北京市101中学2019届高三10月数学(理)统练试题(5)(解析版)
2019届北京市101中学上学期高三月考(五)理科数学试卷(解析版)
北京市101中学2018-2019学年上学期高三月考（五）理科数学试卷一、选择题（本大题共8小题）1.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.【答案】D【解析】解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则A. 17B. 14C. 13D. 3【答案】A【解析】解：为等差数列，为其前n项和，，，，解得，．故选：A．利用等差数列前n项和公式求出d，由此能求出结果．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：由，得，是充分条件，由，得：，故”是“”的充要条件，故选：C．根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．4.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则a的值可以为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数的图象向右平移个单位，得到：，函数的图象与函数的图象相同，则：，解得：．当时，．故选：C．直接利用函数的平移变换和诱导公式求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和诱导公式的应用．5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：、先《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选出2本，有种选法，、将选出的2本与《红楼梦》全排列，对应分给三个同学，有种情况，则不同的分配方法共有种；故选：C．根据题意，分2步进行分析：、先《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选出2本，、将选出的2本与《红楼梦》全排列，对应分给三个同学，求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意《红楼梦》为必读，是受到限制的元素，要优先分析．6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值是A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】解：，可得：，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，可得：，当且仅当时，“”成立，从而面积，故面积的最大值为．故选：B．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求的值，进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得：，进而利用三角形面积公式即可得解面积的最大值．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】解：设与的切点横坐标分别为，，，设的另一条斜率为k的切线与图象的切点横坐标为，如图所示：而表示直线的点与上的点的的纵坐标的差，显然，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，为的极小值点，为的极大值点．，为的极小值，为的极大值．故选：C．表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结论．本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题．8.已知非空集合A，B满足以下两个条件．2，3，4，5，，；的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对的个数为A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则，，即，，此时有，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则，，即，，此时有，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则，，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则，，即，，此时有，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则，，即，，此时有，故有序集合对的个数是，故选：A．分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知集合，，则______．【答案】或【解析】解：集合，或，或．故答案为：或．先求出集合M，N，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.在等比数列中，，且，则的值为______．【答案】5【解析】解：设等比数列的公比为q，，且，，解得或．当时，则；当时，则．故答案为：5．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为______．【答案】0【解析】解：当时，，不成立，故答案为：0．利用反例判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．12.已知向量，的夹角为，，，则______．【答案】【解析】解：【解法一】向量，的夹角为，且，，，．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形；在中，由余弦定理得，即．故答案为：．根据平面向量的数量积求出模长即可．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．13.在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得设，则______；______．【答案】【解析】解：，又，，，，．故答案为：，．根据向量加法的三角形法则把用，表示为：，再根据平面向量基本定理得，，从而可得；，再利用正三角形进行计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.设函数．若有两个零点，则实数a的取值范围是______；若，则满足的x的取值范围是______．【答案】【解析】解：若，则，由，可得，，符合题意；若，符合题意；若符合题意，则，即为；若，则和符合题意，可得，综上可得，a的范围是；若，则，的导数为，可得，，即有，不符题意；则，若，，即为，解得；若，，即为，化为，由于，且，可得的导数，即在递增，取得最小值，且为，且，而在时，递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是．故答案为：，．讨论，，，结合零点定义，解方程即可得到所求范围；若，讨论，，若；，结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用：求零点和解不等式，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.已知函数的图象与x轴的相邻两个交点的距离为．求w的值；设函数，求在区间上的最大值和最小值．【答案】解：函数的图象与x轴的相邻两个交点的距离为．可得函数的最小正周期为，则，解得，函数，，，，在区间上的最大值为1，最小值为．【解析】根据题意可得周期，即可求出的值，根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得，再根据正弦函数的图象和性质即可求出最值本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，属于中档题．16.如图所示，在中，D是BC边上的一点，且，，，．Ⅰ求；Ⅱ求AD的长和的面积．【答案】解：Ⅰ中，因为，，所以；分因为，，所以；分所以；分Ⅱ在中，由余弦定理可得，分所以，所以，即，解得或不合题意，舍去；所以；分中，由正弦定理得，即，分解得；分所以，即分【解析】Ⅰ利用三角形的内角和定理与三角恒等变换，即可求得的正弦值；Ⅱ由余弦定理和正弦定理求得AD、CD的值，再求的面积．本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是综合题．17.设数列的前n项和为，且，在正项等比数列中，，．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：由，时，，时，．．设正项等比数列的公比为q，，．．．由得：．设数列的前n项和为．时，；时，，，，．时也成立．．【解析】由，时，，时，即可得出设正项等比数列的公比为q，由，可得q，利用通项公式可得．由得：设数列的前n项和为利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，求函数在区间上的最大值．【答案】本小题满分13分解：Ⅰ由得，令，得，，，的情况如下表：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为．Ⅱ由可得．当即时，由Ⅰ可得在和上单调递增，在上单调递减，所以，函数在区间上的最大值为，又由Ⅰ可知，所以；当，，即时，由Ⅰ可得在上单调递减，在上的最大值为．当，，即时，由Ⅰ可得在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在区间上的最大值为，法1：因为，所以．法2：因为，所以由Ⅰ可知，，所以，所以．法3：设，则，，的在上的情况如下表：所以，当时，，所以，即所以．综上讨论，可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为．【解析】Ⅰ由，得，令，得，，，的情况列表讨论，能求出函数的单调区间．Ⅱ由，得求出函数在区间上的最大值为，由，知；再求出函数在区间上的最大值为，由此能求出函数在区间上的最大值．本题考查函数的单调性、函数的最值、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．第 11 页共 11 页。
