第04章 线性规划
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述： 例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2） 式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。
只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。
以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。
具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。
只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。
由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。
本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
数据模型与决策习题与参考答案
数据模型与决策习题与参考答案《数据模型与决策》复习题及参考答案第⼀章绪⾔⼀、填空题1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。
2．运筹学的核⼼是运⽤数学⽅法研究各种系统的优化途径及⽅案，为决策者提供科学决策的依据。
3．模型是⼀件实际事物或现实情况的代表或抽象。
4、通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表⽰成⼀个等式或不等式的集合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。
运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学⽤系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应⽤各学科交叉的⽅法，具有典型综合应⽤特性。
8．运筹学的发展趋势是进⼀步依赖于_计算机的应⽤和发展。
9．运筹学解决问题时⾸先要观察待决策问题所处的环境。
10．⽤运筹学分析与解决问题，是⼀个科学决策的过程。
11.运筹学的主要⽬的在于求得⼀个合理运⽤⼈⼒、物⼒和财⼒的最佳⽅案。
12．运筹学中所使⽤的模型是数学模型。
⽤运筹学解决问题的核⼼是建⽴数学模型，并对模型求解。
13⽤运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之⼀是⽤系统的观点研究功能关系。
15.数学模型中，“s·t”表⽰约束。
16．建⽴数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
⼆、单选题1.建⽴数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ）A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格2．我们可以通过（ C ）来验证模型最优解。
A．观察 B．应⽤ C．实验 D．调查3．建⽴运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。
A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施4.建⽴模型的⼀个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ）A数量 B变量 C 约束条件 D ⽬标函数5.模型中要求变量取值（ D ）A可正 B可负 C⾮正 D⾮负6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ）A 连续性B 整体性C 阶段性D 再⽣性7.运筹学运⽤数学⽅法分析与解决问题，以达到系统的最优⽬标。
数学中的组合优化与线性规划的应用
3
松弛技术
松弛原问题中的某些约束条件，得到一个更易求 解的线性规划问题。通过求解松弛问题，可以获 得原问题的近似解或界。
线性规划在组合优化中的应用
求解组合优化问 题的松弛问题
利用线性规划方法求解组合 优化问题的松弛问题，可以 得到原问题的近似解或界。
• 近似算法：包括贪心算法、局部搜索算法、遗传算法、模拟退火算法等，这些方法可以在较短时间内求得问题 的近似最优解，适用于大型或复杂问题。
• 启发式算法：启发式算法是一种基于直观或经验构造的算法，它可以在可接受的花费（指计算时间、占用空间 等）下给出待解决组合优化问题的一个可行解，该可行解与最优解的偏离程度一般不能被预计。现阶段，启发 式算法以仿自然体算法为主，主要有蚁群算法、模拟退火法、神经网络等。
资源分配问题
通过线性规划确定各种资源的分配量 ，以满足不同部门或项目的需求，并 实现资源利用效益最大化。
投资组合优化问题
通过线性规划确定各种投资的比例， 以实现风险最小化或收益最大化。
04
组合优化与线性规划的关系
组合优化与线性规划的相互联系
组合优化是一种数学优化方法，旨在从有限个可行解中找 出最优解。
最大流问题
通过线性规划方法，求解网络中从源点到汇点的最大流量，以满足 网络传输需求。
最小费用流问题
结合线性规划和组合优化方法，确定网络中满足流量要求且总费用 最小的流路径和流量分配方案。
网络设计与优化
利用网络流理论和方法，进行网络设计、扩容和优化，以提高网络性 能和降低运营成本。
其他应用案例
图像处理
02
组合优化概述
组合优化问题的定义
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
CAN-File-10-10-08-13-线性规划_网络流与整数规划解析
目标：
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
网络流问题－续
约束：
质量守恒(mass conservation) inflow(k) – outflow(k)=demand(k)=-supply(k), 假定II：弧没有容量限制
如果他们全非负，当前树解是最优的；否则，选取弧 (i, j) 使得 ，称之为入弧. Step 4. 确定出弧：入弧和树弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个最小的流作为出弧. Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新原始流，得 新的树解. 转 Step2.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
数学与系统科学学院
(用于无容量限制网络的)网络单纯形法：
Step 1. 从一个可行的树解开始，假设第 n 个节点是根节点. Step 2. 计算对偶向量(单纯形乘子)： 从根节点向叶子节点，依次求解方程组
