第十二章12.4离散型随机变量
离散型随机变量公式
离散型随机变量公式
1.非负性：对于所有可能取的值x，P(X=x)≥0。
2.规范性：所有可能取的值的概率之和为1，即∑P(X=x)=1
3.可数可加性：对于所有可能取的值x1和x2，当x1≠x2时，
P(X=x1)+P(X=x2)即为两个事件同时发生的概率。
E(X)=∑xP(X=x)·x
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)。
这个公式可以理解为将每个可能的结果乘以其发生的概率，然后将所有结果的期望值相加得到。
Var(X) = ∑x [P(X=x)·(x - E(X))^2]
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)和(x-E(X))^2、这个公式可以理解为将每个可能的结果与期望值的差的平方乘以其发生的概率，然后将所有结果的加权平均值得到。
σ = √Var(X)
其中，Var(X)表示离散型随机变量X的方差。
标准差可以理解为方差的平方根，它与原始数据集的单位保持一致。
标准差越大，说明数据的离散程度越大；标准差越小，说明数据的离散程度越小。
总结起来，离散型随机变量的公式主要包括概率质量函数（PMF）的定义以及期望值、方差、标准差的计算公式。
这些公式可以用于描述和衡量离散型随机变量的特点和性质。
离散型随机变量ppt课件
来刻划这种随机试验的结果呢？
试验的结果
用数字表示试 验结果
黑色
1
白色
2
黄色
红色
3
4
还可不可以用p其pt课他件完的整数字来刻画？？
8
观察总结
有些随机试验的结果虽然不具有数量 性质，但也可以用数量来表述,我们可 以将试验结果赋值，并且可以赋不同 的值。
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9
观察总结
随机试验结果
实数
①每一个试验的结果可以用一个确定的数字来表示；
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30
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随机变量可以取一个常数吗？
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17
练习
下列随机试验的结果能否用随机变量表示?若能,请写出 各随机变量可能的取值.
（1）在含有10件次品的100件产品中,任意抽取10件,取 次品的件数.
（2）接连不断的射击,首次命中目标需要射击的次数. （3）电灯泡的寿命.
思考：在（1）中{X=1}在这里表示什么事件?{X＞5} 在这里表示什么事件？“抽到的次品不多于5件”用X
随机变量的特点：
（1）可以用数表示 （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值
（3）在试验之前不能确定取哪一个值。
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12
例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是 随机变量，并说明理由。
（1）每天广雅中学学校办公室接到的电话的个数. （2）标准大气压下，水沸腾的温度. （3）某一自动装置无故障运转的时间 （4）体积64立方米的正方体的棱长. （5）抛掷两次骰子,两次结果的和. （6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所 含白球的个数.
离散型随机变量 课件
【解】 (1)是离散型随机变量．因为只要取出一张，便有一个 号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机 变量的定义． (2)不是离散型随机变量，因为林场中树木的高度是一个随机变 量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，所以不是离 散型随机变量．
【解】 (1)旅客人数可能是 0，1，2，…，出现哪一个结果是 随机的，因此是随机变量． (2)所查酒驾的人数可能是 0，1，2，…，出现哪一个结果是随 机的，因此是随机变量． (3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此 是随机变量． (4)球的体积为 1 000 cm3 时，球的半径为定值，不是随机变量．
表示．
2．离散型随机变量 所有取值可以 一一列出 的随机变量，称为离散型随机变量．
探究点 1 随机变量的概念 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变
量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中 2018 年 5 月 1 日的旅客数量； (2)2018 年 1 月 1 日到 6 月 1 日期间所查酒驾的人数； (3)2018 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为 பைடு நூலகம் 000 cm3 的球的半径长.