2019届高三10月月考数学(理)试卷(含答案)
2019届高三上学期十月知识总结一一理科数学、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1 •复数z 满足Z 1 -i = 1 i ，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B•第二象限 C •第三象限 D •第四象限X —122. 已知集合 A = {x | 0}, B ={ x | y = lg( -x4x 5)}，则 A 「(C R B)=()x +2A. (-2,—1]B • [-2,一1]C • (-1,1]D • [-1,1]3. 给出下列四个命题： ① 若A^B ，贝U A 或B ；② -[2 * ,都有 x 2 2x ；12 2③ "a”是函数“ y =cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为 二”的充要条件;2④ “ x^ R, x 02 2 3x )” 的否定是“ R, x 2 2 乞 3x ”；其中真命题的个数是(立，则f (2018)的值为(A. 1A. 1A. 14.已知函数f(x)是定义在 B. 2 C. 3R 上的偶函数，且f (0) = -1，且对任意D .二-f (2-x)成5.如果实数 x - y 1 — 0,x, y,满足条件2x ，y 「2_0,，贝V z =1 x 十0,2x 3y的最大值为(6.在平行四边形A.ABCDKAD=1,. BAD =60 ,E为CD的中点•若AC BE = 1，则AB的长为(D. 22 2 27.已知数列｛a .｝的前n 项和为S n ，且S n ^2a n ，则使不等式a • a ? V a . :: 86成立的n 的最大值为（）9.若将函数f （x ） =sin （2x •「）「、3cos （2x •「）（0”「r ）的图象向左平移 1个单位长度，平移4后的图象关于点（一,0）对称，则函数g （x ） =cos （x •：:）在［ / ］上的最小值2 2 6、• 3C2cosB 」3sinB =2，则a c 的取值范围是（）H n =2n 1，记数列｛a n -20｝的前n 项和为&，则&最小值为（12.对于函数f x 和g x ,设二三：x f x = 0』，—：xg x =0』，若存在:J ,使得8.两个正实数 x, y 满足A.(-1,4)B.1 4 一 y 21，且不等式x m —3m 有解，则实数m 的取值范围是（x y 4（一①-1） （4, ：：） C.(_4,1) D. (_：：,0) (3,：：)1 A.210.在锐角 ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若凹bA. 3,2'B. C.一2汁3D.11.对于数列{a n },定义H n=a1+2a2川2 an为的{a n }“优值”，现已知某数列的“优值”A. —70C . -64D . -68则称f X 与g x 互为“零点相邻函数” •若函数f x 二 e x4 x - 2 与g x 二 x 2 _ ax _ a 3 互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ A. 2,41 B.汀7C.D.2,3】 二.填空题（本大题共4小题，每题5分.共20 分）13•已知数列Q =1,a n=a n,+3n (n^2,,则数列牯」的通项公式a n= .?■=•T B■“Y R. =•«14. 已知向量|a—b|=|b|, |a—2b冃b|，则向量a，b的夹角为 _____________________________15. 已知关于x的不等式2x -1 mx2 -1 ,若对于xd, •::不等式恒成立，则实数m的取值范围是In x 1 16•已知函数f x是可导函数，其导函数为 f x，且满足xf (x) • f (x)，且f (e)=-x e，则不等式f (x +1) - f (e +1) AX—e的解集为 ___________________三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, C=60； . 2^ . 3b.(1)求角代B的大小；(2)若D为边AC上一点，且a = 4 , BCD的面积为.3，求BD的长.18. (本小题满分12分)已知数列｛a n｝是公差为正数的等差数列，a2和a5是方程x2-12x • 27 = 0的两个实数根，数列｛bJ满足j 1 b n二na n1 -(n-1)a n(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2)设T n为数列｛b n｝的前n项和，求T n.2 1 19.(本小题满分12 分)已知向量m = (.3cosx,1) ,n = (si nx,cos x-1)，函数f(x)=m・ n -(1)若x 0, , f x 3，求cos2x 的值；IL 4 3(2)在ABC中，角A,B,C对边分别是a, b,c，且满足2bcosA乞2c-■■一3a，当B取最大值时,-3 a 亠ca=1“ABC面积为，求的值.sin A +sin C420.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列｛耳｝的前四项和S4 =14,且a,,a3,a7成等比.(1)求数列｛耳｝的通项公式;1(2)设T n为数列｛ -------- ｝的前n项和，若’T n _ a n勺对一切n三a n a n ■+N*恒成立，求实数■的最大值.2x —121.(本小题满分12分)已知fx二ax-l nx .x(1)若函数f x在x=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线程；(2)讨论f x的单调性•y = f x在1, f 1处的切线方22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x, g(x) =£ ax2-bx , (1)当a 0，且a为常数时，若函数h(x^x lg(x) 1对任意的成立，试用a表示出b的取值范围；(2)当 a 时，若f(x V)_2 g(x)对x € [0 ,+s)恒成立，其中a,b・R\ x2 _ 4,总有. 0X1 —X2求a的最小值.理科数学月考题答案1~5 AAAAB 6~10 BBBDB 11~12BD3n+ -713. a n 2兀14.614. m _015. -1,e17. (1 ) 18. (1 )A = 75 , B = 45 (2) BD - 13a n =2n -1,6 二4n-1 3nJ⑵ T n = 5 4n-5 2n.319.(1)6(2) 220.(1)O n =n 1(2)' max = 1611 21. a 二y = x —一2222.(1)由题意，得1 3h(x)二xg(x) x 二㊁ax2-bx x在x・[4,；)上单调递增二h'(x)二ax2-2bx 1 _0 在x [4,：：)上恒成立22b乞童-=ax -在x・[4,；)上恒成立x x构造函数F(x) =ax 1 (a 0), x (0,：：)x2 .贝V F '(x)二a -吉二ax2Tx x••• F(x)在(0, a)上单调递减，在(a,；)上单调递增a a(i) 当4，即0 ::：a ：：：去时，F(x)在[4,―彳)上单调递减，在(一乩，；)上单调递增a 16 a a•〔F(x) Lin =F(严)=2 a• 2b岂I.F(x) m in，从而 (」：，• a](ii) 当—-4，即a 一±时，F(x)在(4 ,+s )上单调递增a 162b <F (4) =4a 1，从而b (_：：,2a Q] 8 分4 8综上，当0 :：:a ::: 16 时，b (_：：, a] , a 时，b (_：：, 2a ；]；(2)当b=-|a时，构造函数G(x) =f (x 1) —3g(x) =(x 1)ln(x 1)—*ax2—ax, x [0,：：)由题意，有G(x)乞0对x・[0, •：:)恒成立T G '(x) =ln(x 1) 1 _ax -a, x 二[0,：：)(i) 当a ^0 时，G'(x)=ln(x 1) 1 —a(x 1) 0••• G(x)在[0,;)上单调递增••• G(x) G(0) =0在(0,；)上成立，与题意矛盾.(ii) 当a 0 时，令(x) =G '(x), x [0,二)则：'(x) 斗-a，由于斗(0,1)x +1 x +1①当a _1时，'(X)二丄—a：：：0 , (x)在X [0,二)上单调递减x +1•(X)乞(0) =1 —a 乞0，即G'(x)E0在X [0,：：)上成立• G(x)在x三[0,亠)上单调递减• G(x)乞G(0)=0在[0,；)上成立，符合题意7伙一(1一1)]②当0 ：：a ：：1 时，：'(x)a a,x：=[0,；)x +1 x +1•- (x)在x [0, 1 -1)上单调递增，在x ({ -1,=)上单调递减T (0) =1 -a 0•- (x) 0在x [0, 1 -1)成立，即G '(x) 0 在x [0, 1 -1)成立a a• G(x)在x [0,丄一1)上单调递增a• G(x) G(0) =0在x (0,丄-1)上成立，与题意矛盾a综上，a的最小值为1。
2019届北京市101中学高三10月月考数学(理)试卷及解析
2019届北京市101中学高三10月月考
数学（理）试卷
一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A. 1
B. 0
C.