Step 3. 计算对偶松弛向量(相对费用系数/既约费用系数)：
连 通
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
不连通
数学与系统科学学院
定义：圈 vs. 非圈(Cyclic vs. Acyclic)
圈
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
非 圈
数学与系统科学学院
定义：树(Trees)
树＝连通的+非圈
非 树
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
非负性
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
04章组合优化模型
04章组合优化模型组合优化模型是指在给定一组有限资源的情况下，通过选择和组合这些资源，以达到其中一种目标的问题。
这一类模型广泛应用于供应链管理、制造业生产优化和物流网络设计等领域。
本文将介绍几种常见的组合优化模型，并分析其应用。
一、背包问题背包问题是最基本的组合优化问题之一、背包问题可以描述为在给定一组物品和一个固定容量的背包的情况下，如何选择物品放入背包中，以使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以有多种变形，如01背包问题、完全背包问题和多重背包问题等。
例如，假设有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi。
目标是在背包容量限制下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以通过动态规划算法求解。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些放入容量为j的背包中所能达到的最大总价值。
背包问题的状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)二、旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，也是一个NP-hard问题。
旅行商问题可以描述为在给定一组城市和每对城市之间的距离，如何找到一条最短的路径，使得每个城市只访问一次，并且最终回到起始城市。
旅行商问题可以通过深度优先、分支定界算法和遗传算法等方法求解。
尽管求解旅行商问题的确切解决方案是困难的，但通过使用近似算法和启发式算法，可以在合理的时间内得到较好的解。
三、作业调度问题作业调度问题是指在给定一组作业和一组机器的情况下，如何安排作业在机器上执行，以最大程度地减少完成所有作业的总时间。
作业调度问题可以通过贪心算法和动态规划算法求解。
贪心算法可以按照一些优先级规则对作业进行排序，并依次将作业分配给空闲的机器，直到所有作业都被分配完为止。
动态规划算法可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个作业在j个机器上执行的最小总时间。
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
School of Business ECUST
单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性规划
交通与车辆工程学院 刚宪约 2012年5月14日 年 月 日
下料问题
某车间有长度为180cm的钢管(数量足够多)， 今要将其截为三种不同长度的管料，长度分别为 70cm，52cm，35cm．生产任务规定，70cm的管料 只需100根，而52cm 和35cm的管料分别不得少于 150根和120根，问应采取怎样的截法，才能完成 任务，同时使剩的余料最少？
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
线性规划问题的标准形式
T m in c x s.t. Ax = d, x ≥ 0
其 中 c = (c1, c2 ,Lcn ) 称 为 成 本 （ 或 耗 费 ） 向 量 ，
T
A = (aij )m×n ，且 rank(A) = m ≤ n ；d = (d1, d2 ,Ldm ) ≥ 0 。
(i = 1,2,Lm) (i = 1,2,Ln)
线性规划问题隐含的假设
比例性： 比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策 变量改变量成正比 可加性： 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立 于其它变量 连续性： 连续性：每个决策变量取连续值 确定性： 确定性：线性规划中的参数ci , aij , di 为确定值
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
线性规划基本定理
1. 2. 3. 4.
线性规划问题的可行域一定是凸集。 若线性规划有可行解，必有基本可行解。 线性规划的基本可行解就是可行域的顶点。 若线性规划有最优解，必有最优的基本可 行解。
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
线性规划的一般形式
n in(m m ax) f = ∑ci xi i=1 n s.t. ∑(aij xj )(≤, =, ≥)di j=1 li ≤ x ≤ ui
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
启示
线性规划的可行域如果存在，则是一个凸 多边形；最优解如果存在，则一定在凸多 边形的某一顶点达到。 基于这些性质，为了求得线性规划的最优 解，就只要在有限个顶点中搜索，而不必 在可行域的整个区域内搜索。
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
基本变量与非基本变量
（4）确保等式约束右端项非负 如果 di ≤ 0 ，则可以在等式约束两边同乘-1 来保证等式约束右端项非负：
∑(a x ) = d
n j =1 ij j
i
⇔
∑(− a x ) = −d
n j =1 ij j
i
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
将一般形式转化为标准形式(3) 将一般形式转化为标准形式(3)
(2)、求最优解 、 C点： X1+2X2 =30 点 3X1+2X2 =60
X2
30
20
解：X* = (15,7.5) Zmin =-975
A
10
B C D 20
0
10
30
X1
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