离散型随机变量
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个
试验结果 都用一个 确定的数字 表示．在这个对应关系
下 ， 数字 随 着 试验结果 的 变 化 而 变 化 ． 像 这 种 随
着 试验结果 变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母 X，Y，ξ，η，…
离散型随机变量优质课课件(精)
在可靠性问题中应用
寿命分布
通过分析产品的寿命数据，拟合 出合适的离散型随机变量分布， 预测产品的可靠性和使用寿命。
故障间隔时间分布
统计产品故障发生的时间间隔，用 离散型随机变量描述故障间隔时间 的概率分布，为产品的维修和保养 计划提供依据。
系统可靠性评估
基于离散型随机变量的概率分布， 计算系统的可靠度、可用度等指标 ，评估系统的整体性能和可靠性水 平。
定义
超几何分布描述了从有 限N个物件（其中包含K 个指定种类的物件）中 抽出n个物件，成功抽 出指定种类物件的次数 X的分布情况。
性质
超几何分布的期望EX =
nK/N，方差DX
=
nK(N-K)(N-n)/N^2(N-
1)。
应用场景
常用于描述不放回抽样 问题，如从一副扑克牌 中随机抽取若干张牌， 计算抽到某种特定牌型 的概率等。
定义
离散型随机变量是指其可能取值的个 数是有限的或可列的随机变量。
性质
离散型随机变量具有可数性和间断性 。可数性是指其可能取值的个数是有 限的或可列的；间断性是指其可能取 值之间存在“空隙”或“间隔”。
常见离散型随机变量类型
二项分布
在n次独立重复的伯努利试验 中，成功的次数服从二项分布 。
几何分布
在伯努利试验中，首次成功所 需的试验次数服从几何分布。
0-1分布
随机变量只取0和1两个值，常 用于描述伯努利试验的结果。
泊松分布
描述单位时间内随机事件发生 的次数，常用于描述稀有事件 的概率分布。
超几何分布
从有限总体中不放回地抽取n 个样本，其中成功样本的个数 服从超几何分布。
分布律与概率质量函数
06
总结回顾与拓展延伸
知识讲解离散型随机变量
离散型随机变量及其分布列【学习目标】1．了解离散型随机变量的概念．2．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．3．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题．4. 理解两个特殊的分布列：“两点分布”和“超几何分布”。
【要点梳理】要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．B．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示。
要点诠释:（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用ξ来表示这个随机试验中出现正面向上的次数，则ξ=0，表示试验结果为反面向上，ξ=1，表示试验结果为正面向上。
（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化。
3．离散型随机变量的定义如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….4. 随机变量的分类随机变量有以下两种：(1)离散型随机变量:(2)连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．要点诠释:离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出.连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举．例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．5. 若是随机变量，其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
离散型随机变量 课件
象这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把试验结果映为实数，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域，故我们也把随机变量的取值范围称为随机变量的值域。
2.随机变量分为离散型随机变量和非离散型随机变量。
思考:把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？
说明：(1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化； (2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.
X=0，表示正面向上； X=1，表示反面向上
正面朝上 反面朝上
0 1
在问题三中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字来表示。
这种对应事实上是一个映射。
在例1与例2中，能构造类似的映射吗？
出现1点 出Байду номын сангаас2点 …… 出现6点
1 2 …… 6
0件次品 1件次品 …… 4件次品
0 1 …… 4
在以上的各例说明，在随机试验中，我们可以确定一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字来表示。
例1：掷一颗骰子,结果有哪些?发生的概率各是多少?
例2：某纺织公司某次检验产品，在可能含有10件次品的100件产品中任意抽取4件，其中可能含有几件次品？
若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？
若用X表示出现的点数，X有哪些取值？
X可取1、2、3、4、5、6，共6种结果
Y可取 0、1、2、3、4,共5种结果
1.随机变量是随机事件的结果的数量化．
随机变量X的取值对应于随机试验的某一随机事件。
随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果。
离散型随机变量及其分布教案
离散型随机变量及其分布教案一、引言随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验中的各种可能结果与相应的概率分布之间的关系。
离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列无限个离散值的随机变量。
本教案将介绍离散型随机变量及其分布。
二、离散型随机变量的概念离散型随机变量可以理解为能够取到离散值的随机变量。
例如，抛掷一个骰子出现的点数就是一个离散型随机变量，因为它只能取到1、2、3、4、5、6这几个离散值之一。
三、离散型随机变量的分布律离散型随机变量可以通过分布律来描述其各个取值的概率。
1. 定义离散型随机变量的分布律是指在给定取值情况下的概率分布。