D. -1
【答案】D
【解析】
设
，得到：+
∴，且
解得：
故选：D
2.已知为等差数列，为其前n 项和，若，则（）
A. 17
B. 14
C. 13
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式求出公差d ，再利用通项公式求。
【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，
，
解得，，
所以，故答案选A。
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
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北京101中学2019高三下开学检测--数学(理)
北京101中学2019高三下开学检测--数学（理）数学〔理科〕试题本试卷共4页，分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分.共150分.考试时间120分钟.第一卷〔选择题 共60分〕本卷须知1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干净后，再改涂其它答案标号.【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.全集合2{|log ,1}U y y x x ==>，集合1{|,3}P y y x x==>，那么P 等于 A.1[,)3+∞ B.1(0,)3C.(0,)+∞D.1(,0][,)3-∞+∞ A.20,0x x x ∃>-> B.20,0x x x ∃≤-> C.20,0x x x ∀<-> D.20,0x x x ∀≤->3.函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是4.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为 A.12B.13 C.14D.165.函数231,1()||,1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩假设((0))4f f <，那么a 的取值范围是 A.〔-6，-4〕B.〔-4，0〕C.〔-4，4〕D.〔0，34〕 6.假设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8320S S -=，那么11S 的值为A.44B.22C.2203D.887.圆22240x y x my +-+-=上两点M 、N 关于直线20x y +=对称，那么圆的半径为 A.9B.3C.D.28.关于x 、y 的不等式组044040x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，所表示的平面区域的面积为16，那么k 的值为A.-1B.0C.1D.39.函数()(xf x e x e =-为自然对数的底数〕在区间[-1，1]上的最大值是 A.11e+B.1C.1e +D.1e -10.点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，那么12d d +的最小值是B.D.311.偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()1f x x =-，那么关于x 的方程1()()9xf x =，在[0,3]x ∈上解的个数是A.1B.2C.3D.412.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如下图的坐标系，设秒针尖位置(,)P x y .假设初始位置为01)2P ，当秒针从0P 〔注此时0t =〕正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为A.ππsin()306y t =+B.ππsin()606y t =--C.ππsin()306y t =-+D.ππsin()303y t =-- 第二卷〔非选择题共90分〕本卷须知1.将第二卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.13.向量a ，b 满足|a|=2，|b|=1，a 与b 的夹角为60，那么|a-2b|等于.14.关于x 的一次函数y=mx+n.设集合P={-2，1，3}和Q={-1，-2，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，那么函数y=mx+n 的图象不经过第二象限的概率是.15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦距为2c ，且223a c =,双曲线上一点P 满足1212(PF PF F =、2F 为左、右焦点〕，那么12||||PF PF =. 16.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出以下四个命题. ①假设,,m n m n αα⊥⊥⊄，那么n ∥α； ②假设αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，那么n α⊥或n β⊥；③假设m β⊥，αβ⊥，那么m ∥α； ④假设,,m n m n αβ⊥⊥⊥，那么αβ⊥.其中正确命题的序号是〔把所有正确命题的序号都填上〕.【三】解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值12分〕函数cos2()πsin()4xf x x =-.〔Ⅰ〕化简函数()f x 的解析式，并求其定义域和单调区间； 〔Ⅱ〕假设4()3f α=，求sin2α的值. 18.〔本小题总分值12分〕如下图，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，90BAC ACD ∠=∠=,AE ∥CD,22DC AC AE ===.〔Ⅰ〕求证：AF ∥平面BDE ；〔Ⅱ〕求二面角B DE C --的余弦值. 19.〔本小题总分值12分〕设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，122(n n a S n +=+∈N *〕.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .20.〔本小题总分值12分〕某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x 元；③电力与机器保养等费用为230600x x -+元.其中x 是该厂生产这种产品的总件数.〔Ⅰ〕把每件产品的成本费()P x (元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；〔Ⅱ〕如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为()Q x 〔元〕，且21()124030Q x x =-.试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润.〔总利润=总销售额-总的成本〕 21.〔本小题总分值12分〕如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆22:20F x y x +-=的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.椭圆G 与直线:10l x my --=相交于A 、B 两点. 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕求AOB 面积的最大值； 22.〔本小题总分值14分〕定义在实数集上的函数(),nn f x x n =∈N *，其导函数记为()n f x '，且满足222121221()()[(1)]f x f x f ax a x x x -'+-=-，其中a 、1x 、2x 为常数，12x x ≠.设函数()g x = 123()()ln (),(f x mf x f x m +-∈R 且0)m ≠.〔Ⅰ〕求实数a 的值；〔Ⅱ〕假设函数()g x 无极值点，其导函数()g x '有零点，求m 的值； 〔Ⅲ〕求函数()g x 在[0,]x a ∈的图象上任一点处的切线斜率k 的最大值.参考答案及评分标准【一】选择题〔每题5分，共60分〕 ADBABABCDCDC【二】填空题〔每题4分，共16分〕 13.214.4915.416.①④ 【三】解答题：本大题共6小题，共74分. 17.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕22cos sin()ππsin cos cos sin44x xf xx x-=-, (2)分πcos)2sin()4x x x==+=+，…………………………4分由题意πsin()04x-≠，∴ππ(4x k k-≠∈Z〕，其定义域为π{|π,4x x k k≠+∈Z}.………………………………………………………………6分函数()f x在3ππ(2π,2π)44k k k-+∈Z上单调递增；……………………………………………7分在π5(2π,2ππ)44k k k++∈Z上单调递减.………………………………………………………8分〔Ⅱ〕∵4()cos)3fααα=+=，∴sin cos3αα+=,…………………………10分∴281sin2(sin cos)1199ααα=+-=-=-.…………………………………………………12分18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕取BD的中点P，连结EP、FP，那么PF12DC，又∵EA12DC，∴EA PF，……………………2分∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，又∵EP⊂面,BDE AF⊄平面BDE，∴AF∥面BDE.…………………………………………4分〔Ⅱ〕以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如下图坐标系.…………………5分由22DC AC AE===可得：A〔2，0，0，〕，B〔2，2，0〕，E〔2，0，1〕，D〔0，0，2〕那么(A B== (6)分∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE面,ABC AC AB AC=⊥，∴AB⊥面.ACDE∴(0,2,0)AB =是面CDE 的一个法向量.………………………………………………………8分设面BDE 的一个法向量n=(x,y,z),那么n BE ⊥，n BD ⊥.∴00,BE BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即202220,y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩整理，得200.y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1y =，那么2,1,z x ==所以n=(1,1,2)是面CDE 的一个法向量.………………………………………………………10分故cos ,6||||AB AB AB 〈〉===n nn . 图形可知二面角B DE C --的平面角π(0,)2θ∈，所以其余弦值为6.……………………12分19.〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由122(n n a S n +=+∈Z *〕得122(n n a S n -=+∈Z *，2n ≥〕， (2)分两式相减得：12n n n a a a +-=，……………………………………………………………………4分即13(n n a a n +=∈Z *，2n ≥〕，又2122,a a =+∵{}n a 是等比数列，所以213a a =那么11223a a +=，∴12a =，∴123n n a -=.………………………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知123n n a +=，123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++∴1431n n d n -⨯=+，……………………………………………………………………………………8分 令123111n T d d d =+++…1nd +，那么012233434343n T =+++⨯ (1)143n n -++① 1212234343n T =++ (11)4343n nn n -+++②…………………………………………………10分①-②得01222113434343n T =+++ (111)4343n nn -++-111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=--……………………………………………………12分20.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕2750020306008100()5040x x x P x x x x x+-+=++=++，……………………3分由基本不等式得()40220P x ≥=，………………………………………………5分当且仅当8100x x =，即90x =时，等号成立 ∴8100()40P x x x=++，每件产品的成本最小值为220元.…………………………………6分〔Ⅱ〕设总利润为()y f x =元，那么321()()()12008100,30y f x xQ x xP x x x x ==-=--+-…………………………………8分22111()21200(2012000)(100)(120)101010f x x x x x x x '=--+=-+-=--+， 那么当0100x <<时，()0f x '>，当100x >时，()0f x '<，∴()f x 在〔0，100〕单调递增，在〔100，170〕单调递减，………………………………11分∴当100x =时，3max 1205700(100)(100)100001200008100303y f ==--+-=， 故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为2057003元.………………………………12分21.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>.圆F 的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)F ，圆与x 轴的交点为〔0，0〕和〔2，0〕.………………………………………………2分由题意2a =，半焦距1c =.∴222413b a c =-=-=. ∴椭圆方程为22143x y +=.…………………………………………………………………………4分 〔Ⅱ〕设1122(,),(,)A x y B x y 由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得22(34)690m y my ++-=. ∴12122269,3434m y y y y m m --+==++.……………………………………………………………6分12||y y -==121||||2AOBSOF y y =-=.…………………………………………………………8分t =，那么221,1,t m t ≥=-∴2631AOBtSt =+22222226(31)(6)6(13)(31)(31)AOBt t t S t t +--'==++.…………………………………………………………10分∵1t ≥，∴0AOB S '<.∴AOBS 在[1,)t ∈+∞上是减函数，∴当1t =时，AOB S取得最大值，最大值为32.………………………………………………12分22.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为222(),()2f x x f x x '==，所以222112212[(1)]x x ax a x x x -+-=-，整理得：12()(21)0,x x a --=又12x x ≠，所以12a =.……………………………………………………………………………3分〔Ⅱ〕因为23123(),(),()f x x f x x f x x ===，所以2()g x =+.………………………………………………………………4分由条件23230,()21mx x x g x mx x x+-'>=-+=.……………………………………………5分因为()g x '有零点而()g x 无极值点,说明该零点左右()g x '同号，又0m ≠，所以二次方程2230mx x +-=有相同实根，即1240,m ∆=+=解得124m =-.………………………………………………………………………………………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，2133,()21,22a k g x mx k m x x ''===-+=+，因为1(0,]2x ∈，所以23x ∈[12，+∞]，所以①当60m -≤<或0m >时，0k '≥恒成立，所以()k g x '=在〔0，12]上递增， 故当12x =时，k 取得最大值，且最大值为5m -，……………………………………………10分②当6m <-时，由0k '=得x =，而102<<.假设x ∈，那么0k '>，k 单调递增；假设1]2x ∈，那么0k '<，k 单调递减.故当x =时，k 取得最大值，且最大值等于223113m -+=- (13)分综上，max 5,(600)16)m m m k m --≤<>⎧⎪=⎨-<-⎪⎩或 (14)分。
2019届高三数学上学期10月联考试题 理新人教版
2019届高三数学上学期10月联考试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}(){}20,lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则AB =( )A.1[0,)2B.[]0,1C.1(,1]2D.1(,)2+∞2. 已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足2z+z = 3-2i ，则z=( ) A ．l-2i B ．l+2i C ．2-i D ．2+i3. 已知,a R ∈则“01aa ≤-”是“指数函数x y a =在(,)-∞+∞上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．已知lg a ，lgb 是方程22410x x -+=的两个根，则2(lg )a b的值是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．若函数y x mx m =-+22在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.2m ≥ B.1m ≥ C.1m ≤ D.2m ≤6. 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．127．若()()c o s ()f x x x ππ=--，将其图像向左平移π个单位得到函数()g x ，则函数()g x 的导函数()g x '等于( )A. 1sin x -B. sin x x -C. sin cos x x x -D. cos sin x x x -8. 记不等式组1033010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意()00,x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是( )A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]1,4-D ．(],1-∞- 9. 已知0,0a b >>，则11a b++( ) A ．2B．C ．4D ．510．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并且1(+2)()f x f x =-，当23x ≤≤时，()f x x =则(104.5=f ）( ) A ．0.5-B ．0.4-C ．0.5D ．2.511．已知22log aa =-，22log bb -=-，22logc c -=，则a ，b ，c 的大小是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 12.已知()f x =(())f f x x =有解，则实数a 的取值范围是( )A 1(,]8-∞B 1[,)8+∞C 1(,]4-∞ D [1,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届高三10月金太阳联考理科数学试卷(含答案)
2019届高三10月金太阳联考试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}4,0A x y x B x x ==-=<，则A C B A ．{0,4} B ． (0,4] C ．[0,4] D ．(0,4)2．过点（2，1）且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为A ．2x -3y -1=0B ．2x +3y -7=0C ．3x -2y -4=0D ．3x +2y -8=03．若函数()f x 的定义域为［1，8］，则函数(2)3x f x -的定文域为 A ．(0,3) B ．[1,3)(3,8] C ．[1,3) D ．[0,3)4．已知数列{}n a 满足111,0,1n n n a a a a +=>-=，那么使32n a <成立的n 的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．75．若命题“2000,220x R x mx m ∃∈+++<”为假命题，则m 的取值范围是A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．(,1)(2,)-∞-+∞C ．[1,2]-D ．(1,2)-6．将函数sin(3)y x ϕ=+的图象向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则6πϕ=”是()f x 是偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必婴不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条仲7．函数2()24x x f x =-的图象大致为8．已知数列{}n a 满足2(1)211131,log n n n a a a -++==+，则41a =A ．1-B ．2-C ．3-D ．4031log -9．已知1,,ln 4ln b a a b a b a b >>==，则a b=A B ． 2 D ．.410．在斜△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，若CD 是角C 的角平分线，且CD ＝b ，则cos C A ．34 B ．18 C ．23 D ．1611．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++= C ．2499a a a a +++= D ．12398100100S S S S S ++++=- 12．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'()()2,(0)5f x f x f +>=，，则不等式2()42x f x e -->的解集为A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,0)(1,)-∞+∞D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小題，毎小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上13．在△OAB 中，点C 满足4,AC CB OC xOA yOB =-=+，则y －x ＝________。
