (1)()n n b S n N =-∈，求满足方程233411112551n n b b b b b b ++++=L 的n 值. 【答案】（1）23n na =（2）101n =试题解析：（1）当1n =时，123a =， 当1n >时，112n n S a +=，11112n n S a --+=， ∴131022n n a a --=，即113n n a a -= ∴23n n a =. （2）21(1())1331()1313n n n S -==--，∴n b n =-，11111n n b b n n +=-+， ∴233411111121n n b b b b b b n ++++=-+L ， 即11252151n -=+，解得101n =. 考点：由n S 与n a 关系求数列{}n a 的通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1n （n ＋2）. 18.（本小题满分12分）十一国庆节期间，某商场举行购物抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为25，中奖可以获得3分；方案乙的中奖率为23，中奖可以获得2分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，抽奖结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3X ≥的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出为了累计得分较大，两种方案下他们选择何种方案较好，并给出理由？【答案】（1）25（2）他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为2X ，则1X 、2X 的分布列如下：所以1912412()0362525255E X =⨯+⨯+⨯=， 214424()0249999E X =⨯+⨯+⨯= 21()()E X E X >所以他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.考点：互斥事件概率，数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 中，2,5AB AD ==，,E F 分别在,AD BC 上，且1,3AE BF ==，沿EF 将四边形AEFB 折成四边形''A EFB ，使点'B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，且1EH =.（1）求证：'//A D 平面'B FC ；（2）求二面角'A DE F --的余弦值.【答案】（1）详见解析（2） 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而当线线平行比较难找时，可以先证面面平行，再转化为线面平行：本题有两组相交直线互相平行，''//A E B F 及//CF ED ，先得线面平行，'//B F 平面'A ED 及//CF 平面'A ED ，再得面面平行，平面'A ED //平面'B FC ，最后得线面平行'//A D 平面'B FC （2）利用空间直角坐标系求二面角余弦值，先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系得结论（2）如图，过E 作//ER DC ，过E 作ES ⊥平面EFCD ，分别以,,ER ED ES 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.'B E =，1EH =，∴'(0,1,2),(2,2,0),(0,0,0),(2,4,0)B F E C∴'(2,1,2)FB =-- ，∴(0,2,0)FC = .设平面'FB C 的法向量为(,,)n x y z = ∴22020x y z y --+=⎧⎨=⎩，令01x =，解得(1,0,1)n = . ∴平面'//A ED 平面'B FC ，∴平面'A ED 的法向量为(1,0,1)n = 设二面角'A DE F --的大小为θ，显然θ为钝角，又平面DEF 的一个法向量为(0,0,1)m = ，cos |cos ,|2n m θ=-<>=-r u r考点：线面平行判定定理，利用空间向量解二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>过点A ，，12,F F 分别为左右焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PQMN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）S ≥所以椭圆C 方程为：2212x y +=.令3344(,),(,)P x y Q x y ，34242x x k +=+，2122222k x x k-=+由弦长公式22)||2k PQ k +==+所以四边形PMQN 的面积1||||2S MN PQ ==，令21(1)t k t =+>上式22221)(1)(1)11S t t t t ===+>-+--所以综上，S ≥考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。