对于离散型随机变量X，其分布律可以表示为P(X=x)，其中x表示X的某个取值。
2. 性质离散型随机变量的分布律必须满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0；（2）归一性：所有可能的取值情况的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
四、常见离散型随机变量及其分布1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型随机变量分布之一，它描述了一个随机试验只有两个可能结果的情况。
例如，投掷硬币的结果只能是正面或反面。
2. 二项分布二项分布是描述n个独立的伯努利试验中成功次数的离散型随机变量的分布。
例如，投掷一枚硬币n次，正面朝上的次数就是一个满足二项分布的离散型随机变量。
3. 泊松分布泊松分布是描述在给定时间段或空间范围内某事件发生次数的离散型随机变量的分布。
例如，单位时间内到达某一地点的车辆数量就可以用泊松分布来描述。
4. 几何分布几何分布是描述在一系列独立的伯努利试验中，首次获得成功所需要的试验次数的离散型随机变量的分布。
例如，第一次抛掷正面朝上的硬币所需要的抛掷次数就可以用几何分布来描述。
五、总结离散型随机变量及其分布是概率论中的重要概念，通过分布律可以准确描述随机变量的取值情况和相应的概率分布。
常见的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布，它们在实际问题中具有广泛应用。
离散型随机变量及其分布列教案
离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。
离散型随机变量通常用来描述一些试验的结果，例如抛硬币的结果，掷骰子的结果等。
在教学过程中，可以通过引入离散型随机变量教授概率论的基本概念和计算方法。
以下是一个关于离散型随机变量及其分布列的教案：教学目标：1.了解离散型随机变量的定义和特点；2.掌握计算离散型随机变量的分布列；3.学会使用分布列计算期望值和方差。
教学内容：1.离散型随机变量的定义和特点：-定义：离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。
-特点：离散型随机变量的取值是可以数清的，不能取到区间之外的值。
2.离散型随机变量的分布列：-分布列是用来描述离散型随机变量各个取值的概率的表格或公式。
-分布列的特点：各个取值的概率之和为13.离散型随机变量的期望值和方差：-期望值是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积之和。
表示为E(X)。
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn- 方差是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积减去期望值的平方之和。
表示为Var(X)。
Var(X) = (x1-E(X))^2*p1 + (x2-E(X))^2*p2 + ... + (xn-E(X))^2*pn教学步骤：Step 1：引入离散型随机变量的概念通过实际例子引入离散型随机变量的概念，例如掷骰子的结果就是一个离散型随机变量。
Step 2：介绍离散型随机变量的定义和特点详细介绍离散型随机变量的定义和特点，并与连续型随机变量进行对比。
Step 3：讲解离散型随机变量的分布列解释离散型随机变量分布列的含义，给出分布列的例子，并教授计算分布列的方法。
Step 4：演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差从分布列的角度出发，演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差。
Step 5：练习和巩固提供一些练习题，让学生通过计算离散型随机变量的分布列、期望值和方差来巩固所学知识。
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1 0.1
2 0.1
3 0.3
4 m
求：(1)2X＋1 的分布列；
(1)2X＋1 的分布列 2X＋1 P 1 3 5 7 9 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P (2)|X－1|的分布列．
【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量，其分布列为 X P －1 1 2 0 1－2q 1 q2
由分布列的性质知
1－2q≥0， q2≥0， 1 2 ＋ 1 － 2 q ＋ q ＝1 2
则 q 等于 A．1 2 C．1－ 2
基础知识
( C ) 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2
(2)随机变量 X 服从超几何
(2)从袋中任意摸出 3 个球，记得 分布． 到白球的个数为 X， 求随机变量 X 的分布列．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
超几何分布
一袋中装有 10 个大小相
思维启迪 解析 思维升华
同的黑球和白球．已知从袋中任
解
(1)记“从袋中任意摸出 2 个
(2) 求随机变量在某个范围内的取 值概率时， 根据分布列， 将所求范 围内随机变量对应的取值概率相 加即可， 其依据是互斥事件的概率 加法公式．
则 q 等于 A．1 2 C．1－ 2
基础知识
( C ) 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P (2)|X－1|的分布列．
解 由分布列的性质知：
0 0.2
1 0.1
2 0.1
3 0.3
4 m
求：(1)2X＋1 的分布列；
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为 X 2X＋1 |X－1|
基础知识
0 1 1
1 3 0
2 5 1
3 7 2
4 9 3
练出高分
题型分类
思想方法
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P (2)|X－1|的分布列．
则 q 等于 A．1 2 C．1－ 2
基础知识
( 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量，其分布列为 X P －1 1 2 0 1－2q 1 q2 )
由分布列的性质知
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2
答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) √
解析
C D
X P 0 0.7 1 0.3
3
4 5
基础知识 题型分类
3 16