北京一零一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析
北京一零一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a，侧棱长为2a，其体积为，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )A. 4B.C. 8D.参考答案：B2. 如图，在三棱锥中，面，，，，，则（）A．B．C．D．参考答案：D根据题意可得，设，则，，在中，，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．3. 若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B4. 设复数满足，则（）A．B．C．D．参考答案：A5. 已知向量，若，则实数（）A. 2B. －2C.D.参考答案：D【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．【详解】向量（2，﹣1），（1，λ），则（4，﹣1+2λ），（3，﹣2﹣λ），又（）∥（），所以4（﹣2﹣λ）﹣3（﹣1+2λ）＝0，解得λ．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．6. 设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e 是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3参考答案：C【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．7. 若展开式各项系数和为256，设为虚数单位，复数的运算结果为（）A．4 B．-4 C．2 D．-2参考答案：B8. 已知，，若，那么与在同一坐标系内的图像可能是（）参考答案：C略9. 过椭圆+=1（0<b<a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是（）A．ab B．ac C．bc D．b2参考答案：C略10. 已知则A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调减区间为 .参考答案：（-1,11）12. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足，则______参考答案：【分析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【详解】解：，可得时，，时，，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.13. 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．参考答案：2略14. 某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第（）项能力特征用表示，若学生的十二项能力特征分别记为，，则两名学生的不同能力特征项数为（用表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有名学生两两综合能力差异较大，则这名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．参考答案：22设第三个学生为则不同能力特征项数总和恰为22 ，所以最小值为22 ．15. 下面有六个命题：①函数在第一象限是增函数.②终边在坐标轴上的角的集合是③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点.④函数⑤的图象中一条对称轴是⑥函数的最小正周期是。
2019-2020学年北京市101中学高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a2-2}.若A∩B={-1.2}.则a的值为（）A.-2或1B.0或1C.-2或-1D.0或-22.（单选题.3分）已知向量a⃗ =（1.-2）. b⃗⃗ =（m.4）.且a⃗ || b⃗⃗ .那么2 a⃗ - b⃗⃗等于（）A.（4.0）B.（0.4）C.（4.-8）D.（-4.8）3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √334.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-35.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数6.（单选题.3分）在△ABC 中.“cosA ＜cosB”是“sinA ＞sinB”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题.3分）设x 1.x 2.x 3均为实数.且 (13)x 1=log 2（x 1+1）. (13)x 2=log 3x 2. (13)x 3=log 2x 3.则（ ） A.x 1＜x 3＜x 2 B.x 3＜x 2＜x 1 C.x 3＜x 1＜x 2 D.x 3＜x 1＜x 28.（单选题.3分）设函数f （x ）=sin （ωx+ π5 ）（ω＞0）.已知f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f （x ）在（0.2π）有且仅有3个极大值点； ② f （x ）在（0.2π）有且仅有2个极小值点； ③ f （x ）在（0. π10 ）单调递增； ④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A 0.A 1.A 2.B 1.B 2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列.其中An （n∈N .n≤8）系列的幅面规格为：① A 0.A 1.A 2.….A 8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为 x ：y =1：√2 ；② 将A 0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 1规格.A 1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 2规格.….如此对开至A 8规格．现有A 0.A 1.A 2.….A 8纸各一张．若A 4纸的宽度为2dm.则A 0纸的面积为___ dm 2；这9张纸的面积之和等于___ dm 2．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）= {k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n }中.a 3=6.a 5+a 8=26． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n =2a n +n .求数列{b n }的前n 项和S n ．16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．17.（问答题.0分）已知函数 f (x )=cos2x √2sin(x+π4)+2sinx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及其单调增区间； （Ⅱ）当 x ∈[π2，2π3] 时.对任意t∈R .不等式mt 2-mt+2≥f （x ）恒成立.求实数m 的取值范围．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时.记f（x）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．垂直.求a的值；（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.若A∩B={-1.2}.则a 的值为（ ） A.-2或1 B.0或1 C.-2或-1 D.0或-2【正确答案】：A【解析】：由交集定义得到 {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 .由此能求出a 的值．【解答】：解：∵集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.A∩B={-1.2}. ∴ {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 . 解得a=-2或a=1． 故选：A ．【点评】：本题考查a 的值的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意交集定义的合理运用． 2.（单选题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .那么2 a ⃗ - b ⃗⃗ 等于（ ） A.（4.0） B.（0.4） C.（4.-8） D.（-4.8） 【正确答案】：C【解析】：向量是以坐标形式给出的.首先运用共线向量基本定理求出m.然后运用向量的数乘运算和向量的减法运算求解．【解答】：解：由向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .所以.1×4-m×（-2）=0.所以m=-2． 则 b ⃗⃗=(−2，4) .所以 2a ⃗−b⃗⃗=2(1，−2)−(−2，4)=(4，−8) ．故选：C．【点评】：本题考查了向量共线的条件.已知向量a⃗=(x1，y1) .向量b⃗⃗=(x2，y2) .则a⃗∥b⃗⃗⇔x1y2-x2y1=0．3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √33【正确答案】：B【解析】：直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】：解：已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .则：sinα=√2√3=−√63．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题题型．4.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-3【正确答案】：D【解析】：首先利用关系式的变换.构造新数列.进一步求出数列的通项公式.