例2 min f = -40X1- 80X2 X1+2X2 ≤ 30 3X1+2X2 ≤ 60 2X2 ≤ 24 X1 , X2 ≥0
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
主要内容
线性规划的标准形式 线性规划的性质 单纯形法 对偶单纯形法 灵敏度分析
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
例1、min f = -40X1- 50X2 、 X1+2X2 ≤ 30 3X1+2X2 ≤ 60 2X2 ≤ 24 X1 , X2 ≥0
将一般形式转化为标准形式(2) 将一般形式转化为标准形式(2)
到这里，我们已经可以将一般形式的线性规划问题转化为如下形式
n min( f ) = ∑ci xi i =1 n s.t. ∑(aij xj ) = di j =1 li ≤ x ≤ ui
(i = 1,2,Lm) (i = 1,2,Ln)
T
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
将一般形式转化为标准形式
五个基本问题
1. 目标函数“极大化”转化为“极小化” 目标函数“极大化”转化为“极小化” 2. 将 “≥”约束转化为“≤”约束 约束转化为“ 3. 将“≤”约束转化为“＝”约束 约束转化为“ 4. 确保等式约束右端项非负 5. 处理变量上下限约束
[Ab
xb Ac ] = d xc
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
基本可行解
采用上面的名称是因为如果把 A 的每一列看作 m 维空间种的一个向 量，所选择的 Ab 矩阵中的 m 列便可以看作这个 m 空间的基底向量。一般 地说， xb 中元素地值均不为零。但是，在有的基本解中，一个或多个基本 变量为零，这个解就称为退化的基本解。 定义 2：同时满足非负条件的基本解称为基本可行解；如果改解是退 化的基本解，则称为退化的基本可行解。
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
主要内容
线性规划的标准形式 线性规划的性质 单纯形法 对偶单纯形法 灵敏度分析
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
主要内容
线性规划的标准形式 线性规划的性质 单纯形法 对偶单纯形法 灵敏度分析
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
将一般形式转化为标准形式(1) 将一般形式转化为标准形式(1)
（1）目标函数“极大化”转化为“极小化” 可以令F = − f ，将原问题转化为min(F) 。 （2）将 “≥”约束转化为“≤”约束
∑(a x ) ≥ d
n j =1 ij j
30
X1
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
例3 min f=-2X1- 4X2 2X1+X2 ≥8 -2X1+X2 ≤ 2 X1 , X2 ≥0 无界 无有限最优解
0 4
X2
8
6
4
2
X1
2X1+ X2=8
-2X1+ X2=2
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
线性规划问题
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
线性规划的特点
历史悠久（起源于30年代） 历史悠久（起源于30年代） 理论成熟（有限步收敛） 应用广泛（运筹学）
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
线性规划的渊源
线性规划是一类目标函数和约束条件均为线性的优化问题； 线性规划的研究源于20世纪30年代，二次大战中丹茨格 线性规划的研究源于20世纪30年代，二次大战中丹茨格 提出“单纯形法” 提出“单纯形法”； 丹茨格由于发明了单纯形法，被誉为“线性规划”之父; 丹茨格由于发明了单纯形法，被誉为“线性规划”之父; 根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明, 根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明, 线性规划的应用程度名列前矛, 85%的公司频繁地使用 线性规划的应用程度名列前矛,有85%的公司频繁地使用 线性规划,并取得了显著提高经济效益的效果. 线性规划,并取得了显著提高经济效益的效果.
≥150 ≥120
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
下料问题(2) 下料问题(2)
设 xi 表示第i 种下料方式的次数（i = 1, 2, … , 8） ， 则下料问题可以表示为如下数学模型
in m R = 5x1 + 6x2 + 23x3 + 5x4 + 24x5 + 6x6 + 23x7 + 5x8 s.t. 2x1 + x2 + x3 + x4 = 100 2x1 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 ≥ 150 x1 + x3 + 3x4 + 2x6 + 3x7 + 5x8 ≥ 120 xi ≥ 0 (i = 1,2,L8)
（5）处理变量上下限约束 a. li > −∞, ui = +∞ 引进新的变量 xi = xi − li . b. li = −∞, ui < +∞ 引进新的变量 xi = ui − xi .
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
c. li > −∞, ui < +∞ 引进新的变量 xi = xi − li ，同时增加新的约束 xi ≤ ui − li 。 d. li = −∞, ui = +∞ 引入新的变量 xi1 ≥ 0 、 xi 2 ≥ 0 ，令 xi = xi 2 − xi 2 。 至此，我们已经将一般形式的线性规划问题转化为标准形式。
定义 1：记标准线性规划中的 A 矩阵的任意一个由它的m 列 构成的m× m 的非奇异子矩阵为Ab ； 令其剩下的n− m 列构成Ac 矩阵，相对应的n− m个变量 xi 被假定零，记做xc 为非基本解， 然后由剩下的方程解出的解称为基本解， Ab 的m 列相对应的变 而 量称为基本变量，记做 xb 。约定将基本变量排在前面，约束方程 组可以写成
交通与车辆工程学院 刚宪约 gangxianyue@
X2
最优解： 线段 最优解：BC线段 B点: X(1)=(6,12) 点 C点: X(2)=(15,7.5) 点 X=α X(1)+(1-α) X(2) (0≤ α ≤ 1) f=-1200
30
20
10
B C D 20
0
10
例4 min f= -3X1-2X2 -X1 -X2 ≥1 X1 , X2 ≥0 无解 无可行解