思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量，其分布列为 X P －1 1 2 0 1－2q 1 q2 )
2．如果随机变量 X 的分布列为 X P p 的 两点分布 ．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
1 p
0 q
其中 0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量 X 服从参数为
基础知识·自主学习
要点梳理
3．超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X
n－k Ck C M N－M n C N 件次品，则事件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝
意摸出 2 个球，至少得到 1 个白 7 设袋中白球的个数为 x， 球的概率是 . 9 C2 7 10－x 则 P(A)＝1－ C2 ＝9， 10 (1)求白球的个数； 得到 x＝5.故白球有 5 个． (2)从袋中任意摸出 3 个球，记得 (2)X 服从超几何分布， 到白球的个数为 X， 求随机变量 X 3－k Ck C 5 5 的分布列． P(X＝k)＝ C3 ，k＝0,1,2,3. 10
所以 X 的分布列为 天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若
发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货 ， ．．． ．．． 2 3 X 3 将频率视为概率．1 4 4 P (1)求当天商店不进货 的概率； ．．． (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数， 求 X 的分布列．
则 q 等于 A．1 2 C．1－ 2
基础知识
( 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量，其分布列为 X P －1 1 2 0 1－2q 1 q2 )
利用分布列的两个性质求解．
1－2q≥0， q2≥0， 1 2 ＋ 1 － 2 q ＋ q ＝1 2
则 q 等于 A．1 2 C．1－ 2
基础知识
( 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2
题型分类
2 ∴q＝1－ 2 .
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
超几何分布
一袋中装有 10 个大小相
思维启迪 解析 思维升华
同的黑球和白球．已知从袋中任 (1) 列出符合题意的关于袋中 意摸出 2 个球，至少得到 1 个白 白球个数 x 的方程； 7 球的概率是 . 9 (1)求白球的个数；
2 1 P(Y＝30)＝C2＝3， 4 3 1 P(Y＝40)＝C2＝2. 4
∴Y 的分布列为
Y P
基础知识
20 1 6
30 1 3
40 1 2
思想方法 练出高分
题型分类
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
超几何分布
一袋中装有 10 个大小相
思维启迪 解析 思维升华
同的黑球和白球．已知从袋中任 意摸出 2 个球，至少得到 1 个白 7 球的概率是 . 9 (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出 3 个球，记得 到白球的个数为 X， 求随机变量 X 的分布列．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
X P
0 1 12
1 5 12
2 5 12
3 1 12
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
超几何分布
一袋中装有 10 个大小相
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 求离散型随机变量的分布列
思维升华
求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤： ①理解 X
的意义，写出 X 可能取的全部值；②求 X 取每个值的概率； ③写出 X 的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的 概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 求离散型随机变量的分布列
【例 2】 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 10 件 2)＋P(当天商品销售量 3 P(X＝3)＝P(当天商品销售量为 5 3 频数 1 5 9 1 59 为 2 件)＋P(当天商品销售量为 3 件)＝20＋20＋20＝4. 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元． (1)从中任取一支，求其标价 X 的分布列； (2)从中任取两支，若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求 Y 的分 布列．
解 (1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40，
且取得任一支的概率相等，故 X 的分布列为
X P
10 1 4
20 1 4
30 1 4
40 1 4
1 1 (2)根据题意，Y 的可能取值为 20,30,40，且 P(Y＝20)＝C2＝6， 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元． (1)从中任取一支，求其标价 X 的分布列； (2)从中任取两支，若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求 Y 的分 布列．
知识回顾 理清教材
(k＝0,1,2，„，m)，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N， n、M、N∈N*，则称分布列 X P 0 n－0 C0 · C M N－M Cn N 1 n－1 C1 C M N－M Cn N „ „ m n－m Cm C M N－M n CN
为超几何分布列．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
1 5 3 天商品销售量为 1 件)＝20＋20＝10. 将频率视为概率．
(2) 由题意知， X 的可能取值为 2,3. (1) 求当天商店不进货 的概率； ．．．
5 1 P (X＝ P(当天商品销售量为 1 件)＝20＝4； (2) 记2) X＝ 为第二天开始营业时该商品的件数， 求 X 的分布列．
题型分类
2 ∴q＝1－ . 2
思想方法