最后确定结果．【解答】：解：数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.所以a n+1+3=2（a n+3）.即a n+1+3a n+3=2（常数）.所以数列{a n+3}是以a1+3=4为首项.2为公比的等比数列．所以a n+3=4×2n−1 .整理得a n=2n+1−3 .所以a101=2102−3．故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式.构造新数列.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．5.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数【正确答案】：C【解析】：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.考察四个选项.本题要研究函数的奇偶性.故对所给的x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】：解：∵对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.∴令x1=x2=0.得f（0）=-1∴令x1=x.x2=-x.得f（0）=f（x）+f（-x）+1.∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1].∴f（x）+1为奇函数．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质和应用.解题时要认真审题.仔细解答．6.（单选题.3分）在△ABC中.“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.得出答案．【解答】：解：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.故“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的充要条件.故选：C．【点评】：本题考查四个条件的判断.并考查了解三角形问题.属于基础题．7.（单选题.3分）设x1.x2.x3均为实数.且(13)x1=log2（x1+1）. (13)x2=log3x2. (13)x3=log2x3.则（）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x2＜x1C.x3＜x1＜x2D.x3＜x1＜x2【正确答案】：A【解析】：利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象.即可得出结论．【解答】：解：如图所示.由图象可知：x1＜x3＜x2．故选：A．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质.属于基础题．8.（单选题.3分）设函数f（x）=sin（ωx+ π5）（ω＞0）.已知f（x）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f（x）在（0.2π）有且仅有3个极大值点；② f（x）在（0.2π）有且仅有2个极小值点；③ f（x）在（0. π10）单调递增；④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象.可判断 ① 和 ② .根据f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点.可得5π≤2πω+ π5 ＜6π.解出ω.然后判断 ③ 是否正确即可得到答案．【解答】：解：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象如图.其中 m ⩽2π＜n. 显然 ① 正确. ② 错误；当x∈[0.2π]时.ωx+ π5∈[ π5.2πω+ π5]. ∵f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点. ∴5π≤2πω+ π5 ＜6π. ∴ 125≤ω＜2910 .故 ④ 正确.因此由选项可知只需判断 ③ 是否正确即可得到答案. 下面判断 ③ 是否正确. 当x∈（0. π10 ）时.ωx+ π5 ∈[ π5 .(ω+2)π10]. 若f （x ）在（0. π10 ）单调递增. 则 (ω+2)π10＜π2.即ω＜3.∵125≤ω＜2910.故 ③ 正确． 故选：D ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质.关键是数形结合的应用.属中档题． 9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：设z=a+bi （a.b∈R ）.代入z 2=-3.由复数相等的条件列式求得a.b 的值得答案．【解答】：解：由z+ 3z=0. 得z 2=-3.设z=a+bi （a.b∈R ）.由z 2=-3.得（a+bi ）2=a 2-b 2+2abi=-3.即 {a 2−b 2=−32ab =0.解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数相等的条件以及复数模的求法.是基础题．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π12【解析】：由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式.再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数图象的对称性.得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12cos2x= √32sin2x+ 12cos2x=sin （2x+ π6）. 若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后.可得y=sin （2x-2φ+ π6 ）的图象. 根据所得的图象关于原点对称.可得-2φ+ π6 =kπ.k∈Z . 则φ的最小值为 π12. 故答案为： π12 ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的图象的对称性.属于中档题．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ． 【正确答案】：[1]3n ＞n 2-1（答案不唯一）【解析】：设f（n）=a n-n2+1.令f（n）单调递增.且f（1）＞0即可找出a满足的条件得出答案．【解答】：解：不妨将不等式变为a n＞n2-1.令f（n）=a n-n2+1（n∈N*）.则f′（n）=a n lna-2n.显然当a＞e时.f′（n）＞e n-2n.再令g（n）=e n-2n（n∈N*）.则g′（n）=e n-2≥e-2＞0.∴g（n）单调递增.故g（n）≥g（1）=e-2＞0.即f′（n）＞0.∴f（n）单调递增.故f（n）≥f（1）=a＞0.∴当a＞e时.a n＞n2-1恒成立.故答案为：3n＞n2-1（答案不唯一）．【点评】：本题考查函数单调性与最值.导数与函数恒成立问题.属于中档题．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A0.A1.A2.B1.B2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列.其中An（n∈N.n≤8）系列的幅面规格为：① A0.A1.A2.….A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x：y=1：√2；② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A2规格.….如此对开至A8规格．现有A0.A1.A2.….A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm.则A0纸的面积为___ dm2；这9张纸的面积之和等于___ dm2．【正确答案】：[1]64 √2 ; [2] 511√24【解析】：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由题意可得y4=2 √2 .再由等比数列的通项公式和面积公式.以及求和公式.即可得到所求值．【解答】：解：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由A4纸的宽度为2dm.且纸张的幅宽和长度的比例关系都为x：y=1：√2 .可得y4=2 √2 .由题意可得y0=2 √2•24=32 √2 .即有A0纸的面积为32 √2 ×2=64 √2 dm2；由A0.A1.A2.….A8纸9张纸的面积构成一个以64 √2为首项. 12为公比的等比数列.可得这9张纸的面积之和为64√2(1−129)1−2= 511√24dm2．故答案为：64 √2 . 511√24．【点评】：本题考查数列模型的应用题的解法.考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：设 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .根据三点共线得出a+b= 1λ.从而得出答案．【解答】：解：设 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λa OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λb OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵A .B.Q 三点共线.∴λa+λb=1. ∴a+b= 1λ .∵Q 在圆外.∴λ＞1.∴0＜ 1λ ＜1. 即0＜a+b ＜1． 故答案为：（0.1）．【点评】：本题考查了平面向量的基本定理.向量的共线定理.属于基础题．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）={k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2， 其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][ 13 . √24 ）【解析】：由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案．【解答】：解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图.由图可知.函数f（x）与g（x）=- 12（1＜x≤2.3＜x≤4.5＜x≤6.7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则f（x）= √1−(x−1)2 .x∈（0.2]与g（x）=k（x+2）.x∈（0.1]的图象有2个不同交点.由（1.0）到直线kx-y+2k=0的距离为1.√k2+1=1 .解得k= √24（k＞0）.∵两点（-2.0）.（1.1）连线的斜率k= 13.∴ 1 3≤k＜√24．即k的取值范围为[ 13 . √24）．故答案为：[ 13 . √24）．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n}中.a3=6.a5+a8=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2a n+n .求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差.然后求解数列的通项公式．（Ⅱ）化简数列的通项公式.利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1.公差为d.则 {a 1+2d =6a 1+4d +a 1+7d =26解得 {a 1=2d =2．所以a n =a 1+（n-1）d=2n ． …（7分） （Ⅱ）由（I ）可得 b n =22n +n =4n +n . 所以 s n =4(1−4n )1−4+n (1+n )2=4n+1−43+n+n 22． …（13分）【点评】：本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用.考查计算能力． 16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理.同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA =√3 .结合范围 0＜A ＜π2 .可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理可得c 2-5c+4=0.解得c 的值．【解答】：（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中.由正弦定理 a sinA =bsinB .……（2分） 得asinB=bsinA ．又 asinB =√3bcosA .得 tanA =√3 ．……（4分） 由于 0＜A ＜π2 .所以 A =π3．……（6分） （Ⅱ） a =√21 .b=5. A =π3.在△ABC 中.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA.……（7分） 得 21=52+c 2−2•5•c •12 .即c 2-5c+4=0. 解得c=1.或c=4．……（11分） 当c=1时. cosB =2√21)222•1•√210 ．此时.△ABC为钝角三角形.舍去．经检验.c=4满足题意．……（13分）【点评】：本题主要考查了正弦定理.同角三角函数基本关系式.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．17.（问答题.0分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)+2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间；（Ⅱ）当x∈[π2，2π3]时.对任意t∈R.不等式mt2-mt+2≥f（x）恒成立.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）化简f（x）解析式.根据正弦函数的性质求出单调区间和周期；（II）求出f（x）的最大值.转化为二次函数恒成立问题解决．【解答】：解：（I）f(x)=√2sin(x+π4)2sinx =√2(√22sinx+√22cosx)+2sinx = (cos2x−sin2x)sinx+cosx+2sinx =sinx+cosx= √2sin(x+π4) .函数f（x）的定义域为{x|x≠−π4+kπ，k∈Z} .周期T=2π|ω|=2π1=2π .令−π2+2kπ≤x+π4＜2kπ .解得：−3π4+2kπ≤x＜−π4+2kπ .令2kπ＜x+π4≤π2+2kπ .解得：−π4+2kπ＜x≤π4+2kπ .所以f（x）的递增区间为[−3π4+2kπ，−π4+2kπ)，(−π4+2kπ，π4+2kπ](k∈Z)．（Ⅱ）∵ x∈[π2，2π3] .∴x+ π4∈[ 3π4. 11π12].∴当x=π2时.f（x）取得最大值1.所以mt2-mt+2≥1恒成立.即mt2-mt+1≥0恒成立.① 当m=0时.显然成立；② 当m≠0时.若对于t∈R.不等式mt2-mt+1≥0恒成立. 只需△=m2-4m≤0成立.且m＞0即可.解得：0＜m≤4.综上.m 的取值范围是0≤m≤4．【点评】：本题考查了三角恒等变换.正弦函数的性质.函数恒成立问题.属于中档题． 18.（问答题.0分）已知函数f （x ）=2x 3-ax 2+2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当0＜a ＜3时.记f （x ）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出原函数的导函数.得到导函数的零点.对a 分类求解原函数的单调性； （2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a3 ）上单调递减.在（ a3 .1）上单调递增.求得f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．得到M-m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3.分类求得函数值域.可得M-m 的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x ）=6x 2-2ax=2x （3x-a ）. 令f′（x ）=0.得x=0或x= a 3 ．若a ＞0.则当x∈（-∞.0）∪（ a 3，+∞ ）时.f′（x ）＞0；当x∈（0. a 3）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞.0）.（ a3，+∞ ）上单调递增.在（0. a3 ）上单调递减； 若a=0.f （x ）在（-∞.+∞）上单调递增；若a ＜0.则当x∈（-∞. a3 ）∪（0.+∞）时.f′（x ）＞0；当x∈（ a3 .0）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞. a3 ）.（0.+∞）上单调递增.在（ a3 .0）上单调递减；（2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a 3）上单调递减.在（ a 3.1）上单调递增.∴f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．于是.m= −a 327 +2.M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．∴M -m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3 ．当0＜a＜2时.可知2-a+ a 327单调递减.∴M-m的取值范围是（827，2）；当2≤a＜3时. a 327单调递增.∴M-m的取值范围是[ 827.1）．综上.M-m的取值范围[ 827.2）．【点评】：本题主要考查导数的运算.运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查分类讨论的数学思想方法.属难题．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.求a的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.列出方程即可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x +lnx) .求出导函数.构造函数设ℎ (x)=a+2x−1x2+lnx利用函数的导数判断导函数的单调性以及函数的符号.求解函数的极值.转化求解即可．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f′(x)=e x•(a+lnx)+e x•1x =e x•(a+1x+lnx)．[（2分）]依题意.有 f'（1）=e•（a+1）=e.[（3分）] 解得a=0．[（4分）]（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x+lnx) .所以g′(x)=e x•(a+1x +lnx)+e x•(1x−1x2)=e x•(a+2x−1x2+lnx)．[（6分）]因为e x＞0.所以g'（x）与a+2x −1x2+lnx同号．设ℎ (x)=a+2x −1x2+lnx .[（7分）]则ℎ′(x)=x 2−2x+2x3=(x−1)2+1x3．所以对任意x∈（0.+∞）.有h'（x）＞0.故h（x）在（0.+∞）单调递增．[（8分）]因为a∈（0.ln2）.所以h（1）=a+1＞0. ℎ(12)=a+ln12＜0 .故存在x0∈(12，1) .使得h（x0）=0．[（10分）]g（x）与g'（x）在区间(12，1)上的情况如下：所以g（x）在区间(2， x0)上单调递减.在区间（x0.1）上单调递增．所以若a∈（0.ln2）.存在x0∈(12，1) .使得x0是g（x）的极小值点．[（11分）]令h（x0）=0.得a+lnx0=1−2x0x02.所以f(x0)=e x0•(a+lnx0)=e x0•1−2x0x02＜0．[（13分）]【点评】：本题考查函数的导数的应用.切线方程以及函数的极值的求法.函数的单调性的判断.考查转化思想以及构造法的应用.考查计算能力．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用定义性数列的应用求出数列的各项；（2）利用构造关系式的变换.假设法的应用求出结果；（3）利用定义性数列的应用求出结果．【解答】：解：（1）a4=2a2=4.a2=2.由于a2＜a3＜a4.所以a3=3.a54=2a32=4a15=8a8=16a4=64.a128=2a54=128.由题意可知：a54＜a55＜…＜a101＜a102＜…＜a127＜a128.且n∈N+.整理得a101=101．（2）数列为“跳级数列”.∀n∈N*.a n+1-a n为正整数.记s=min{a n+1-a n|n∈N*}.可知s∈N*.且p＞s≥a2-a1=a1．记m∈{n∈N*|s=a n+1-a n）.对于质数p.必存在k.使得2k＞p（k∈N*）．反复应用a2n=2a n.得a2k(m+1)−a2k m=2(a2(k−1)(m+1)−a2(k−1)m)=⋯=2k−1(a2(m+1)−a2m)=2k s另一方面.因为对于满足2k m≤n≤2k（m+1）-1的任意n.均有a n+1-a n≥s．所以对于所有2k m≤n≤2k（m+1）-1.都有a n+1-a n=s（利用迭加）．这表明.数列a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k(m+1)是以s为公差的等差数列．假设对于整数对（i.j）（0≤i＜j≤p-1）.均有a2k m+j - a2k m+i是质数p的整数倍.即a2k m+j - a2k m+i =（j-i）s必为p的整数倍.0＜j-i＜p.且0＜s≤a2-a1=a1＜p同时成立.知这与p为质数矛盾．由此可知. a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k m+p−1除以p所得余数互不相同．（构造一个p的完全剩余系）所以必有一个是p的倍数．（3）对于正整数n.设k n为非负整数.且满足2k n≤n＜2k n+1 .则：2k n≤2n＜2k n+1×2 .即2k n+1≤2n＜2k n+2．根据定义有2k2n≤2n＜2k2n+1 .由k n≤k n+1.且k2n=k n+1.令a n=np+ 2k n .则a2n=2np+ 2k2n =2np+ 2k n+1 = 2(np+2k n) =2a n.则显然{a n}为跳级数列.又p为奇质数.于是2k n不为p的倍数.因此a n也不为p的倍数．【点评】：本题考查的知识要点：构造关系式的变换.假设法的应用.定义性数列的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．。
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北京一零一中2018-2019学年度第一学期高三数学（理）统练五一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D2.已知为等差数列，为其前n项和，若，则（）A. 17B. 14C. 13D. 3【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式求出公差d，再利用通项公式求。
【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，，解得，，所以，故答案选B。
【点睛】本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式，关键是掌握两个公式，准确进行基本量计算，属于基础题。
3.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充要条件的定义进行判断即可。
【详解】由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件。
答案选C。
【点睛】本题考查充分必要条件的定义，不等式的性质，属于基础题。
4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为结果得到函数已知，可以逆向思考，反向得到函数的图像，确定相等关系。
【详解】由题意知，，其图像向左平移a个单位得到函数，而函数，所以有，取得。
答案选C。
【点睛】由函数的图像经过变换得到的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言，故先伸缩后平移时要把x 前面的系数变为1。
当前后两个函数名称不同的，可先运用诱导公式，化为同名函数，再进行图像平移。
5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】C【解析】【分析】可以分两步进行：（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，即可得到答案。
【详解】（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，不同的分配方法有种。
答案选C。
【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，求解的关键是正确理解“4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读”这个条件，本题属于一个中档题。
6.已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，由余弦定理，，故，有，故.故选：B7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数（）A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论。
【详解】如图，由图像可知，当时，单调递增，所以有且。
对于=，有，所以在时单调递减；当时，单调递减，所以有且。
有，所以在时单调递增；所以是的极小值点。
同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点。
故答案选C。
【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于基础题。
8.已知非空集合A，B满足以下两个条件：①；②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【解析】【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果。
【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1），；（2），；（3），；（4），。
共计4种可能。
3、可以推测集合A中不可能有3个元素；4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可。
共计4种可能。
5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可。
共1种可能。
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10。
答案选A。
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键。
二、填空题共6小题。
9.已知集合，则M∩N＝____________.【答案】【解析】【分析】分别化简集合M与集合N，取二者交集即可。
【详解】化简集合M和N得，，或，所以=。
【点睛】本题考查集合的化简与集合的交集运算，属于基础题。
10.在等比数列中，，且，则的值为____________.【答案】5【解析】【分析】设等比数列的公比为q，结合条件建立关于q的方程，求出和即可。
【详解】设等比数列的公比为q，则有解得或，所以或故=5。
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及基本量的计算，属于基础题，较简单。
11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为____________.【答案】0【解析】【分析】不等式恒成立等价于恒成立，因此可构造函数，求其最值，从而找到命题不成立的具体值。
【详解】设函数，则有，当时，有，单调递减；当时，有，单调递增；故为最小值点，有。
因此，当时，命题不能成立。
故能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为0【点睛】说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键。
在处理时常要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件。
12.已知向量a，b的夹角为60°，，则＝____________.【答案】【解析】【分析】运用公式，将模的运算化为向量数量积计算，再开方即可。
【详解】因为===12=。
【点睛】平方法是计算向量模的常用方法，它是运用公式，将模的运算化为向量数量积计算，再开方。
学生较易在最后求出之后忘记开方，要特别注意。
13.在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF.设，则____________；＝____________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】首先以E为原点，BC为x轴，EA为y轴，建立坐标系，分别表示出相关各点坐标及相关向量的坐标，将问题中的向量运算转化为坐标运算。
【详解】首先以E为原点，BC为x轴，EA为y轴，建立坐标系，则，，，，；，，，。
设，，则，由得，=2，可得，，所以。
因为，所以，解得，所以。
＝=。
【点睛】坐标法是解决平面向量问题的常用方法。
其过程如下：（1）结合图形，适当建立坐标系；（2）确定相关点的坐标；（3）计算（表示）相关向量的坐标；（4）结合问题条件建立方程或进行坐标运算。
14.已知（1）若有两个零点，则a的取值范围是____________，（2）当时，则满足的x的取值范围是____________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)讨论，，三种情况，结合零点的定义，解方程即可得到所求；（2）若，讨论，，若，，结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求。
【详解】（1）若，则由，解得，符合题意。
若，解得符合题意，但方能使方程有两个零点；若，解得，符合题意。
可得综上可得，a的范围是；（2）若，则，有，得为增，，即有，显然不符合题意。
所以有。
若，即为，解得。
若，即有，整理得；令，由于且，可得即在为增，最小值为而在时，递增，且值为负，不符合题意。
综上可得a的取值范围是。
【点睛】本题考查分段函数的运用：求零点和解不等式，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：判断单调性，考查化简整理运算能力，属于中档题。
三、解答题共4小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.已知函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为.（1）求的值；（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）在区间上的最大值为1，最小值为。
【解析】【分析】（1）根据题意可得函数周期有关系式，即要求的值；（2）根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得，再根据正弦函数的图像和性质即可求出最值。
【详解】（1）根据函数的图像与x轴的相铃两个交点的距离为，可得函数的周期满足关系式，所以故=2。
（2）====因为，所以所以所以在区间上的最大值为1，最小值为。
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，属于中档题。
16.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB＝14，BD＝6，，.（1）求；（2）求AD的长和△ABC的面积.【答案】（1）=；（2），=。
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理与三角恒等变换，即可求得的正弦值；（2）由余弦定理和正弦定理求得AD、CD 的值，再求的面积。
【详解】（1）中，因为，，所以有==又因为，所以所以=。
（2）在中，由余弦定理可得，整理得得或（舍）在中，由正弦定理得，所以=。
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式求解三角形的问题，对于解三角形问题，通常用运用正弦定理进行边角之间转化，用余弦定量借助三边关系求角或建立方程寻找边的关系，注间有时还会运用三角恒等变换及三角函数进行求值，是高考的热点问题。
17.设数列的前n项和为，且，在正项等比数列中，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）数列的前n项和=【解析】【分析】（1）根据数列的通项与前n项和的关系可求数列的通项，根据可求数列公比，进而求正项等比数列的通项公式。
（2）数列的前n项和可用错位相消法求解。
【详解】（1）当时，，当时，==，所以。
所以，于是，解得或（舍）所以=。
（2）由以上结论可得，所以其前n项和==-得，==所以=。
【点睛】错位相消法是求数列较常用的一种方法，它适用的数列必须是等差数列与等比数列积形成的复合数列，过程如下：（1）列出前n项和；（2）在前n项和式子的两端同乘以公比，（3）二式相减，并利用公式计算，整理得到结果。
18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最大值.【答案】（1）函数的单调区间为，单调减区间为.（2）当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为.【解析】【分析】（１）对函数求导并求其导函数的零点，列表讨论得其单调区间；（2）分，，三种情况讨论即可。